13E052MEH - Mehanika
#3 Lagranzova formulacija mehanike - konzervativni sistemi sa
ogranicenjem (sa funkcijama veza)
doc. dr Marko Krstic
jesenji semestar skolske 2019/2020. godine
Elektrotehnicki fakultet, Univerzitet u Beogradu
Sistemi sa ogranicenjem
Najveca prednost Lagranzove formulacije mehanike ogleda se u
primenama na sisteme koji imaju odredeno ogranicenje koje ukida neki/e
od dostupnih stepeni slobode kretanja.
Neki primeri:
• kuglica kroz koju je provucena zica – kuglica moze da se krece po
trajektoriji koja je odredena formom zice, ali ne i drugacije;
• atomi u krutom telu – mogu da se krecu tako da uvek odrzavaju
medusobno fiksno rastojanje;
• matematicko klatno – materijalna tacka mase m, vezana krutom
vezom zanemarljive mase za tacku oslonca oko koje moze da rotira
uvek na konstantnom poluprecniku...
1
Sistemi sa ogranicenjem - nastavak
m
φ
N
mgR x
y
Uref
Na slici je prikazana mala kuglica
mase m koja se moze smatrati materijalnom
tackom, koja u pocetnom trenutku miruje
na glatkoj podlozi poprecnog preseka u obliku
polucilindra, poluprecnika R. Kuglici se saopsti
infinitezimalno mala brzina tako da kuglica krene
da klizi niz podlogu.
Ovakvo kretanje predstavlja kretanje sa ociglednim ogranicenjem da se
kuglica, sve dok je u kontaktu sa podlogom, nalazi na radijalnom
rastojanju R od koordinatnog pocetka Dekartovog koordinatnog sistema,
kao na slici.
Spram ogranicenja, jedina generalisana koordinata predstavlja ugao ϕ.
Ukoliko se referentni nivo za potencijalnu energiju provuce kroz x osu
Dekartovog koordinatnog sistema, potencijalna, kineticka energija i
Lagranzijan problema, T , U i L, respektivno, imaju sledece forme:
2
Sistemi sa ogranicenjem - nastavak
T =1
2Iω2 =
1
2mR2ϕ2, U = mgR cosϕ,
L(ϕ) = T − U =1
2mR2ϕ2 −mgR cosϕ.
Jednacina kretanja daje:
∂L∂ϕ− d
dt
(∂L∂ϕ
)= 0→ ϕ =
g
Rsinϕ.
U gornjim jednacinama, u samom startu je implementirano ogranicenje
ρ = R, odnosno ρ = ρ = 0. Na taj nacin, medutim, nije ostavljena
mogucnost da se odredi sila reakcije podloge N , koja upravo deluje po
radijalnoj ρ osi i u ovom slucaju predstavlja silu koja definise ogranicenje
(onog trenutka kada se telo odvoji od podloge, kada prestane da vazi
ogranicenje ρ = R, sila N postaje jednaka nuli, N = 0).
3
– Metod potencijala ogranicenja –
3
Primer (#1) – metod potencijala ogranicenja
Da bi se odredile sile ogranicenja u nekom sistemu, potrebno je u samom
startu dozvoliti i one stepene slobode koji su uskraceni ogranicenjem, a
zatim uvesti ogranicenje na odgovarajuci nacin.
Na primeru kuglice sa slajda 2, prvo ce biti pokazan metod uvodenja
potencijala ogranicenja.
Lagranzijan kuglice u kome se osim kretanja po ϕ osi dozvoljava i
kretanje po ρ osi ima formu:
L(ρ, ϕ) = T − U =1
2mρ2ϕ2 +
1
2mρ2 − [mgρ cosϕ+ V (ρ)].
U kinetickoj energiji, moment inercije kuglice napisan je u funkciji potega
ρ (umesto da je ρ odmah u startu fiksiran na R) i dodatno je dozvoljena
translacija po ρ osi, kroz clan 1/2mρ2. U potencijalnoj energiji kao
dodatak, pojavljuje se potencijal ogranicenja V (ρ) koji je funkcija
koordinate po kojoj postoji ogranicenje.
4
Primer (#1) – metod potencijala ogranicenja - nastavak
R
V(ρ)
ρ
Ovaj potencijal moze se razumeti na sledeci nacin.
Prilikom kretanja, kuglica pritiska podlogu i ugiba je
za neko jako malo radijalno rastojanje, dok podloga
usled ugibanja uzvraca silom reakcije koja sprecava
kuglicu da potone u podlogu (moze se zamisliti
da je podloga sastavljena od velikog broja gusto
rasporedanih opruga, jako velike konstante krutosti,
tako da sabijanje tezi nuli, ali zbog velike konstante
krutosti postoji restituciona sila konacnog intenziteta).
