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Dpto. Física y Mecánica
d b d
p y
Fuerzas distribuidas
1 Centro de gravedad centro de masas1. Centro de gravedad, centro de masas2. Momento de inercia
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Cálculo de centroides y centros de gravedad
Introducción. Fuerzas distribuidas
Cálculo de centroides y centros de gravedad
Momento de inercia. Propiedades. Cálculo
Producto de inercia respecto a dos rectas.
Momento de inercia respecto a una recta R
Teorema de Steiner
Momentos y direcciones principales de inerciaMomentos y direcciones principales de inercia
Círculo de Mohr
Cuádrica de inercia
OCW-UPM
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En el tratamiento de las fuerzas distribuidas no es muy difícilencontrar la resultante de estas fuerzas distribuidas.encontrar la resultante de estas fuerzas distribuidas.
Para que la resultante tenga el mismo efecto que las fuerzasdistribuidas ésta debe actuar en un punto denominadodistribuidas, ésta debe actuar en un punto denominadocentroide del sistema
OCW-UPM
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El centroide de un sistema es un punto en el que puedeconsiderarse que está concentrado un sistema de fuerzasconsiderarse que está concentrado un sistema de fuerzasdistribuidas, con el mismo efecto exactamente.
Este concepto se encuentra en el análisis de esfuerzos ydeformaciones de vigas y árboles, y es conocidocomúnmente con el nombre de primer momentocomúnmente con el nombre de primer momento.
OCW-UPM
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Z
Centroide de un sistema material discreto
n
(x y z )
1 1 2 2 1... i in n i
C
m xm x m x m xx
m m m M=+ + +
= =+ + +
∑mi(xi, yi, zi) 1 2 ... nm m m M+ + +
n
∑zi 1 1 2 2 1
1 2
......
i in n i
Cn
m ym y m y m yy
m m m M=+ + +
= =+ + +
∑
Y
xi
1 2 n
n
∑X
yi1 1 2 2 1
1 2
......
i in n i
C
m zm z m z m zz
m m m M=+ + +
= =+ + +
∑X 1 2 ... nm m m M+ + +
OCW-UPM
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Centroide de un sistema material continuo
∫∫∫ZV
VC
xdmx
M=∫∫∫
M
ydm∫∫∫z
VC
ydmy
M=∫∫∫
Yzdm∫∫∫x
yV
Cz M=∫∫∫
X
OCW-UPM
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Momento de inercia respecto a un eje
ω ωii rv =
rmi
2 2 2 2 21 1 1n n n
E m v m r m rω ω= = =∑ ∑ ∑
mi
1 1 12 2 2C i i i i i ii i i
E m v m r m rω ω= = =
= = =∑ ∑ ∑
212C ejeE I ω= ∑=
n
iiieje rmI
1
2
2 j=i 1
OCW-UPM
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M d i i j lMomentos de inercia respecto puntos, ejes y planos
2 2 2 2( )n n
OI m r m x y z= = + +∑ ∑1 1
( )O i i i i i ii i
I m r m x y z= =
+ +∑ ∑Z
2
1
n
YOX i iI m z=∑ mi(xi, yi, zi)
1i=
2n
∑ ziri
2
1YOZ i i
iI m x
=
= ∑ zi
Y
2n
XOZ i iI m y=∑xi
yi
Y
1XOZ i i
iy
=∑ yi
X
OCW-UPM
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M d i i j lMomentos de inercia respecto puntos, ejes y planos
2 2( )n
I m y z I I+ +∑1
( )OX i i i XOY XOZi
I m y z I I=
= + = +∑
2 2( )n
OY i i i XOY YOZI m x z I I= + = +∑1i=
2 2n
∑ 2 2
1( )OZ i i i XOZ YOZ
iI m x y I I
=
= + = +∑1 ( )2O OX OY OZ XOY XOZ YOZI I I I I I I= + + = + +2
OCW-UPM
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El momento de inercia respecto a un punto es la suma dep plos momentos de inercia respecto a tres planosperpendiculares entre sí que se corten en dicho punto
O XOY XOZ YOZI I I I= + +O XOY XOZ YOZ
El momento de inercia respecto a un punto es la semisumaEl momento de inercia respecto a un punto es la semisumade los momentos de inercia respecto a tres ejesperpendiculares entre sí que se corten en dicho punto
1 ( )O OX OY OZI I I I= + +( )2O OX OY OZI I I I+ +
OCW-UPM
