![Page 1: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/1.jpg)
Rotacija krutog tijela
![Page 2: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/2.jpg)
6. Rotacija krutog tijela
Djelovanje sile na tijelo
promjena oblika tijela (deformacija)
promjena stanja gibanja tijela
Kruto tijelo – pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj oblik - razmaci čestica krutog tijela ostaju uvijek isti- idealizacija
Gibanje krutog tijela: translacija (CM) i rotacija (os kroz CM)
![Page 3: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/3.jpg)
6. Rotacija krutog tijela
Tijelo se giba TRANSLATORNO ako linija koja povezuje bilo kojedvije njegove čestice zadržava svoj smjer u prostoru, tj. ako pri gibanju ostaje paralelna svom početnom položaju.Sve točke tijela imaju iste brzine i akceleracije.Dovoljno je poznavati gibanje CM.
Translacija krutog tijelaPri ROTACIJI krutog tijela sve njegove čestice gibaju se istom kutnom brzinom po kružnicama čija središta leže na istom pravcu koji se zove OS ROTACIJE (rotacija krutog tijela oko nepomične osi).
Rotacija krutog tijela
![Page 4: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/4.jpg)
6. Rotacija krutog tijela
Općenito gibanje krutog tijela:
translacija (CM) i rotacija (os kroz CM)
![Page 5: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/5.jpg)
6.3. Rotacija krutog tijela oko nepomi čne osi
Sve točke tijela izvode gibanje po kružnicama čija središta leže na osi rotacije.Na rotaciju oko nepomične osi utječe samo moment okomite sile.
O
r’ i
∆Fti
∆mi
r i
Izvod j. gibanja:'
2
2
i i i
zi i ti i i ti i i
z zi i i zi i
M r F
M r F r m a m r
M M m r I
αα α
= ×∆ = ∆ = ∆ = ∆
= = ∆ =∑ ∑
ω
2z i i
i
I m r= ∆∑ - moment inercije
z zM I α= ⋅ - j. gibanja (II Newtonov zakon za rotaciju krutog tijela oko nepomične osi)
F m a= ⋅
![Page 6: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/6.jpg)
6.3. Rotacija krutog tijela oko nepomi čne osi
Ako je M = 0, tada je α = 0, te će tijelo ili mirovati ili se jednoliko vrtjeti.
Ako je Mz = const. tijelo će se vrtjeti oko nepomične osi konstantnom kutnom akceleracijom (α = const.).
![Page 7: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/7.jpg)
6.4. Moment inercije (tromosti)
- veličina karakteristična za svako tijelo koje rotira- utječe na rotaciju slično kao što masa utječe na translaciju tijela→ tijela s većim I teže je zarotirati nego ona s manjim = mjera tromosti tijela pri rotaciji
2 2
1
limn
i in
i
I m r r dm→∞ =
= ∆ =∑ ∫
2I r dVρ= ∫ 0limV
m dm
V dVρ
∆ →
∆= =∆
2I r dVρ= ∫ - za homogeno tijelo
![Page 8: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/8.jpg)
6.4. Moment inercije (tromosti)
Primjer:Izračunaj moment inercije homogenog štapa oko osia) kroz središte štapab) oko jednog kraja štapa
L
dxx
2
12
mLI =
L
dxx
a)
b)2
3
mLI =
![Page 9: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/9.jpg)
6.4. Moment inercije (tromosti)
Primjer:Izračunaj moment inercije homogenog prstena oko osi kroz središte prstena, okomitu na ravninu prstena.
R
2I mR=
![Page 10: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/11.jpg)
6.4. Moment inercije (tromosti) – Steinerov pou čak
Moment tromosti ovisi o osi oko koje tijelo rotira.
os rotacije
os kroz CM
' 'CM CMx x x y y y= + = +
CMI 2M D⋅0= 0=
![Page 12: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/12.jpg)
6.4. Moment inercije (tromosti) – Steinerov pou čak
2CMI I M D= + ⋅
Moment inercije tijela oko neke osi jednak je momentu inercije oko osi koja prolazi kroz centar mase i paralelna je toj osi, uvećanoj za umnožak mase tijela i kvadrata udaljenosti tih dviju osi.
os rotacije
os kroz CM
D M
![Page 13: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/13.jpg)
6.4. Moment inercije (tromosti) – Steinerov pou čak
Primjer:Odredite moment inercije štapa obzirom na os koja prolazi jednim njegovim krajem.
L
dxx
2
12CM
mLI =
2
3
mLI =
a)
b)
2 2 2 2
2 12 4 3CM
L mL mL mLI I m
= + = + =
c) Steinerov poučak:
L
dxx
![Page 14: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/14.jpg)
6.5. Moment koli čine gibanja (kutna koli čina gibanja, moment impulsa, zakretni impuls, angularni moment, orbitalni moment)
Zakretni impuls materijalne točke m, impulsa p:
L r p= ×
[kg m2/s]
- smjer: pravilo desne ruke
( )M r F= ×
Zakretni impuls krutog tijela:
2
,i ii iii
z i i zi
L r m v v r
L m r I
ω
ω ω
= × ∆ = ×
= ∆ =
∑
∑
- za bilo koju nepomičnu os oko koje rotira kruto tijelo
![Page 15: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/15.jpg)
6.5. Moment koli čine gibanja
L Iω= - ako homogeno tijelo rotira oko svoje osi simetrije L i w imaju
isti smjer i leže na osi rotacije- općenito (za nesimetrično tijelo) L i w ne moraju imati isti smjer
Jednadžba gibanja za rotaciju krutog tijela
i i iL r p= ×
- zakretni impuls materijelne točke krutog tijela
i i ii i i ii
d pd L drp r r F M
dt dt dt= × + × = × =
0i
i iii
d rp v m v
dt× = × =
i i
i i
dL M
dt=∑ ∑
- za kruto tijelo
![Page 16: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/16.jpg)
6.5. Moment koli čine gibanja
z zL I ω=
( )zz z
z z
dL dM I
dt dtM I
ω
α
= =
= ⋅
d LM
dt=
d pF
dt
=
Ukupni moment vanjskih sila (obzirom na točku O) jednak je vremenskoj promjeni ukupnog zakretnog impulsa (obzirom na istu točku O).
