Download - 10. Representación gráfica de funciones
Universidad de Cadiz
Departamento de Matematicas
MATEMATICAS
para estudiantes de primer curso
de facultades y escuelas tecnicas
Tema 10
Representacion grafica de funciones reales de una variable real
Elaborado por la Profesora Doctora Marıa Teresa Gonzalez Montesinos
Indice
1. Introduccion 1
2. Pasos a seguir para la representacion grafica de una funcion 1
2.1. Calculo del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5. Crecimiento y decrecimiento. Maximos y mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Ejemplos 2
3.1. Representacion de la funcion f(x) = x4 − 5x2 + 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.1. Dominio de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.2. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1.4. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1.5. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1.6. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2. Representacion de la funcion f(x) =x
x− 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2.1. Dominio de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.2. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.4. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.5. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.6. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3. Representacion de la funcion f(x) =3
x2 − 3x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3.1. Dominio de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3.2. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3.4. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3.5. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3.6. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4. Representacion de la funcion f(x) =x3 + 1
x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4.1. Dominio de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4.2. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.4. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.5. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4.6. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5. Representacion de la funcion f(x) = xex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5.1. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5.2. Corte con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5.3. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5.4. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5.5. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.6. Representacion de la funcion f(x) = ln(4 − x2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas
3.6.1. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.6.2. Corte con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6.3. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6.4. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6.5. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4. Ejercicios propuestos 16
Tema 10 1
1. Introduccion
Hasta ahora, para representar graficamente una funcion y = f(x) calculabamos el dominio de estay confeccionabamos una tabla de valores o de puntos de la forma (x, f(x)), siendo x ∈ dom(f); dichospuntos se dibujaban en el plano y se iban uniendo mediante lıneas, formandose ası una curva que seaproximaba a la grafica de la funcion f .
En este tema aprovecharemos el estudio que hemos realizado de las funciones en el tema anteriorpara elaborar una representacion grafica mas detallada; ademas, podremos representar funciones que,con el metodo de las tablas de valores, nos hubiera resultado imposible.
2. Pasos a seguir para la representacion grafica de una funcion
Sea y = f(x) una funcion. Para reprensentarla graficamente hay que seguir los pasos siguientes:
2.1. Calculo del dominio
Ya se estudio en el tema 7 que
dom(f) = {x ∈ R : ∃f(x)}
2.2. Simetrıas
Recordemos que
f(−x) = f(x),∀x ∈ dom(f) ⇐⇒ f es par
f(−x) = −f(x),∀x ∈ dom(f) ⇐⇒ f es impar
2.3. Corte con los ejes coordenados
La grafica de la funcion y = f(x) cortara al eje de abcisas o eje OX en un punto x0 ∈ dom(f) sif(x0) = 0, y cortara al eje de ordenadas o eje OY si 0 ∈ dom(f).
b
bCorte con el eje OYCorte con el eje OX
(0, f(0))
(x0, 0)X
Y
Figura 1: Corte de la curva y = f(x) con los ejes coordenados.
2 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas
2.4. Asıntotas
Las asıntotas pueden ser de tres tipos:
Verticales.- La recta x = a es una asıntota vertical de f si
lımx→a−
f(x) = ±∞, lımx→a+
f(x) = ±∞
siendo a /∈ dom(f), por lo que la curva jamas cortara a dicha asıntota.
Horizontales.- La recta y = b es una asıntota horizontal de f si
lımx→±∞
f(x) = b
Oblicuas.- La recta y = mx + n es una asıntota oblicua de f si
lımx→±∞
f(x)
x= m, lım
x→±∞[f(x) − mx] = n
Es fundamental tener en cuenta que si f posee asıntotas horizontales entonces no tendra asıntotaoblıcua alguna.
2.5. Crecimiento y decrecimiento. Maximos y mınimos
En este paso se trata de averiguar en que puntos del dominio la funcion es creciente o decrecientey de calcular los maximos y mınimos de la funcion. Para ello nos seran de gran utilidad los conceptosestudiados en el tema 9.
2.6. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexion
Aquı hay que hallar la concavidad, convexidad y puntos de inflexion de f haciendo uso de loestudiado en el tema anterior.
