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LGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO FASE 1
ZAIDA MILEISY ALZATE QUIGUAZU C.C 1 077 864 690
GRUO! 100408"78
VECTORES MATRICES Y DETERMINANTES
TUTOR
FREDY LEONARDO ORTIZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
10 DE MARZO DE #01$
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INTRODUCCI%N
El lgebra lineal es una rama de las matemticas que estudia conceptos talescomo vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de manerams formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
En el presente trabajo realizaremos ejercicios de operaciones vectoriales en formapolar, de calcular los ngulos vectoriales de dos y tres dimensiones, adems dedeterminar matrices las cuales son un arreglo rectangular de nmeros, smbolos oexpresiones, cuyas dimensiones son descritas en las cantidades de filas(usualmente m por las de columnas (n que poseen.
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OBJETIVOS
OBEJTIVO GENERAL
!esarrollar capacidades analticas y el pensamiento l"gico riguroso a trav#s delestudio del lgebra lineal asimilando con fluidez los principales conceptos dellgebra lineal los cuales con los espacios vectoriales, matrices, y ngulos devectores.
OBJETIVOS ESECIFICOS
$dquirir cierta capacidad de abstracci"n y de formalizaci"n de las ideasmatemticas.
$dquirir el conocimiento de conceptos y t#cnicas de clculo importantes.
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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
%. !ados los siguientes vectores en forma polar&
a.
0240;
23 == u
b.
0300;3 == v
'ealice analticamente, las operaciones siguientes&
%.%.
vu
0240;
23 == u
|u|x=
3
2cos240 |u|y=
3
2sin240
|u|x=0,75 |u|y=1,29
0300;3 == v
|v|x=3cos300 |v|y=3sin 300
|v|x=1,5 - |v|y=2,59
|u|=(0.75,1.29 )|v|=(1.5,2.59)
|u||v|=(0.75,1.29 ) (1.5,2.59)
|u||v|=(0.75,1,5 ) 1,29(2,59)
|u||v|=(2,25 ) ,(1,29+2,59)
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RESUESTA & |u||v|=(2,25 ) ,(1,3)
1.#. vu 2
0240;
2
3 == u
|u|x=3
2cos240 |u|y=
3
2sin240
|u|x=0,75 |u|y=1,29
0300;3 == v
|v|x=3cos300 |v|y=3sin 300
|v|x=1,5 |v|y=2,59
|u|=(0.75,1.29 )|v|=(1.5,2.59)
|u|2|v|=(0.75,1.29 ) 2(1.5,2.59)
|u|2|v|=(0.75,1.29 ) (3,5,18)
|u|2|v|=(0,753 ) ,(1,29+5,18)
RESUESTA & |u|2|v|=(3,75 ) ,(3,89)
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1.' uv+
0240;
23 == u
|u|x=3
2cos240 |u|y=
3
2sin240
|u|x=0,75 |u|y=1,29
0300;3 == v
|v|x=3cos300 |v|y=3sin 300
|v|x=1,5 |v|y=2,59
|v|=(1.5,2.59 )+|u|= (0.75,1.29 )
|v|+|u|=(1.5,2.59 )+ (0.751.29 )
|v|+|u|= (1.50.75 ) ,(2.591.29)
RESUESTA & |v|+|u|=(0,75 ) ,(3,88)
1.4uv 2
0240;
23 == u
|u|x=3
