1
Amphithéâtre 2
La croissance endogène
Etienne LEHMANNProfesseurs des Universités
CREST – Laboratoire de Macroéconomie
http://www.crest.fr/pageperso/lehmann/lehmann.htm
2
Dans les modèles de la première séance, le taux de croissance est à long terme exogène et donc inexpliqué.
L’intensité capitalistique kt = Kt / (AtLt) converge vers une valeur stationnaire (endogène)
Une fois cette convergence, Y/L et K/L croissent au même taux que A
L’accumulation du capital par des agents décentralisés est efficace (l’intervention de l’Etat n’est pas souhaitable)
Ici, expliquer la croissance de A
1. Modèle AK (taux d’épargne exogène)
2. Romer (1986) – Lucas (accumulation endogène - externalités)
3. R&D et progrès technique (concurrence imparfaite - …).
3
Le modèle AKLe modèle AK
Pourquoi la croissance n’est-elle pas auto-entretenue dans le modèle de Solow (1956)?
Taux d’épargne s exogène
Pour simplifier A et L sont constants et normalisés à 1 (aussi K=k)
tt
tt
t
t
t
t
ttttt
KFs
K
LAFs
K
Ys
K
K
KALKFsKYsK
111 ,,
,
C’est parce que la productivité apparente du capital Y/K décroît en K qu’il n’y a pas de croissance auto-entretenue
4
Le modèle AKLe modèle AK
KFs
K
Ys
K
K
t
t 11,
K
dlogK/dt
Fonction de production AK : Y= A K
Fonction de production néo-classique
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Le modèle AKLe modèle AK
Il y a croissance auto-entretenue dès qu’il y a des rendements constants par rapport aux facteurs accumulables
Harrod (1939) et Domar (1946) considèrent une fonction de production à facteurs non substituables Y = min [a K, b L]
En régime de chômage, Y=a K et c’est le stock de capital qui contraint la production => régime AK de croissance auto-entretenue (trop faible pour maintenir le plein emploi)
C’est le contraire en régime de plein-emploi Y=b L. C’est la croissance démographique qui tire le tout (sous-utilisation du capital)
La croissance est instable à moins de conditions très particulières sur les paramètres.
Le modèle de Harrod-Domar supposent l’absence de substitution entre les deux facteurs de production (peu plausible)
6
Le modèle AKLe modèle AK
Arrow (1962) et Romer (1986) font l’hypothèse d’apprentissage sur le tas (learning by doing) : le progrès technique A augmente avec l’expérience, avec la production.
i.e. Å fonction linéaire de Y
Externalité : les agents optimisent en prenant A comme donné
Cas particulier K=A
LFsK
K
Y
Y
LFsKKLAKFsKYsK
t
t
t
t
tttttt
,
,,
1
1
Le taux de croissance de l’économie augmente avec s, mais aussi avec L.
7
Croissance et capital humainCroissance et capital humain
Lucas (1988) considère qu’une fraction sA du PIB est consacrée à accroître A
sAY représente les dépenses en éducation, mais au delà, en recherche, en infrastructures publiques (Barro 1990), …
sA endogène chez Lucas, exogène pour l’instant avec L=1 et xt = Kt/At
tAtAtt
t
t
t
t
t
AtAttAttAtAtAt
ttttttt
xxFsx
FsA
A
K
K
x
x
xFsAAAKFsAYsA
xFsKKAKFsKYsK
11
1
1
11
,,
,,
,,
8
Croissance et capital humainCroissance et capital humain
AtAt
t
tt
t xFsA
Aet
xFs
K
K
1
11 ,,
x= K/ATaux de croissance de K
Taux de croissance de A
Hausse de s, baisse de
Hausse de sA, baisse de
x=K/A croissant x=K/A décroissant
9
Croissance et capital humainCroissance et capital humain
xt = Kt/At converge vers sa valeur d’état stationnaire
A long terme, croissance auto-entretenue (rendements constants en A et K)
Le taux de croissance de long terme augmente avec s
Le taux de croissance de long terme augmente avec sA
Le taux de croissance de long terme diminue avec
Le taux de croissance de long terme diminue avec A
…Mais s et sA sont ici exogènes (contrairement à Lucas 1988)
10
Rappel : utilisation du contrôle optimalRappel : utilisation du contrôle optimal
On souhaite résoudre le programme suivant :
fixé 0:et 0
0
xx
ttxtugtxsous
dtttxtufT
txu
,,:
,,max.,.
