Phys I SV 201310-1
10: Systèmes de plusieurs objets
I.Comment décrit-on le mouvement linéaire d’un système d’objets ?Le centre de masse (CM)La dynamique et l’énergie mécanique d’un système de N objets
II.Qu’est-ce qui met un objet indéformable en rotation ?Rappel: Dynamique des rotations du point matérielLe moment d’une force (couple)
Giancoli chapitres 9-8, 9-9; 10-3, 10-4, 11-2
Préparation au cours et aux exosChapitres du Giancoli à lire avant le cours (2.5 p):
9-8 Center of Mass10-4 Torque
Exercices simples (5) à faire avant la séance d’exos:Giancoli 9-62, 63 10-25, 29, 30
Phys I SV 201310-2
10- - Centre de Masse (CM)
Pendant les leçons 1-9 nous avons idéalisé la dynamique et la cinématique des corps par un objet sans dimensionsQuestion: Comment tenir compte que des objets sont en trois dimensions ?En termes physiques, quel élément définit position, vitesse, accélération, quantité de mouvement etc., d’un tel objet ?
Situation: Deux masses m1 et m2 à se trouvent à x1 et x2
Définition: La position xCM du centre de masse est de
M
xmxm
mm
xmxmCMx 2211
21
2211
Masse totale: M=m1 + m2
m1 m2
x2x1 xCM
Pour deux masses identiques:
Règle 1: Le centre de masse d’un objet homogène est sur son axe/plan de symétrie (s’il existe)
221 xx
CMx
Phys I SV 201310-3
… et d un objet de géométrie complexe
Il s’en suit la généralisation en 3D (vectorielle) :
Le CM est un point dans l’espace, pas nécessairement occupé par la matière.
M
N
kkk
CM
xmx 1
Pour N masses, le centre de masse (CM) en x se trouve à
ainsi qu’en y et en z: N
kkmM
1 My
N
kkk
CM
ym1
Mz
N
kkk
CM
zm1
Mr
N
kkk
CM
rm1
objetm
N
kkk
CM dmrMM
rmr
k
10lim
1
Un objet indéformable peut être construit comme une somme de N petites masses m :
objet
dmM]3[kg/m
dV
dm
espaceCM rdrr
Mr 3)(1
espace
rdrM 3)(
NB. Avec la définition de masse volumique :
3r = ??
Phys I SV 201310-4
Comment déterminer le CM en z du cylindre conique ?
CM ?
CMA
CMB
Ex. Centre de masse des objets homogènes composites
h
h
dzz
dzz
0
2
0
3
3
4
0
3
0
4
43
3
4hh
z
z
z h
h
CM
masse volumique constante
r/z= tan
tanzr
2
2
tantan
dm
zdmzCM
hzCM 43
dzrdm 2
=
dzz 22tan
Pour la dérivation du centre de masse, on peut utiliser le centre de masse de chaque objet comme s’il était un objet ponctuel avec une masse égale à la somme de leurs masses.
NB. CM d’un objet avec trou ?
= -
y
1.5 m
0.5 m
-1.5 m
mmyCM 3
5.0mmyCM 4
0m
myCM5.0
Avec masse négative !
Phys I SV 201310-5
Quiz: Quelle hauteur peut-
Situation: En 2009 Usain Bolt a battu le record mondial en courant 100 m en 9.6s et celui du 200m en 19.2s. (Quelle était sa vitesse moyenne ?)Question: Selon la conservation de l’énergie mécanique, avec une vitesse de 10m/s quelle est la hauteur maximale (approximative) que l’on peut sauter ?