2cos240 |u|y=
3
2sin240
|u|x=0,75 |u|y=1,29
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0300;3 == v
|v|x=3cos300 |v|y=3sin 300
|v|x=1,5 |v|y=2,59
1,5
2.590.75
1.29|v|=
|v|2|u|=(1,5,2.59 )2(0.75,1.29)
|v|2|u| (1,5,2.59 ) ) (1.5 ,+2.58)
|v|2|u|=(1.5+1.5) ,(2.59+2.58)
RESUESTA & |v|2|u|=(3 ) ,(0,01)
1.$vu
34
0240;
23 == u
|u|x=3
2cos240 |u|y=
3
2sin240
|u|x=0,75 |u|y=1,29
0300;3 == v
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|v|x=3cos300 |v|y=3sin 300
|v|x=1,5 |v|y=2,59
0.75
1.291,5
2.59|u|=
4|u|3|v|=4 (0.75,1.29 )3(1.5 ,2.59)
4|u|3|v|=(3,5.16 )(4.5,7 .77)
4|u|3|v|=(3(4.5)) ,(5.16+7.77)
4|u|3|v|=(3+4.5) ,(2,61)
RESUESTA & 4|u|3|v|=(1,5 ) ,(2,61)
*. Encuentre el ngulo entre los siguientes vectores &
2.1.jiu 48 =
yjiv 46 =
uv=48+16=64
uv=|u||v|cos
|u|=64+16|v|36+16cos
64=8052cos
cos= 64
8052
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=cos1 64
8052
=7,12
2.2.jiw 3 += y
jiz 5 =
wz=115=14
wz=|w||z|cos
|w|=1+9|z|=1+25cos
14=1026cos
cos= 14
1026
=cos1 14
1026
=29,74
2.3.kjis 23 ++=
ykjit 5 =
st=1152=16
st=|s||t|cos
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|s|=1+9+4|t|=1+25+1cos
16=1427cos
cos
=
16
1427
=cos1 16
1427
=145,38
'. !ada la siguiente matriz, encuentre1A empleando para ello el m#todo de
+auss -ordn. (!escriba el proceso paso por paso.
=
340
137
1051
C
%. ASO!e coloca la matriz neutra o matriz identidad al lado de la matriz
original.
[1 5 10
7 3 10 4 3 ][
1 0 0
0 1 0
0 0 1]
-
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*. ASO!e divide por /% la fila % para convertir el /% en positivo.
11
=1 , 5
1=5,
10
1=10
[1 5 107 3 10 4 3][
1 0 00 1 00 0 1]
0. ASO!e 1ultiplica la primera fila por una constante diferente de 2, por lainversa de 3 es decir /3 y al resultado de #ste lo sumo o resto a la fila dossegn el signo para 4allar el 2 debajo del %.
1 (7 )+7=05 (7 )3=3210 (7 )1=69
5a identidad 7 (1 )+0=77 (0 )+1=17 ( 0 )+0=0
[1 5 100 32 69
0 4 3][1 0 0
7 1 0
0 0 1]
6. ASO!$4ora como debemos 4allar % en A 22 se divide la fila * por 0*
32
32=169
32
5a identidad7
32
1
32
[1 5 10
0 1 69
32
0 4 3][1 0 0
7
32
1
320
0 0 1]
7. ASO!e debe 4allar 2 en A 32 , entonces se a8ade /6 multiplicado por la
fila * ms la fila tres.
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4 (1 )+4=04( 6932 )3=938
5a identidad 4 ( 732 )+0=78 4 ( 132 )+0=18
[1 5 10
0 1 69
32
0 0 93
8][1 0 0
7
32
1
320
78
18
1]9. ASO!e divide la fila 0
938 para 4allar el %en
A33
938
93
8=1
5a identidad
938
78
= 7
93
938
18
= 1
93
93
8
1=893
[1 5 10
0 1 69
32
0 0 1][
1 0 07
32
1
320
7
93
1
93
893
]3. ASO!e debe 4allar el 2 en A 23 se cambia a negativo 9:;0* y se
multiplica por la fila 0 para luego sumarla por la fila *.
