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Área de CienciasMA-1112008-0
04/13/23 Matemática 2 1
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Funciones Trigonométricas de ángulos compuestos,ángulo doble y ángulo mitad.
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Problema:Resuelva el triángulo ABC si A = 43,1º, a=186,2 y b=248,6
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Problema:Determine el área del cuadrilátero ABCD
A
B
C
D
5 m 100º
6 m
7 m8 m
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Funciones Trigonométricas de Ángulos Compuestos
Un ángulo compuesto es aquel formado por la suma o diferencia de dos o mas ángulos simples (, , ..)
Determinaremos las F.T. de ángulos de la forma: + y -
En términos de las F.T. de y .
Para ello usaremos el círculo trigonométrico y la resolución de triángulos rectángulos vista anteriormente.
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O
A
B
C
1
DE
F
En el círculo trigonométrico mostrado, BC = sen( + )
sen( + ) = BE + EC … (1)
En el OBD:OD = cos BD = sen
En el BED:
BE = BDcos BE = sen cos … (2)
En el OFD: DF = ODsen = EC EC = sen cos …(3)
(2) y (3) en (1):
sen( + ) = sen cos + cos sen
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Ejemplo:Determine el valor exacto de las expresiones:a)sen 75ºb)sen (7π/12)
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Análogamente se obtiene:
cos( + ) = cos cos - sen sen
Para la diferencia se tiene:
sen( - ) = sen cos - cos sen
cos( - ) = cos cos + sen sen
Se puede demostrar:
βtantanα1βtanαtan
β)tan(α
y:
βtantanα1βtanαtan
β)tan(α
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Ejemplo:Calcule el valor exacto de:
sen 20º cos 40º + cos 20º sen 40º
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Ejemplo:Determine los valores de k y φ para que la expresión:
A sen x + B cos xPueda escribirse como:
k sen (x + φ).
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Funciones Trigonométricas del Ángulo Doble
Si en las diapositivas anteriores reemplazamos por se obtendrá:
(3)..............αtan1
αtan22αtan
(2c)............1αcos2
(2b)............αsen21
(2a)......αsenαcos2αcos
(1)........αcosαsen22αsen
2
2
2
22
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Ejemplo:Si cos x = -2/3 y x está en el cuadrante II, determine sen 2x y cos 2x.
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Ejemplo:Doble la esquina inferior derecha de una hoja de papel de 6” de ancho, hasta llegar a la orilla izquierda, como muestra la figura. Determine la longitud L del doblez en función de θ.
L
θ
6”
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Funciones Trigonométricas del Ángulo Mitad
)2x(sen21xcos 2
Si en las expresiones (2b) y (2c) del ángulo doble, reemplazamos 2α por x, entonces α = , por lo que obtendremos:
2x
Despejando queda: 2xcos1
)2xsen(
También: 2xcos1
)2xcos(
dividiendo:xcos1xcos1
)2xtan(
racionalizando:xcos1
xsenxsenxcos1
)2xtan(
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04/13/23 Matemática 2 15
Ejemplo:Determine tan(u/2) si sen u = 2/5 y u está en el cuadrante II.
2215)
2utan(:RPTA