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1
FUNÇÃO FUNÇÃO MODULARMODULAR
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1. MÓDULO – Definição1. MÓDULO – DefiniçãoConsiderando a reta orientada que representa todos os números reais, conhecida como eixo realeixo real, com origem no ponto O, que é onde representamos o número real 0 (zero).
3 3
2
Dizemos que módulomódulo de um número real x é a “distância” do pontoa “distância” do ponto que representa x no eixo (afixo) à origemà origem do eixo real.
4 4
0 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(Comprimento do segmento de reta entre 0 e 3)(Comprimento do segmento de reta entre 0 e -4)
(Comprimento do segmento de reta entre 0 e 0)
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1. MÓDULO – Definição1. MÓDULO – Definição
3
Deste modo, podemos dizer que:
Perceba que se o número énúmero é positivo positivo o módulo o módulo éé ele mesmo ele mesmo, se é zero, o módulo é zero, se ése é negativo, negativo, o módulo é o módulo é o oposto do númeroo oposto do número.
Sendo x ϵ R, temos:
0,
0,
xsex
xsexx
negativoforxsexsedeleopostoox
zerooupositivoforxsexsemesmoelexx
0,
0,
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1. MÓDULO – Definição1. MÓDULO – Definição
3 3
4
4 4
0 0
Exemplo 1) defina os módulos a seguir.
a)
b)
c)
d) 12 .12,12 positivoépois
e) 23 .23,2323 negativoépois
Exemplo 2) Dê o valor da expressão:222
Cuidado! é negativo!
22 222
222 222 222 2
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063,63
063,6363
xsex
xsexx
1. MÓDULO – Definição1. MÓDULO – Definição
5
Exemplo 3) defina o módulo a seguir:63 x
negativoforelesedeleopostoo
zerooupositivoforelesemesmoelex
,
,
2,63
2,6363
xsex
xsexx
63 x
3
6x
2x
63 x
3
6x
2x
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1. MÓDULO – Definição1. MÓDULO – Definição
Sendo x ϵ R, temos:
0,
0,
xsex
xsexx
020,20
020,2020
22
222
xxsexx
xxsexxxx
202 xx
0202 xx
51 x 42 x
x5 – – – – – –– – – – – –
+ + ++ + +
4
+ + ++ + +
45 x 6
Exemplo 4) Aplique a definição de módulo para a sentença:
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1. MÓDULO – Definição1. MÓDULO – Definição
Agora que sabemos a parte positiva e a parte negativa da sentença estudada, temos:
45,20
45,2020
2
22
xsexx
xouxsexxxx
De modo resumido podemos dizer:
)0(,
)0(,
negativaéelasedelaopostoo
nulaoupositivaéelasemesmaelasentença
7
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062,62
062,6262
xsex
xsexxxf
2. FUNÇÃO MODULAR2. FUNÇÃO MODULARChamamos de função modular toda função definida pela forma: xxf
O que aplicando a definição de módulo se reduz a:
0,
0,
xsex
xsexxxf
Observe a função:
3,62
3,6262
xsex
xsexxxf
8
62 x
2
6x
3x
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3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico3. FUNÇÃO MODULAR – GráficoEX.1) Construa o gráfico da função:
1211,0: xxfRf
012,12
012,1212
xsex
xsexx
2
1x
2
1x
Rf 1,0:9
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2
1
3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico
2
10,121
12
1,121
121xsex
xsexxxf
121 xxf
x y
2/1110
12
1x
121 xxf
x y
02/101
2
10 x
0 1
1
10
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3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico
Ex.2) Construa o gráfico da função: 962 xxxf
962 xx 23 x2x 32 x 23
962 xxxf
23 xxf
3 xxf11
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3xxf
03,3
03,3
xsex
xsex 3x3x
3, xse
3xxf
3, xse
3 xxf
x y
3
4
0
1
x y
2
3
1
0
12
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3 4
1
0 2x y
3
4
0
1
x y
2
3
1
0
3, xse
3, xse
13
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EX.3) Esboce, num mesmo plano cartesiano, os
gráficos das funções definidas por e
e apresente os valores reais de x para
os quais:
3 xxf
3 xxg
xgxf
x
0,
0,
xsex
xsex
3x
03,3
03,3
xsex
xsex 3x3x
14
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0
3
0 3
x x x
3x 3 x 3 x
0, xse 30, xse 3, xse
xgxf
33 xx
xgxf
33 xx
xgxf
33 xx15
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0, xse 30, xse 3, xse
xgxf
33 xx
xgxf
33 xx
xgxf
33 xx
33 xx
33
x
33 xx
62 x
3x
33 xx
00
x
16
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xSe,
0,
0,
xsex
xsex
3 xxf
0, xse
3xxf
0, xse
3 xxf
x y
0
1
3
2
x y
0
1
3
217
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3 xxg
3, xse
3xxg
3, xse
3 xxg
3, xSe
03,3
03,3
xsex
xsex 3x3x
x y
3
4
0
1
x y
2
3
1
0
18
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3 4
1
0 2
3 xxf
0, xse 0, xse
x y
0
1
3
2
x y
0
1
3
2
2
3
11 3 xxg
3, xse 3, xse
x y
2
3
1
0
x y
3
4
0
119
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Esboce o gráfico e determine o domínio e o
conjunto imagem da função: . xxxf 42
x
0,
0,
xsex
xsex
xxxf 42
0, xse
