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MACROMECÂNICA - Parte 1
LÂMINAS REFORÇADAS POR
FIBRAS UNIDIRECIONA IS
Unidirectional Fiber-Reinforced Composite Layers
Lâmina ( Ply, Layer, Lamina)
Prof. Severino Marques
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MACROMECÂNICA - Parte 1
LÂMINAS REFORÇADAS POR
FIBRAS UNIDIRECIONA IS
Unidirectional Fiber-Reinforced Composite Layers
Lâmina ( Ply, Layer, Lamina)
Prof. Severino Marques
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“Never trust an experimental result until
it has been confirmed by theory”
“Nunca acredite em um resultado experimental
até que ele seja confirmado por teoria”
Sir Arthur Eddington
(As tro físic o Ing lês)
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MACROMECÂNICA DE UM LAMINADO
Macrom echanics of a Laminate
Prof. Severino Marques
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LAMINADO
Lâminas
Laminado
-
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Laminado: Nomenclatura Usual
6 camadas a 0 o 6[0 ]
2 c. +45 o + 2 c .-45 o , s imétrico 2 2[45 / 45 ] s
3 c. 0 o + 5 c. 90 o , s imétrico 3 5[0 /90 ] s
[ 45/0/90] s
30 grupo s d e [ 45/0/90] , s imétrico
45/ 45/ 0/ 90 , s imétrico
30[( 45/ 0 / 90) ] s
Exemplos
Descr ição da sequênc ia das lâm inas
(Stackin g sequence)
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Cross -Ply Laminates
Laminados const i tuídos p or camadas com fibras a 0 o e 90 o
[0/90/0] symmetr ic cross-p ly lam inate
[0/90/90/0/0/90] ant isymmetr ic cros s-p ly laminate
Regular symmetr ic (ant isymmetr ic) cro ss -ply laminates
Laminado: Nomenclatura Usual
Laminado regular Lâm inas com mesma espessura
Exemplos
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Angle-Ply Laminates
Lam inados con sti tuídos por ig ual número de camadas d e
mesma espessura e com f ibras a + q e - q
Laminado: Nomenclatura Usual
[ 45 / 45 / 45 / 45 / 45] symmetr ic angle-ply laminate
[ 30 / 30 / 30 / 30]
ant isymmetr ic angle-ply
laminate
Exemplos
[ 45 / 30 / 0 / 0 / 30 / 45]
ant isymmetr ic angle-ply laminate +30/-30/-30/+30
-
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camada 1
Aderênc ia entre camadas: per feita Material de cada camada: hom ogêneo
Estado de tensão de cada camada: p lano
isótropo ortótropo
transv. isótropo
Defo rm ação do lam inado Vale a hip ótese de K irc hh off
Lam inado: Hipóteses e No tações
super fície
média z x
y
t/2
t/2
camada N
camada
k
k z 1k z
N z 0
z 1 z
1k k k t z z
-
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Kirchhoff, Gustav Robert (1824 - 1887)
(fís ico alemão)
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Relações Defo rmação-Des lo camen tos
Hipótese de Kirc hho ff ( ou de Kirchhoff-Love):
Retas normais à super fície média do lam in ado an tes da defo rmação
permanecem retas e normais à super fíc ie média depo is da defo rm ação
e, além d is to , não mudam de comprimen to
0 xz yz 0 z
x
z
normal
normal
an tes da d eformação depo is da defo rmação
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Relações Defo rmações-Des lo camento s
Des lo cam entos da superfíc ie média do lam inado (z=0):
( , )ou x y ( , )ov x y ( , )ow x y
Deslocamentos de um ponto qualquer do laminado:
( , , )u x y z ( , , )v x y z ( , , ) ( , )ow x y z w x y
0 z
ovow y
z
P
P
ouow
x
z
P
P
-
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Relações Defo rmações-Des lo camento s
z
M
N
A
M
N
A
ou
z
z superfíc ie média deformada
super fíc ie média
indeformada Seção M-N
Des lo camentos do po nto A na di reção x
o
u u z
tan w x
o wu u z
x
-
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Relações Deformações-Des lo camen to s
Similarmente, o wv v z y
xk 2
2
o
x
u u w z x x x
o
x x x zk
(cu rvatura no p lano x-z)
o
y y y zk
2
2
o
y
v v w z
y y y
(cu rvatura no p lano y-z) yk
-
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Relações Defo rm ações-Des lo camento s
o
xy xy xy
zk
2
2
o o
xy
u v u w v
z y x y x y x
2
2 x
wk
x
2
2 y
wk
y
2
2 xyw
k x y
Curvatur as do plano médio do laminado no ponto (x,y,0)
-
