![Page 1: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/2.jpg)
Spis treści
1. Wartośćbezwzględnaliczby ....................................................................................................................1
2. Potęgiipierwiastki ...................................................................................................................................1
3. Logarytmy ................................................................................................................................................2
4. Silnia.Współczynnikdwumianowy .........................................................................................................2
5. WzórdwumianowyNewtona ...................................................................................................................2
6. Wzoryskróconegomnożenia ...................................................................................................................3
7. Ciągi .........................................................................................................................................................3
8. Funkcjakwadratowa ................................................................................................................................4
9. Geometriaanalityczna ..............................................................................................................................4
10. Planimetria ...............................................................................................................................................6
11. Stereometria ...........................................................................................................................................12
12. Trygonometria ........................................................................................................................................14
13. Kombinatoryka .......................................................................................................................................16
14. Rachunekprawdopodobieństwa .............................................................................................................17
15. Parametrydanychstatystycznych ..........................................................................................................18
16. Granicaciągu ..........................................................................................................................................18
17. Pochodnafunkcji ....................................................................................................................................19
18. Tablicawartościfunkcjitrygonometrycznych .......................................................................................20
PublikacjawspółinansowanaprzezUnięEuropejskąwramachEuropejskiegoFunduszuSpołecznego.Publikacjajestdystrybuowanabezpłatnie.
Warszawa2015
![Page 3: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/3.jpg)
1
1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY
Wartośćbezwzględnąliczbyrzeczywistejxdeiniujemywzorem:
Liczba x jesttoodległośćnaosiliczbowejpunktuxodpunktu0.Dladowolnejliczbyxmamy:
x x x x= −0 0 0 wtedy i tylko wtedy, gdy == x
Dladowolnychliczbx,ymamy:
Ponadto,jeśliy ≠ 0,to
= .
Dladowolnychliczbaoraz mamy:
2. POTĘGI I PIERWIASTKI
Niechnbędzieliczbącałkowitądodatnią.Dladowolnejliczbyadeiniujemyjejn-tąpotęgę:
a a an
n
= ⋅ ⋅...
Pierwiastkiemarytmetycznym an stopnianzliczbya nazywamyliczbęb taką,żeb an = .
Wszczególności,dladowolnejliczbyazachodzirówność: a a2 = .
Jeżeli a < 0 orazliczbanjestnieparzysta,to an oznaczaliczbęb < 0 taką,żeb an = .
Pierwiastkistopniparzystychzliczbujemnychnieistnieją.
Niechm,nbędąliczbamicałkowitymidodatnimi.Deiniujemy:
1m
n
n ma
a
−=
Niechr,sbędądowolnymiliczbamirzeczywistymi.Jeślia > 0 ib > 0,tozachodząrówności:
⋅ = + ⋅=a a a a a
a b
r s r s rs
r s
r
( )
⋅( )
== ⋅a br r
r r
r
a a
b b
=
rr s
s
aa
a
−=
Jeżeliwykładnikir,ssąliczbamicałkowitymi,topowyższewzoryobowiązujądlawszystkichliczba ≠ 0ib ≠ 0.
![Page 4: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/4.jpg)
2
3. LOGARYTMY
Logarytmem log a c dodatniejliczbycprzydodatniejiróżnejod1podstawieanazywamywykładnikbpotęgi,doktórejnależypodnieśća,abyotrzymaćc:
log wtedy i tylko wtedy, gdy a
bc b a c= =
Równoważnie:
a caclog =
Dladowolnychliczbx > 0,y > 0orazrzachodząwzory:
log log log log log loga a a a
r
ax y x y x r x⋅( ) = + = ⋅
aa a a
x
yx y= −log log
Wzórnazamianępodstawylogarytmu:jeżeli a > 0 ,a ≠ 1,b > 0,b ≠ 1orazc > 0,to
log
log
logb
a
a
b=
Logarytm log10 x możnateżzapisaćjakologx lublgx.
4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY
Silniąliczbycałkowitejdodatniejnnazywamyiloczynkolejnychliczbcałkowitychod1donwłącznie:
n n! ...= ⋅ ⋅ ⋅1 2
Ponadtoprzyjmujemyumowę,że0!=1.Dladowolnejliczbycałkowitej zachodzizwiązek:
= ⋅ +( )n +( )1 1! n! n
Dlaliczbcałkowitychn,kspełniającychwarunki deiniujemywspółczynnikdwumianowy nk
(symbolNewtona):
n
k
n
k n k
= −( )
!! !
