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Diagnostic Pépite et Conceptions
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Plan
• Profils cognitifs en algèbre• Relecture possible en terme de conception– Objets de l’algèbre
• Étude de cas– Analyse a priori d’une tâche• Tentative d’interprétation des procédures en terme de
conception
– Reformulation en termes de conceptions (essais)
• Vers une esquisse de conceptions en algèbre
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Le domaine de l’algèbre élémentaireDimension objet
• Objets Expressions, formules, équations, fonctions Statuts des lettres : variable, indéterminée, inconnue
• Systèmes de représentation représentation symbolique algébrique articulation avec d’autres systèmes de représentation
Dimension outil, selon les champs de problèmes• Outil de résolution
via leur mise en équation problèmes (arithmétiques ou non) modélisés sous forme d’équations
via modélisation de problèmes intra ou extra mathématiques modélisés sous forme de relations fonctionnelles entre données et variables de généralisation et de preuve (cadres numérique et géométrique) de calcul (cadres algébrique et fonctionnel)
Modèle de la compétence algébrique à ce niveau scolaire
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Diagnostic
• Déterminer les compétences et les connaissances des élèves en algèbre : • étude des procédures utilisées pour résoudre des
problèmes du domaine algébrique• Diagnostic
– 20 taches diagnostiques et une grille d'analyse multidimensionnelle (dimensions et critères)
– Niveau microscopique : codage des réponses– Niveau macroscopique : Profils cognitifs en algèbre– Caractéristiques personnelles : %, leviers et fragilités– Echelle de compétence
– Stéréotype : 3 dimensions (usage de l'outil algébrique, traduction, calcul algébrique)
os
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UA : Usage de l’outil algébrique • UA4 : Outil algébrique non disponible et conception arithmétique :
– du connu vers l’inconnu– « = » annonce de résultat– lettre étiquette– preuve par l’exemple
• UA3 : Pseudo-algébrique :
– usage de « lettre-objet »
– « pseudo » règles de formation, de traduction
– « = » non équivalence (abréviation)
• UA2 : Algébrique dans un domaine d’application privilégiant un des statuts de la lettre
– erreurs de traduction si reformulation nécessaire • UA1 : Algébrique
– disponibilité de l’outil algébrique et mobilisation adaptée.– adaptabilité du statut des lettres en lien avec les classes de problèmes
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Échelles sur la composanteUsage de l’algèbre (UA)
• Plusieurs conceptions peuvent cohabitées.– UA 4 : démarche arithmétique privilégiée sur les différents types
de problèmes (modélisation, preuve)
– UA 3 : pseudo algébrique dans un domaine majoritaire
– UA 2 : algébrique sur un domaine d’application majoritaire limité à un ou 2 types de problèmes (statut des lettres) et peu complexes (affines, congruents)
– UA 1 : algébrique sur un vaste domaine d’application, problèmes de tous types, congruents ou non
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Composante : calcul algébrique (CA)• CA3 : Cohabitation de plusieurs conceptions dans un ensemble de pbs
(preuve, …) dont pseudo-structurale mettant en jeu des règles de formation et de transformation incorrectes du type concaténation (= « abréviation », lettres-objets non liés à nombre)
• CA2 : Traitement essentiellement syntaxique avec des erreurs récurrentes de transformation privilégiant une conception procédurale des expressions (lettre évaluée, cohabitation = « annonce résultat », équivalence, équivalence expressions non mobilisée, ….)
• CA1: Traitement algébrique prenant en compte les aspects syntaxique et sémantique des expressions s’appuyant sur une adaptabilité dans l’interprétation des expressions selon les usages visés (conception structurale).