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Relações Defo rm ações-Des lo camento s
o
x x x
o
y y y
o xy xy xy
k
z k
k
11 12 16
12 22 26
16 26 66
k k o
x x xo
y y y
o xy xy xy
k Q Q QQ Q Q z k
Q Q Q k
Tensões atuantes sob re a lâm ina k com coordenada z
-
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Forças e Momentos Resu ltantes no Lamin ado
z x
y
x N
y N xy N yx
N
z x
y
xy M
yx M x M y M
Forças de membrana po r
unidade de comprimento
Momentos f letores porunidade de comprimento
-
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1
2
12
k
k
k
x x xt N z
t y y y z
k
xy xy xy
N
N dz dz
N
Forças e Momentos Resu ltantes no Laminado
1
2
12
k
k
k
x x xt N z
t y y y z
k
xy xy xy
M
M zdz zdz
M
-
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Relações Con st itu tiv as do Lam inado
1 1
11 12 16
12 22 26
1
16 26 66
k k
k k
o
x x x N z z o
y y y z z
k o
xy xy xy
Q Q Q N k N Q Q Q dz k zdz
Q Q Q N k
1 1
11 12 16
212 22 26
1
16 26 66
k k
k k
o
x x x N z z
o y y y
z z k
o xy xy xy
Q Q Q M k
M Q Q Q zdz k z dz
Q Q Q M k
-
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11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
o
x x xo
y y y
o xy xy xy
N A A A B B B k N A A A B B B k
A A A B B B N k
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
o
x x x
o y y y
o xy xy xy
M B B B D D D k
M B B B D D D k
B B B D D D M k
Relações Cons titu tiv as do Laminado
-
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11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
o
x x
y
xy
x
y
xy
N A A A B B B
N A A A B B B
N A A A B B B
M B B B D D D
M B B B D D D
B B B D D D M
o y
o
xy
x
y
xy
k
k
k
Relações Constitu tiv as do Lam inado
Matriz de Rigidez Extensio nal
Matriz de Rigid ez de Acop lamento Membrana-Flexão
Matri z de R ig idez de Flexão
A
B
D
-
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1
1
( ) ( )
N
ij ij k k k
k
A Q z z
2 2
1
1
1( ) ( )
2
N
ij ij k k k
k
B Q z z
3 3
1
1
1( ) ( )
3
N
ij ij k k k
k
D Q z z
Rigidez extensional
Rig idez de acop lamen to flexão-extensão
Rig idez à flexão
Relações Con st itu tiv as do Laminado
-
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Casos Especiais de Laminados
I – Lam inado com uma única lâm ina
I.1 – Lâm ina Isótrop a
11 21
Et A A
22 A A12 A A 16 26 0 A A 66
1
2 A A
3
11 212(1 )
Et D D
22 D D12 D D 16 26 0 D D 66
12
D D
0
0
10 0
2
o
x x
o
y y
o xy xy
N A A
N A A
N A
0ij B
-
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Casos Especiais de Laminados
I.1 – Lâm ina Isótrop a
0
0
10 0
2
x x
y y
xy xy
M k D D
M D D k
M k D
-
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I.2 –
Lâm ina Especialmente Ortótrop a
Casos Especiais de Laminados
1
2
3
11 11 A Q t 22 22 A Q t 12 12 A Q t
16 26 0 A A 66 66 A Q t
3
1111
12
Q t D 16 26 0 D D
3
1212
12
Q t D
3
2222
12
Q t D
3
6666
12
Q t D
0ij B
11 12
12 22
66
0
0
0 0
o
x x
o
y y
o xy xy
N A A
N A A
A N
11 12
12 22
66
00
0 0
x x
y y
xy xy
M k D D M D D k
D M k
-
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I.3 – Lâm ina Geralmente Ortótro pa
Casos Especiais de Laminados
ij ij A Q t 3
12
ij
ij
Q t D 0ij B
11 12 16
12 22 26
16 26 66
o
x x
o
y y
o xy xy
N A A A
N A A A
A A A N
11 12 16
12 22 26
16 26 66
x x
y y
xy xy
M D D D k
M D D D k
D D D M k
1
2
3
I.4 – Lâm ina A nisótropa
As matr izes [A] e [B] têm a mesma forma daquelas do caso de
lâm ina geralmente ortótrop a
-
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2.1 – Lam inados Simétr icos
Simetria geométri ca e nas p ropr iedades do material
m
m
Lâminas idêntic as Super fíc ie média
Não exis te aco p lamento membrana-flexão 0ij B
Casos Especiais de Laminados
Pode exis t ir acop lamento extensão-cisalhamento
e flexão-torção 16 260; 0 A A
podem ocorrer
16 26
0; 0 D D
-
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11 12 16
12 22 26
16 26 66
11 12 16
12 22 26
16 26 66
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 00 0 0
0 0 0
x
y
xy
x
y
xy
N A A A
N A A A
N A A A
M D D D M D D D
D D D M
o x
o
y
o
xy
x
y
xy
k
k
k
Casos Especiais de Laminados
2.1 – Lam inados Simétr icos
Remark:
Um lam inado simétri co pode ter acoplamento membrana-flexão.