Zachodząrówności:
n
k
n
n k
=
−
n n
n01
=
=1
( )( ) ( )1 2 ... 1
!
n n n n kn
k k
− − ⋅ ⋅ − + =
5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA
Dladowolnejliczbycałkowitejdodatniejnorazdladowolnychliczba,bmamy:
a b
na
na b
n
ka b
n
n
n n n n k k+( ) =
+
+ +
+ +
−− −
0 1
1 ... ...11
1
+
−abn
nbn n
![Page 5: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/5.jpg)
3
6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
Dladowolnychliczba,b:
a b a ab b a b a a b ab b+( ) = + + +( ) = + + +2 2 2 3 3 2 2
2 3 3 33
2 2 2 3 3 2 22 3 3a b a ab b a b a a b ab−( ) = − + −( ) = − + −−b3
Dladowolnejliczbycałkowitejdodatniejnorazdowolnychliczba,bzachodziwzór:
a b a b a a b a b ab bn n n n n k k n n− = −( ) + + + + + +( )− − − − − −1 2 1 2 1
... ...
Wszczególności:
a b a b a b a a
a b
2 2 2
3 3
1 1 1− = −( ) +( ) − = −( ) +( )−
a
== −( ) + +( ) − = −( ) + +( )+ = +( )
a b a ab b a a a
a b a b a
2 2 3 2
3 3
1 1 1 a
22 2 3 21 1 1− +( ) + = +( ) − +( )ab b a a a a
an n na a a− = −( ) + +− −1 1 1 2....+ +( )a 1
7. CIĄGI
• CiągarytmetycznyWzórnan-tywyrazciąguarytmetycznego a
n( ) opierwszymwyraziea1iróżnicyr:
a a n rn= + −( )1 1
Wzórnasumę S a a an n= + + +
1 2... początkowychnwyrazówciąguarytmetycznego:
Sa a
na n r
nn
n=+
⋅ =+ −( )
⋅1 1
2
2 1
2
Międzysąsiednimiwyrazamiciąguarytmetycznegozachodzizwiązek:
aa a
nnn n=+− +1 1
22dla
• CiąggeometrycznyWzórnan-tywyrazciągugeometrycznego a
n( ) opierwszymwyraziea1iilorazieq:
a a q nn
n= ⋅ −
1
1 2 dla
Wzórnasumę S a a an n= + + +
1 2... początkowychnwyrazówciągugeometrycznego:
Międzysąsiednimiwyrazamiciągugeometrycznegozachodzizwiązek:a a a nn n n
2
1 1 2= ⋅− + dla
• Procentskładany
JeżelikapitałpoczątkowyKzłożymynanlatwbanku,wktórymoprocentowanielokatwynosip%wskalirocznejikapitalizacjaodseteknastępujepoupływiekażdegorokutrwanialokaty,tokapitałkońcowyK
n
wyrażasięwzorem:
K Kp
n
n
= ⋅ +
1
100
![Page 6: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/6.jpg)
4
8. FUNKCJA KWADRATOWA
Postaćogólnafunkcjikwadratowej: f x ax bx c a x R( ) = + + ≠ ∈2 0 .Wzórkażdejfunkcjikwadratowejmożnadoprowadzićdopostacikanonicznej:
2
bp
a= −
4q
a
∆= −
Wykresemfunkcjikwadratowejjestparabolaowierzchołkuwpunkcieowspółrzędnych(p,q).Ramionaparaboliskierowanesądogóry,gdy a > 0 ;dodołu,gdy a < 0.
Liczbamiejsczerowychfunkcjikwadratowej f x ax bx c( ) = + +2
(liczbapierwiastkówtrójmianukwadratowego,liczbarzeczywistychrozwiązańrównania ax bx c
2 0+ + = ),zależyodwyróżnika∆ = −b a2
4 :
– jeżeli∆ < 0,tofunkcjakwadratowaniemamiejsczerowych(trójmiankwadratowyniemapierwiastkówrzeczywistych,równaniekwadratoweniemarozwiązańrzeczywistych),
– jeżeli∆ = 0,tofunkcjakwadratowamadokładniejednomiejscezerowe(trójmiankwadratowymajeden
pierwiastekpodwójny,równaniekwadratowemadokładniejednorozwiązanierzeczywiste):x x
b
a1 2
2= = −
– jeżeli∆ > 0,tofunkcjakwadratowamadwamiejscazerowe(trójmiankwadratowymadwaróżnepierwiastkirzeczywiste,równaniekwadratowemadwarozwiązaniarzeczywiste):
xb
ax
b
a1 2
2 2=− −
=− +∆ ∆
Jeśli 0,towzórfunkcjikwadratowejmożnadoprowadzićdopostaciiloczynowej:
f x a x x x x( ) = −( ) −( )1 2
• WzoryViéte’a
Jeżeli 0,to
x xb
ax x
c
a1 2 1 2+ =
−⋅ =
9. GEOMETRIA ANALITYCZNA
• OdcinekDługośćodcinkaokońcachwpunktachA x y B x yA A=( ) = ( ), , ,B B
jestdanawzorem:
AB x x y yB A B A
= −( ) + −( )2 2
WspółrzędneśrodkaodcinkaAB:
x x A B A B+ +
2 2,
M = (x, y)
x
y
O
A=(xA , y
A)
B=(xB
, yB)
![Page 7: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/7.jpg)
5
• Wektory
Współrzędnewektora AB
:
AB x x y yB A B A
= − −[ ],
Jeżeli u u u v v v = [ ] = [ ]1 2 1 2
sąwektorami,zaśajestliczbą,to
u v u v u v a u a u a u + = + +[ ] ⋅ = ⋅ ⋅[1 1 2 2 1 2
]]
• ProstaRównanieogólneprostej:
Ax By C+ + = 0,
gdzie A B2 2 0+ ≠ (tj.współczynnikiA,Bniesąrównocześnierówne0).