Skica ovakvog potencijala data je na slici. Na radijalnim rastojanjima
ρ > R, potencijal je jednak nuli, jer ne postoji kontakt kuglice i podloge,
pa nema ni sile reakcije. Na radijalnim rastojanjima ρ < R, potencijal
ima beskonacno veliki nagib, tj. sila (koja predstavlja izvod potencijala
po ρ) ima beskonacno veliki intenzitet (ne dozvoljava se da telo propadne
u podlogu). U tacki ρ = R, potencijal ima neki konacni nagib koji
definise silu reakcije, u ovom slucaju ogranicenja.5
Primer (#1) – metod potencijala ogranicenja - nastavak
Jednacine kretanja po ρ i ϕ osi daju:
∂L∂ρ− d
dt
(∂L∂ρ
)= 0→ mρ = mρϕ2 −mg cosϕ− dV
dρ,
∂L∂ϕ− d
dt
(∂L∂ϕ
)= 0→ ρϕ+ 2ρϕ = g sinϕ.
U ovom trenutku uvodi se ogranicenje:
ρ = R⇒ ρ = ρ = 0.
Jednacine kretanja sada postaju:
0 = mRϕ2 −mg cosϕ− dV
dρ
∣∣∣ρ=R
, (1)
Rϕ = g sinϕ. (2)
Jednacina po koordinati po kojoj nema ogranicenja (jednacina (2)) daje
isti rezultat kao i jednacina izvedena na slajdu 3, gde nije pretpostavljeno
ogranicenje.
6
Primer (#1) – metod potencijala ogranicenja - nastavak
Jednacina po koordinati po kojoj postoji ogranicenje (jednacina (1)) daje
jednacinu kretanja po radijalnoj osi. Kako je sila ogranicenja F con
(skracenica “con” od engleske reci constraint):
F con ≡ N = −dVdρ
∣∣∣ρ=R
,
to jednacina (1) ima formu:
mRϕ2 = mg cosϕ−N,
sto predstavlja jednacinu kretanja po radijalnoj osi, gde je Rϕ2 = annormalno ubrzanje kuglice mase m.
Na ovaj nacin, zahvaljujuci uvodenju potencijala ogranicenja, moguce je
izracunati silu ogranicenja, u ovom primeru silu reakcije podloge:
F con ≡ N = mg cosϕ−mRϕ2.
7
Primer (#1) – metod potencijala ogranicenja - nastavak
Isti primer moguce je resiti i u Dekartovom koordinatnom sistemu, iako je
on za ovaj primer nepogodniji. U Dekartovom koodinatnom sistemu
prikazanom na slici na slajdu 3, ogranicenje je dato u formi jednacine
kruga poluprecnika R, sa centrom u (x, y) = (0, 0):√x2 + y2 = R.
Neka je η(x, y) =√x2 + y2 −R udaljenje kuglice od podloge.
Ogranicenje tada namece η = 0.
Lagranzijan kuglice ima formu:
L =1
2m(x2 + y2)−mgy − V (η).
Jednacine kretanja sada imaju formu:
∂L∂x− d
dt
(∂L∂x
)= 0→ mx = −dV
dη
∂η
∂x,
∂L∂y− d
dt
(∂L∂y
)= 0→ my = −mg − dV
dη
∂η
∂y.
8
Primer (#1) – metod potencijala ogranicenja - nastavak
Sila ogranicenja jednaka je:
F con ≡ N = −dVdη
∣∣∣η=0
,
te uz uvodenje ogranicenja (η = 0) jednacine kretanja postaju:
mx = −dVdη
∣∣∣η=0
∂η
∂x
∣∣∣η=0
= N∂η
∂x
∣∣∣η=0
,
my = −mg − dV
dη
∣∣∣η=0
∂η
∂y
∣∣∣η=0
= −mg +N∂η
∂y
∣∣∣η=0
.
Potrebni izvodi po x i y iznose:
∂η
∂x=
1
2√x2 + y2
2x,∂η
∂y=
1
2√x2 + y2
2y,
a uz ogranicenje η = 0, odnosno√x2 + y2 = R iznose:
∂η
∂x
∣∣∣η=0
=x
R,
∂η
∂y
∣∣∣η=0
=y
R.
9
Primer (#1) – metod potencijala ogranicenja - nastavak
Konacne jednacine kretanja u Dekartovom koordinatnom sistemu imaju
formu:
mx = Nx
R, my = −mg +N
y
R,
sto uz x/R = sinϕ i y/R = cosϕ, daju jednacine kretanja koje
odgovaraju balansu sila kao na slici (Nx/R = N sinϕ = Nx,
Ny/R = N cosϕ = Ny). ♣
φ
Nx
Ny
mgR x
y
10
Primer (#2) – metod potencijala ogranicenja
α
mx
y
Uref
hx
hy
Kao drugi primer kretanja
sa ogranicenjem, na slici je prikazan blok
mase m koji klizi niz glatku strmu ravan
nagibnog ugla α. Ukoliko se koodinatni
sistem postavi tako da je x osa
postavljena duz strme ravni i usmerena
uz strmu ravan, y osa normalno na
strmu ravan, usmerena od strme ravni,
ogranicenje je dato kao y = 0. Kineticka energija tela, u kojoj je
dozvoljno kretanje po obe ose ima formu:
T =1
2m(x2 + y2).