xxxf 42
0, xse
xxxf 42
20
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0, xse
xxxf 42
0, xse
xxxf 42
x y
01
03
2 4
x y
21
43
0 00
2
2
3
11
4
2
21
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P4.
000 xxerealxparax
4. PROPRIEDADES DOS MÓDULOS4. PROPRIEDADES DOS MÓDULOS
P1.
axouaxax P2.
yxouyxyx P3.
yxyx
0 ycomyxyxP5.
*2 2 , Nnparaxxn n P6.
axaax P7.
axouaxax P8. 22
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Quais são os números que têm módulo menor que 2?(neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é menor que 2)
5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULARPara entender o que é uma equação modular vamos observar a situação abaixo:Quais são os números que têm módulo igual a 2?(neste caso queremos saber quais os números cuja distância até o zero é 2)
23
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
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Quais são os números que têm módulo maior que 2?(neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é maior que 2)
5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULARPara entender o que é uma equação modular vamos observar a situação abaixo:
24
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
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5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULARChamamos de equação modular toda equação definida pela forma: ax
O que aplicando a definição de módulo se reduz a:
, 0
, 0
x se xx
x se x
Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações:
25
ax ax ax
ou
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5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULAR
26
Exemplo 1) Resolva a equação732 x
032,32
032,3232
xsex
xsexx
2
3,32
2
3,32
32xsex
xsexx
32 x
2
3x
Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações:732 x o
u 732 x
372 x
2
10x 5x
732 x372 x
42 x 242 x2x
5,2S
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5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULARPerceba o seguinte, a equação:
2 3 7x
Acabou se reduzindo a outras duas equações:
2 3 7x
27
ou 2 3 7x
Assim podemos simplificar o processo, mas neste caso, não podemos deixar de observar se as respostas encontradas em cada equação verificam a condição de existência de cada uma delas (ou seja, se estão dentro do intervalo no qual elas se estão dentro do intervalo no qual elas estão definidasestão definidas).
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035,35
035,3535
22
222
xxsexx
xxsexxxx
5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULAR
28
Exemplo 2) Resolva a equação 3352 xx
Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações:2 5 3 3x x o
u
2 5 3 3x x 2 5 6 0x x 25 4 1 6 49
5 49
2 1x
' 6x " 1x
2 5 0x x 5 0x x 0x 5 0x
5x
1,0,5,6S
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5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULAR
29
Exemplo 3) Resolva a equação5 2 7x x
Para resolver este tipo de equação modular vamos primeiro lembrar de uma das propriedades estudadas anteriormente:
5 2 7x x ou
5 2 7x x
5 7 2x x 12 x
2
3x
5 2 7x x
2,123
S
yxouyxyx
Aplicando este conceito na nossa equação teremos:
2 7 5x x 3 2x
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5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULAR
30
Exemplo 4) Resolva a equação2
12 0x x
Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro efetuar a seguinte substituição:
2 12 0m m 3x 21 4 1 12 49
' 3x
3x
3,3S
x m
Deste modo a equação se reduzirá a:
1 49 1 7
2 1 2x
" 4x
Agora basta fazer:
ou
3x
4x
x R
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5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULAR
31
Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação2 1 5 0x x x
Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que aparecem na expressão:
2, 2 0
22 , 2 0
x se xx
x se x
1, 1 0
11 , 1 0
x se xx
x se x
2x
2x
1x
1x
Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir, chamado de QUADRO SOMAQUADRO SOMA:
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5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULAR
32
Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação2 1 5 0x x x
1
2
1 2
1x 1x 1x
2x 2x 2x
2 1x 32 1x
, 1se x , 1 2se x , 2se x
2 1 5 0x x 3 5 0x 2 1 5 0x x 7 1x 1
7x
5 3x 3
5x
3 1x 1
3x
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5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULAR
33
Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação2 1 5 0x x x
Perceba que a equação dada se transformou em se transformou em outras trêsoutras três, e cada uma delas possui uma condiçãocondição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições:
CONCLUSÃO: a resposta NÃONÃO atende a condição.