JeżeliA = 0,toprostajestrównoległadoosiOx;jeżeliB = 0,toprostajestrównoległadoosiOy;jeżeliC = 0,toprostaprzechodziprzezpoczątekukładuwspółrzędnych.
JeżeliprostaniejestrównoległadoosiOy,tomaonarównaniekierunkowe:
y ax b= +
Liczbaatowspółczynnikkierunkowyprostej:a tg= α
WspółczynnikbwyznaczanaosiOypunkt,wktórymdanaprostająprzecina.
Równaniekierunkoweprostejowspółczynnikukierunkowyma,któraprzechodziprzezpunktP x y= ( )0 0, :
y a x x y= −( )+0 0
Równanieprostej,któraprzechodziprzezdwadanepunkty :
( )( )y y x x y y x xA B A B A A− − − −( ) −( )= 0
• Prostaipunkt
OdległośćpunktuP x y= ( )0 0, odprostejorównaniuAx By C+ + = 0 jestdanawzorem:
Ax By C
A B
0 0
2 2
+ +
+
• ParaprostychDwieprosteorównaniachkierunkowych:
y a x b y a x b= + = +1 1 2 2
spełniająjedenznastępującychwarunków:
– sąrównoległe,gdy a a1 2=
– sąprostopadłe,gdy a a1 2
1= −
– tworząkątostry φ i tg =−
+a a
a a
1 2
1 21φ
x
y
O
b
y = ax + b
α
![Page 8: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/8.jpg)
6
Dwieprosteorównaniachogólnych:
A x B y C A x B y C1 1 1 2 2 2
0 0+ + = + + =
– sąrównoległe,gdy A B A B1 2 2 1
0− =
– sąprostopadłe,gdy A A B B1 2 1 2
0+ =
– tworząkątostry φ itg =
−+
AB A B
A A B B
1 2 2 1
1 2 1 2
φ
• Trójkąt
PoletrójkątaABCowierzchołkach A x x y C x yA A B B C C
= ( ) = ( ) = ( ), , , , , ,jestdanewzorem:
P x x y y y= − y x xABC B A C A B A C A∆ ( ) −( )− −( ) −( )
1
2
ŚrodekciężkościtrójkątaABC,czylipunktprzecięciajegośrodkowych,mawspółrzędne:
x x x y y yA B C A B C+ + + +
3 3,
• Przekształceniageometryczne
– przesunięcieowektor u a b
= [ ], przekształcapunkt A x = ( ), napunkt A x a y b' ,= + +( )
– symetriawzględemosiOxprzekształcapunkt A x = ( ), napunkt A x ' ,= −( ) – symetriawzględemosiOyprzekształcapunkt A x = ( ), napunkt A x ' ,= −( )– symetriawzględempunktu a b,( ) przekształcapunkt A x = ( ), napunkt A a x b y' ,= − −( )2 2
– jednokładnośćośrodkuwpunkcieOiskalis ≠ 0 przekształcapunkt Anapunkt A x' ,taki,żeOA s OA'
= ⋅ ,awięc,jeśliO x y= ( )0 0, ,tojednokładnośćtaprzekształcapunkt A x = ( ), napunkt
A sx s x sy s y' ,= + −( ) + −( )( )1 10 0
• RównanieokręguRównanieokręguośrodkuwpunkcie S a b= ( ), ipromieniur>0:
x a y b r−( ) + −( ) =2 2 2
lub
10. PLANIMETRIA
• Cechyprzystawaniatrójkątów
A B
C
D E
F
![Page 9: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/9.jpg)
7
To,żedwatrójkątyABCiDEFsąprzystające ∆ ≡ ∆( )ABC DEF ,możemystwierdzićnapodstawiekażdejznastępującychcech przystawania trójkątów:
– cechaprzystawania„bok–bok–bok”:odpowiadającesobiebokiobutrójkątówmajątesamedługości: AB DE AC DF BC EF= = =, ,
– cechaprzystawania„bok–kąt–bok”:dwabokijednegotrójkątasąrówneodpowiadającymimbokomdrugiegotrójkątaorazkątzawartymiędzytymibokamijednegotrójkątamatakąsamąmiaręjakodpowiadającymukątdrugiegotrójkąta,np. AB DE AC DF BAC EDF= = =, ,
– cechaprzystawania„kąt–bok–kąt”:jedenbokjednegotrójkątamatęsamądługość,coodpowiadającymubokdrugiegotrójkątaorazmiaryodpowiadającychsobiekątówobutrójkątów,przyległychdoboku,sąrówne,np. AB DE BAC EDF ABC DEF= = =, ,
• Cechypodobieństwatrójkątów
To,żedwatrójkątyABCiDEFsąpodobne ∆ ∆( )ABC DEF ,możemystwierdzićnapodstawiekażdejznastępującychcech podobieństwa trójkątów:
– cechapodobieństwa„bok–bok–bok”:długościbokówjednegotrójkątasąproporcjonalnedoodpowiednichdługościbokówdrugiegotrójkąta,
np.