Ako se referentni nivo za merenje gravitacione potencijalne energije veze
za dno strme ravni, onda je gravitaciona potencijalna energija srazmerna
zbiru visina hx i hy, usled promena x i y koordinate, respektivno:
U = mghx +mghy = mgx sinα+mgy cosα.11
Primer (#2) – metod potencijala ogranicenja - nastavak
Lagranzijan za blok mase m ima formu:
L =1
2m(x2 + y2)−mg(x sinα+ y cosα)− V (y),
gde je sa V (y) oznacen potencijal reakcijske sile N usled koje postoji
ogranicenje. Jednacine kretanja imaju formu:
∂L∂x− d
dt
(∂L∂x
)= 0→ x = −g sinα, (3)
∂L∂y− d
dt
(∂L∂y
)= 0→ my = −mg cosα− dV
dy. (4)
Jednacina (3) predstavlja ubrzanje bloka mase m koji se krece niz strmu
ravan pod uticajem komponente tezine mg sinα, suprotno od pozitivnog
smera x ose, prema izabranoj postavci koordinatnog sistema. Uvodenjem
ogranicenja y = 0→ y = y = 0, za jednacinu kretanja (4) dobija se:
0 = −mg cosα− dV
dy
∣∣∣y=0
= −mg cosα+N,
odnosno N = mg cosα, sto odgovara problemu sa slike. ♣12
Primer (#3) – metod potencijala ogranicenja
m1g m
2g
S1
l1
l2
S1
S2
S2
Uref
Kao treci primer kretanja sa ogranicenjem,
na slici je prikazana Etvudova (Atwood)
masina, odnosno jedan kotur zanemarljive
mase, preko koga je prebacena laka, neistegljiva
nit, na cijim krajevima se nalaze dva tega masa
m1 i m2. Sistem se nalazi u gravitacionom polju
ubrzanja g. Nit klizi preko kotura bez trenja.
Kako je nit neistegljiva, u svakom kraju niti (sa
leve i desne strane) zatezne sile su iste, odnosno
kompenzuju se, a kako je kotur zanemarljive
mase, zatezne sile sa oba kraja kotura su jednake, odnosno S1 = S2 = S.
Koordinatni sistem postavljen je tako da generalisana koordinata l1pokazuje duzinu slobodnog dela kanapa sa leve strane, dok generalisana
koordinata l2 pokazuje duzinu slobodnog dela kanapa sa desne strane
kotura. Referentni nivo za merenje potencijalne energije uzet je da
prolazi kroz centar kotura, kao na slici. 13
Primer (#3) – metod potencijala ogranicenja - nastavak
Ogranicenje u ovom slucaju predstavlja cinjenica da je duzina kanapa
konstantna, tj. da je zbir slobodnih duzina l1, l2 i dela kanapa koji prelazi
preko pola kotura poluprecnika R uvek isti, jednak nekoj ukupnoj duzini l:
l1 + l2 +Rπ = l = const.
Ako se sa η oznaci odstupanje duzine kanapa od l:
η = l1 + l2 +Rπ − l,
onda je ogranicenje dato sa η = 0.
Lagranzijan za sistem na slici ima formu:
L =1
2m1 l1
2+
1
2m2 l2
2− [−m1gl1 −m2gl2 + V (η)] ,
gde je sa l1 oznacena brzina tega mase m1 (analogno i sa tegom mase
m2). Potencijalne energije tegova mase m1 i m2 su negativne (tegovi se
nalaze ispod izabranog referentnog nivoa). Konacno, sa V (η), oznacen je
potencijal ogranicavajuce sile, u ovom slucaju zatezne sile u kanapu.
14
Primer (#3) – metod potencijala ogranicenja - nastavak
Jednacine kretanja imaju formu:
∂L∂l1− d
dt
(∂L∂l1
)= 0→ m1 l1 = m1g −
dV
dη
∂η
∂l1,
∂L∂l2− d
dt
(∂L∂l2
)= 0→ m2 l2 = m2g −
dV
dη
∂η
∂l2.
Kako je ∂η/∂l1 = ∂η/∂l2 = 1, i uz ogranicenje da je η = 0, dobija se:
m1 l1 = m1g −dV
dη
∣∣∣η=0
= m1g + S,
m2 l2 = m2g −dV
dη
∣∣∣η=0
= m2g + S.
Konacno, diferenciranjem jednacine ogranicenja η = l1 + l2 +Rπ− l = 0,
dobija se l1 = −l2.
15
Primer (#3) – metod potencijala ogranicenja - nastavak
Smenom veze izmedu ubrzanja kuglica u jednacine kretanja dobija se set
od dve jednacine sa dve nepoznate:
m1 l1 = m1g + S,
−m2 l1 = m2g + S.