Exemplo: Lam inado sujeit o a gradiente térm ico e com lâm inas tend o
pro priedades dependentes da temperatura.
-
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Casos Especiais de Laminados
Lam inados simétric os com lâm inas de material isótropo
11 22 2( ) ( )
1
k k k
k
E Q Q
12 2( )
1
k k k
k
E Q
16 26( ) ( ) 0k k Q Q 66( ) 2(1 )k
k
k
E Q
11 12
12 22
66
0
0
0 0
o
x x
o y y
o xy xy
N A A
N A A
A N
11 12
12 22
66
0
0
0 0
x x
y y
xy xy
M k D D
M D D k
D M k
-
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Casos Especiais de Laminados
Lam inados s imétric os com lâm inas espec ialmente ortótropas
111
12 21
( )1
k
k k k
E Q
16 26( ) ( ) 0k k Q Q 66 12( )k
k Q G
11 12
12 22
66
0
0
0 0
o
x x
o
y y
o xy xy
N A A
N A A
A N
11 12
12 22
66
0
0
0 0
x x
y y
xy xy
M k D D
M D D k
D M k
12 112
12 21
( )1
k k
k k k
E Q
2
22
12 21
( )1
k
k k k
E Q
-
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Casos Especiais de Laminados
Laminados simétricos do tipo “angle- ply”
Exemplo: [ / / / / ]q q q q q
16 260; 0 A A 16 260; 0 D D 0ij B
2.2 - Laminado Balanceado
Pares de lâm inas d e mesma espessura e prop riedades elást icas ,
mas com orien tações + q
e –q
. 0q 90q
-
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Exemp los de lam inados balanceados:
Casos Especiais de Laminados
1 1 2 2 2 2 1 1[ / / / / / / / ]q q q q q q q q
1 2[ / ] sq q
(s imétrico)
1 2 2 1[ / / / ]q q q q (Ant i-s imétri co )
1 2 1 2[ / / / ]q q q q (Ass imétric o )
16 0 A 26 0 A
Não ex is te acoplamento ex tensão-c isalhamento :
-
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Casos Especiais de Laminados
2.3 - Laminado Quase-Isótropo Quasi-Isotro pic L aminate
Pro pried ades elástic as no p lano do lam inado independem da dir eção
1
2
x
y
ij ij A A
11 22 A A
12 11 A A
66 11
1
2 A A
16 26 0 A A
-
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Casos Especiais de Laminados
Exemp los de Laminados Quase-Isótropo s:
[ 60 / 0 / 60] [ 45 / 0 / 45 / 90]
Em geral, são lam inados quase-isótro po s
2 1[0 / / / .... / ]nn n n 2 1[0 / / / .... / ] sn
n n n
2[ / / .... / ]
n n
2[ / / .... / ] s
n n
C E i i d L i d
-
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Casos Especiais de Laminados
2.4 – Lam inado s An ti-Simétr icos
m
m
Super fície média
q
q
[ / / / ]q q q q
Exemplos:
[ 45 / 0 / 45 / 45 / 45 / 45 / 0 / 45]
-
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Casos Especiais de Laminados
11 12 1611 12
12 22 12 22 26
66 16 26 66
0
0
0 0
o
x x x
o
y y y
o xy xy xy
N B B B k A A
N A A B B B k
A B B B N k
11 12 16 11 12
12 22 26 12 22
6616 26 66
00
0 0
o
x x x
o
y y y
o xy xy xy
M B B B k D D M B B B D D k
D B B B M k
Lam inado s Ant i-Simétr icos
-
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2.4 – Lam inados Ant i-Simétric os d o tip o Cros s-Ply
Casos Especiais de Laminados
m
m
Super fície média
0
90
[0/90/0/90]
Exemplos:
[0/90/0/90/0/90/0/90]
-
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Casos Especiais de Laminados
11 12 11
12 22 11
66
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
o
x x x
o
y y y
o xy xy xy
N k A A B