AB
DE
AC
DF
BC
EF= =
– cechapodobieństwa„bok–kąt–bok”:długościdwóchbokówjednegotrójkątasąproporcjonalnedoodpowiednichdługościdwóchboków
drugiegotrójkątaikątymiędzytymiparamibokówsąprzystające,np.
– cechapodobieństwa„kąt–kąt–kąt”:dwakątyjednegotrójkątasąprzystającedoodpowiednichdwóchkątówdrugiegotrójkąta(więcteżitrzeciekątyobutrójkątówsąprzystające): BAC EDF ABC DEF ACB DFE= = =, ,
A B
C
D E
F
![Page 10: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/10.jpg)
8
PrzyjmujemyoznaczeniawtrójkącieABC:
a,b,c –długościboków,leżącychodpowiednionaprzeciwkowierzchołkówA,B,C
2p=a+b+c –obwódtrójkątaα,β,γ –miarykątówprzywierzchołkachA,B,Ch
a,h
b,h
c –wysokościopuszczonezwierzchołków
A,B,CR,r –promienieokręgówopisanego
iwpisanego
• Twierdzeniesinusów
α β γ
A
C
B
a b
c
γ
βα
A
C
D c
a b
hc
B
α β
γ
• Twierdzeniecosinusów
a b c bc
b a c ac
c a b ab
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
= + −
= + −
= + −
cos
cos
cos γ
β
α
• Wzorynapoletrójkąta
⋅ ⋅P R
P a h b h c h
P a b a c
ABC a b c
ABC
∆
∆
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1sin sin
2
1
2
1
2
1
2
2 2 2
b c
P a b cABC
⋅ ⋅
=⋅
=⋅
=
sin
sin sin
sin
sin sin
sin
si∆
nn sin
sin
sin sin
⋅
= = ⋅Pabc
RABC ABC∆ ∆
42 2 ssin
P rp P p p a p b p cABC ABC∆ ∆= = −( ) −( ) −( )
α
α
α γ α
γ
β
β
β γ
γα β
γ β
• TwierdzeniePitagorasa(wrazztwierdzeniemodwrotnymdoniego)WtrójkącieABCkątγjestprostywtedyitylkowtedy,gdya2 +b2 = c2.
• Związkimiarowewtrójkącieprostokątnym
Załóżmy,żekątγ jestprosty.Wówczas:
h AD DB
hab
c
a c c
a b b
R c r
c
c
2
1
1
2
= ⋅
=
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
= =
sin cos
tgtg
aa b c
p c+ −
= −2
α β
αβ
![Page 11: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/11.jpg)
9
• Trójkątrównobocznya–długośćbokuh–wysokośćtrójkąta
ha
R h
Pa
r h
= =
= =
3
2
2
3
3
4
1
3
2
∆
• TwierdzenieTalesa(wrazztwierdzeniemodwrotnymdoniego)RóżneprosteACiBDprzecinająsięwpunkcieP,przyczymspełnionyjestjedenzwarunków:– punktAleżywewnątrzodcinkaPCorazpunktBleżywewnątrzodcinkaPD
lub– punktAleżynazewnątrzodcinkaPCorazpunktBleżynazewnątrzodcinkaPD.WówczasprosteABiCDsąrównoległewtedyitylkowtedy,gdy
PA
AC
PB
BD=
• Czworokąty
Trapez
Czworokąt,którymaconajmniejjednąparębokówrównoległych.Wzórnapoletrapezu:
Pa b
h=+
⋅2
Równoległobok Czworokąt,którymadwieparybokówrównoległych.Wzorynapolerównoległoboku:
P ah a b AC BD= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅sin sin
1
2φα
C
B A a
h a a
B
A
C
D P
D
B
C P
A
A B
C D b
a
h
h
a
D C
B A
b
φ
α
![Page 12: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/12.jpg)
10
Romb
Czworokąt,którymawszystkiebokijednakowejdługości.Wzorynapolerombu:
P ah a AC BD= = ⋅ = ⋅ ⋅2 1
2sinα
DeltoidCzworokątwypukły,którymaośsymetriizawierającąjednązprzekątnych.Wzórnapoledeltoidu:
P AC BD= ⋅ ⋅1
2
• KołoWzórnapolekołaopromieniur:
P r= π 2
Obwódkołaopromieniur:L r= 2π
• WycinekkołaWzórnapolewycinkakołaopromieniurikącieśrodkowymαwyrażonymwstopniach:
P r= ⋅°
π 2
360
α
DługośćłukuABwycinkakołaopromieniurikącieśrodkowymα wyrażonymwstopniach:
l r= ⋅°
2360
π α
• KątywokręguMiarakątawpisanegowokrągjestrównapołowiemiarykątaśrodkowego,opartegonatymsamymłuku.