6932
1=69
32+
69
32=0
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5a identidad (6932)( 7
93 )+ 7
32=
7
124 (69
32)( 1
93 )+ 1
32=
1
124
(69
32)(8
93)+0= 23124
[1 5 100 1 0
0 0 1] [
1 0 07
124
1
124
23
124
7
93
1
93
893
]
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R()! [1 0 0
0 1 0
0 0 1]
[
13
372
55
372
25
372
7
124
1
124
23
124
7
93
1
93
893
] A
1
4. Encuentre el determinante de la siguiente matriz describiendo paso a pasola operaci"n que lo va modificando (sugerencia& emplee las propiedades eintente transformarlo en una matriz triangular
=
43201
26214
75120
12100
10000
A
%. ASO!e suma a la >ila % la >ila 6.
4 1 20 0 10 2 1
6 32 1
5 7
4 1 21 0 2
6 23 4
*. ASO& 1ultiplico por /% a la >ila 6 y sumo o resto segn sea el caso a la fila %.
4 1 20 0 10 2 1
6 32 1
5 7
0 0 0
1 0 2
0 1
3 4
-
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0. ASO!=ara 4allar el 2 en A 51 se multiplica la >ila 7 por /%;6 , luego por la
fila % ,ms la >ila 7.
4 1 20 0 10 2 1
6 32 1
5 7
0 0 0
0 1
4
5
2
0 1
3
2
19
4
6. ASO!5a fila 0 la sumo por la fila *, para 4allar el 2 en A 23 .
4 1 20 2 0
0 2 1
6 33 8
5 7
0 0 0
0 1
4
5
2
0 1
3
2
19
4
7. ASO!=ara 4allar el 2 en A 32 multiplico por /% la fila 0, el resultado sumo
resto segn el signo por la >ila *, tengo en cuenta que los signos cambian esdecir si da ) lo cambio a y viceversa.
4 1 20 2 0
0 0 1
6 33 8
2 1
0 0 0
0 1
4
5
2
0 1
3
2
19
4
9. ASO!=ara 4allar el cero en A52 , se multiplica por /%;
-
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0 0 0
0 0 5
2
0 1
15
8
23
4
3. ASO& 5a fila 7 se suma por /7;* por la fila 0.
4 1 20 2 0
0 0 1
6 33 8
2 1
0 0 0
0 0 0
0 1
258
33
4
-
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Det=421(258)1=25
$.Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes
('ecuerde&AdjA
DetAA *1
1 =
?ota& !escriba el proceso paso por paso.
=
518
503
125
C
%. ASO!=rimero se 4alla el determinante de la matriz&
=
518
503
125
C
!et ($ [
5 2 13 0 5
8 1 5
5 23 0
8 1][5 2 1
3 0 5
8 1 5
5 23 0
8 1] !et ($ 2)
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AT=[
5 3 82 0 11 1 5]
C( 1,1)=05=5C(1,2)=10+1=11
C(1,3)=100=10
C(2,1 )=15+40=25C(2,2)=258=17
C(2,3)=25+3=+22
C(3,1)=30=3C(3,2)=516=21
C(3,3 )=0+6=6
6. ASO!e 4alla la matriz adjunta AdjAt
donde deben ir los cofactores, y
se aplica la regla de los signos.
[
C(1,1) C(2,1) C(3,1)C(1,2) C(2,2) C(3,2)C(1,3) C(2,3) C(3,3)
]
+++++
[
5 25 311 17 21
10 22 6
]7. ASO!e sustituye en la f"rmula de la matriz la matriz adjunta de acuerdo
al determinante&
A1=
1
|A|Ad j
(At)
A1=
1
|72| [5 25 311 17 2110 22 6]=[
572 2572 37211
72
17
72
21
72
1672
22
72
6
72 ]S*+,-**/)+!
R()!
A1=[
572
2572
124
1172
1772
7
24
536
11
36
1
12 ]
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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
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(Algebra B, s.f.
(s..). Obtenido de lgebra 4 !tt"##$$$.uned.es#07120#2.!tm
(Concepto de 1atriz, *2%6
Concepto de Matriz. (12 de 12 de 201:). Obtenido de iBilibros!tt"##es.$iBibooBs.org#$iBi#atemC3A1ti%as#atri%es#Con%e"todeatri@