Jednadžba gibanja za rotaciju krutog tijela
( )F m a= ⋅
![Page 17: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/17.jpg)
6.6. Zakon o čuvanja zakretnog impulsa
![Page 18: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/18.jpg)
6.6. Zakon o čuvanja zakretnog impulsa
![Page 19: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/19.jpg)
6.6. Zakon o čuvanja zakretnog impulsa
d LM
dt=
L const=
- j. gibanja za rotaciju krutog tijela:
- zatvoreni sustav (ΣFi=0, ΣMi=0) : 0d L
Mdt
= =
U zatvorenom sustavu ukupni zakretni impuls je očuvan (po iznosu i smjeru) ako je rezultantni moment sila, koji djeluje na taj sustav, jednak nuli.
Poseban slučaj: vrtnja sustava oko nepomične osi z:
z zL I constω= =
1 1 2 2I I constω ω= =
![Page 20: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/20.jpg)
6.7. Gibanje zvrka
Zvrk je rotaciono simetrično tijelo koje se vrlo brzo vrti oko svoje osi simetrije, pri čemu je stalno učvršćeno u jednoj točki koja leži na toj osi.
a) gibanje slobodnog zvrka (M=0); zvrk je poduprt u svom težištu
0d L
M L constdt
= = → =
Smjer i iznos zakretnog impulsa su konstantni jer nema vanjskog momenta sile.
O
G
![Page 21: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/21.jpg)
b) precesija zvrka (M≠0); zvrk nije poduprt u težištu
6.7. Gibanje zvrka
M r G= ×
- težina stvara moment oko O
- os zvrka se zakreće, a težište se giba po kružnici
- M je okomit na L; L mijenja smjer a iznos mu je konstantan- vrh vektora L opisuje kružnicu (precesija)
z z
z
M L
L I
M
I
ω
ω
= Ω×=
Ω =
Kutna brzina precesije proporcionalna je momentu sile, a obrnuto proporcionalna momentu inercije i kutnoj brzini zvrka.
d LM
dt=
![Page 22: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/22.jpg)
6.8. Rad, snaga i kineti čka energija pri rotaciji
21
2i i iK m v=
Kinetička energija materijalne točke mi:
Kinetička energija krutog tijela:
2 2 21 1
2 2i i i i ii i i
K K m v m r ω= = =∑ ∑ ∑
21
2K Iω=
2i i
i
I m r=∑ -moment inercije
-kinetička energija
![Page 23: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/23.jpg)
6.8. Rad, snaga i kineti čka energija pri rotaciji
Ukupni rad koji obave vanjske sile pri rotaciji kru tog tijela oko čvrste osi jednak je promjeni kineti čke energije rotacije.
( )sindW F d s F rdφ θ= ⋅ =
Rad vanjske sile na tijelo koje rotira:
dW Mdθ=
dW dP M M
dt dt
θ ω= = = ⋅
Snaga pri rotaciji:
( )P F v= ⋅
d d d dM I I I I
dt d dt d
ω ω θ ωα ωθ θ
= = = = Md dW I dθ ω ω= =
2 21 1
2 2
f
i
f i KW Md I d I I Eω
ω
θ ω ω ω ω= = = − = ∆∫ ∫
![Page 24: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/24.jpg)
Primjer:Za sustav tijela na slici odredi moment inercije i kinetičku energiju rotacije.
![Page 25: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/25.jpg)
Primjer: za sustav na slici izračunaj kutnu akceleraciju kotača, akceleraciju utega i napetost niti.
![Page 26: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/26.jpg)
6.9. Kotrljanje krutog tijela
K = suma rotacijske kinetičke energije oko CM i kinetičke energije CM
![Page 27: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/27.jpg)
Primjer: Odredi brzinu CM sfere kada se spusti niz kosinu.
![Page 28: 06 - Rotacija krutog tijela - kolegij.fizika.unios.hrkolegij.fizika.unios.hr/of1/files/2014/11/06-Rotacija-krutog... · Zvrk je rotaciono simetri čno tijelo koje se vrlo brzo vrti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052608/5a79037e7f8b9a77088e9866/html5/thumbnails/28.jpg)
Primjer: Sfera mase m1 i blok mase m2 povezani su užetom preko koloture radijusa R i mase M (prsten koloture). Blok kliže bez trenja. Nañi linearnu akceleraciju ovih tijela koristeći zakretni impuls i moment.
Zakretni impuls obzirom na os rotacije koloture:
Zakretni moment za istu os: