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More than a paradigm, swarms are almost, at times, an archetype.
Millonas, 1993 zitiert aus„Swarm Intelligence“; Kennedy & Eberhart
Ausarbeitung und Vortragspräsentation J.Frietsch Sommer 2003
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
Gliederung– Definition
• TSP
• Stigmergy
– Ant System • Charakteristik
– Ant Colony System • Modifikationen zu AS
– Studien zur Funktionsweise
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3
Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
Gliederung– Definition
• TSP
• Stigmergy
– Ant System • Charakteristik
– Ant Colony System • Modifikationen zu AS
– Studien zur Funktionsweise
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Definition
Traveling Salesman Problem
• Sei V = {a,..., z} eine Anzahl Städte,
E = { (i, j) : i, j V} eine Anzahl von Kanten,
(i, j) = (j, i) ein Kostenmaß, das mit Kante
(i, j) E in Zusammenhang steht. • Dann ist das TSP das Problem eine geschlossene
Tour minimaler Kosten zu finden, die durch jede Stadt genau einmal führt.
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Definition
Mathematisches• für die 1-te Stadt von n Städten gibt es n-1 mögliche
Verbindungen• für die 2-te Stadt gibt es dann noch n-2 mögl. Kanten
(...) für die (n-1)-te folglich n-(n-1) Kanten, die zur n-ten Stadt führt, wo die Tour geschlossen wird.
• man erhält durch Kombination (n-1)! mögliche Touren• das sind doppel so viele wie notwendig, weil der Kreis
sowohl von a bis z als auch rückläufig von z bis a beschritten wird, bei gleicher Länge L
• es gibt also insgesamt (n-1)!/2 mögliche Lösungen
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Definition
Traveling Salesman Problem
Warum TSP?: • klassisches Pfadoptimierungsproblem
• leicht zu adaptieren für Ameisenstaaten• große Anzahl von Vergleichsalgorithmen
• didaktisch leicht zugänglich
• NP-hartes Problem, jedoch nicht aufgrund derAnzahl der Lösungen, sondern weil die Länge der Wege im schlimmsten Fall brute force aufsummiert und verglichen werden muss. .
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Definition
Stigmergy
• indirekte Informationsvermittlung
• durch die Analyse sich • verändernden Umweltparametern
Beispiele: Google (Pagerank)
Insektensoziäten
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
Gliederung– Definition
• TSP
• Stigmergy
– Ant System • Charakteristik
– Ant Colony System • Modifikationen zu AS
– Studien zur Funktionsweise
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9
Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant System
• der Ant System Algorithmus wurde von Dorigo, Maniezzo und Colorni vorgestellt (1996)
• bei kleineren TSP konkurrenzfähig
zu herkömmlichen heuristischenAlgorithmen wie GA oder SA.
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant System
Idee: dynamische Pheromon-Markierung
• (+) Feedback: virt. Pheromone bestärken die Lösungen die an der Prod. vorangegangener guter Lösungen beteiligt waren.
• (-) Feedback: Zerfall virt. Phero.spurenverhindert, das der Schwarm auf suboptimale Lösungen konvergiert.
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant System
Ziel: Suche nach Tmax
Prinzip: Etablieren eines Attraktors
• (+) Suchen der jeweils kürzesten Tour T+
der Iteration t mit der Länge L+
• (-) Erhöhung der Freiheitsgrade desSystems um vom Attraktor abweichen zu können
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant System
Grundlagen:• Sei
n die Zahl der Städte und m die Zahl der Ameisen k, dann gilt vereinfachend m = n (jeder Ameise ihre Stadt)
• In der Iteration t (t = 1,...,tmax) findet jede Ant in n - 1 Schritten eine Tour T der Länge L, eine davon ist die kürzeste T+ = ein vorläufiger Attraktor
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant System
Stadtübergänge (Transitions):• Regeln für den Übergang einer Ant k von der Stadt
i nach j 1 Sie hat ein Arbeitsgedächtnis J, in dem die Städte
vermerkt sind, die sie noch besuchen muss
2 Der Kehrwert der Distanz d ist die Erreichbarkeit 3 Die Intensität der Pheromonspur von i nach j ist
ij(t) die in der globalen Pheromonverteilung
gespeicherte Information verändert sich während der
Problemlösung und repräsentiert den Erfahrungsgewinn des Ameisenstaates
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant System
Entscheidungsgesetz ( für i nach j )
(Transition Rule)
p: Wahrscheinlichkeit
: Erreichbarkeit
: Spurintensität
J: Arbeitsgedächtnis
der Ant k
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant System
Pheromonmarkierung (t): nach Ende der Tour für jede Kante, die auf dem Weg der Ant k lag.
