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11. Elektrodynamik
11.5.4 Das Amperesche Gesetz11.5.5 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom 11.5.6 Magnetische Induktion11.5.7 Lenzsche Regel11.6 Maxwellsche Gleichungen11.7 Elektromagnetische Wellen11.7.1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum11.7.2 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
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11.5.4 Das Ampere‘sche GesetzAlternative Formulierung zu Biot-Savart
Das Amperesche Gesetz:
Ampere‘sche Gesetz ergibt:
Beispiel: Unendlich langer Stromleiter
Symmetrieüberlegungen zeigen:1. B keine zum Leiter parallele Komponente2. B tangential entlang eines Kreises3. B an jedem Punkt des Kreises gleich
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Beispiel: Magnetfeld einer dicht gewickelten Ringspule
Strom I Zahl der Windungen NInnenradius aAußenradius b
Integration entlang Kreis mit r
Grund:B an Punkten der Kreislinie tangentialB = konstant
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Grenzen des Ampere‘schen Gesetzes:
Für endlichen Leiterabschnitt liefert Ampere:
Biot-Savart liefertrichtiges Ergebnis:
2. Beispiel:
Ampere gilt nur für geschlosseneStromkreise
1. Beispiel:
2 a
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11.5.5 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom
Lösung: Man ersetze Strom I durch I + IV mit
Maxwell‘sche Verschiebungsstrom 0
1 2ProblemFür Kurve der Oberfläche 1:
Für Kurve der Oberfläche 2:
Widerspruch!
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Verallgemeinerte Form des Ampere‘schen Gesetzes:
Antwort: JA!!! Magnetische Induktion
Beachte:1. Das Ampere‘sche Gesetz gilt auch im Vakuum (keine Ströme)2. Ein zeitlich variables E-Feld produziert B-Feld
Frage:Wenn zeitlich sich änderndes E-Feld Ursache für ein B-Feld ist,ist dann ein zeitlich sich änderndes B-Feld Ursache für ein E-Feld?
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11.5.6 Magnetische Induktion
Beispiel: Leiterschleife in B-Feld mit dB/dt = 0Experimente zeigen: Faraday‘sches Gesetz
Differentiellen Form
U = Induktionsspannung= Magnetischer Fluss
Frage: Ist das erzeugte E-Feld konservativ?
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Beispiel: Leiterschleife in einem B-Feld
- Homogenes B-Feld senkrecht zur Papierebene- B-Feld in Zylinder mit Radius R begrenzt- Änderung des B-Feldes betrage dB/dt- E-Feld im Abstand r vom Mittelpunkt = ?
Es gilt: Warum?
Magnetische Fluss:
Flussänderung:
Warum?
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11.5.7 Lenz‘sche Regel
Frage: Warum Minuszeichen im Faradayschen Gesetz?Antwort: Lenz‘sche Regel:
Induktionsspannung und induzierter Strom sind stets so gerichtet, dass sie ihrer Ursache entgegenwirken.
Beispiel: Stabmagnet bewegt sich auf leitenden Ring zu.
Was passiert:1. Bewegung des Magneten
erhöht Fluss durch Ring.2. Strom im Ring erzeugt B-Feld.3. Induziertes B-Feld schwächt
magnetischen Fluss.
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Oder:
1. Es wird magnetisches Moment induziert
2. Ring wirkt wie Stabmagnet3. Ungleichnamige Pole stoßen sich ab
Beachte: Lenz‘sche Regel folgt aus Energieerhaltung
Würde Strom in Gegenrichtung erzeugt werdenanziehende Kraft auf Stabmagneten.Magnet wird in Richtung Ring beschleunigt.Induzierte Strom wird erhöht.anziehende Kraft auf Magneten wird größer usw.
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11.6 Maxwell‘sche GleichungenIntegrale Form Differentielle Form
Kraft
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11.7 Elektromagnetische Wellen
Wir hatten: Wellengleichung einer harmonischen Welle(Ausbreitung in x-Richtung)
y: Wellenfunktionv: Ausbreitungsgeschwindigkeit
Wellenfunktion = Lösung der Wellengleichungk: Wellenzahlω: Kreisfrequenzy0: Amplitude
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11.7.1 Elektromagnetische Wellen im VakuumAnnahme: Der Raum ist quellenfrei
keine Ladungen, keine Ströme
Maxwellsche Gleichungen des Vakuums
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Bilden Rotation von
(2) in (3) und (1) in (4)
(3)
und(2)
(4)
(1)
Sie wissen: (Mathe)
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Mit Nutzung des Laplace Operators Δ
Allgemeine Form der Wellengleichungfür das magnetische Feld im Vakuum
analog: E-Feld
Vektorgleichung „besteht“ aus 3 partiellen Dgl.s
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Ausbreitung nur in einer Dimension (z.B. z-Richtung)
???Ebene elektromagnetische Welle (Ausbreitung in z-Richtung)
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11.7.2 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
Ausbreitungsrichtung ist senkrecht zu E und B
Nach Gaußschem Gesetz gilt:
Durch „Verschiebungsstromgleichung“ gilt:
Mit den einzelnenKomponenten
Ez ist unabhängig von z
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Ez = konstant, setze Ez = 0
Bz ist unabhängig von z und t.
Weiterhin folgt analog aus: Bz (z, t) ist unabhängig von z.
Ez ist unabhängig von z und t.
Aus den Faradayschen Gesetz
Bz = konstant, setze Bz = 0
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Wellenfunktion (z.B.):
Elektromagnetische Wellen sind transversal.
E und B sind senkrecht zueinander E und B sind phasengleich (harmonische Wellen)
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Elektrische Dipolantenne mit Wechselstrom gespeist
Das elektrische Feld entfernt sich mit Lichtgeschwindigkeit.
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Oszillierender Dipolerzeugt elektrischeund magnetische Felder.
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Elektrische Dipolantenne für den Empfangelektromagnetischer Strahlung
Das Wechsel-E-Feld erzeugt Wechselstrom in der Antenne.
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Ringantenne für den Empfang elektromagnetischer Strahlung
induzierter Wechselstrom im RingWechsel-B-Feld führt zu einem sich ändernden Fluss ΦB