3. Ejemplos
3.1. Representacion de la funcion f(x) = x4 − 5x2 + 4
3.1.1. Dominio de f
Como f es un polinomio tendremos que dom(f) = R .
3.1.2. Simetrıas
Al ser
f(−x) = (−x)4 − 5(−x)2 + 4 = x4 − 5x2 + 4 = f(x), ∀x ∈ R,
podemos afirmar que f es una funcion par o simetrica respecto del eje de ordenadas.
Tema 10 3
3.1.3. Corte con los ejes coordenados
Eje OX: Se tiene que
f(x) = 0 ⇐⇒ x4 − 5x2 + 4 = 0 ⇐⇒ x = ±1, x = ±2,
de modo que los puntos de corte seran
(−2, 0), (−1, 0), (1, 0), (2, 0)
Eje OY : Al ser f(0) = 4, el punto buscado es (0, 4) .
3.1.4. Asıntotas
Verticales.- La funcion f no posee asıntotas verticales pues no tiene puntos de discontinuidad.
Horizontales.- Puede probarse facilmente que
lımx→±∞
f(x) = +∞,
por lo que f tampoco posee asıntotas horizontales.
Oblicuas.- Al igual que en el caso anterior, se demuestra de forma sencilla que
lımx→±∞
x4 − 5x2 + 4
x= ±∞,
de modo que no existen asıntotas oblicuas.
3.1.5. Crecimiento y decrecimiento de f
Calculemos en primer lugar los puntos crıticos de f . Para ello,
f ′(x) = 4x3 − 10x = 0 ⇐⇒ x = 0, x = −√
10
2, x =
√10
2.
Para averiguar si estos puntos son maximos o mınimos, procedamos por el criterio de la segundaderivada. Ası, al ser f ′′(x) = 12x2 − 10, se obtiene:
f ′′
(
−√
10
2
)
= 20 > 0
f ′′(0) = −10 < 0
f ′′
(√10
2
)
= 20 > 0
=⇒x =
−√
10
2es un mınimo relativo
x = 0 es un maximo relativo
x =
√10
2es un mınimo relativo
=⇒
f es decreciente en
(
−∞,−√
10
2
)
f es creciente en
(
−√
10
2, 0
)
f es decreciente en
(
0,
√10
2
)
f es creciente en
(√10
2,+∞
)
4 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas
Para representar los maximos y mınimos en el plano hay que calcular sus imagenes:
f(0) = 4, f
(
±√
10
2
)
= −9
4.
3.1.6. Concavidad y convexidad
Sabemos que los puntos de inflexion de f son las soluciones de la ecuacion f ′′(x) = 0, ası que
f ′′(x) = 12x2 − 10 = 0 ⇐⇒ x = ±√
30
6.
Ahora debemos estudiar el signo de f ′′ a la izquierda y a la derecha de estos puntos para ver dondees convexa o concava la funcion:
−1 <−√
30
6; f ′′(−1) = 2 > 0
−√
30
6< 0 <
√30
6; f ′′(0) = −10 < 0
1 >
√30
6; f ′′(1) = 2 > 0
=⇒
f ′′(x) > 0, ∀x ∈(
−∞,−√
30
6
)
f ′′(x) < 0, ∀x ∈(
−√
30
6,
√30
6
)
f ′′(x) > 0, ∀x ∈(√
30
6,+∞
)
=⇒
f es convexa en
(
−∞,−√
30
6
)
f es concava en
(
−√
30
6,
√30
6
)
f es convexa en
(√30
6,+∞
)
Solo falta hallar las imagenes por f de los puntos de inflexion para representarlos en la grafica:
f
(
±√
30
6
)
=700
729.
De este modo, la representacion grafica de la funcion queda como
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -2 2 4• •• •
•
• •
• •
Y
X
Tema 10 5
3.2. Representacion de la funcion f(x) =x
x− 4
3.2.1. Dominio de f
f es una funcion racional, de modo que el denominador no debe anularse. Por lo tanto
x ∈ dom(f) ⇐⇒ x − 4 6= 0 ⇐⇒ x 6= 4
=⇒ dom(f) = R − {4}
3.2.2. Simetrıas
Como
f(−x) =−x
−x − 46= f(x) y f(−x) =
−x
−x − 46= −f(x), ∀x ∈ R,
f no es par ni impar.
