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SS 2002 1
1. Eine kurze Einführung in mathe-matische und statistische Hilfsmittel.Motivation:
Wiederholung einiger einfacher mathematischer Konzepte, die immer wieder benötigt werden.
Kurze Einführung in die empirische Wirtschaftsforschung.
Wenn Sie sie einmal verstanden haben, haben Sie später „den Kopf frei“ für die ökonomischen Inhalte.
Übung an Hand konkreter Beispiele aus dem späteren Lehrstoff.
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SS 2002 2
Inhalt•Bestands- und Stromgrößen
•Indizes
•Wachstumsraten
•Näherungsformeln
•Geometrische Reihen
•Funktionen und ihre Graphen
•Gleichungen, Gleichungssysteme, Gleichgewichte
•Empirische Wirtschaftsforschung
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SS 2002 3
1.1 Bestands- und Stromgrößen
•Bestandsgrößen:
•Beziehen sich auf einen Zeitpunkt
•Z. B. Gewicht, Zahl der Studierenden, Bilanzposten, Preisniveau, Arbeitslosenquote,...
•Stromgrößen:
•Beziehen sich auf einen Zeitraum
•Z. B. Gewichtszunahme, Erträge in der Buchhaltung, BIP, gesamtwirtschaftlicher Konsum
Zusammenhang zwischen Bestands- und Stromgrößen.
Ersparnis = Stromgröße = Veränderung der Bestandsgröße „Vermögen“
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SS 2002 4
1.2 Indizes•„Normierung“ von unhandlichen Größen.
•Drücken eine Größe in Prozent ihres Werts in der „Basisperiode“ aus.
100*0X
XXI t
t
•Index hat den Wert 100 in der Basisperiode.
•Beispiele:
•Index der Geldmenge
•Verbraucherpreisindizes (z. B. VPI 1995)
•Index des Bruttoinlandsprodukts
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SS 2002 5
1.3 WachstumsratenWachstumsrate einer Variable X in Periode t:
1111
1
t
t
t
t
t
ttX X
XXX
XXX
g
Beispiel: Wachstumsrate der Geldmenge (M1) im Euroraum im Jahr 2000
Bestand per M1 (in Mrd. €, gerundet)
Index von M1(Basis: 31. Dez. 1998)
31. Dez. 1999 1.959 109,6
31. Dez. 2000 2.076 116,2
%0,6060,01109,6116,2
1959.1076.2
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SS 2002 6
Näherungsformeln
Nominelles Wirtschaftswachstum
= RealesWirtschaftswachstum
+ Inflationsrate
$y = y + π
Beispiel:
0
$
1 1$1
πyπyy
πyy
Bitte nicht verwechseln:
„Prozent“ und „Prozentpunkte“!
ba10
abba1b1 a1
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SS 2002 7
1.5 Geometrische Reihen
aa
aaan
n
11
...11
2 1 für 1
11
1lim
1
a
aaan
n
Beispiel: „Multiplikatorprozeß“
e"Konsumquot marginale" ... c
Ausgaben autonomen"" der gVeränderun ... ΔA
menschtseinkomGleichgewi des gVeränderun ... ΔY
c11
ΔA
...) c...ccΔA(1
... ΔAc...ΔAcΔAcΔAΔY
1
1
n1
211
n1
211
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SS 2002 8
1.6 FunktionenFunktionen mit einer unabhängigen Variablen
y „abhängige Variable“, „Funktionswert“, „endogene Variable“
x „unabh. Variable“, „erklärende Variable“, „Argumentwert“, „exogene Variable“
xfy
Positiver Zusammenhang Negativer Zusammenhang
)(
xfy )(
xfy
0dxdy
0dxdy
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SS 2002 9
Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen
nxxxfy ,...,, 21
0,0
),(
21
-21
xy
xy
xxfy
Beispiel: „Phillips-Kurve“
Allgemeine Form: Eine einfache spezielle Form:
)()(),(
uπfπ e
tt uππ ett
partielle Einflüsse, „ceteris paribus“ ...
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SS 2002 10
Wie wirkt die Veränderung einer unabhängigen Variablen xi auf y?
ninii xxxfxxxxfy ,...,,...,,...,Δ,...,Δ 11
Oder:
ii x
yxy
ΔΔ
Beispiel: Veränderung des Gleichgewichtseinkommens, wenn die
Staatsausgaben um 100 erhöht werden ...
abenStaatsausg...
nen,Investitio... mmen,ichtseinko.Gleichgew..
e,Konsumquot marginale... Konsum, autonomer...c
200.G ,200 ,100 ,6,0 mit ,1
1
10
0101
G
IY
c
IccGIcc
Y
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SS 2002 11
Lösungsweg 1:
Ausgangssituation: Einsetzen ergibt: Y = 1.250.
Nach der Veränderung der Staatsausgaben: Y = 1.500. ∆Y = 250.
Lösungsweg 2:
.250100*2,5GΔ2,5YΔ
.5,21
1
1
cGY
„Totales Differential“: nn x
ydx
xy
dxxy
dxdy
...2
21
1
Beispiel: „Erlösfunktion“
pdqqdpqR
dqpR
dpdR
qpRpqR
**
Menge... Preis,... .Erlöse,..