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El momento de inercia respecto a un punto es la suma delp pmomento de inercia respecto a un eje y el momento deinercia respecto a un plan perpendicular a él que se corten endi h tdicho punto
I I I I I I I= + = + = +O OZ XOY OY XOZ OX YOZI I I I I I I= + = + = +
El t d i i t j l d lEl momento de inercia respecto a un eje es la suma de losmomentos de inercia respecto a los dos planosperpendiculares entre sí que se corten en dicho ejeperpendiculares entre sí que se corten en dicho eje
OX XOY XOZI I I= + YOZXOYOY III += YOZXOZOZ III +=OX XOY XOZ YOZXOYOY YOZXOZOZ
OCW-UPM
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T d St i
Z
El momento de inercia respecto a un
Teorema de Steiner
p
punto O es la suma del momento de
inercia respecto al centro de
G
inercia respecto al centro de
gravedad G y de la masa total delG
sistema por el cuadrado de la
distancia que separa los puntos G y
YOd1 O
2I I Md= +X 1O GI I Md= +X
OCW-UPM
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T d St i
Z El momento de inercia respecto a un
Teorema de Steiner
d2eje cualquiera (OZ) es la suma del
momento de inercia respecto a unmomento de inercia respecto a un
eje paralelo que pase por el centro
G de gravedad G (Eje CZ) y la masa
total del sistema por el cuadrado de
YO
la distancia que separa los dos ejes
X
O22OZ GZI I Md= +
X
OCW-UPM
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T d St i
El momento de inercia respecto
Teorema de Steiner
Z a un plano cualquiera (XOY) es
la suma del momento de inercia
G
la suma del momento de inercia
respecto a un plano paralelo que
pase por el centro de gravedad
G (Plano XGY) y la masa total
YO
d3 del sistema por el cuadrado de la
distancia que separa los dos
2I I MdX
distancia que separa los dos
planos23XOY XGYI I Md= +
OCW-UPM
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T d St iTeorema de Steiner
El momento de inercia respecto a un punto, eje o plano es
igual al momento de inercia respecto a un punto eje oigual al momento de inercia respecto a un punto, eje o
plano paralelo al anterior y que pase por el centro de
gravedad, mas la masa total del sistema por el cuadrado
de la distancia que separa ambos puntos, ejes o planos
OCW-UPM
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P d t d i i t d tProducto de inercia respecto a dos rectas
YYRespecto a las rectas OX, OY
mi
n
P m x y=∑mi
1XY i i i
i
P m x y=
=∑yi
xiX
OCW-UPM
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Producto de inercia respecto a dos rectas A y B
Respecto a las rectas OX, OY
AY n
XY i i iP m x y=∑B
ai
b
Ai 1XY i i i
iy
=∑
n
bi
yi
Respecto a las rectas A, B
1
n
AB i i ii
P Aa b=
=∑yi
xi
Xα β
1i=i
OCW-UPM
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Producto de inercia respecto a dos rectas A y B
ai m
AY D
iCD x senα=i mi
xi CO
α
yiE
D mi
xi CO
α
XyiE
CECDai −=αα cosysenxa =
E
C
α
αα cosiii ysenxa −= CαcosiyCE =OCW-UPM
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Y
Producto de inercia respecto a dos rectas A y B
Y
FC βF
Bbi
mi
F
cosiFC y β=β yi
yiG C
xi X
β
O CG
iGC x senβ=i
O xi C
βib FC CG= −
cosb y x senβ β icosi i ib y x senβ β= −
OCW-UPM
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Producto de inercia respecto a dos rectas A y B
∑∑nn
=−−== ∑∑==
)cos)(cos(11
ββαα senxyysenxmbamP iiiii
iiii
iAB
OYOXXYAB IIPP βαβαβα sensencoscos)sen( −−+=
OCW-UPM
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Teorema de Steiner para productos de inercia
El producto de inercia respecto a dos rectas cualesquiera es igual a la suma al producto de inercia respecto a dos rectas paralelas a las anteriores que pasen por el centroide y elparalelas a las anteriores que pasen por el centroide y el producto del área de la figura por las distancias entre las rectasrectas