Oduzimanjem jednacina dolazi se do resenja za l1, l2 i S, respektivno:
l1 = gm1 −m2
m1 +m2, l2 = g
m2 −m1
m1 +m2, S = −g 2m1m2
m1 +m2.
Za m1 > m2 gornje relacije predvidaju da ce se kuglica mase m1 kretati
na dole, a kuglica mase m2 kretati na gore, sto je i ocekivano.
Minus u izrazu za silu zatezanja znaci da je sila zatezanja koja deluje na
tegove (S = −dV/dη) usmerena suprotno od porasta parametra η.
Prema relaciji η = l1 + l2 +Rπ − l, vidi se da parametar η raste onda
kada l1 i/ili l2 rastu, sto znaci da je sila S okrenuta suprotno od smera
porasta l1 i l2, ili drugim recima suprotno od postavljenog koordinatnog
sistema za l1 i l2, opet u skladu sa ocekivanim rezultatom. ♣16
Primer (#4) – metod potencijala ogranicenja
x
y
φ
mg
S
S
l
OUref
Kao jos
jedan primer kretanja sa ogranicenjem, uzimamo
matematicko klatno sa slike. Mala kuglica
mase m, okacena je za nepomicni oslonac O preko
krutog stapa duzine l i zanemarljivo male mase.
Kuglica se krece u xOy ravni, ali
postoji ocigledno ogranicenje, tj. kretanje kuglice
je ograniceno na trajektoriju kruznice sa centrom
u tacki O i poluprecnikom l, odnosno vazi relacija
koja povezuje x i y koordinatu:√x2 + y2 = l.
U ovom slucaju pogodniji izbor koordinatnog
sistema je polarni koordinatni sistem, odnosno generalisane koordiante su
ρ, ϕ. Ogranicenje je dato formom ρ = l.
17
Primer (#4) – metod potencijala ogranicenja - nastavak
Neka je η eventualno odstupanje radijalne koordinate od onoga sto je
njeno ogranicenje: η = ρ− l, te ogranicenje postaje η = 0.
Lagranzijan matematickog klatna, uz koordinatni sistem prikazan na slici,
referentni nivo za gravitacionu potencijalnu energiju provucen kroz tacku
vesanja i uz dozvolu da kretanje nije ograniceno, ima formu:
L =1
2mρ2ϕ2 +
1
2mρ2 − [−mgρ cosϕ+ V (η)] .
Jednacine kretanja postaju:
∂L∂ρ− d
dt
(∂L∂ρ
)= 0→ mρ = mρϕ2 +mg cosϕ− dV
dη
∂η
∂ρ,
∂L∂ϕ− d
dt
(∂L∂ϕ
)= 0→ mρ2ϕ+ 2mρρϕ = −mgρ sinϕ.
18
Primer (#4) – metod potencijala ogranicenja - nastavak
Uvodenjem ogranicenja η = ρ− l = 0, odnosno ρ = l, tj. ρ = ρ = 0,
jednacine postaju:
0 = mlϕ2 +mg cosϕ− dV
dη
∣∣∣η=0
= mlϕ2 +mg cosϕ+ S, (5)
ml2ϕ+ 0 = −mgl sinϕ. (6)
Jednacina (6) daje dobro poznatu jednacinu oscilacija matematickog
klatna ϕ+ (g/l) sinϕ = 0. Jednacina (5) je jednacina kretanja po
radijalnoj osi, odnosno daje:
S = −mlϕ2 −mg cosϕ = −mlω2 −mg cosϕ,
gde je sa ω oznacena ugaona brzina klatna. Parametar η raste onda kada
raste ρ, te sila S ima suprotan smer od pozitivnog smera potega ρ.
Gornja jednacina je ekvivalent jednacine po radijalnoj osi, gde je
mlω2 = man. Znak minus znaci da je sila ogranicenja S okrenuta
suprotno od smera porasta parametra η, sto je u skladu sa ocekivanim. U
ovom slucaju sila S je kompresiona sila u stapu, odnosno sila koja tezi da
stap na kome se nalazi kuglica iscupa iz lezista O. ♣ 19
– Metod Lagranzovih mnozilaca –
19
Sistemi sa ogranicenjem – metod Lagranzovih mnozilaca
Drugi metod inkluzije ogranicenja svodi se na modifikaciju
Lagranz-Ojlerovih jednacina kretanja. U nastavku bice dato izvodenje
modifikovanih Lagranz-Ojlerovih jednacina kretanja za slucaj dve
generalisane koordinate q1 i q2, ali izvodenje moze lako da se generalizuje
na proizvoljan broj generalisanih koordinata.