, 1se x
1
7x Resp
.:Cond.:
CONCLUSÃO: a resposta ATENDEATENDE a condição.
, 1 2se x
30,6
5x Resp
.:Cond.:
CONCLUSÃO: a resposta NÃONÃO atende a condição
, 2se x
1
3x Resp
.:Cond.:
3
5S
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5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULAR
34
Exemplo 6) Resolva a equação2 2 1 6 0x x x
Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que aparecem na expressão:
2, 2 0
22 , 2 0
x se xx
x se x
2 1, 2 1 0
2 12 1 , 2 1 0
x se xx
x se x
2x
2x
1
2x
1
2x
Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir, chamado de QUADRO SOMAQUADRO SOMA:
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5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULAR
35
1
2
2
1
2 2
2 1x 2 1x 2 1x
2x 2x 2x
3 1x 3x 3 1x
1,
2se x
1, 22
se x , 2se x
3 1 6 0x x 3 6 0x x
3 1 6 0x x
4 5 0x 5
4x 3 0
2 7 0x 7
2x
Exemplo 6) Resolva a equação2 2 1 6 0x x x
x R
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5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULAR
36
Perceba que a equação dada se transformou em se transformou em outras trêsoutras três, e cada uma delas possui uma condiçãocondição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições:
CONCLUSÃO: a resposta ATENDEATENDE atende a condição.
1,
2se x
5
4x Resp
.:
Cond.: CONCLUSÃO:
não existe valor de x.
1, 22
se x
3 0 Resp.:Cond.:
CONCLUSÃO: a resposta ATENDEATENDE atende a condição
, 2se x
7
2x Resp
.:Cond.:
5 7,5 2
S
Exemplo 6) Resolva a equação2 2 1 6 0x x x
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Quais são os números que têm módulo menor que 2?(neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é menor que 2)
6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULARPara entender o que é uma inequação modular vamos observar as situações abaixo:
37
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Quais são os números que têm módulo maior que 2?(neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é maior que 2)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULARPodemos enunciar o que vimos através de duas propriedades que já estudamos:
38
axaax P7.
axouaxax P8.
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR
39
Exemplo 1) Resolva a inequação7x
Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo menor que 7, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:
7 7x
7 7S x R x
-7 0 7
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR
40
Exemplo 2) Resolva a inequação
Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo maior ou igual a 3, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:
3 3x ou x
3 3S x R x x
3x
-3 0 3
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR
41
Exemplo 3) Resolva a inequação2 3 5x
Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 5, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: 5 2 3 5x
1,4S
Esta sentença é uma inequação simultânea (sistema de inequações) do 1º grau, que pode se resolvida de modo direto:5 3 2 3 3 5 3x
2 2 8x
2 2 8
2 2 2
x
1 4x
Soma-se 3 a todos os membros.