A. ~ 4.5m
B. ~ 5m
C. ~ 6.5m
» Le record de Bubka (1994) est à 6.14 m
Conclusion ? mh
msgmsvg
vhmghvm
5;10;10
2221
22
Phys I SV 201310-6
10-2. Dynamique de N objets 2ème loi de Newton et énergie mécanique
Force « interne »: Pour chaque force qui agit sur un membre par un autre membre du système, il existe une force opposée qui s’applique sur l’autre (actio=reactio) :
intextk ii
FFF
Exemple de force interne: collision entre deux membres du système
Exemple de forces externe: gravitation de la Terre
m1g m2g
F1
F2
La somme de toutes les forces qui agissent sur un système est égale au produit de sa masse M avec l’accélération du CM, aCM
N
kkkCM rmrM
1
N
k
kk
CM
dt
rdm
dt
rdM
1 2
2
2
2
La définition du CM:
Dérivée seconde de cette équation nous donne
N
kikk Fam
1
CMext
i aMF
Fint=0
ka
0
CMa
Phys I SV 201310-7
dtPd
Fextm2
x
y
m1m3
v1
v2
v3
N
kkkCM rmrM
1
N
k
kk
CM
dt
rdm
dt
rdM
1
CMext
i aMF
La définition du CM:
La dérivé de cette équation nous donne
N
k
N
kkkk pvm
1 1
N
kkpP
1
dtvd CMM
dtPd
CMCM vdt
rd
N
kk
CMN
kkk m
vvmK
1
2
1
2
221
Energie mécanique d’un objet indéformable
constCMk rr
CMCMk v
dtrconstd
dt
rd
2
2CM
CMvM
KN
kkk hmgU
1
CMCM MghU
N
kkkCM rmrM
1
Exemple: Un petit barrage de hauteur de 10mavec turbine en bas. Le lac stocke de l’eau dans un volume de 500·100·10 m3.Question: Quelle énergie maximale ce lac peut-ilfournir ?
UCM = MghCM = 500 106 10 5 m = 25 109 J = 7 MWh
Quantité de mouvement
PvM CM
CMa
Phys I SV 201310-8
Réponse: Quelle hauteur peut-
Avec une vitesse de 10m/s la hauteur maximale que l’on peut sauter est ~5.1m
le record de Bubka (1994) est à 6.14 m[Pour les femmes est 5.06 m (Isinbayewa, 2009); v~9m/s 4.1m]
Explication:1. CM humain est ~ 0.56h, pour un homme de h=1.9 m à 1.05m 2. On commence à sauter d’un niveau de 1.05m …3. Mais …
En passant la barre en position horizontale (0.2m de plus pour le CM), la vraie hauteur maximale du CM est 6.34m
Question: La déformation de la barre entrera-t-elle en jeu ?
Autres considérations: 1. corps en forme « banane » au sommet.
(Pourquoi ?)2. extension du bras, est-ce important ?
1110011010010100100001111100000000000 888888888888810110111111010100101011111101010101001111111101010011111101001001000011110010111110001110011111011011111111111110011111010111110101111100010100110000111100110100111100011100100001110100001110000100011000100110000011001100110010111001000100--88888888888888
Phys I SV 201310-9
+
+
+
++
= 0
= 0
= 0
= Fext
x
y
m1
m2
m3
F13F31
F12
F21
F23
F32
F1
F2
F3
CM
La dynamique linéaire du CM d’un système avec masse M est égale à celui d’un seul objet à rCMsoumit à la même force extérieure nette.
» A et B sont équivalents:
m1 m2
x2x1 xCM
A)
xCM
M= m1+m2B)
NB. Il est souvent préférable de décrire un système isolé dans le RI de son centre de masse, RICM, pour lequel
0P 0CMKNB. Ki>0 énergie cinétique interne (e.g.thermodynamique, 2ème semestre)
Phys I SV 201310-10
Point d’arrivée pour partie II?
A B
Quiz et exemple
Situation: Une fusée est lancée. Explosion sépare I et II à l’apogée, g cste, pas d’autres forces, si bien que vI=0. (Exemple conceptuel).
Question: Où atterrit la partie II?