OCW-UPM
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Z
Momento de inercia respecto a una recta R
P(x,y,z)
Z
Aid
2n
I Ad=∑R
d1
R ii
I Ad=
=∑ϕ
Y Rd OP sen OP uϕ= = ∧
ϕ
XY
OP xi yj zk= + +
cos cos cosRu i j kα β γ= + +R jβ γ
OCW-UPM
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2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos ( ) cos ( ) cos ( )2 2 2
d y z x z x yα β γβ β
= + + + + + −2 cos cos 2 cos cos 2 cos cosxy xz yzα β α γ β γ− − −
2 2 2I I I Iβ2 2 2cos cos cos2 cos cos 2 cos cos 2 cos cosR OX OY OZ
XY XZ YZ
I I I IP P P
α β γα β α γ β γ
= + + −
− − −
OCW-UPM
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2 2 2cos cos cosR OX OY OZI I I Iα β γ= + + −2 cos cos 2 cos cos 2 cos cosXY XZ YZP P Pα β α γ β γ− − −
En el planoEn el plano
2 2cos cos 2 cos cosR OX OY XYI I I Pα β α β= + −Y
R
α
β2 2cos sen sen2R OX OY XYI I I Pα α α= + −
αX
OCW-UPM
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Di i t i i l d i iDirecciones y momentos principales de inercia
De todas las posibles orientaciones hay algunas que proporcionan valores máximo y mínimo del momento de inercia
OCW-UPM
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Mét d d l lti li d d LMétodo de los multiplicadores de Lagrange
Espacio tridimensionalEspacio tridimensional
Espacio bidimensionalp
Método del círculo de Mohr (gráfico). Bidi i lBidimensional
OCW-UPM
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é
2 2 2cos cos cosR OX OY OZI I I Iα β γ= + + −
Método de los multiplicadores de Lagrange. Tridimensional
2 cos cos 2 cos cos 2 cos cosR OX OY OZ
XY XZ YZP P Pα β α γ β γ− − −
2 2 2( , , ) 0 cos cos cos 1 0f α β γ α β γ= + + − =
0R R RR
I I IdI d d dα β γα β γ
∂ ∂ ∂= + + =∂ ∂ ∂ Máximo o mínimo(1)β γ
0f f fdf d d dα β γ∂ ∂ ∂= + + = (2)0df d d dα β γ
α β γ+ +
∂ ∂ ∂(2)
(1) (2) 0 Mé d d l l i li d d L(1)-λ(2)=0 Método de los multiplicadores de Lagrange
OCW-UPM
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( )cos cos cos 0OX XY XZI P Pλ α β γ− − − =( )( )
cos cos cos 0
cos cos cos 0OX XY XZ
XY OY YZ
I P P
P I P
λ α β γ
α λ β γ− + − − =( )( )cos cos cos 0
XY OY YZ
XZ YZ OZP P I
β γ
α β λ γ− − + − =( )
λ PPI0=
−−−λ
λ XZXYOX
PIPPPI
0=−−−
−−−λ
λ
O
YZOYXY
IPPPIPλOZYZXZ IPP
OCW-UPM
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23 0 λλλλλλ →=+++ DCBA 321 ,,0 λλλλλλ →=+++ DCBA
( )cos cos cos 0I P Pλ α β( )( )
cos cos cos 0
cos cos cos 0OX XY XZI P P
P I P
λ α β γ
α λ β γ
− − − =
− + − − =( )( )
cos cos cos 0
cos cos cos 0XY OY YZ
XZ YZ OZ
P I P
P P I
α λ β γ
α β λ γ
− + − − =
− − + − =
Rrecta→→ λβαλ
( )cos cos cos 0XZ YZ OZP P Iα β λ γ+
22222
11111
,,,,
RrectaRrecta
→→→→
λβαλλβαλ
33333 ,, Rrecta→→ λβαλOCW-UPM
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βαβα coscos2coscos 22XYOYOXR PIII −+=
Método de los multiplicadores de Lagrange. Bidimensional
βαβα coscos2coscos XYOYOXR PIII +
2 2( ) 0 cos cos 1 0f α β α β= + − =
Má i í i
( , ) 0 cos cos 1 0f α β α β+
(1)0R R
RI IdI d dα βα β
∂ ∂= + =∂ ∂
Máximo o mínimo(1)
β
f f∂ ∂ 0f fdf d dα βα β∂ ∂
= + =∂ ∂
(2)
(1)-λ(2)=0 Método de los multiplicadores de LagrangeOCW-UPM
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( )cos cos 0OX XYI Pλ α β− − =( )( )cos cos 0
OX XY
XY OYP I
β
α λ β− + − =( )XY OY
0=−−
λλ XYOX
IPPI−− λOYXY IP
( ) 0)( 22 =++ PIIIIλλ ( ) 0)( =−+−−+ XYOYOXOYOX PIIIIλλOCW-UPM
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( ) 0)( 22 =−+−−+ PIIIIλλ ( ) 0)( =++ XYOYOXOYOX PIIIIλλ
( ) ( )( ) ( )2
4 22XYOYOXOYOXOYOX PIIIIII −−+±+
=λ
( )cos cos 0OX XYI Pλ α β− − =( )( )cos cos 0
OX XY
XY OYP I
β
α λ β− + − =
1111 , Rrecta→→ βαλ
2222 , Rrecta→→ βαλOCW-UPM
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( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