3.2.3. Corte con los ejes coordenados
Eje OX: Se tiene que
f(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,
con lo que el unico punto de corte sera (0, 0) .
Eje OY : Al ser f(0) = 0, volvemos a obtener el mismo punto anterior.
3.2.4. Asıntotas
Verticales.- La recta x = 4 va a ser una asıntota vertical, pero debemos hallar los lımites lateralespara ver si la funcion se dirige hacia +∞ o −∞. Para ello, elaboramos las correspondientestablas de valores:
x → 4− f(x)
3.9 -393.99 -3993.999 -39993.9999 -39999
......
x → 4+ f(x)
4.1 414.01 4014.001 40014.0001 40001
......
De las tablas anteriores se deduce que
lımx→4−
f(x) = −∞, lımx→4+
f(x) = +∞.
Horizontales.- Tenemos que
lımx→∞
f(x) = 1,
lo cual puede comprobarse perfectamente elaborando las correspondientes tablas de valores:
6 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas
x → −∞ f(x)
-10 0.714-100 0.96154-1000 0.99602-10000 0.9996001
......
x → +∞ f(x)
10 1.66667100 1.041671000 1.0040210000 1.0004002
......
De este modo, la recta y = 1 es la asıntota horizontal de f .
Oblicuas.- f no posee una asıntotas oblicuas por tener una asıntota horizontal.
3.2.5. Crecimiento y decrecimiento de f
La derivada de f viene dada por f ′(x) = − 4
(x − 4)2. Notese que f ′(x) < 0 para cualquier x ∈
dom(f), por lo que podemos afirmar que f es decreciente en todo su dominio.
3.2.6. Concavidad y convexidad
La derivada segunda de f es la funcion f ′′(x) =8
(x − 4)3. Tenemos que f ′′ no se anula nunca, de
modo que no existen puntos de inflexion; no obstante, sı que cambia de signo:
x < 4 =⇒ f ′′(x) < 0x > 4 =⇒ f ′′(x) > 0
}
=⇒ f es concava en (−∞, 4)f es convexa en (4,+∞)
Consecuentemente, la representacion grafica de la funcion sera
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-10 -5 5 10 15• •
Y
X
Tema 10 7
3.3. Representacion de la funcion f(x) =3
x2 − 3x
3.3.1. Dominio de f
Esta es una funcion racional cuyo denominador debe ser no nulo, ası que
x ∈ dom(f) ⇐⇒ x2 − 3x = x(x − 3) 6= 0 ⇐⇒ x 6= 0, x 6= 3
=⇒ dom(f) = R − {0, 3}
3.3.2. Simetrıas
Tenemos que
f(−x) =3
(−x)2 − 3(−x)=
3
x2 + 3x6={
f(x),
−f(x),
por lo que f no es par ni impar.
3.3.3. Corte con los ejes coordenados
Eje OX: Al ser f(x) 6= 0, para cualquier punto x ∈ dom(f), la curva no cortara al eje de abcisas.
Eje OY : Como 0 /∈ dom(f), la grafica de f tampoco cortara al eje de ordenadas.
3.3.4. Asıntotas
Verticales.- Las rectas x = 0 y x = 3 son las asıntotas verticales de esta funcion. Hallemos loslımites laterales de f en los puntos x = 0 y x = 3 para estudiar el comportamiento de la funcion.Para ello, confeccionemos las tablas de valores para cada uno de los puntos:
x → 0− f(x)
-0.1 9.677419-0.01 99.66778-0.001 999.66678-0.0001 9999.666678
......
x → 0+ f(x)
0.1 -10.344830.01 -100.3344480.001 -1000.333440.0001 -10000.33334
......
x → 3− f(x)
2.9 -10.3448282.99 -100.334452.999 -1000.333442.9999 -10000.33334
......
x → 3+ f(x)
3.1 9.6774193.01 99.6677743.001 999.6667783.0001 9999.6667
......
A partir de estas tablas se llega a que
lımx→0−
f(x) = +∞, lımx→0+
f(x) = −∞,
lımx→3−
f(x) = −∞, lımx→3+
f(x) = +∞.