Où u : [0,T] n (variables de contrôle continues)
x : [0,T] p (variables d’état dérivables)
f : n× p × [0,T] (continûment différentiable)
g : n× p × [0,T] p (continûment différentiable)
x0 p est une donnée du problème
11
Rappel : utilisation du contrôle optimalRappel : utilisation du contrôle optimal
On définit l’Hamiltonien H où q : [0,T] p (variables de co-état)
txugqtxuftqxuH
RTRRRH ppn
,,,,,,,
,:
0
Conditions nécessaires : A la solution du problème (u*,x*) on associe les p variables de co-état q* telles que :
ttxtugtxt
xTq
x
ttqtxtuHtqt
ttqtxuHutut
,,
)
,,,)
,,,:
***
**
****
***
,4)
alité) transversde s(Conditionx00 3
, 2
en maximise réel le , 1)
0
12
Rappel : utilisation du contrôle optimalRappel : utilisation du contrôle optimal
Intuition: Soit V(t,x) la valeur maximale de l’objectif du même problème, sauf que la date initiale est t (et de non 0) et que la valeur initiale est donnée par x (et non par x0)
V(.,.) vérifie l’équation de Bellman
dttxugxdttVdttxufxtVdttxu
,,,,,max,,
Condition d’enveloppe :
p
j i
jij
jii
dttxux
gdxxdtt
x
Vdttxu
x
fxt
x
V
1
1 ,,,,,,
13
Rappel : utilisation du contrôle optimalRappel : utilisation du contrôle optimal
i
j
n
j i
j
ii
j
n
j i
j
i
ii
x
ttqtxtuH
tqttxtux
gttxtu
x
ftq
dttqttxtux
gttxtu
x
f
dt
dttqtq
,,,
,,,,
,,,,
***
******
*******
1
1
p
j i
jij
jii
dttxux
gdxxdtt
x
Vdttxu
x
fxt
x
V
1
1 ,,,,,,
On pose alors q*(t) = V/xi (x *(t),t) i,e , le long de la trajectoire optimale.
On a d’une part q*(T)=0 (condition de transversalité)
Et d’autre part :
14
Rappel : utilisation du contrôle optimalRappel : utilisation du contrôle optimal
cstttqtxuH
dtttxugtxtx
V
dttxtt
VtxtVdtttxuf
dtttxugtxdttVdtttxuf
,,,
,,,
,,,,
,,,,,
**
**
***
***
u*(t) doit donc maximiser
dttxugxdttVdttxufxtVdttxu
,,,,,max,,
15
Le (premier) modèle de RomerLe (premier) modèle de Romer
Épargne endogène
Externalité d’apprentissage sur le tas At = Kt
Le salaire concurrentiel wt = At F L’(Kt,AtL) = At F
L’(1,L)
Et le taux d’intérêt concurrentiel rt = F K’(Kt,AtL)- = F
K’(1,L) –
sont pris comme donnés par les ménages.
Dynamique du capital :
ttttttttt KcLKKFcKLAKFK ,,
16
Le (premier) modèle de RomerLe (premier) modèle de Romer
Programme des ménages fixé 0
0
acwarasous
dtcue
ttttt
tt
:
max
Résolution par Hamiltonien. Soit qt la variable de co-état
cwarqcuetqac ttt ,,,
Conditions d’optimalité
0
0
tt
t
tttttat
ttt
tttc
qe
rqtqacq
qcuetqac
lim
,,,
',,,
17
Le (premier) modèle de RomerLe (premier) modèle de Romer
Aussi t
t
t
t
ttt
t
tt
tt r
c
c
cu
ccur
q
qqecu
'
'''
Cette condition de Keynes-Ramsey devient avec la spécification CRRA
1si
1si1
1
11
t
t
t
c
c
cu
ln
tt
t rc
c
18
Le (premier) modèle de RomerLe (premier) modèle de Romer
La dynamique du modèle est résumée par
t
t
t
tK
t
t
K
cLF
K
KLF
c
c ,,' 1et1
Tout dépend en fait ct/Kt dont la dynamique est :
t
tK
t
t
t
t
K
cLFLF
K
c
K
c ,,/ ' 11
Variable indéterminée, présentant une dynamique instable
ct/Kt « saute » instantanément sur sa valeur d’état stationnaire (sinon violation de la condition de transversalité)
Le taux de croissance de l’économie est constant
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Le (premier) modèle de RomerLe (premier) modèle de Romer
L’équilibre décentralisé est-il efficace ?
