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MECÁNICA OSCILACIONES Y ONDAS
VECTORES
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 2
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 3
Captura del simulador 3D. Se aprecian las partes principales: robot, objetivo y obstáculos. (http://147.96.80.209/SI_09_10/Herramientasutilizadas.html)
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 4
¿Qué es cantidad?
¿Qué es magnitud?
¿Qué es dirección?
¿Qué entiendes por vector?
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 5
Logros de la sesión:
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve ejercicios y
problemas con vectores de forma gráfica y analítica, utilizando
propiedades operacionales y la representación geométrica, en
base a una secuencia lógica, el uso adecuado de la notación
vectorial y a una representación correcta de un vector y sus
componentes.
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 6
MAGNITUDES ESCALARES
• Existen cantidades físicas que quedan totalmente determinadas por su magnitud o tamaño, indicada en alguna unidad conveniente. Dichas cantidades se llaman: ESCALARES
• Son ejemplos de cantidades escalares; el tiempo, la masa, la energía, la carga eléctrica, entre otras.
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 7
MAGNITUDES VECTORIALES
• Un vector, es un ente matemático utilizado para representar una magnitud física la cual necesita estar caracterizada por los siguientes elementos:• Módulo: o longitud siempre positivo por definición.• Dirección: determinado por el ángulo que forma el vector
con los ejes coordenados.
Módulo
Dirección
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 8
SISTEMA DE COORDENADAS Y MARCOS DE REFERENCIA
Un sistema de coordenadas usado para especificar posiciones en el espacio consta:
Origen
O
Ejes coordenados
x
y
O
x
y
zEn 2D En 3D
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18/04/2023 Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 9
EJEMPLO 1: REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO BIDIMENSIONAL
Sea el punto O(0,0) y P(3,4) representar el vector:
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EJEMPLO 2: REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO BIDIMENSIONAL
Intentalo: Sea el punto M(2,1) y N(6,5) representar el vector:
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EJEMPLO 3: REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Represente el vector
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MÓDULO DE UN VECTOR: EN 2D
En general: sea el vector,
x
y
yx
yx
u
uarctg
uuu
uuu
:Dirección
:Módulo
),(
22
x
y
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EJEMPLO 4:
Sea el punto O(0,0) y P(5,2) representar el vector: y determinar su módulo y dirección
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EJEMPLO 5
Intentalo: Sea el vector: , determine su módulo y dirección.
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 15
MÓDULO DE UN VECTOR: EN 3D
222 :Módulo
),,(
zyx
zyx
vvvv
vvvv
x
y
z
cos
:directores cosenos
v
vx
cos v
vy
vvzcos
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EJEMPLO 6
Represente el vector , determine el módulo y dirección del vector así como sus cosenos directores.
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EJEMPLO 7
Inténtalo: Represente el vector , determine el módulo y dirección del vector así como sus cosenos directores.
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VECTOR UNITARIO
x
y
𝜃
¿𝑟∨¿
��=𝑟|𝑟|
|𝑟|=1
El vector unitario se obtiene:
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VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS
x
y
z
i
jk
)0,0,1(ˆ i)0,1,0(ˆ j)1,0,0(ˆ k
Ejemplo 5.- sea u=(1,3,2); exprese el vector en función de los vectores cartesianos,
kjiu ˆ2ˆ3ˆ1
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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL:
O
𝑨𝐴𝑦
𝐴𝑥𝜃
𝑨=𝐴𝑥 ��+ 𝐴𝑦 ��
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 21
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL:
x
y
O
𝑨𝐴𝑦
𝐴𝑥𝜃
𝑨=𝐴𝑥 ��+ 𝐴𝑦 ��
𝐴𝑥=|𝑨|cos𝜃
𝐴𝑦=|𝑨|sin 𝜃
|𝑨|=√ 𝐴𝑥𝟐+ 𝐴𝑦
𝟐
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 22
SUMA DE VECTORES: MÉTODO ANALÍTICO
𝑨=𝐴𝑥 ��+ 𝐴𝑦 ��
𝑨+𝑩=? ?