Miarykątówwpisanychwokrąg,opartychnatymsamymłuku,sąrówne.
Miarykątówwpisanychwokrąg,opartychnałukachrównych,sąrówne.
r
O
B
A
A C
D
B
r
O
A
C
B
D
α
a
h a
A
B
O
2
α
α
α
α
α
![Page 13: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/13.jpg)
11
• Twierdzenieokąciemiędzystycznąicięciwą
A C
B
O
A C
B
O
DanyjestokrągośrodkuwpunkcieOijegocięciwaAB.ProstaACjeststycznadotegookręguwpunkcieA.Wtedy AOB CAB= ⋅2 ,przyczymwybieramytenzkątówśrodkowychAOB,któryjestopartynałukuznajdującymsięwewnątrzkątaCAB.
• TwierdzenieoodcinkachstycznychJeżelistycznedookręguwpunktachAiBprzecinająsięwpunkcieP,to
PA PB=
A
B
P
• TwierdzenieoodcinkachsiecznejistycznejDanesą:prostaprzecinającaokrągwpunktachAiBorazprostastycznadotegookręguwpunkcieC.JeżeliprosteteprzecinająsięwpunkcieP,to
PA PB PC⋅ =2
C
B
P
A
![Page 14: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/14.jpg)
12
• Okrągopisanynaczworokącie
C
D
A
B
α
δ
γβ
• Okrągwpisanywczworokąt
A
D
a
C
B
b
c
d
r
11. STEREOMETRIA
• Twierdzenieotrzechprostychprostopadłych
P m
l
k
ProstakprzebijapłaszczyznęwpunkcieP.Prostaljestrzutemprostokątnymprostejknatępłaszczyznę.ProstamleżynatejpłaszczyźnieiprzechodziprzezpunktP.Wówczasprostamjestprostopadładoprostejkwtedyitylkowtedy,gdyjestprostopadładoprostejl.
Naczworokąciemożnaopisaćokrągwtedyitylkowtedy,gdysumymiarjegoprzeciwległychkątówwewnętrznychsąrówne180°:
+ = + =180α γ β δ
Wczworokątwypukłymożnawpisaćokrągwtedyitylkowtedy,gdysumydługościjegoprzeciwległychbokówsąrówne:
a c b d+ = +
![Page 15: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/15.jpg)
13
Przyjmujemyoznaczenia:P –polepowierzchnicałkowitejP
p–polepodstawy
Pb–polepowierzchnibocznej
V –objętość
• Prostopadłościan
P ab bc ac
V abc
= + +( )
=
2
gdziea,b,csądługościamikrawędziprostopadłościanu
• Graniastosłupprosty
P p h
V P h
b
p
= ⋅
= ⋅
2
gdzie2pjestobwodempodstawygraniastosłupa
• Ostrosłup
V P hp= ⋅1
3
gdziehjestwysokościąostrosłupa
b
E
B
F
C
G
D
A
H
a
c
A B
C
D
E
F G
H
I J
h
B A
E D
S
C O
h
![Page 16: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/16.jpg)
14
• Walec
P rh
P r r h
V r h
b=
= +( )
=
2
2
2
π
π
π
gdzierjestpromieniempodstawy,h–wysokościąwalca
• Stożek
P rl
P r r l
V r h
b=
= +( )
=
π
π
π1
32
gdzierjestpromieniempodstawy,h–wysokością,l–długościątworzącejstożka
• Kula
P r
V r
=
=
4
4
3
2
3
π
π
gdzierjestpromieniemkuli
12. TRYGONOMETRIA
• Deinicjefunkcjitrygonometrycznychkątaostregowtrójkącieprostokątnym
n s
s c= =
= =si in
co os
=
ac
b
c
b
c
a
c
a
btg tg =
b
a
α
α
α
β
β
β
h
r
O
l
r
h
O
S
r
O
C A
B
a
b
c
α
β
![Page 17: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/17.jpg)
15
• Deinicjefunkcjitrygonometrycznych
si
gdzie jest
n
cos
,
=
=
= ≠
y
r
x
r
y
xxtg gdy
promieniem wodzącym pu
0
nktu M
2 2 0r x y= + >
α
α
α
• Wykresyfunkcjitrygonometrycznych
2π
x
y
1
1−
0 π
32π
2π−
π− 2π
x
y
1
1−
0 2π
π
32π
2π−
π− 2π
x
y
1
1−
0 2π
π
32π
2π−
π− 2π
2−
3−
4−
2
3
4
y = sin x
y = cos x y = tg x
• Związkimiędzyfunkcjamitegosamegokąta
= ≠
sin cos
sin
cos,
2 2 1
2
ππ
+ =
+tg dla k k całkowite−
α α
αα
αα
•Niektórewartościfunkcjitrygonometrycznych