8 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas
Horizontales.- Comprobemos que lımx→∞ f(x) = 0. Efectivamente, las siguientes tablas de valoresnos lo confirman:
x → −∞ f(x)
-10 0.023077-100 2,91262 · 10−4
-1000 2,99103 · 10−6
......
x → +∞ f(x)
10 0.042857100 3,09278 · 10−4
1000 3,00903 · 10−6
......
En consecuencia, la recta y = 0 es una asıntota horizontal de f .
Oblicuas.- Esta funcion, al poseer una asıntota horizontal, no tendra asıntotas oblicuas.
3.3.5. Crecimiento y decrecimiento de f
La derivada de la funcion f es f ′(x) =−3(2x − 3)
x2(x − 3)2. Para estudiar el crecimiento y decrecimiento
de esta funcion debemos resolver la ecuacion f ′(x) = 0; de este modo,
−3(2x − 3)
x2(x − 3)2= 0 ⇐⇒ 2x − 3 = 0 ⇐⇒ x =
3
2.
Ahora debemos comprobar si el punto estacionario obtenido como solucion de la ecuacion anteriores un maximo o un mınimo de f . Para ello, haremos uso del criterio de la derivada primera de f .Tenemos que el denominador de f ′ es siempre positivo en el dominio de f , con lo que
f ′(x) < 0 ⇐⇒ −3(2x − 3) < 0 ⇐⇒ 2x − 3 > 0 ⇐⇒ x >3
2,
f ′(x) > 0 ⇐⇒ −3(2x − 3) > 0 ⇐⇒ 2x − 3 < 0 ⇐⇒ x <3
2.
Ahora bien, como los puntos x = 0 y x = 3 no pertenecen a dom(f), tendremos que
f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈(
−∞,3
2
)
− {0}
f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈(
3
2,+∞
)
− {3}
=⇒f es creciente en
(
−∞,3
2
)
− {0}
f es decreciente en
(
3
2,+∞
)
− {3}=⇒ 3
2es un maximo local de f
Ademas es f
(
3
2
)
= −4
3.
3.3.6. Concavidad y convexidad
La derivada segunda de f viene dada por f ′′(x) =18(x2 − 3x + 3)
x3(x − 3)3. Sera f ′′(x) = 0 siempre y
cuando el numerador de f ′′ se anule. Tenemos sin embargo que la ecuacion x2 − 3x + 3 = 0 no posee
Tema 10 9
raıces reales, por lo que x2−3x+3 sera siempre positivo o siempre negativo. Para comprobar esto solotenemos que sustituir un punto cualquiera en la expresion; por ejemplo, si tomamos x = 0 se obtiene
02 − 3 · 0 + 3 = 3 > 0 =⇒ x2 − 3x + 3, ∀x ∈ R.
No obstante, debido a la forma que tiene el denominador de f ′′, esta sı cambiara de signo, y este sera elmismo que el del denominador.
Tenemos en primer lugar que
x3(x − 3)3 < 0 ⇐⇒ [x(x − 3)]3 < 0 ⇐⇒ x(x − 3) < 0
⇐⇒
x < 0, x − 3 > 0
o bien
x > 0, x − 3 < 0
⇐⇒
x < 0, x > 3 (imposible)
o bien
x > 0, x < 3
⇐⇒ x ∈ (0, 3);
por lo tanto,
x3(x − 3)3 > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0) ∪ (3,+∞).
Podemos afirmar pues que
f ′′(x) < 0, ∀x ∈ (0, 3) =⇒ f es concava en (0, 3)f ′′(x) > 0, ∀x ∈ (−∞, 0) ∪ (3,+∞) =⇒ f es convexa en (−∞, 0) ∪ (3,+∞)
La representacion grafica de esta funcion sera pues de la forma
-6
-4
-2
0
2
4
6
-3 -2 -1 1 2 3 4 5• •
•
Y
X
3.4. Representacion de la funcion f(x) =x3 + 1
x2
3.4.1. Dominio de f
Nos encontramos de nuevo ante una funcion racional, cuyo denominador solo se anula para x = 0,con lo que
dom(f) = R − {0}
10 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas
3.4.2. Simetrıas
Al ser
f(−x) =(−x)3 + 1
(−x)2=
−x3 + 1
x26={
f(x),
−f(x),
f no es ni par ni impar.