Je kürzer die Tour war desto mehr Pheromon
Q: Belohnungsquant
kij (t): Pheromon-Menge der Ant k für Kante(i, j)
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant System
Probleme!
(+): der Attraktor wird zu mächtig!
Früher oder später enden alle Ameisen auf dem gleichen Pfad, der einer der zufälligen Anfangsfluktuationen entspricht
suboptimale Lösung und Stagnation
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant System
(-): der Ausweg:
Einführung einer Zerfallskonstante für das Pheromon (mit 0 < <1) Korrekturformel (Global Update Rule):
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
Gliederung– Definition
• TSP
• Stigmergy
– Ant System • Charakteristik
– Ant Colony System • Modifikationen zu AS
– Studien zur Funktionsweise
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant System
Charakteristik:
• (+) Elite-Ameisen zur Verbesserung der Performance
• sie markieren die beste gefundene Lösung T+ zusätzlich• Sinn: Vermutlich enthält diese bereits Kanten von Tmax
die so bei jeder Iteration „bestärkt“ werden. • Unterstützung des Attraktors und Ermöglichung einer
Feinjustierung durch Anzahl der Elite-Ameisen
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant System
Charakteristik:
• konkurrenzfähig: bei kleineren TSP (30-70 n)
• schwach: bei komplexen TSP konvergierte der Algorithmus zu früh auf suboptimale Lösungen
• hohe Diversität an Lösungspopulationen
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
Gliederung– Definition
• TSP
• Stigmergy
– Ant System • Charakteristik
– Ant Colony System • Modifikationen zu AS
– Studien zur Funktionsweise
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant Colony System
• Ist eine Weiterentwicklung von Ant System und entstand in Zusammenarbeit vonDorigo & Gambardella (1997)
• außergewöhnlich leistungsstarke Performance auch bei komplexerenProblemfeldern.
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant Colony System
3 wichtige Weiterentwicklungen
1 eine verfeinerte Transition Rule
2 Local Update Rule in d. Schrittschleife
3 eine geänderte globale Korrekturformel alsWeiterentwicklung der Elite-Ameise(Global Update Rule)
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant Colony System
zu 1: Transition Rule• durch Hinzufügen einer Konstante qo wird eine
Feinjustierung möglich (0 < q0 < 1), indem qo bei jedem Schritt mit einer beliebigen Zufallszahl qverglichen wird . (0 < q < 1)
q < q0 :(+) sichere Stadt u nahe am Attr.
q > q0 :
(-) Erkundung wird bevorzugt.
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant Colony System
zu 1: Transition Rule• durch Hinzufügen einer Konstante qo wird eine
Feinjustierung möglich (0 < q0 < 1)
q < q0 :(+): die Ant k nutzt das gesamte gespeicherte Problemwissen und wählt eine sichere Stadt u
nach: arg max u Jki {[iu(t)] * [iu]
}
![Page 26: 1 More than a paradigm, swarms are almost, at times, an archetype. Millonas, 1993 zitiert aus Swarm Intelligence; Kennedy & Eberhart Ausarbeitung und Vortragspräsentation](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6149795902118b5dd9/html5/thumbnails/26.jpg)
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant Colony System
zu 1: Transition Rule• durch Hinzufügen einer Konstante qo wird eine
Feinjustierung möglich (0 < q0 < 1)
q > q0 :(-): die Ant k wählt analog der Entscheidungsregel aus Ant System eine Stadt ihres Arbeitsgedächtnisses J
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant Colony System
zu 2: Local Update Rule in der Schrittschleife
• (-) beim Passieren d. Kante (i, j) durch k
ij(t)← (1 - ρ)* ij(t) + ρ * 0
wird die Spurintensität vermindert d.
h.
je länger die Iteration voranschreitet
desto unattraktiver wird T+
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant Colony System
zu 2: Local Update Rule in der Schrittschleife
• die führt zu einer besseren Ausnutzung der in der Pheromonspur enthaltenen Information.