24
2 2 4OX OY OX OY OX OY XY OX OYOX OY
OX OY XY
I I I I I I P I II I I I Pλ+ ± + − − ++
= == ± − − =
( )2 2 2 2
2
2 2
2 4 42 2 2 4
2
OX OY OX OY OX OY OX OX OX OY OX OY XYOX OY XY
I I I I I I I I I I I I PI I P
I I I I I I I I I I
+ + + + + − +⎛ ⎞= ± − − = ± =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞22 2
222 4 2 2
OX OY OX OX OX OY OX OY OX OYXY
I I I I I I I I I IP+ + − + −⎛ ⎞= ± + = ± ⎜⎝
22
XYP+⎟⎠
2I I I I⎛ ⎞ 2
2 2OX OY OX OY
XYI I I I Pλ + −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟
⎝ ⎠
OCW-UPM
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Cí l d M hCírculo de Mohr
IOX > IOY
PXY>0
A (IOX, PXY)
R
• II •C
ED
ImaxImin
B (IOY, -PXY)
OCW-UPM
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IOX
R
PXY
● CD E
2ϕ
I i
●Imax2
OX OYI I−Imin max
-PXY
2
I 2I I⎛ ⎞IOY 2
2OX OY
XYI IR P−⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠OCW-UPM
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OX OY OX OYI I I II I CE R I R R− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟min 2 2
OX OY OX OYox oxI I CE R I R R= − − = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
max min 2 22 2
OX OY OX OYI I I II I R R R R+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = − + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
max min 2 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22OX OY OX OY OX OYI I I I I II R P λ+ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞± ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟2
max,min 2 2 2OX OY OX OY OX OY
XYI R P λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ± = ± + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
OCW-UPM
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Cuádrica: Es una superficie en el espacio n-dimensionalrepresentada por una ecuación de segundo grado en susrepresentada por una ecuación de segundo grado en susvariables
2 2 2 1Ax By Cz Dxy Exz Fyz G+ + + + + + =1Ax By Cz Dxy Exz Fyz G+ + + + + +
OCW-UPM
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ád dCuádrica de inercia
Recta R
• P(x y z)P(x,y,z)
Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que cumplenEs el lugar geométrico de los puntos del espacio que cumplen que el módulo del vector que une el origen de coordenadas y un punto P de una recta R, es la inversa de la raíz cuadrada del momento de inercia respecto a dicha recta
OCW-UPM
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2 2 2cos cos cosR OX OY OZI I I Iα β γ= + + −
2 cos cos 2 cos cos 2 cos cosR OX OY OZ
XY XZ YZP P Pβ γ
α β α γ β γ− − −
)coscos(cos kjiOPkzjyixOP γβα ++=++=
x ycos R
x x IOP
α = = cos Ry y I
OPβ = = cos R
z z IOP
γ = =
2 2 21 2 2 2OX OY OZ XY XZ YZI x I y I z P xy P xz P yz= + + − − −1 2 2 2OX OY OZ XY XZ YZI x I y I z P xy P xz P yz+ +
OCW-UPM
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2 2 21 2 2 2I I I P P P+ +2 2 21 2 2 2OX OY OZ XY XZ YZI x I y I z P xy P xz P yz= + + − − −
OXR II =
cos OXx x I
OPα = =
• P(x,0,0)cos 0OY
y y IOP
β = = =P(x,0,0)
cos 0OXz z I
OPγ = = =
OP
OCW-UPM
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Si las direcciones son principales
2221 III ++
los productos de inercia son nulos
2221 zIyIxI OZOYOX ++=
Ecuación de un elipsoide deEcuación de un elipsoide de semiejes a, b, c
2 2 22 2 2
2 2 21 x y za b c
= + +
1aI
= 1bI
=1cI
= Elipsoide de inerciaOXI
OYI OZI p
OCW-UPM
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l l l ió d liEn el plano, la ecuación corresponde a una elipse
l d l l d d lSi las direcciones son principales los productos de inercia son nulos
2b
y2 21 OX OYI x I y= +
2a 2 2x yEcuación de una elipse de semiejes a, b 2 21 x y
a b= +
a 1= b 1
=OXI
a =OYI
b =
OCW-UPM