Neka je dat Lagranzijan nekog sistema L = L(q1, q1, q2, q2). Ovakav
Lagranzijan ekstremizuje Hamiltonovo dejstvo:
S =
∫ t2
t1
L(q1, q1, q2, q2)dt,
pri kretanju po trajektoriji F (q1, q2) = 0. Dodatno, neka postoji
ogranicenje (funkcija veze) koje je predstavljeno funkcijom:
f(q1, q2) = 0. (7)
20
Metod Lagranzovih mnozilaca - nastavak
Slicno kao i prilikom izvodenja Lagranz-Ojelrovih jednacina bez
ogranicenja, pretpostavimo “pogresnu” trajektoriju:
q1(t)→ q1(t) + δq1(t), q2(t)→ q2(t) + δq2(t),
gde je δqi, (i = 1, 2) mali poremecaj, ali za koji, u vremenskom domenu
koji se posmatra (od t1 do t2) mora da vazi:
δq1(t1) = δq1(t2) = 0, δq2(t1) = δq2(t2) = 0,
odnosno, pocetna i krajnja tacka trajektorije su fiksirane.
Ekstremna vrednost Hamiltonovog dejstva S ekvivalentna je uslovu da je
mala promena prvog reda dS jednaka nuli, odnosno:
δS =
∫ t2
t1
(∂L∂q1
δq1 +∂L∂q1
˙δq1 +∂L∂q2
δq2 +∂L∂q2
˙δq2
)dt = 0, (8)
gde je ˙δqi = d(δqi)/dt, (i = 1, 2).
21
Metod Lagranzovih mnozilaca - nastavak
Clanovi integrala u formi: ∫ t2
t1
∂L∂qi
˙δqidt
mogu da se rese parcijalnom integracijom:
u =∂L∂qi
⇒ du = d
(∂L∂qi
)=
d
dt
(∂L∂qi
)dt
dv = ˙δqidt =d(δqi)
dtdt = d(δqi) ⇒ v = δqi.
Sada gornji integral postaje:∫ t2
t1
∂L∂qi
˙δqidt = uv∣∣∣t2t1−∫ t2
t1
vdu =∂L∂qi
δqi
∣∣∣t2t1−∫ t2
t1
δqid
dt
(∂L∂qi
)dt.
22
Metod Lagranzovih mnozilaca - nastavak
Kako je δqi(t1) = δqi(t2) = 0, prvi deo poslednjeg izraza postaje jednak
0, odnosno: ∫ t2
t1
∂L∂qi
˙δqidt = 0−∫ t2
t1
δqid
dt
(∂L∂qi
)dt.
Sada relacija (8) sa slajda 21 ima formu:
δS =
∫ t2
t1
[∂L∂q1− d
dt
(∂L∂q1
)]δq1dt+
∫ t2
t1
[∂L∂q2− d
dt
(∂L∂q2
)]δq2dt = 0.
(9)
Mala promena prvog reda funkcije koja opisuje ogranicenje (relacija (7))
ima formu:
δf =∂f
∂q1δq1 +
∂f
∂q2δq2 = 0.
23
Metod Lagranzovih mnozilaca - nastavak
Ako se poslednji izraz pomnozi nekom proizvoljnom konstantom λ (koja
u opstem slucaju moze biti funkcija vremena, λ = λ(t)), vrednost tog
proizvoda ostaje jednaka 0:
λδf = 0.
Ako se ovaj izraz doda izrazu za δS, relacija (9) postaje:
δS =
∫ t2
t1
[∂L∂q1
+ λ∂f
∂q1− d
dt
(∂L∂q1
)]δq1dt+∫ t2
t1
[∂L∂q2
+ λ∂f
∂q2− d
dt
(∂L∂q2
)]δq2dt = 0.
Na ovaj nacin dolazi se do modifikovanih Lagranz-Ojlerovih jednacina
kretanja sa ogranicenjem datim kroz funkciju f :
24
Metod Lagranzovih mnozilaca - nastavak
Modifikovane Lagranz-Ojlerove jednacine
Jednacine kretanja u slucaju ogranicenja f(q1, q2, ..., qn) = 0, imaju
formu:∂L∂qi
+ λ∂f
∂qi− d
dt
(∂L∂qi
)= 0, (10)
gde je i = 1, ..., n.
Clan
λ∂f
∂qi= F con
i ,
predstavlja i-tu komponentu generalisane sile ogranicenja F con.
U slucaju da postoji vise ogranicenja f1, f2, ...fk, gde je k broj
ogranicenja u sistemu, modifikovane Lagranz-Ojlerove jednacine imaju
formu:∂L∂qi
+
k∑j=1
λj∂f
∂qi− d
dt
(∂L∂qi
)= 0, (11)
gde je i = 1, ..., n. ♣25
Primer (#5) – metod Lagranzovih mnozilaca
m1g m
2g
S1
l1
l2
S1
S2
S2
Uref
Metod
Lagranzovih mnozilaca primenicemo na primeru
Etvudove masine sa slike – kotur zanemarljive
mase, preko koga je prebacena laka, neistegljiva
nit, na cijim krajevima se nalaze dva tega masa
m1 i m2. Sistem se nalazi u gravitacionom polju
ubrzanja g. Nit klizi preko kotura bez trenja.