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Composante : traduction algébrique
• blabla
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Odile, Jules, Bertille
• Odile :– UA3, TA3, CA2
• Jules– UA3, TA2, CA3
• Bertille– UA2, TA1, CA2
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Relecture possible
• Réinterpréter les règles d’action– Théorèmes en actes, propriétés en actes
– Relativement à des concepts en jeu dans la résolution
• Difficultés– Analyse multidimensionnelle : articuler les conceptions
relatives à plusieurs concepts• Un vs plusieurs concepts
– Cohabitation de plusieurs conceptions
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Preuve et programme de calcul
Preuve et programme de calcul (1)
Solutions Codes Conceptions
3 + 8 = 1111 × 3 = 3333 - 4 = 2929 + 3 = 3232/4 = 88 + 2 = 1010 - 3 = 7
V3 incorrecteL5 pas de lettresJ2 justification : par l’exempleT2 traduction pas-à-pas séparéeCN1 calcul correct
Preuve : par l’exempleÉgalité : annonce de résultatExpression : processus
x + 8 = 8x8x3 × 8x = 24+3x= 27x27x-4 = 23x23x+x=24x24x/4=6x6x+2=8x8x-x=7
V3 incorrecteL3 lettres et règles faussesJ31 pseudo-formelleT2 traduction pas-à-pas séparéeEA42 assemblage
Preuve : formelleÉgalité : annonce de résultatExpression : processus et résultatEquivalence d’expressions : assemblage
Preuve et programme de calcul (2)
Solutions Codes Conceptions
5+8 =13 × 3=39-4 =35+5=4040/4=10 10+2=12 12-5= 7
V3 incorrecteL5 pas de lettresJ2 justification par l’exempleT4 traduction pas-à-pas enchainéeCN1 calcul correct
Preuve : par l’exempleÉgalité : annonce de résultat et abréviationExpression : processus
[ x+8] × 3 = 3x+24-4 = 3x+20 = 4x+20 = [4x+20]/4 = x+5 = x+5+2 =x+7 = x+7-x = 7
V3 incorrecteL3 lettres et règles faussesJ31 pseudo-formelleT4 traduction pas-à-pas enchainéeEA 1 calcul correct
Preuve : formelleÉgalité : abréviationExpression : processusEquivalence d’expressions : correcte dans le premier degré ?
Preuve et programme de calcul (3)Procédure Code Conceptions
(3+8 × 3-4+3)/4+2-332/4+2-38+2-310-3
V3 incorrecteL5 pas de lettresJ2 par l’exempleT3 globale non parenthéséeCN1 : calcul correct
((5+8)×3-4+5)/4+2-5=7 ?((13)×3-4+5)/4+2-5=7 ?(39-4+5)/4+2-5=7 ?10+2-5=7 ?10-3=7 ?7=7 ?
V3 incorrecteL5 pas de lettresJ2 par l’exempleT2 équation, globale parenthèséeEA1 : écriture alg. correcte
((x + 8) × 3 - 4 + x) / 4 + 2 - x=( 3x + 24 - 4 + x)/4 + 2 - x=(4x +20) / 4 + 2 - x=x + 5 + 2 - x=7
V1 correcteL1 nb généraliséJ2 preuve par l’exempleT1 globale, parenthéséeEA1 : écriture alg. correcte
Preuve algébriqueÉgalité : équivalence et identitéExpression : résultat respectant la structure
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Égalité
• Conceptions sous-jacentes aux règles d’action mobilisant l'égalité ?• Caractéristiques :
– Relation d'équivalence
– Conservation de l'égalité par opérations
•Conceptions– Abréviation
• (P) Production d’expressions numériques, (R) Règles de traduction, (L) Symbolique, (Σ) Perceptif
– Annonce de résultat : priorité à l'évaluation du calcul
– Relation d'équivalence
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Conceptions sur l’égalité (1)
Conception AbréviationAnnonce de résultat
Equivalence
Relation d’équivalence
Non Non symétrique oui
Conservation de l’égalité par opération
Non Non oui
UA 3 2/3 1
TA 3 2/3 1
CN 3 2/3 1
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Conceptions sur l’égalité (2)
Conception AbréviationAnnonce de résultat
Equivalence
Ensemble de problèmes
Production d’expressions