A
B
Feu d’artifice Une fusée sphérique de M=1 kg d’un feu d’artifice est lancée avec v0=30 m/s. Après T=2 s, une explosion sépare la fusée en N=100 morceaux de masses égales mi et donne à chacun une augmentation d’énergie cinétique de Ki =0.5 J. (On néglige tout frottement).
b)Sur l’ensemble des 100 morceaux, quelles sont les vitesses maximales (vmax) et minimales (vmin) juste après l’explosion ?
c) Combien de temps T se passe-t-il entre l’arrivée au sol du premier et du dernier morceau ?
d)Une seconde après l’explosion, les morceaux s’illuminent. Quelle forme peut-on observer à cet instant avec quelles dimensions ? Où se trouve son centre de masse et quelle est sa vitesse ?
vCM(T) = v0 –gT = 10 m/s
Conservation de p: pour chaque pi existe –pi
smmKv i
i /102
vmin=0 m/s vmax=20 m/s
z
x
y
v0
Conservation de p: sphère r=10m
Cinématique: à y=45 m avec vCM=0
H(T) + vmin,maxtmin,max
-gtmin,max2/2=0
T = 2.6 s
Phys I SV 201310-11
10-
2mrFrrFDynamique linéaire: Force effectue changement
de vitesse vCM.
Question: Qu’effectue un changement de ?
m=1kg
xCM
Quiz: Barre de quelle masse M=?
33
2ème loi des rotations (voir cours 5 et rappel):
O
Le moment d’une force (couple) représente l’aptitude d’une force F à effectuer une rotation autour du point pivot O.
ObservationPour équilibrer l’effet de la masse m pr au point de suspension de la barre, il faut ajouter des masses dont gmixi=const
Fr Fr
Moment de force (couple) net
Le poids n’est pas capable d’effectuer une rotation de l’objet autour du CM (détermination expérimentale du CM)
Phys I SV 201310-12
CMkext
i aMFFF
Fr
FrFr
k
kkext
i
Quiz et démo aCM et
Situation: Le satellite dans le schéma est en vitesse constante avec vitesse angulaire zéro. Les deux engins s’enflamment produisant les forces T.Question A: La vitesse linéaire du CM du satellite
Question B: La vitesse angulaire
F1
F2
F3
1. Au centre
2. Galet en haut
3. Galet en bas
1.augmente, 2.diminue 3.reste constante
1.augmente, 2.diminue 3.reste constante
Situation: Deux galets attachés par une tige sans masse. On les percute aux endroits indiqués, produisant des forces de normes identiques.
Question: Dans chaque cas, quelles observations pour vCM et ?
II) 2ème loi rotations:
I) 2ème loi linéaire: vCM 0 et identiques
= 02. et 3: 0 mais
opposées
Phys I SV 201310-13
pas de rotation
rotation
accélération angulaire la plus grande
axe de rotation: z
La proportionnalité entre et
Situation: Vous poussez une porte avec un doigt à plusieurs endroits toujours avec la même force.
Question: Quelle force (F1 = F2 etc)effectuera la plus grande accélération angulaire z, i.e. nous permet d’ouvrir la porte le plus vite ?
Z = R F = RF = RF sin(Bras de levier)
Situation: Cas 1: Une force F pousse perpendiculairement à une porte à son centre. Cas 2: La même force est appliquée au bout avec un angle de 300 à une distance L de l’axe.Question I: Dans quel cas le moment de la force F est plus grand ?Question II: Et l’accélération est la plus grande ?
A) Cas 1B) Cas 2C) il sont les mêmes
L F30o
axe
Cas 1 Cas 2
FrOnet
FL/2 90o
axe
F/2
Phys I SV 201310-14
r
R
r
R
r
bobines tirées par un fil
F
Situation 1: Fil enroulé sur le petit cylindre, roulement (sans glisser) sur le gros
Question I: Quand on tire sur le fil, dans quel sens la bobine s’accélère-t-elle?
a) vers la droite b) vers la gauche
F
Ff
Ff
Situation 2: Fil sur le gros cylindre, roulement (sans glisser) sur le petit.