Kako je nit neistegljiva, u svakom kraju niti (sa
leve i desne strane) zatezne sile su iste, odnosno
kompenzuju se, a kako je kotur zanemarljive
mase, zatezne sile sa oba kraja kotura su jednake, odnosno S1 = S2 = S.
Koordinatni sistem postavljen je tako da generalisana koordinata l1pokazuje duzinu slobodnog dela kanapa sa leve strane, dok generalisana
koordinata l2 pokazuje duzinu slobodnog dela kanapa sa desne strane
kotura. Referentni nivo za merenje potencijalne energije uzet je da
prolazi kroz centar kotura, kao na slici. 26
Primer (#5) – metod Lagranzovih mnozilaca - nastavak
Ogranicenje je u ovom slucaju cinjenica da je ukupna duzina kanapa
konstantna i iznosi L = l1 + l2 +Rπ, odnosno:
f(l1, l2) = l1 + l2 +Rπ − L = 0.
Ako je referentni nivo za gravitacionu potencijalnu energiju provucen kroz
centar kotura kao na slici, tada je Lagranzijan sistema:
L = T − U =1
2m1 l1
2+
1
2m2 l2
2− (−m1gl1 −m2gl2).
Lagranzove jednacine kretanja po generalisanim koordinatama l1, l2 imaju
formu:
∂L∂l1
+ λ∂f
∂l1− d
dt
(∂L∂l1
)⇒ m1g + λ−m1 l1 = 0,
∂L∂l2
+ λ∂f
∂l2− d
dt
(∂L∂l2
)⇒ m2g + λ−m2 l2 = 0.
27
Primer (#5) – metod Lagranzovih mnozilaca - nastavak
Treca potrebna jednacina, koja predstavlja vezu izmedu ubrzanja tegova,
dobija se diferenciranjem funkcije ogranicenja: l1 = −l2.
Smenom ove veze u dobijene jednacine kretanja, a zatim njihovim
medusobnim oduzimanjem, dobija se:
g(m1 −m2) = −l2(m1 +m2),
odnosno:
l2 = gm2 −m1
m1 +m2, l1 = g
m1 −m2
m1 +m2, λ = −g 2m1m2
m1 +m2.
Komponenta sile ogranicenja koja deluje duz l1 generalisne koordinate
iznosi:
F conl1 = λ
∂f
∂l1= λ = −g 2m1m2
m1 +m2≡ S1,
a identican izraz dobija se i za silu S2. Predznak minus znaci da sile
S1, S2 deluju suprotno od smera povecanja koordinate l1, l2 prema
postavci koordinatnog sistema sa slike. ♣
28
Primer (#6) – metod Lagranzovih mnozilaca
αUref
y
x
Nx
Ny
mg
U narednom primeru opet ce biti opisana
translacija bloka mase m na strmoj
ravni, ovog puta sa drugacijim izborom
koordinatnog sistema, kao na slici.
Prema postavci koordinatnog sistema sa
slike, funkcija ogranicenja za blok mase
m, odnosno jednacina strme ravni ima
formu: y = y0 − x tanα, gde y0 = const.
predstavlja y koordinatu vrha strme ravni. Funkcija ogranicenja zapisana
u eksplicitnoj formi je:
f(x, y) = y + x tanα− y0 = 0.
Prema usvojenom referentnom nivou za gravitacionu potencijalnu
energiju, Lagranzijan kretanja ima formu:
L =1
2mx2 +
1
2my2 −mgy
29
Primer (#6) – metod Lagranzovih mnozilaca - nastavak
Iz Lagranzijana dolazi se do jednacina kretanja po x i y osi:
mx = λ tanα, my = λ−mg.
Diferenciranjem jednacine ogranicenja, dobija se veza izmedu x i y:
y = −x tanα.
Smenom ove veze u jednacine kretanja, a zatim eleminacijom λ, dobijaju
se resenja za kretanje bloka mase m:
x = g sinα cosα,
sto odgovara x projekciji ubrzanja tega koje je posledica projekcije tezine
bloka, usmereno niz strmu ravan i iznosi g sinα. Uz uslov y = −x tanα,
dolazi se do
y = −g sin2 α,
sto odgovara y projekciji ubrzanja.
30
Primer (#6) – metod Lagranzovih mnozilaca - nastavak
Konacno, komponente generalisane sile ogranicenja iznose:
F conx = λ
∂f
∂x= λ tanα = mx = mg sinα cosα ≡ Nx,
F cony = λ
∂f
∂y= λ =
mx
tanα= mg cos2 α ≡ Ny.