Calcul réfléchiProduction d’expressionsRésolution d’équations …
OpérateursRègles de traduction
Règles de traduction, transformation
ReprésentationsSymbolique ou numérique
Contrôle Perceptif Arithmétique
Variables didactiques
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Expressions• Conceptions sous-jacentes aux règles d’action pour
interpréter une expression ?• Caractéristiques
– Écriture symbolique liée à la structure d'expression – Dénotation d'une expression– Adaptabilité dans l'interprétation d'une expression
• Registre des écritures algébriques• En articulation avec d'autres registres
• Type de problèmes– Développement, factorisation – Variables didactiques
• Nature et complexité de l'expression
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Conceptions sur les expressions
ConceptionPseudo structural
Procédural Structural
Exemples d’opérateurs
an + bn = abn
a2 = 2a (a+b)2 =a2+ b2 (a+b)2 =a2+b2 +2ab
Dénotation conservée
Non Non Non
Structural Non Non Procédural/ syntaxique
Distinction résultat / processus
Non Oui Oui
CA3 CA3 CA2
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Équivalence des Expressions
• Conceptions sous-jacentes aux règles d’action pour transformer une expression ?
• Caractéristiques– Conservation de la dénotation par application d’identités– adaptabilité entre aspects procédural / structural,
syntaxique /sémantique – Distinction processus/résultat d’un calcul
• Type de problèmes– Développement, factorisation – Variables didactiques• Nature et complexité de l'expression
4 conceptions principales• Conception : assemblage
– Contrôle :• Obtenir un résultat sans signe opératoire• Ex : an + bn = abn
• Conception linéarisation– Contrôle :
• via des expressions 1e degré• Ex : x² → 2x ;
• Conception : procéduro-syntaxique– Contrôle :
• Application d’une règle (souvent fausse) sans contrôle de la dénotation• Ex : a2 + b2 = (a + b)2, a2 = 2a
• Conception : identité
4 conceptions principalesConception Assemblage Linéarisation Syntaxique Identité
Exemples d’opérateurs
an + bn = abn a2 = 2a a2 + b2 = (a+b)2 2ab +a2 + b2 = (a+b)2
Dénotation conservée
Non Non Non Oui
Reconnaissance de la structure
Non Non Non Oui
Distinction résultat/processus
Non Oui Oui Oui
Niveau Calcul algébrique
CA3 CA3 CA2 CA1
Contrôle Résultat sans signe opératoire
Application de règle sans contrôle de dénotation
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Équivalence des expressions (2)Conception Assemblage Linéarisation
Procéduro-Syntaxique
Identité
Ensemble de problèmes
Ex.2,4,9,6,16
Opérateursan + bn = abn a2 = 2a a2 + b2 = (a+b)2 2ab +a2 + b2 =
(a+b)2
Représentations Symbolique Symbolique Symbolique Symbolique
Contrôle Perceptif Perceptif
Application de règle sans contrôle sémantique
Contrôle syntaxique et sémantique, appui sur structure
Variables didactiques
Somme de puissances
PuissancesTransformations usuelles
Idem+ reformulations
Conceptions Preuve
Conceptions Traduction
Conception Jules
Notions Conceptions Domaine
Égalité annonce de résultat 9.2, 20
Expressions Pseudo structural
Équivalence d’expressions 1-Assemblage2-Procéduro-syntaxique
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Traduction
Preuve
Conception Odile
Notions Conceptions Domaine
Égalité
Expressions
Équivalence d’expressions
Traduction d
Preuve
Conception Caroline
Notions Conceptions Domaine
Égalité
Expressions
Équivalence d’expressions
Traduction d
Preuve
Perspectives
• Plusieurs concepts
• C’est quand il y a un décalage qu’on va pouvoir jouer