Question II: Dans quel sens la bobine s’accélère-t-elle maintenant ?
a) vers la droite b) vers la gauche
rF
P
P
Phys I SV 201310-15
Rappel: Les coordonnées cylindriques
P = (x0,y0,z0)
x
y
z
cartésiennes
P = ( 0, ,z0)
x
y
z
cylindriques
z0 z0
x0
y0
Equations de liaisons:x= cos
y= sin
z=zO O
20
20
20
2 zyxOP
20
20
2 zOP
2=x2+y2
Phys I SV 201310-16
Rappel: La cinématique circulaire Définitions vitesse et position angulaire (voir aussi leçons 3 et 5,6)
Position angulaire: Vitesse angulaire:
NB. La vitesse angulaire ( =v/r) est la même pour tous les points d’un objet indéformable
Quelle direction et orientation de ?Si les doigts de la main droite suivent le mouvement angulaire, z est dite positive
(« règle de la main droite »)
rV
dttdt )()(
rv
rdtrd
r =const
r circule
décrit une rotation de r autour le vecteur avec la fréquence f= /2 . La norme de r reste constante
valable pour n’importe quelle quantité vectorielle f à la place de r
v= r = r / t
x
y
z
2
2 )()()(dt
tddt
tdt
Accélération angulaire instantanée(définie en toute analogie de la cinématique)
Phys I SV 201310-17
Rappel: Cinématique et dynamique des rotations moment de force, accélération angulaire
change la norme et direction de la vitesse angulaire accélération angulaire
2tan rar
De la cinématique des rotations (leçons 3, 5):Accélération tangentielle atan
Situation: Objet sur trajectoire circulaire,soumis à une force nette quelconque Fnet.
Question: Comment la force Fnet influence-t-elle la vitesse angulaire et ?
rrtmrrttmFR
2
Fnet
Ftan
FR
)( tanaamamF Rnet
2ème loi de Newton:Décomposition en composante radiale et tangentielle
NB. Condition (force) centripète (radiale):
2mrFr k
: Moment de Force F (couple)I: Moment d’inertie de l’objet r : distance pr à l’axe de rotation
I
2ème loi des rotations:
NB. Le Moment de force dépend du choix de référentiel ! (utiliser comme origine l’axe de rotation: c’est différent de m et F)
tanFFFF Rknet
Phys I SV 201310-18
Complément: Centre de Masse de 3 objets
321
332211'mmm
xmxmxmxCM
m1 m2
x2x1 xCM’
Règle 2: Pour la dérivation du centre de masse, on peut utiliser le centre de masse de chaque objet comme s’il était un objet ponctuel avec une masse égale à la somme de leurs masses.
A) et B) sont équivalents :
m3
x3xCM
xCM’
A)
M m3
x3xCM
B)
M’
Pour 3 objets le centre de masse xCM’ est
Masse totale: M’=m1 + m2 + m3Avec la définition de masse totale du CM de m1et m2 (voir précédent)
3
33'mM
xmMxCM
x CM
'332211
Mxmxmxm
3
332121
2211
mM
xmmmmm
xmxmxCM M
Phys I SV 201310-19
par le centre de masse (CM)
Quel est le moment de force (couple) de la force gravitationnelle par le CM d’un objet ?
par =rxF:
Pour une somme de tous les éléments mi:
i=0 l’objet ne fait aucune rotation
(M= mi)xCM= mjxj/M gMxCM
Détermination expérimentale du CM:Pour un objet de géométrie complexe on le suspend à deux (où 3) points pivot, selon son axe de symétrie et on désigne une ligne verticale de chacun
Le CM est à l’intersection des deux (trois) lignes
CMiiCMi xxgm
iCMii
i
CMi xxmg CM
iii gMxxmg
Une force passant par le CM n’est pas capable d’effectuer une rotation de l’objet
Phys I SV 201310-20
Phys I SV 201310-21
Phys I SV 201310-22
Phys I SV 201310-23