Programme d’un planificateur (bienveillant et omniscient)
ttttttt cKLKKFKsousdtcue
,:max 0
Résolution par Hamiltonien. Soit µt la variable de co-état
cKLFKcuetKc t ,,,, 1
Conditions d’optimalité
0
1
0
tt
t
ttttKt
ttt
tttc
e
LFtKc
cuetKc
lim
,,,,
',,,'
'
20
Le (premier) modèle de RomerLe (premier) modèle de Romer
LF
c
c
cu
ccuLFecu
t
t
t
tt
t
tt
tt ,
'
'',' 11
La seule différence entre les équations décrivant l’équilibre et celles décrivant l’optimum social concerne le rendement du capital
A l’équilibre, le rendement privé du capital est le taux d’intérêt égal à FK’(1,L)
A l’optimum, le rendement social du capital est égal à F(1,L)
La croissance d’équilibre est donc inférieure à la croissance optimale
Les agents privés ne tiennent pas compte de l’externalité positive exercée par la production sur le progrès technique
Le gouvernement ne doit plus laissez faire les agents privés. Il doit subventionner l’épargne pour corriger cette externalité.
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Croissance et innovationsCroissance et innovations
Joseph Schumpeter (1942)
« The fundamental impulse that sets and keeps the capitalist engine in motion comes from the new consumers' goods, the new methods of production or transportation, the new markets,. .. . [This process] incessantly revolutionizes the economic structure from within, incessantly destroying the old one, incessantly creating a new one. This process of Creative Destruction is the essential fact about capitalism. »
Le modèle de Aghion et Howitt (1992, Econometrica)
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Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt• Les consommateurs ne consomment que du bien final (numéraire),
qui est produit (Y) en concurrence pure et parfaite à partir de biens intermédiaires selon Y = X (où 0 < <1)
• Le bien intermédiaire est produit par un monopole détenant la meilleure technologie A , embauchant x travailleurs, avec X = A x et en le vendant au prix p
• Les N agents choissent entre travailler dans le secteur de la recherche (n) ou dans le secteur productif (x) , avec x+n=N)
• Une nouvelle innovation radicale arrive selon un processus de Poisson de paramètre n
• Une période est un intervalle de temps entre deux innovations. La durée est stochastique. t représente le nombre d’innovations. Entre deux innovations, l’économie est « statique »
• Chaque innovation augmente la productivité d’un facteur >1, d’où : At = A0 t
23
Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
Le programme des consommateurs :
On suppose que leur préférences sont linéaires
fixé 00acwarasousdtce ttttt
t :max
La condition de Keynes-Ramsey donne r=
En effet
• si r > ils reportent toujours leur consommation à plus tard
• si r < ils consomment tout tout de suite et s’endettent indéfiniment
24
Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
Programme du producteur de bien final
1 ttX
XpXpXmax
Le bien final :
Il sert de numéraire dans l’économie (i.e. son prix est normalisé à 1)
Il est produit en concurrence pure et parfaite
Pour produire Y unités de biens final il faut acheter une quantité X de biens intermédiaires avec Y = X
On achète une unité de bien intermédiaire en l’échangeant contre p unités de bien final
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Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
Le programme du producteur de bien intermédiaire (monopole)
x unités de travail …
• … produisent At x unités de biens intermédiaires vendus au prix pt
• … et coûtent en salaire wt x.