• Bleibt T+ die kürzeste Verbindung nach Ende der Iteration, bleibt er trotzdem der Attraktor und wird durch die Global Update Rule bestärkt
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant Colony System
zu 3: Global Update Rule nach der Iteration
• die Beste Ameise markiert am Ende der Tour nur die Kanten, die seit t = 1 T+ waren
ij(t)← (1 - ρ)* ij(t) + ρ * ij(t) mit ij(t) = 1/L+
• (+) Sinn: es wird vordringlich in der Nähe von T+ gesucht.
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Ant Colony System
Verfahrensfluß::
• Ant k entscheidet zwischen (+) u und (-) J• (+): es wird vordringlich in der Nähe des
Attraktors T+ gesucht• (-) durch das Local Update Rule wird es
möglich von T+ abzuweichen und andere Lösungsalternativen zu erkunden
• (+) Schlägt die Erkundung fehl, bleibt T+ Attraktor der nächsten Iteration
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
Gliederung– Definition
• TSP
• Stigmergy
– Ant System • Charakteristik
– Ant Colony System • Modifikationen zu AS
– Studien zur Funktionsweise
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Studien der Funktionsweise
50 Städte Standard-Problem im ACS gelöst
• Anschaulich ist zu sehen, dass es nicht immer die am stärksten markierten Kanten sind, die den Kreis schließen.
• Jede schwache Kante, kann Ausgangspunkt für eine alternative Lösung werden.
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Studien der Funktionsweise
50 Städte Problem im ACS gelöst
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Studien der Funktionsweise
50 Städte Problem im ACS gelöst
• in der folgenden oberen Grafik ist die Standardabweichung von L gegen die Iteration aufgetragen.
• in der unteren Grafik der durchschnittliche Vernetzungsgrad der einzelnen Knoten
• ist Tmax ermittelt müsste der Vernetzungsgrad 2 erreicht sein. = rein in die Stadt und raus aus der Stadt
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Studien der Funktionsweise
Standardabweichung und Vernetzungsgrad
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Studien der Funktionsweise
• Lösungspopulationen konvergieren nicht aufein gemeinsames Lösungsoptimum
• fortwährend werden neue Lösungsalternativen produziert
• zeigt sich z.B in einer hohen Standardabweichung der Tourlänge L
• durchschnitt. Knotenverzweigung größer 2 ( nämlich 5)
• d. h. selbst wenn Tmax ermittelt ist, sucht ACS weiter, aber Tmax wird der ewige Attr. bleiben.
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Studien der Funktionsweise
• diese Nonkonvergenz-Eigenschaften sind charakt. für viele Swarm basierte Systeme
• hohe Diversität seiner Lösungspopulationenbewahrt ihn in lokalen Optima gefangen zu werden
• deshalb besondere Eignung für dynamische Problemfelder, bei denen die Ausgangsbedingungen sich in Realzeit ändern(z.B. indem neue Städte hinzugefügt werden).
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
Conclusio
• archetype
Die von den Ameisen erkundete und mit Pheromonen markierte Welt fungiert als eine Art Gedächtnis, das die Entscheidungsgrundlage liefert für die nächste, bessere!, Erkundungswelle des Schwarms.
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Ant Colony Algorithmen & Stigmergy
• Literatur
• [1] KENNEDY, J. & EBERHART, R.. (2001): Swarm Intelligence. Morgan Kaufmann Publishers. San Francisco, San Diego, New York, Boston, London, Sydney, Tokyo.
• [2] BONABEAU, E, DORIGO, M. & THERAULAZ, G. (1999): Swarm Intelligence - from Natural to Artificial Systems. Oxford.
• [3] DORIGO, M. & GAMBARDELLA, L.M. (1997): Ant Colony System: A Cooperative Learning Approach to the Traveling Salesman Problem. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, Vol. 1, No. 1, 53-66.
• [4] DORIGO, M., Di CARO, G. & GAMBARDELLA, L.M. (1999): Ant Algorithms for Discrete Optimization. Artificial Life, Vol. 5, No. 3, 137-172.