3.4.3. Corte con los ejes coordenados
Eje OX: Tenemos que
f(x) =x3 + 1
x2= 0 ⇐⇒ x3 + 1 = 0 ⇐⇒ x = −1,
esto es, el punto de corte con el eje de abcisas es el (−1, 0)
Eje OY : Como 0 /∈ dom(f), la grafica de f no cortara al eje de ordenadas.
3.4.4. Asıntotas
Verticales.- Veamos que la recta x = 0 es la unica asıntota vertical que posee esta funcion elabo-rando la tabla de valores correspondiente para hallar los lımites de f en el punto x = 0:
x → 0− f(x)
-0.1 99.9-0.01 9999.99
......
x → 0+ f(x)
0.1 100.10.01 10000.0
......
En efecto, en virtud de los valores obtenidos en las tablas anteriores podemos afirmar que
lımx→0−
f(x) = +∞, lımx→0+
f(x) = +∞ =⇒ lımx→0
f(x) = +∞.
Horizontales.- Esta funcion no posee asıntotas horizontales pues
lımx→±∞
f(x) = ±∞
Ası es; si observamos las tablas de valores que se exponen a continuacion podemos ver que dichaafirmacion es cierta:
x → −∞ f(x)
-10 -9.999-100 -99.9999-1000 -999.9999
......
x → +∞ f(x)
10 10.01100 100.00011000 1000.000001
......
Al ser infinitos ambos lımites infinitos, f no posee asıntota horizontal alguna.
Oblicuas.- Tenemos en primer lugar que
m = lımx→∞
f(x)
x= lım
x→∞
x3 + 1
x3= 1,
lo cual puede comprobarse perfectamente elaborando las tablas de valores correspondientes:
Tema 10 11
x → −∞ f(x)
x-10 0.999-100 0.999999
......
x → +∞ f(x)
x10 1.001100 1.000001...
...
En segundo lugar, puede comprobarse facilmente que
n = lımx→∞
[f(x) − mx] = lımx→∞
(
x3 + 1
x2− x
)
= lımx→∞
1
x2= 0.
De este modo, la recta y = x , es decir, la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero, es laasıntota oblicua que posee esta funcion.
3.4.5. Crecimiento y decrecimiento de f
La derivada de la funcion f es f ′(x) =x3 − 2
x3. Resolvamos la ecuacion f ′(x) = 0:
x3 − 2
x3= 0 ⇐⇒ x3 − 2 = 0 ⇐⇒ x3 = 2 ⇐⇒ x =
3√
2.
Comprobemos ahora si la solucion de la ecuacion anterior es un maximo o un mınimo de f utilizandodel criterio de la derivada segunda de f . Como
f ′′(x) =6
x4> 0, ∀x ∈ dom(f),
en particular,
f ′′
(
3√
2)
> 0 =⇒ x =3√
2 es un mınimo relativo de f
De este modo podemos afirmar que
f es decreciente en(
0, 3√
2)
f es creciente en(
3√
2,+∞)
Pero, ¿que comportamiento tiene la funcion f en el intervalo (−∞, 0)? Para conocerlo, debemos saberque signo posee f ′ en los puntos de dicho intervalo:
f ′(x) =x3 − 2
x3> 0 ⇐⇒
x3 − 2 > 0, x3 > 0
o bien
x3 − 2 < 0, x3 < 0
⇐⇒
x3 > 2, x > 0
o bien
x3 < 2, x < 0
⇐⇒
x > 3√
2, x > 0
o bien
x < 3√
2, x < 0
⇐⇒
x > 3√
2
o bien
x < 0
En consecuencia,
f ′(x) > 0, ∀x ∈ (−∞, 0) =⇒ f es creciente en (−∞, 0)
Finalmente, se tiene que f(
3√
2)
=3
3√
22≃ 1,89.
12 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas
3.4.6. Concavidad y convexidad
En virtud de lo visto en el apartado anterior,
f ′′(x) > 0, ∀x ∈ dom(f) =⇒ f es convexa
Esta funcion tendra entonces como grafica la que se expone a continuacion:
-5
0
5
10
-3 -2 -1 1 2 3•
•
Y
X
3.5. Representacion de la funcion f(x) = xex
Esta funcion es el producto de un polinomio de primer grado por la funcion exponencial de basee, por lo que
dom(f) = R .