Vektorski zbir ove dve komponente, daje dobro poznat izraz za intenzitet
sile reakcije na blok koji se nalazi na strmoj ravni nagibnog ugla α:
N =√N2x +N2
y = mg cosα. ♣
31
– Constraint stabilization method –
31
Constraint stabilization method
x
y
φ
mg
S
S
l
OUref
Na primeru matematickog klatna (mala
kuglica mase m okacena o nepomicni oslonac
O preko lakog stapa duzine l), bice pokazana
metoda kojom se algebarska jednacina ogranicenja
moze modifikovati u diferencijalnu i pridruziti
sistemu diferencijalnih jednacina kretanja.
Ovakva metoda u engleskoj literaturi naziva
se constraint stabilization method i predstavlja
zgodan nacin da se sistem numericki evaluira
kroz neku od numerickih metoda za resavanje
diferencijalnih jednacina (recimo Runge-Kuta
metod).
Primer klatna bice uraden u Dekartovom koordinatnom sistemu.
Prema slici, potencijalna energija kuglice mase m iznosi U = −mgy.
32
Constraint stabilization method - nastavak
Kineticka energija klatna ima formu:
T =1
2mx2 +
1
2my2,
te konacno Lagranzijan ima formu:
L = T − U =1
2mx2 +
1
2my2 +mgy.
Jednacina ogranicenja predstavlja jednacinu kruga sa centrom u
koordinatnom pocetku O i poluprecnikom l: x2 + y2 = l2, odnosno:
f(x, y) = x2 + y2 − l2 = 0.
Ova algebarska jednacina moze biti vrlo priblizno predstavljena
diferencijalnom jednacinom kriticno prigusenog oscilatora, sa velikom
konstantnom prigusenja, sto znaci da ce jako brzo uci u ravnotezno
stanje:
f(x, y) = 0 ≡ f + 2ξf + ξ2f = 0, (12)
gde je ξ > 0 i ima veliku vrednost.
33
Constraint stabilization method - nastavak
Prvi izvod funkcije ogranicenja ima formu:
f =∂f
∂x
dx
dt+∂f
∂y
dy
dt= fxx+ fy y,
gde je uvedena smena ∂f/∂x = fx i ∂f/∂y = fy.
Drugi izvod ima formu:
f = fxx+ fxx+ fy y + fy y.
Dalje, mozemo pisati:
fx =∂fx∂x
dx
dt+∂fx∂y
dy
dt= fxxx+ fxy y,
fy =∂fy∂x
dx
dt+∂fy∂y
dy
dt= fyxx+ fyy y,
gde su uvedene smene ∂fx/∂x = fxx, ∂fx/∂y = fxy, ∂fy/∂x = fyx i
∂fy/∂y = fyy.
34
Constraint stabilization method - nastavak
Konacno, kompletan izraz za drugi izvod funkcije ogranicenja moze da se
zapise u formi:
f = (fxxx+ fxy y) x+ fxx+ (fyxx+ fyy y) y + fy y,
ili u matricnoj formi:
f =[fx fy
] [xy
]+[x y
] [fxx fxyfyx fyy
][x
y
].
Uz smene x = vx i y = vy, cela diferencijalna jednacina ogranicenja (12)
moze da se zapise u formi:
−[fx fy
] [vxvy
]=[vx vy
] [fxx fxyfyx fyy
][vxvy
]+2ξ (fxvx + fyvy)+ξ
2f.
Radi lakseg pisanja uvescemo smenu da je ceo izraz sa desne strane
poslednje jednacine neka funkcija C(x, y, vx, vy).
35
Constraint stabilization method - nastavak
Jednacine kretanja sa ogranicenjem imaju formu:
∂L∂x
+ λ∂f
∂x− d
dt
(∂L∂x
)= 0⇒ λfx −mx = 0,
∂L∂y
+ λ∂f
∂y− d
dt
(∂L∂y
)= 0⇒ mg + λfy −my = 0,
odnosno uz smenu x = vx i y = vy:
λfx −mvx = 0, mg + λfy −mvy = 0.
Konacno, sistem diferencijalnih jednacina (jednacine kretanja +
diferencijalna jednacina izvedena iz algebarske jednacine ogranicenja)
moze da se u punoj formi zapise kao:
36
Constraint stabilization method - nastavak
x = vx,
y = vy, m 0 −fx0 m −fy−fx −fy 0
vxvyλ
=
0
mg
C(x, y, vx, vy)
,gde je C(x, y, vx, vy) prema smeni sa slajda 35 dato kao
C(x, y, vx, vy) =[vx vy
] [fxx fxyfyx fyy
][vxvy
]+2ξ (fxvx + fyvy)+ξ
2f. ♣
37
– Zadaci –
37
Zadatak #1
[#1] Na homogeni valjak mase m i poluprecnika R, namotan je lak i
neistegljiv kanap. Slobodan kraj kanapa okacen je o plafon, tako da se
valjak pod uticajem sile teze odmotava. Prilikom odmotavanja, nema
proklizavanja kanapa. Napisati Lagranzijan i jednacine kretanja valjka i
pronaci generalisane sile ogranicenja.