N A A -B k
A N k
11 11 12
11 12 22
66
0 0 00 0 0
0 0 0 0 0
o
x x xo
y y y
o xy xy xy
M k B D D M -B D D k
D M k
Lam inados Ant i-Simétric os do tipo Cros s-Ply
C E i i d L i d
-
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Casos Especiais de Laminados
2.5 – Lam inados Ant i-Simétri co s do tipo Ang le-Ply
1 2 2 1[ / / / ]q q q q
Exemplos:
[ 45 / 30 / 0 / 0 / 30 / 45]
m
m
Super fíc ie
média
iq
iq
par
0 90iq
C E i i d L i d
-
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40/59
1611 12
12 22 26
66 16 26
0 00
0 0 0
0 0 0
o
x x x
o
y y y
o xy xy xy
N B k A A
N A A B k
A B B N k
16 11 12
26 12 22
6616 26
0 0 0
0 0 0
0 00
o
x x x
o
y y y
o xy xy xy
M B k D D
M B D D k
D B B M k
Casos Especiais de Laminados
Lam inados Ant i-Simétric os do tipo Ang le-Ply
AN LISE HIGRO TERMO MEC NICA DE UM LAMINADO
-
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ANÁLISE HIGRO-TERMO-MECÂNICA DE UM LAMINADO
1 11 111 12
2 12 22 2 2 2
666 12
0
0
0 0 0 0
T H
T H
k k k k k
Q Q
Q Q
Q
Relação cons ti tu ti va h ig ro -term o-elástica de uma lâm ina
1
2 1,2 – d ireções prin ci pai s
1 1
2 2
0 0
T
T
k
k k
T
1 1
2 2
0 0
H
H
k
k
k
H
k-ésima lâm ina
Deformação térm ica
Deformação
higroscópica
R l ti t ti h i t l ti d l i
-
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42/59
11 12 16
12 22 26
16 26 66
x x x x
y y y k y k
xy xy xy xyk k k k k
Q Q QQ Q Q T H
Q Q Q
x
y
Relação cons tit u tiv a da lâm ina referi da aos
eixos x e y d o laminado
Relação consti tu ti va h ig ro -term o-elástica de uma lâm ina
-
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43/59
1
1
2
1162
2
x
y
xy
T
1
1
2
12
0
x
y
xy
T
1
1
2
12
0
x
y
xy
T
Trans formação de defo rmações e coef ic ien tes de d ilatação
defo rmação
Coef ic ien tes de d ilatação
-
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44/59
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
o HT
x x x x
o HT
y y y y
o HT xy xy xy xy
N N A A A B B B k
N A A A B B B k N
A A A B B B N k N
Forças no plano do lamin ado
Forças h ig ro térm icas no p lano do lam inado
11 12 16
12 22 26
16 26 66
HT
x x x
HT
y y k y k
HT xy xy xy k k k
N Q Q Q
N Q Q Q T H dz
Q Q Q N
-
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45/59
Forças h ig ro térm icas no p lano do lam inado
11 12 16
12 22 26
1
16 26 66
HT
x x x N
HT
y y k y k k
k HT
xy xy xy k k k
N Q Q Q
N Q Q Q T H t
Q Q Q N
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
o HT
x x x xo HT
y y y y
o HT xy xy xy xy
M M B B B D D D k M B B B D D D k M
B B B D D D M k M
Momentos no laminado
-
8/18/2019 11 - Laminados
46/59
11 12 16
12 22 26
16 26 66
HT
x x x
HT y y k y k
HT xy xy xy k k k
M Q Q Q
M Q Q Q T H zdz
Q Q Q M
Momentos h ig ro térm icos no lam inado
11 12 16
12 22 26
1
16 26 66
HT
x x x N HT
y y k y k k k
k HT
xy xy xy k k
M Q Q Q
M Q Q Q T H z t
Q Q Q M
1
2
k k k
z z z
1k k k t z z onde
-
8/18/2019 11 - Laminados
47/59
Exemplo de Ap li cação
[0 / 30 / 45]
1 x y N N kN/m N x
N y
grafite/epóxi
1 181 E GPa 2 10,30 E GPa
12 0,28 12 7,17G GPa
Calcular:
1 - Defo rm ações e cu rv atu ras no plano médio
2 - Tensões globais e locais no topo da lâm ina 2
?