α0° 30° 45° 60° 90°
0π
6
π
4
π
3
π
2
sinα 0 1
2
2
2
3
21
cosα 13
2
2
2
1
20
tgα 0 3
31 3
nieistnieje
M = (x, y)
x x
y
O
r
y
α
![Page 18: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/18.jpg)
16
• FunkcjesumyiróżnicykątówDladowolnychkątówα,βzachodząrówności:
sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin
cos
+( )= + −( ) = −
+(( ) = − − = +cos cos sin sin cos cos cos sin sin
α
α
α
αβ
β
ββ
β α
α
β
β
α
α
β
β
α α
α α β
ββ
( )
Ponadtomamyrówności:
tgtg tg
tg tgtg
tg tg
tg tg+( ) =
+
− ⋅−( ) =
−
+ ⋅1 1βα
α
ααβ
β β
β
α
α β
którezachodzązawsze,gdysąokreśloneimianownikprawejstronyniejestzerem.
• Funkcjepodwojonegokątasin sin cos
cos cos sin cos sin
2 2
2 2 1 1 2
2
2 2 2 2
=
= − = − = −
=2
tgtg
1 2− tg
α α α
αα αα α
αα
α
• Sumy,różniceiiloczynyfunkcjitrygonometrycznych
sin sin sin cos sin sin cos( ) cos( )
si
( )+ =+ −
= − + − −22 2
1
2
nn sin cos sin cos cos cos( ) cos( )
cos
( )− =+ −
= + + −22 2
1
2
++ =+ −
= + + −
−
cos cos cos sin cos sin( ) sin( )
cos c
( )22 2
1
2
oos sin sin= −+ −
22 2
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
• Wybranewzoryredukcyjne
α α
α α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
• Okresowośćfunkcjitrygonometrycznych
sin sin cos cos+ ⋅ °( ) = + ⋅ °( ) = + ⋅k k k360 360 180 tg °°( ) = tg – całkowite, kα α α α α α
13. KOMBINATORYKA• WariacjezpowtórzeniamiLiczbasposobów,naktóreznróżnychelementówmożnautworzyćciąg,składającysięzkniekoniecznieróżnychwyrazów,jestrównank.
• WariacjebezpowtórzeńLiczbasposobów,naktóreznróżnychelementówmożnautworzyćciąg,składającysięz różnychwyrazów,jestrówna
n n n k
n
n k⋅ −( ) ⋅ ⋅ − +( ) =
−( )1 1...
!
!
![Page 19: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/19.jpg)
17
• PermutacjeLiczbasposobów,naktóren(n 1)różnychelementówmożnaustawićwciąg,jestrównan!.
• KombinacjeLiczbasposobów,naktórespośródnróżnychelementówmożnawybrać 0 elementów,jestrówna
nk
.
14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
• Własnościprawdopodobieństwa
• Twierdzenie:KlasycznadeinicjaprawdopodobieństwaNiechΩbędzieskończonymzbioremwszystkichzdarzeńelementarnych.Jeżeliwszystkiezdarzeniajednoelementowesąjednakowoprawdopodobne,toprawdopodobieństwozdarzenia A⊂ Ω jestrówne
P AA
( ) =Ω
gdzie A oznaczaliczbęelementówzbioruA,zaśΩ –liczbęelementówzbioruΩ.
• Prawdopodobieństwowarunkowe
NiechA, BbędązdarzeniamilosowymizawartymiwΩ,przyczym P B( ) > 0 .PrawdopodobieństwemwarunkowymP A B|( )nazywamyliczbę
P A BP A B
P B|( ) =
∩( )
( )
• Twierdzenieoprawdopodobieństwiecałkowitym
Jeżelizdarzenialosowe B B Bn1 2
, , , zawartewΩspełniająwarunki:
1. B B Bn1 2
, , , sąparamirozłączne,tzn. B Bi j∩ =∅ dla
2. B B Bn1 2
∪ ∪ ∪ = Ω ,
3. P B i ni( ) > 0 1 dla ,
todlakażdegozdarzenialosowegoAzawartegowΩzachodzirówność
P A P A B P B P A B P B P A B P Bn n( ) = ( ) ⋅ ( )+ ( ) ⋅ ( )+ + ( ) ⋅ ( )| | |1 1 2 2
![Page 20: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/20.jpg)
18
15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH
• ŚredniaarytmetycznaŚredniaarytmetycznanliczba
1,a
2,...,a
njestrówna:
aa a a
n
n=+ + +
1 2...