𝑩=𝐵𝑥 ��+𝐵𝑦 ��
𝑨+𝑩=( 𝐴𝑥+𝐵𝑥 ) ��+ (𝐴𝑦+𝐵𝑦 ) ��
x
y
O𝐴𝑥
𝐴𝑦
𝜃𝐴
𝑨
𝑩
𝐵𝑥
𝐵𝑦
𝜃𝐵
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 23
SUMA DE VECTORES: MÉTODO GRÁFICO
x
y
O𝜃𝐴
𝑨
𝑩
𝑨+𝑩=? ?
𝜃𝐵
𝜃𝐵
𝑨+ 𝑩
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EJEMPLO 8
Hallar gráfica y analíticamente el vector
x
y
O45 °
𝑨
𝑩30 °
2𝑚
2𝑚
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MÓDULO DEL VECTOR RESULTANTE
θ
El módulo del vector resultante se puede determinar a través de:
𝑹
|𝑹|=√|𝑨|𝟐+|𝑩|𝟐+𝟐|𝑨||𝑩|𝒄𝒐𝒔𝜽
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DIFERENCIA DE VECTORES: MÉTODO ANALÍTICO
x
y
O
𝑨=𝐴𝑥 ��+ 𝐴𝑦 ��
𝐴𝑥
𝐴𝑦
𝜃𝐴
𝑨
𝑩
𝑨−𝑩=??
𝑩=𝐵𝑥 ��+𝐵𝑦 ��
𝑨−𝑩=(𝐴𝑥−𝐵𝑥 ) ��+( 𝐴𝑦−𝐵𝑦 ) ��
𝐵𝑥
𝐵𝑦
𝜃𝐵
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 27
DIFERENCIA DE VECTORES: MÉTODO GRÁFICO
x
y
O𝜃𝐴
𝑨
𝑩
𝑨−𝑩=??
𝜃𝐵
𝑨−𝑩
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EJEMPLO 9
Hallar gráfica y analíticamente el vector
x
y
O45 °
𝑨
𝑩30 °
2𝑚
2𝑚
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PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO
θ
Obviamente:
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 30
EJEMPLO 10
Dados los vectores encontrar
(2,2,4)
(2, 1, 5)
u
v
u v
v u
; ;
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 31
PROYECCIÓN DE UN VECTOR
θ
La proyección de sobre :
𝑷𝒓𝒐𝒚 𝑩𝑨
𝑷𝒓𝒐𝒚 𝑩𝑨=
𝑨 ∙𝑩
|𝑩|𝟐∙𝑩
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PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO VECTORIAL
A
B
A
B
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EJEMPLO 10
Dados los vectores encontrar
(2,2,4)
(2, 1, 5)
u
v
; ;
v u w
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 34
EVALUACIÓN:
1. Las cantidades vectoriales poseen:
a) Magnitud b) Magnitud y dirección c) Dirección
2. Del producto punto entre dos cantidades vectoriales resulta:
a) Un vector unitario b) Un vector perpendicular c) Un escalar
3. Del producto cruz entre dos cantidades vectoriales resulta:
a) Un vector perpendicular b) Un escalar c) Un vector
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4. ¿Por qué es importante realizar descomposición vectorial?
5. ¿Por que es importante el uso de vectores?
6. ¿Por qué a los vectores unitarios se les llama vectores base?
7. ¿Qué propiedades cumplen dos vectores paralelos ?
8. ¿Qué propiedades cumplen dos vectores perpendiculares?
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 36
GRUPOS DE TRABAJO
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18/04/2023 Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 37
¿Qué aprendieron en esta sesión?
¿Cuándo podemos hacer uso del producto escalar?
¿Cuándo podemos hacer uso del producto vectorial?
¿Qué dificultades has tenido para utilizar el producto vectorial y escalar?
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Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 38
Material elaborado para uso exclusivo de las sesiones de aprendizaje del curso de MEOSON, semestre 2014 – II. Universidad Privada del Norte.