divide-se todos os membros por 2
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR
42
Exemplo 4) Resolva a inequação3 5 1x
Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 1, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:3 5 1 3 5 1x ou x
Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 1º grau:3 5 1x
3 1 5x 4
3x
3 5 1x 3 1 5x
6
3x
2x
42
3S x R x ou x
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR
43
Exemplo 5) Resolva a inequação2 2x x
Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 2, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:2 22 2x x ou x x
Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau:2 2 0x x
2 2 0x x 7
Raízes:
x R Est. do sinal:
+ + ++ + + + + ++ + +
2 2 0x x
2 2 0x x Raízes:
' 2x
Est. do sinal:
' 1x
– – – – – – + + ++ + ++ + ++ + +
1 2x ou x
1 2
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR
44
Exemplo 5) Resolva a inequação2 2x x
Pronto, agora basta fazer a UNIÃOUNIÃO das duas respostas encontradas (união por causa do “ou”):
1 2
1 2
1 2S x R x ou x
x R 1 2x ou x
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR
45
Exemplo 6) Resolva a inequação2 4 3 3x x
Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 3, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: 23 4 3 3x x Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau:23 4 3x x
2 4 6 0x x 12
Raízes:
Est. do sinal:- - -- - - - - -- - -
2 4 3 3x x
2 4 0x x Raízes:
' 0x
Est. do sinal:
' 4x
– – – – – – + + ++ + ++ + ++ + +
0 4x 0 4
2 4 6 0x x 2 4 0x x
Rx
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR
46
Pronto, agora basta fazer a INTERSECÇÃOINTERSECÇÃO das duas respostas encontradas (intersecção por causa do “e”):
0 4
0 4
0 4S x R x
Exemplo 6) Resolva a inequação2 4 3 3x x
0 4x Rx
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR
47
Exemplo 7) Resolva a inequação
Neste caso, primeiro devemos definir cada um dos módulos:
Agora, vamos construir um QUADRO SOMAQUADRO SOMA para que possamos obter a sentença resultante da soma dos módulos.
5242 xx
042,42
042,4242
xsex
xsexx
2,42
2,4242
xsex
xsexx
02,2
02,22
xsex
xsexx
2,2
2,22
xsex
xsexx
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR
48
Exemplo 7) Resolva a inequação 5242 xx
2
2
22 x 2x 2x
42 x 42 x 42 x
23 x 6 x 23 x
2
2x 22 x 2x
523 x
33 x 133 x 1x
56 x1 x 11x
523 x73 x3/7x
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR
49
Perceba que a inequação dada se transformou em se transformou em outras trêsoutras três, e cada uma delas possui uma condiçãocondição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições:
CONCLUSÃO: faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que a resposta é VAZIO VAZIO (conjunto (conjunto vazio)vazio).
Resp.:
Cond.: CONCLUSÃO:
faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que resposta é:
Resp.:Cond.: CONCLUSÃO:
faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que resposta é:
, 2se x
Resp.:Cond.:
Exemplo 7) Resolva a inequação 5242 xx
1x
2x
1x
22 x
21 x
3/7x
3
72 x
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6. EQUAÇÃO MODULAR6. EQUAÇÃO MODULAR
50
Agora basta fazer a UNIÃOUNIÃO dos intervalos encontrados.
Exemplo 7) Resolva a inequação 5242 xx
1 2
23
7
13
7
21 x
3
72 x
3
71 xS
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR
51
Exemplo 8) Resolva a inequaçãoNeste caso, primeiro devemos definir o módulo:
Agora, substitua na expressão original o módulo por cada uma das sentenças obtidas, gerando assim duas inequações, cada uma delas com seu respectivo intervalo de variação (condiçãocondição).
2 3x x
2 3, 2 3 0
2 32 3 , 2 3 0
x se xx
x se x
32 3,
22 33
2 3,2
x se xx
x se x
2 3x x 2 3x x 3x
2 3x x 2 3x x
1x 3 3x
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6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR
52
Exemplo 8) Resolva a inequação2 3x x
2 3x x 2 3x x 3x
2 3x x 2 3x x
1x 3 3x
Perceba que a inequação dada se transformou em se transformou em duasduas, e que você já resolveu cada uma delas. E E AGORA?AGORA? Agora você precisa perceber que cada uma dessas respostas possui uma condiçãocondição (intervalo de variação dos valores de x) e que você precisa “cruzar” os dois:
Cond.:
3
2x
CONCLUSÃO: fazendo a interseção dos dois intervalos:
33
2x
Cond.:
3
2x
CONCLUSÃO: fazendo a interseção dos dois intervalos:
31
2x
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6. EQUAÇÃO MODULAR6. EQUAÇÃO MODULAR
53
Agora basta fazer a UNIÃOUNIÃO dos intervalos encontrados.
Exemplo 8) Resolva a inequação
13
23
2 3
1 3
1 3S x
2 3x x
33
2x
31
2x