Espessu ra de cada lâm ina = 5 mm
[A] [B] [D]
-
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1-a) Matrizes de rig idez [A], [B] e [D]
1,739 0,388 0,057
[ ] 0, 388 0, 453 - 0,114
0, 057 - 0,114 0, 453
A GPa m
2
3,129 0,986 1,072
[ ] 0,986 1,158 1, 072
1, 072 1, 072 0,986
B MPa m
3
33, 430 6, 461 5, 240
[ ] 6, 461 9,320 5,596
5, 240 5,596 7,663
D kPa m
-
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49/59
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
0
0
0
0
o
x x
o
y y
A A A B B B N
A A A B B B N A A A B B B
B B B D D D
B B B D D D
B B B D D D
o
xy
x
y
xy
k
k k
1-b ) So lução do s is tema de equações lineares
7
3,123
34,920 10
7,598
o
x
o
y
o
xy
4 -1
0,297
3,285 10
4,101
x
y
xy
k
k m
k
Respos ta do item 1:
-
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50/59
2-a) Tensões no topo da lâm ina 2
o
x x x
o
y y y
o xy xy xy
k
z k
k
7 4
2
3,123 29, 710
34, 920 10 ( 0.0025) 3, 285 107,598 4,101
x
y
xy
2 ) T õ t d l i 2 ti
-
8/18/2019 11 - Laminados
51/59
6
2
0,238
4, 313 10
1,785
x
y
xy
2-a) Tensões no topo da lâm ina 2 - con tin uação
11 12 16
12 22 26
16 26 66 22 2
x x
y y
xy xy
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
2
69,30
73,91
33,81
x
y
xy
kPa
Resposta do item 2:
Tensões glo bais
2 ) T õ t d l i 2 ti
-
8/18/2019 11 - Laminados
52/59
1
2 2
6 2 2
x
y
xy
T
2-a) Tensões no topo da lâm ina 2 - con tin uação
30oq
1
2
12 2
99,73
43,48
18,90
kPa
Resposta do item 2:
Tensões lo cais
Empenamento de um laminado
-
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Empenamento de um laminado
(Warpage of a laminate)
Lam inado s ass imétr ico apresen tam defo rm ação trans versal
(flexão) na presença de vari ação de temperatu ra ou um idade
2
2 x
wk
x
2
2 y
wk
y
2
2 xyw
k x y
Curvaturas do
laminado
Integrando
-
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Integrando,
2
1 2( ) ( )2
x
xw k f y x f y
2
1( )2 2 xydf yw
k x y dy
1 1( )
2
xy
y f y k C
2
1 2 ( )
2 2
x xy
x xyw k k C x f y
22
2
2 2
( ) y
d f ywk
y dy
2
2 2 3( )2
xy
y f y k C y C
2 2 1 2 31
( )2
x y xyw k x k y k xy C x C y C
Deslo camento de corpo rígid o
Exemplo de Ap licação
-
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Exemplo de Ap licação
[0/90]
x
y
Cross-p ly ant isymmetr ic laminate
t = espessura da lâm ina
T = Variação d e tem peratu ra un ifo rm e
?( , )w x y
h=2t
Forças e Momento s Térm icos do Lam inado
-
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56/59
11 12 1 22 21 2
21 22 2 12 11 1
66 66
0 0
0 02 2
0 0 0 0 0 00
T
x
T y
N Q Q Q Q
h T h T N Q Q Q Q
Q Q
11 12 1 22 21 22 2
21 22 2 12 11 1
66 66
0 0
0 08 8
0 0 0 0 0 00
T
x
T
y
M Q Q Q Qh T h T
M Q Q Q Q
Q Q
Forças e Momento s Térm icos do Lam inado
Cons iderando a conf iguração do lam inado:
-
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x
y x yk k
o o
x y 0o
xy
0 xyk
T T
x y N N 0T
xy N
11 22 B B 12 16 66 0 B B B
11 12 11( )T o
x x x N A A B k
11 11 12( )T o
x x x M B D D k
Fo rça e momen to térm icos :
Cons iderando a conf iguração do lam inado:
Reso lvendo o sit ema de equa ões:
-
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11 12 11
2
11 12 11 12 11
( )
( )( )
T T o o x x
x y
D D N B M
A A D D B
11 12 11
2
11 12 11 12 11
( )
( )( )
T T
x x x y
A A M B N k k
A A D D B
Reso lvendo o sit ema de equações:
2 21
2 x y xyw k x k y k xy
2 211 12 11
2
11 12 11 12 11
( )1( )
2 ( )( )
T T
x x A A M B N w x y A A D D B
Parabolóide-Hiperbólico
-
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“The end is where we start from”
T. S. Elio t
“ O fim é por onde nós começamos”