t
ttt
t
t
xtt
ttx
t
tttttx
t
A
wA
xA
wxA
xwxA
xApsousxwxAp
max
max
:max 1
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Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
Demande de travail (inversée) : 12 ttt xAw
Fonction de profit : ttt xA 1
Taux de marge (p At-wt)/(p At) =
xwxA ttx
t max
Le programme du producteur de bien intermédiaire (monopole)
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Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
Soit Vt+1 la valeur d’une innovation en t
Cette innovation crée une situation de monopole dans la production de bien intérmédiaire en t+1 …
… rapportant un flux de profit égal à t+1
… mais cette position de monopole sera détruite au taux nt+1 par un nouvelle innovation
D’où l’équation d’actif :
1
1111111
1
t
ttttttt nr
xAVVnVr
28
Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
Offre de travail en t :
Les travailleurs sont indifférents entre
• travailler dans le secteur productif au salaire wt
• Rechercher une nouvelle technologie, avec une espérance de gain égale à Vt+1
D’où la condition : wt = Vt+1
Equilibre (prévisions parfaites) : N = nt + xt
1
111
12 1
t
ttt
t
tt
V
nNAnr
w
nNA
29
Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
Une hausse de wt+1
Baisse de xt+1 (demande de travail) et hausse de nt+1
Baisse de Vt+1 (car baisse de xt+1 et hausse de wt+1)
Baisse de wt (la recherche devient moins attractive en t)
Hausse de xt et baisse de nt
Dynamique « forward-looking » décroissante nt = D(nt+1) avec D’(.) < 0
11
1 1
tt
t nNnr
nN
30
Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
11
1 1
tt
t nNnr
nN
nt
nt = nt+1
nt+1
nt = D(nt+1)
Cas 1 : la dynamique à l’envers est stable et converge vers un état stationnaire L’état stationnaire est déterminé
31
Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
11
1 1
tt
t nNnr
nN
nt = nt+1
nt = D (nt+1)nt
nt+1
On peut construire des exemples où des cycles d’ordre 2 (ou plus) sont constitue un équilibre
32
Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
Etat stationnaire :
Unicité de l’état stationnaire avec (n>0) ou sans (n=0) recherche
Le nombre de chercheurs n augmente (et donc x diminue)
• Une recherche plus « productive » ( ou plus élevés)
• Une augmentation de la taille de la population N
• Une demande de biens intermédiaires moins élastique (baisse de , hausse du taux de marge du monopole 1-)
• Si = 1 (i.e. CCP pour bien intermédiaire, n=0 car =V=0)
Idem pour le taux de croissance de l’économie …
NnnNnr
,,,,
1
1
33
Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
L’imperfection de la concurrence (présence et taux de marge d’un monopole) devient un moteur de la croissance
Mais elle reste une défaillance de marché (statique)
Effet du droit de la propriété intellectuelle
Dorénavant, au taux µ l’innovateur perd son pouvoir de monopole. Des concurrents rentre sur le marché et la concurrence devient parfaite (Bertrand)
La seule modification dans le modèle concerne la valeur d’une innovation
1
1111111
1
t
ttttttt nr
xAVVnVr
34
Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
Etat stationnaire :
Une moins bonne protection de la propriété intellectuelle (hausse de µ)
Diminue la valeur du brevet Vt+1 qui est valorisé moins longtemps
Désincite les agents à choisir la recherche d’où baisse de n et du taux de croissance
Mais hausse de x et de la production instantanée lorsque le brevet est détruit (le bien intermédiaire est alors produit en CPP et non plus par un monopole)
Un arbitrage entre défaillance de marché en statique et un moteur de la croissance en dynamique
Une alternative (partielle) : la recherche publique ?
,,,,, rnnNnr
11
35
Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
Optimum : un planificateur bienveillant et omniscient choisit la répartition des travailleurs entre secteur de la recherche et secteur productif de façon à rendre maximal Ut défini par :
tttn
t UUnnNAUr 1max
La condition du premier ordre donne :
ttt UUnNA
1
1 *
i.e: l’égalité entre
• la productivité marginale dans la production
• la productivité marginale de la recherche multipliée par le rendement social de la recherche Ut+1-Ut
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Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
Par ailleurs (si l’optimum est stationnaire)
1
1
1
0
1
1
*
*
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
**
nr
nNA
nr
nnr
nNAU
nr
nNA
nr
nU
Unr
n
nr
nNAU
UUnnNAUr
ttt
k
kt
k
t
tt
t
tttt
37
Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
Aussi l’optimum est défini par
*
** nNA
nrnNA tt
1
11
Soit …
*
*nN
nr
1
1
11
Alors que l’équilibre est défini par
nNnr
1
1
38
Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
*
*nN
nr
1
1
11 nN
nr
1
1
Il peut y avoir insuffisance de la recherche à l’équilibre
Exemple : lorsque 1, n tend vers 0 à l’équilibre (car le monopoleur intermédiaire ne s’approprie plus de profit) alors que n reste positif à l’optimum
Mais il peut y avoir également trop de recherche à l’équilibre
Exemple : lorsque 1+ la recherche ne procure aucun gain à l’optimum, mais reste valorisée à l’équilibre car elle permet de créer une rente de monopole.
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Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt
Bilan du modèle
Un modèle où le progrès technique est du au choix de faire de la recherche plutôt qu’activité productive
C’est l’imperfection de la concurrence qui crée l’incitation à faire de la recherche
Une innovation crée un monopole qui détruit le précédent création destructrice
La recherche d’équilibre peut être trop élevée ou trop faible par rapport à la recherche optimale
Le droit de la propriété intellectuel est un moyen pour contrôler ce montant de la recherche
Limite : les insiders peuvent avoir plus de facilité à innover que les outsiders