3.5.1. Simetrıas
Esta funcion no es par ni impar ya que
f(−x) = −xe−x =−x
ex6={
f(x),
−f(x).
3.5.2. Corte con los ejes coordenados
Eje OX: Se tiene que
f(x) = xex = 0 ⇐⇒ x = 0,
de modo que el punto de corte con el eje de abcisas es el (0, 0)
Eje OY : Como f(0) = 0e0 = 0, volvemos a obtener el origen de coordenadas como punto de inter-seccion con el eje OY .
Tema 10 13
3.5.3. Asıntotas
Verticales.- Como el dominio de f es todo R, la funcion no tendra asıntotas verticales.
Horizontales.- Para hallar las asıntotas horizontales de f , calculemos los lımites infinitos de la fun-cion. Para ello, confeccionemos las tablas de valores pertinentes:
x → −∞ f(x)
-10 -0.000454-100 −3,72 · 10−42
......
x → +∞ f(x)
10 220264.66100 2,69 · 1045
......
A partir de los valores obtenidos se tiene que
lımx→−∞
f(x) = 0, lımx→+∞
f(x) = +∞,
con lo que la recta y = 0 es la asıntota horizontal de la funcion.
Oblicuas.- Como f tiene una asıntota horizontal, no puede poseer asıntotas oblicuas.
3.5.4. Crecimiento y decrecimiento de f
La funcion f tiene como derivada la funcion
f ′(x) = ex + xex = ex(x + 1)
Resolvamos la ecuacion f ′(x) = 0, teniendo en cuenta que ex > 0, ∀x ∈ R:
ex(x + 1) = 0 ⇐⇒ x + 1 = 0 ⇐⇒ x = −1.
Veamos si el punto x = −1 es un maximo o un mınimo de f utilizando del criterio de la derivadaprimera de f :
f ′(x) = ex(x + 1) > 0 ⇐⇒ x + 1 > 0 ⇐⇒ x > −1,
f ′(x) = ex(x + 1) < 0 ⇐⇒ x + 1 < 0 ⇐⇒ x < −1.
Entonces
f ′(x) < 0 en (−∞,−1)f ′(x) > 0 en (−1,+∞)
}
=⇒ fes decreciente en (−∞,−1)fes creciente en (−1,+∞)
Consecuentemente,
x = −1 es un mınimo relativo
Mas aun, como podremos comprobar a la hora de representar la funcion, veremos dicho punto es un
mınimo absoluto , con f(−1) = −1
e≃ −0,3679.
14 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas
3.5.5. Concavidad y convexidad
En este caso tenemos que f ′′(x) = 2ex + xex = ex(x + 2). Resolvamos la ecuacion f ′′(x) = 0 parahallar los posibles puntos de inflexion:
f ′′(x) = 0 ⇐⇒ ex(x + 2) = 0 ⇐⇒ x + 2 = 0 ⇐⇒ x = −2
Estudiemos ahora el signo de la derivada segunda a la izquierda y a la derecha del punto de inflexion.Para ello tomamos puntos arbitrarios:
f ′′(−3) = e−3(−3 + 2) = −e−3 < 0, f ′′(0) = e0(0 + 2) = 2 > 0 =⇒
f ′′(x) < 0 en (−∞,−2)f ′′(x) > 0 en (−2,+∞)
}
=⇒ f es concava en (−∞,−2)f es convexa en (−2,+∞)
Teniendo en cuenta que f(−2) = −2/e2 ≃ 0,271, la representacion grafica de esta funcion es pues
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4•
••
Y
X
3.6. Representacion de la funcion f(x) = ln(4− x2)
Esta funcion es el logaritmo neperiano de un polinomio de segundo grado, de modo que debe ser
4 − x2 > 0 ⇐⇒ x2 < 4 ⇐⇒ −2 < x < 2,
de donde dom(f) = (−2, 2) , es decir, el dominio de f es un intervalo abierto y finito.
3.6.1. Simetrıas
Esta funcion es par pues
f(−x) = ln(4 − (−x)2) = ln(4 − x2) = f(x), ∀x ∈ (−2, 2).