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SS 2002 12
1.7 Graphen
)(xfy
A b s z is s e n a c h s e
O rd in a te n a c h s e
x b z w . x i
I
II III
IV
0
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SS 2002 13
Y D
C
c 0
0
C
Y D
DYC
cΔΔ
1
DYccC 10
Graphen linearer Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
xb a ySteigungKonstante
Beispiel: „Keynesianische Konsumfunktion“
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SS 2002 14
Beispiel: „IS-Kurve“:
Y = a + bi, b < 0
a
„IS-Kurve“
i
Y
0
i
Y
iY
bΔΔ
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SS 2002 15
Graphen linearer Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen
y
x1
),...,,( 21 nxxxfy
),...,,( 2 nxx0f
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SS 2002 16
Beispiel: „Nettoexportfunktion“ (vereinfacht) )*,()()(
YYfNX
Relation)- (alte *),( 00 NXYYfNX
NX
0 Y
Relation)- (neue *),( 11 NXYYfNX
*0
*1 YY
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SS 2002 17
1.8 Gleichungen, Gleichungssysteme, GleichgewichteGleichungen und Identitäten
Gleichungen: Spezielle Beziehung zwischen Variablen
Beispiel: „Gleichgewichtsbedingung“ im Gütermarkt
200.2
55025,0
30020075,050
300 ,200 ,75,0,50
)(
)(
10
10
Y
Y
YY
GIcc
YccYC
GIYCY
Identitäten: Beziehung zwischen Variablen, die immer gilt.
Beispiel: „Aggregierte Nachfrage“ GICZ
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SS 2002 18
Gleichungssysteme
„Lösung“ eines Gleichungssystems: Eine Kombination von Variablen in allen Gleichungen, die mit allen Gleichungen vereinbar ist. Solche Lösungen begegnen uns häufig in Form von makroökonomischen Gleichgewichten.
•Rechnerische Lösung
•Grafische Lösung
Beispiel: Gleichgewicht im Geldmarkt
240M 0,2i :Lösung
50i250240
MM
50i250M
daher 1.000, $Ywobei 0,2i),0,25$Y(1M
240M
:Lösung heRechnerisc
ds
d
d
s
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SS 2002 19
Grafische Lösung:
0 , 2 0
2 4 0 2 5 0 M S , M d
i M s
),( YiM d
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SS 2002 20
„Komparativ-statische Analysen“:
•Veränderungen von Gleichgewichten
•Vergleich von „altem“ und „neuem“ Gleichgewicht
•Keine „dynamischen“ Betrachtungen
•Entwicklung von Variablen über die Zeit
•Anpassungsgeschwindigkeit
Beispiel: Geldmarkt-Gleichgewicht.
Wie verändert es sich, wenn sich das Geldangebot Ms erhöht?
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SS 2002 21
1.9 Empirische Wirtschaftsforschung„Ökonometrie“
Kursentwicklung der europäischen Währungen gegenüber dem US-Dollar:Jänner 1986 bis September 2001 (Monats-Mittelwerte)
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
Jän.8
6
Jul.86
Jän.8
7
Jul.87
Jän.8
8
Jul.88
Jän.8
9
Jul.89
Jän.9
0
Jul.90
Jän.9
1
Jul.91
Jän.9
2
Jul.92
Jän.9
3
Jul.93
Jän.9
4
Jul.94
Jän.9
5
Jul.95
Jän.9
6
Jul.96
Jän.9
7
Jul.97
Jän.9
8
Jul.98
Jän.9
9
Jul.99
Jän.0
0
Jul.00
Jän.0
1
Jul.01
Monat
US
$ je E
CU
bzw
. Euro
ECU-Kurs Euro-Kurs
1. J än. 1999:Einführung des Euro
Datenplots
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SS 2002 22
Hinweise auf paarweise Zusammenhänge („Korrelationen“)
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Jahr
Arb
eit
slose
nq
uote
(in
%)
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
Verä
nd
eru
ng
der
Infl
ati
on
srate
(in
%-P
un
kte
n)
Arbeitslosenquote Veränderung der Inflationsrate (in %-Punkten)
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SS 2002 23
Austria: Modified Phillips curve (1988 - 2000)
2000
1988
y = -0.9024x + 5.6755R2 = 0.3403
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
4.75 5.00 5.25 5.50 5.75 6.00 6.25 6.50 6.75 7.00 7.25 7.50
x: unemployment rate (national definition, percent)
y:
Ch
an
ge
of
the
in
flati
on
rate
(pe
rce
nta
ge
po
ints
)
Lineare Regression
Bestimmung einer linearen Gleichung die „optimal“ zu einer „Punktwolke“ von Daten paßt.
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SS 2002 24
Verwendung von Regressionsergebnissen:
•Bestimmung von Funktionsparametern
•Signifikanz-Tests liefern Aufschluß über die „Gültigkeit“ von postulierten theoretischen Zusammenhängen.
•Einfachregression
•„Multiple“ (Mehrfach-) Regression