• ŚredniaważonaŚredniaważonanliczba
1,a
2,...,a
n,którymprzypisanododatniewagi–odpowiednio:w
1,w
2,...,w
njest
równa:
w a w a w a
w w w
n n
n
1 1 2 2
1 2
⋅ + ⋅ + + ⋅
+ + +
...
...
• ŚredniageometrycznaŚredniageometrycznannieujemnychliczba
1,a
2,...,a
njestrówna:
a a an
n
1 2⋅ ⋅ ⋅...
• MedianaMedianąuporządkowanegowkolejnościniemalejącejzbiorundanychliczbowycha a a an1 2 3 ... jest:
– dlannieparzystych: an+12
(środkowywyrazciągu)
– dlanparzystych:1
2 2 21
a an n+( )+(średniaarytmetycznaśrodkowychwyrazówciągu)
• WariancjaiodchyleniestandardoweWariancjąndanychliczbowycha
1,a
2,...,a
nośredniejarytmetycznej a jestliczba:
σ 2 1
2
2
2 2
1
2
2
2 22
=−( ) + −( ) + + −( )
=+ + +
− ( )a a a a a a
n
a a a
na
n n... ...
Odchyleniestandardoweσjestpierwiastkiemkwadratowymzwariancji.
16. GRANICA CIĄGU
• Granicasumy,różnicy,iloczynuiilorazuciągówDanesąciągi a b
n n( ) ( ) i ,określonedlan 1.
Jeżelilimn
na a
→∞= orazlim
nnb b
→∞= ,to
lim lim limn
n nn
n nn
a b a b a b a b→∞ →∞
+( ) = + −( ) = − →→∞
⋅( ) = ⋅a b a bn n
Jeżeliponadtobn ≠ 0 dlan 1orazb ≠ 0,to
limn
n
n
a
ba
b→∞=
![Page 21: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/21.jpg)
19
• SumawyrazównieskończonegociągugeometrycznegoDanyjestnieskończonyciąggeometryczny a b
n n( ) i ,określonydlan 1,oilorazieq.
Niech Sn( )oznaczaciągsumpoczątkowychwyrazówciągu a b
n n( ) i,toznaczyciągokreślonywzorem
S a a an n= + + +
1 2... dlan 1.Jeżeli q <1,tociąg S
n( )magranicę
S Sa
qnn= =
−→∞
lim1
1
Tęgranicęnazywamysumąwszystkichwyrazówciągu a bn n
( ) i.
17. POCHODNA FUNKCJI
• Pochodnasumy,różnicy,iloczynuiilorazufunkcji
c f x c f x c R
f x g x f x g x
f x
⋅ ( ) ′ = ⋅ ′( ) ∈
( )+ ( ) ′ = ′( )+ ′( )
( )−
dla
gg x f x g x
f x g x f x g x f x g x
( ) ′ = ′( )− ′( )
( ) ⋅ ( ) ′ = ′( ) ⋅ ( )+ ( ) ⋅ ′( )
ff x
g x
f x g x f x g x
g xg x
( )
( )
′=
′( ) ⋅ ( )− ( ) ⋅ ′( )
( )
(2, gdy )) ≠ 0
• PochodneniektórychfunkcjiNiecha,b,cbędądowolnymiliczbamirzeczywistymi,ndowolnąliczbącałkowitą.