Tema 10 15
3.6.2. Corte con los ejes coordenados
Eje OX: Se tiene que
f(x) = ln(4 − x2) = 0 ⇐⇒ 4 − x2 = 1 ⇐⇒ x2 = 3 ⇐⇒ x = ±√
3,
ası que los puntos de corte con el eje de abcisas es el (−√
3, 0), (√
3, 0) .
Eje OY : Como f(0) = ln(4−02) = ln 4 ≃ 1,386, el punto de corte con el eje de ordenadas viene dado
por (0, ln 4) .
3.6.3. Asıntotas
Verticales.- Veamos que las rectas x = −2 y x = 2 son las asıntotas verticales de esta funcion.Notese que, al ser dom(f) = (−2, 2), solo podemos calcular lımx→−2+ f(x) y lımx→2− f(x), pueses imposible hallar las imagenes de puntos que se encuentren a la izquierda de x = −2 y a laderecha de x = 2. Elaboremos pues las tablas de valores correspondientes a ambos lımites:
x → −2+ f(x)
-1.9 -0.9416-1.99 -3.2214-1.999 -5.5217-1.9999 -7.8241-1.99999 -10.1266
......
x → 2− f(x)
1.9 -0.94161.99 -3.22141.999 -5.52171.9999 -7.82411.99999 -10.1266
......
Deducimos de lo anterior que
lımx→−2+
f(x) = lımx→2−
f(x) = −∞.
Horizontales.- Es fundamental observar que no existen asıntotas horizontales, ya que el dominio def es el intervalo (−2, 2) y, por lo tanto, no existen los lımites infinitos de esta funcion.
Oblicuas.- Por la misma razon anterior, f no posee asıntotas oblicuas.
3.6.4. Crecimiento y decrecimiento de f
La derivada de la funcion f viene dada por f ′(x) =2x
x2 − 4. La ecuacion f ′(x) = 0 tiene como unica
solucion el punto x = 0. Veamos ahora si dicho punto es un maximo o un mınimo de f utilizando delcriterio de la derivada segunda de f .
Como f ′′(x) =−2(x2 + 4)
(x2 − 4)2< 0, para cualquier x 6= 2, tendremos en particular que
f ′′(0) < 0 =⇒ x = 0 es un maximo relativo de f
Ademas, como se vera a la hora de representar la curva, dicho punto es en realidad un maximo absolutode la funcion. Mas aun, este punto es el de interseccion con el eje de ordenadas.
16 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas
3.6.5. Concavidad y convexidad
Ya vimos en el apartado anterior que f ′′(x) < 0 para todo punto x 6= 2, de modo que f es concavaen todo su dominio.
Tenemos entonces que la grafica de f es de la forma
-4
-2
0
2
4
-2 -1 1 2
•
• •
Y
X
4. Ejercicios propuestos
(1) Hallense las asıntotas de las siguientes funciones:
a) f(x) =3x2 + 1
x, g(x) = e
1
x−3 ;
b) f(x) =2x + 2
x− 1, g(x) = ln(x2 − 2x + 1).
(2) Representa graficamente las siguientes funciones, previa determinacion del dominio de definicion,continuidad, intervalos de crecimiento y concavidad, puntos singulares, asıntotas y simetrıas:
a) f(x) = −x2 + 3, g(x) = x3 − 2;
b) f(x) = x4 − 10x2 + 9, g(x) =x + 2
x − 3;
c) f(x) =x
x2 − 1, g(x) =
x
x2 + 1;
d) f(x) =√
1 − x2, g(x) =√
x2 − 1;
e) f(x) = ln(x − 3), g(x) =e2x
ex2.
(3) Dada la funcion y = ax3 + bx2 + cx + d que admite un maximo y = 1 para x = −1 y un mınimoy = −2 para x = 2, se pide:
a) Calcular los coeficientes a, b, c, d.
b) Coordenadas del punto de inflexion de la curva representada por la ecuacion dada. Hallartambien la ecuacion de la tangente en ese punto.
Tema 10 17
c) Representacion grafica de la funcion.
(4) Dada la funcion f(x) =ax + b
cx − 1, calcula a, b y c, sabiendo que f(−3) =
1
4, f
(
4
3
)
= −3 y
f
(
1
4
)
=4
3. Estudia la funcion y representala graficamente.