38
Zadatak #1 - resenje
mgx
S Uref
ω
Neka je koordinatni sistem
postavljen kao na slici. Prema usvojenom referentnom
nivou za gravitacionu potencijalnu energiju, ona iznosi:
U = −mgx.
Kineticka energija predstavlja zbir
kineticke energije translacije i kineticke energije rotacije:
T =1
2mx2 +
1
2Iω2,
odnosno kako je ω = ϕ, izraz za kineticku energiju postaje:
T =1
2mx2 +
1
2
1
2mR2ϕ.
Konacno, ogranicenje je dato uslovom da nema proklizavanja x = Rϕ,
gde je ugao ϕ = ωt ugao za koji se valjak zarotira prilikom odmotavanja
kanapa, tj.:
f(x, ϕ) = x−Rϕ = 0.
39
Zadatak #1 - resenje
Lagranzijan sistema ima formu:
L = T − U =1
2mx2 +
1
4mR2ϕ+mgx,
te jednacine kretanja po x i ϕ postaju:
∂L∂x
+ λ∂f
∂x− d
dt
(∂L∂x
)⇒ mg + λ = mx,
∂L∂ϕ
+ λ∂f
∂ϕ− d
dt
(∂L∂ϕ
)⇒ −λR =
1
2mR2ϕ.
Diferenciranje jednacine ogranicenja daje vezu izmedu x i ϕ: x = Rϕ.
Zamenom ove veze u jednacine kretanja i eliminacijom λ dolazi se do
izraza za ubrzanja centra mase valjka x i njegovo ugaono ubrzanje
rotacije oko centra mase ϕ:
x =2g
3, ϕ =
2g
3R.
40
Zadatak #1 - resenje
Konacno za komponente generalisane sile dobija se:
F conx = λ
∂f
∂x= λ = −mg
3≡ S,
sto predstavlja zateznu silu u kanapu.
F conϕ = λ
∂f
∂ϕ= −λR = R
mg
3≡MS ,
sto predstavlja moment sile S oko centra mase valjka.
Negativni predznak ispred zatezne sile sugerise da je okrenuta suprotno
od pretpostavljene x ose, odnosno da je smer suprotan smeru povecanja
x generalisane koordinate, dok pozitivni predznak ispred momenta sile S
sugerise da moment sile S podrzava povecanje ugla ϕ. ♣
41
Zadatak #2
[#2] Homogeni valjak mase m i poluprecnika R pusten je iz stanja
mirovanja da se kotrlja bez proklizavanja niz strmu ravan nagibnog ugla
β.
• Napisati ogranicenje koje proistice iz uslova da se valjak kotrlja bez
proklizavanja;
• Sastaviti Lagranzijan sistema i uz ogranicenje odrediti jednacine
kretanja valjka;
• Iz dobijenih jednacina kretanja, odrediti ubrzanje centra mase valjka
i njegovo ugaono ubrzanje;
• Odrediti generalisane sile ogranicenja i objasniti njihov fizicki smisao.
42
Zadatak #2 - resenje
Za generalisane koordinate (x, y, ϕ) (centar mase valjka se spusta niz x
osu, ϕ predstavlja ugao rotacije valjka), u slucaju da je horizontalna
podloga uzeta za referetni nivo potencijalne energije, kineticka i
potencijalna energija, respektivno, date su kao:
T =1
2mx2 +
1
2my2 +
1
2ICMϕ
2, U = U0 −mgx sinβ +mgy cosβ,
m
xβ
g
gde
je ICM = (1/2)mR2 moment inercije homogenog
valjka oko centra mase, a U0 konstanta koja je
jednaka potencijalnoj energiji valjka u pocetnom
trenutku kada se nalazi na vrhu strme ravni.
43
Zadatak #2 - resenje
Lagranzijan valjka ima formu:
L(x, y, ϕ) = 1
2mx2 +
1
2my2 +
1
4mR2ϕ2 +mgx sinβ −mgy cosβ − U0.
Ogranicenja su data funkcijama:
fxϕ(x, ϕ) = x−Rϕ = 0, fy(y) = y −R = 0,
a Lagranz-Ojlerove jednacine sa ogranicenjima imaju formu:
∂L∂x
+ λxϕ∂fxϕ∂x− d
dt
(∂L∂x
)= 0
∂L∂ϕ
+ λxϕ∂fxϕ∂ϕ
− d
dt
(∂L∂ϕ
)= 0
∂L∂y
+ λy∂fy∂y− d
dt
(∂L∂y
)= 0.
44
Zadatak #2 - resenje
Trazene generalisane sile ogranicenja su reakcija podloge N , sila trenja
Ftr i moment sile trenja MFtr , respektivno:
λy∂fy∂y
= mg cosβ = N,
λxϕ∂fxϕ∂x
= −1
3mg sinβ = Ftr,
λxϕ∂fxϕ∂ϕ
=1
3mgR sinβ =MFtr .
Jednacine kretanja valjka su:
x =2
3g sinβ, y = 0, ϕ =
2g
3Rsinβ. ♣
45