funkcja pochodnafunkcji
f x c( ) = ′( ) =f x 0
f x ax b( ) = + ′( ) =f x a
f x ax bx c( ) = + +2 ′( ) = +f x ax b2
f xa
x( ) = , x ≠ 0 ′( ) = −
f xa
x2
f x xn( ) = ′( ) = −f x nxn 1
• RównaniestycznejJeżelifunkcjafmapochodnąwpunkciex0,torównaniestycznejdowykresufunkcjifwpunkcie x f x
0 0, ( )( )
danejestwzorem
y ax b= + ,
gdziewspółczynnikkierunkowystycznejjestrównywartościpochodnejfunkcjifwpunkciex0,toznaczya f x= ′( )0 ,natomiast b f x f x x= ( )− ′( ) ⋅0 0 0 .Równaniestycznejmożemyzapisaćwpostaci
y f x x x f x= ′( ) ⋅ −( )+ ( )0 0 0
![Page 22: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/22.jpg)
20
α sin
cos
α
βtg α
β
0 0,0000 0,0000 90
1 0,0175 0,0175 89
2 0,0349 0,0349 88
3 0,0523 0,0524 87
4 0,0698 0,0699 86
5 0,0872 0,0875 85
6 0,1045 0,1051 84
7 0,1219 0,1228 83
8 0,1392 0,1405 82
9 0,1564 0,1584 81
10 0,1736 0,1763 80
11 0,1908 0,1944 79
12 0,2079 0,2126 78
13 0,2250 0,2309 77
14 0,2419 0,2493 76
15 0,2588 0,2679 75
16 0,2756 0,2867 74
17 0,2924 0,3057 73
18 0,3090 0,3249 72
19 0,3256 0,3443 71
20 0,3420 0,3640 70
21 0,3584 0,3839 69
22 0,3746 0,4040 68
23 0,3907 0,4245 67
24 0,4067 0,4452 66
25 0,4226 0,4663 65
26 0,4384 0,4877 64
27 0,4540 0,5095 63
28 0,4695 0,5317 62
29 0,4848 0,5543 61
30 0,5000 0,5774 60
31 0,5150 0,6009 59
32 0,5299 0,6249 58
33 0,5446 0,6494 57
34 0,5592 0,6745 56
35 0,5736 0,7002 55
36 0,5878 0,7265 54
37 0,6018 0,7536 53
38 0,6157 0,7813 52
39 0,6293 0,8098 51
40 0,6428 0,8391 50
41 0,6561 0,8693 49
42 0,6691 0,9004 48
43 0,6820 0,9325 47
44 0,6947 0,9657 46
45 0,7071 1,0000 45
α sin
cos
α
βtg α
β
46 0,7193 1,0355 44
47 0,7314 1,0724 43
48 0,7431 1,1106 42
49 0,7547 1,1504 41
50 0,7660 1,1918 40
51 0,7771 1,2349 39
52 0,7880 1,2799 38
53 0,7986 1,3270 37
54 0,8090 1,3764 36
55 0,8192 1,4281 35
56 0,8290 1,4826 34
57 0,8387 1,5399 33
58 0,8480 1,6003 32
59 0,8572 1,6643 31
60 0,8660 1,7321 30
61 0,8746 1,8040 29
62 0,8829 1,8807 28
63 0,8910 1,9626 27
64 0,8988 2,0503 26
65 0,9063 2,1445 25
66 0,9135 2,2460 24
67 0,9205 2,3559 23
68 0,9272 2,4751 22
69 0,9336 2,6051 21
70 0,9397 2,7475 20
71 0,9455 2,9042 19
72 0,9511 3,0777 18
73 0,9563 3,2709 17
74 0,9613 3,4874 16
75 0,9659 3,7321 15
76 0,9703 4,0108 14
77 0,9744 4,3315 13
78 0,9781 4,7046 12
79 0,9816 5,1446 11
80 0,9848 5,6713 10
81 0,9877 6,3138 9
82 0,9903 7,1154 8
83 0,9925 8,1443 7
84 0,9945 9,5144 6
85 0,9962 11,4301 5
86 0,9976 14,3007 4
87 0,9986 19,0811 3
88 0,9994 28,6363 2
89 0,9998 57,2900 1
90 1,0000 – 0
18. TABLICA WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
![Page 23: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x deiniujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062415/5fdf33c9c5c7bc58f23195a1/html5/thumbnails/24.jpg)
PublikacjawspółinansowanaprzezUnięEuropejskąwramachEuropejskiegoFunduszuSpołecznego.Publikacjajestdystrybuowanabezpłatnie.
ISBN978-83-940902-1-0
OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawGdańskuul.NaStoku49,80-874Gdańsktel.(58)32-05-590,fax(58)32-05-591www.oke.gda.pl,e-mail:[email protected]
OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawŁodziul.Praussa4,94-203Łódźtel.(42)63-49-133,fax(42)63-49-154www.oke.lodz.pl,e-mail:[email protected]
OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawJaworznieul.AdamaMickiewicza4,43-600Jaworznotel.(32)78-41-615,fax(32)78-41-608www.oke.jaw.pl,e-mail:[email protected]
OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawPoznaniuul.Gronowa22,61-655Poznańtel.(61)85-40-160,fax(61)85-21-441www.oke.poznan.pl,e-mail:[email protected]
OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawKrakowieos.Szkolne37,31-978Krakówtel.(12)68-32-101,fax(12)68-32-100www.oke.krakow.pl,e-mail:[email protected]
OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawWarszawiePlacEuropejski3,00-844Warszawatel.(22)45-70-335,fax(22)45-70-345www.oke.waw.pl,e-mail:[email protected]
OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawŁomżyAl.Legionów9,18-400Łomżatel.(86)47-37-120,fax(86)47-36-817www.oke.lomza.pl,e-mail:[email protected]
OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnaweWrocławiuul.Zielińskiego57,53-533Wrocławtel.(71)78-51-894,fax(71)78-51-866www.oke.wroc.pl,e-mail:[email protected]
CentralnaKomisjaEgzaminacyjnaul.JózefaLewartowskiego6,00-190Warszawa
tel.(22)53-66-500,fax(22)53-66-504www.cke.edu.pl,e-mail:[email protected]