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15. Chebyshev 综 合西安电子科技大学,电子工程学院
苏 涛
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G
fcω
nH
2nH 3=n5=n
Butterworth综合
( ) nc
nHG 22
1
+
=
ωω
ω
•带外过于平坦
•带边3dB
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15. Chebyshev 综 合
一、Chebyshev函数
二、Chebyshev多项式逼近
三、修正的偶数阶Chebyshev函数
四、Chebyshev综合
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15. Chebyshev 综 合
一、Chebyshev函数
二、Chebyshev多项式逼近
三、修正的偶数阶Chebyshev函数
四、Chebyshev综合
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( )( )
( )
>⋅
≤⋅=
−
−
1
1coscos1
1
xxchnch
xxnxTn
Chebyshev函数
(1)表面分段,实质连续;(2)表面超越函数,实际是整数多项式;(3)带内等波纹,带外单调;
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递推公式
( ) ( ) ( )
xTT
xTxxTxT nnn
==
−= −+
1
0
11
12
证明: x1cos−=α αcos=x
( ) ( ) αααα nnn coscos21cos1cos =−++
( ) ( ) ( )xxTxTxT nnn 211 =+ −+
-
L
xxxTxxTxxT
xTxT
T
52016
188
34
12
1
355
244
33
22
1
0
+−=
+−=
−=
−=
==
-
(1)零点特性
( ) ( ) −
=oddnevennT
n
n 010
2
(2)带边特性
( ) 11 =nT
(3)奇偶特性
( ) ( ) ( )xTxT nnn 1−=−
-
(4)带外特性
带外单调变化
( ) 12 1 >>≈ − xxxT nnn(5)最佳特性
当 处,mxx = ( ) ( )mnmn xPxT =
若带外固定,则Chebyshev带内波纹最小;若带内波纹固定,则Chebyshev带外最陡。
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15. Chebyshev 综 合
一、Chebyshev函数
二、Chebyshev多项式逼近
三、修正的偶数阶Chebyshev函数
四、Chebyshev综合
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G
ω1
nH
21 ε+nH
oddn
G
ω1
nH
21 ε+nH
evenn
( ) ( )ωεω 222
1 nn
THG
+=
-
(1)直流特性
( )
+
=evennHoddnH
Gn
n
210
ε
(2)带内特性
2
min
max
2minmax
1
1
ε
ε
+=
+==
GG
HGHG nn
ε 等波纹系数;( )21log10 ε+=K 分贝波纹;
-
(3)带外特性
( ) ( ) 12 2222222 >>=≅ − ωωεωε
ω nnn
n
n HTHG
(4)复延拓:Chebyshev多项式
( ) ( )ωεω 222
1 nn
THG
+= ( ) ( )sjT
HsGn
n
−+=− 22
2
1 ε
ωjs =
( ) ( ) ( ) ( )( )sjTsjTsGsSsS
n
n
−+−
=−−=− 2222
21111 1
1ε
ε
-
( ) 01 22 =−+ sjTnε拆分分母:Chebyshev多项式
( )[ ]ε11 jsjnchch ±=−−即,
令, ( ) jvusjch +=−−1
( )[ ]ε1jjvunch =+
ε1sincos jnvjshnunvchnu =⋅+⋅
=⋅
=⋅
ε1sin
0cos
nvshnu
nvchnu
-
( )
ashn
unv
nkn
kvnv
k
k
=
=⇒=
−=+
=⇒=
−
εε
π
111sin
12,,2,1,02
120cos
1
L
( ) vjchuvshujvujchs cossin ⋅+⋅−=+=
( ) ( )
12,,2,1,02
12cos2
12sin1
−=
+⋅+
+⋅−=+
nkn
kjchan
kshask
L
ππ
-
显然,根的分布 111 +++ += kkk js ωσ
12
12
1 =
+
++
chashakk ωσ
n2π
椭圆上的等分分布
-
(5)Chebyshev多项式的n
带外特性确定n,即元件数;
当 时,要求 ,
其中 分贝波纹
1>= sωω ALLs >AK
( ) ( )[ ] ALTHGL nns ≥++−=−= 2222 1log10log10log10 ωεω
1=nH110 10 −=AK
ε
-
1110
110
int 110
101
+
−
−
= −
−
s
AK
AL
ch
ch
nω
-
注意:偶数阶Chebyshev多项式逼近的矛盾
( )
+
=evennHoddnH
Gn
n
210
ε
( )( )
1,1
40 2 =+= g
l
l rrrG
( )( )
11
41 22 ≤
++=
l
ln r
rH εevenn
l
l
rr2
1−≤ε
显然, 1≠lr
偶数阶Chebyshev响应,负载不能等于特性阻抗。
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15. Chebyshev 综 合
一、Chebyshev函数
二、Chebyshev多项式逼近
三、修正的偶数阶Chebyshev函数
四、Chebyshev综合
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【定理】修正的偶数阶Chebyshev多项式Ln与标准Chebyshev多项式有如下关系:
( ) ( )hkxTxL nn += 22
其中,n
hk2
,2cos,cos2 0002 πθθθ =−==
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15. Chebyshev 综 合
一、Chebyshev函数
二、Chebyshev多项式逼近
三、修正的偶数阶Chebyshev函数
四、Chebyshev综合
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理想响应
cω
nH
f
( )2ωG
采用Buttworth逼近函数
( ) ( ) ( )sSsSsG −=− 21212
网络无耗
( ) ( )( )2
*1111
1 sGsSsS
−−=
分解反射函数非唯一,可实现性
( )sS11
阻抗函数
( ) ( )( )sSsSZsZ in
11
110 1
1m
±=
阶梯电抗网络
-
( ) ( )sjTHsG
n
n
−+=− 22
2
1 ε
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )sjTsjTHsGsSsS
n
nn
−+−+−
=−−=− 2222
21111 1
11ε
ε
令:nH−
=1
ˆ2
2 εε
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )sCsC
sDsDsjTsjTH
sjT
sjTHHsSsS
nn
nn
n
nn
n
nn
n
−−
=
−+−+
−=
−+
−−
+−=−
22
22
22
22
1111
1ˆ11
11
11
εε
ε
ε
-
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )sCsCsDsDsSsS
nn
nn
−−
=−1111
( ) ( )( )sCsDsS
n
n±=11
显然,分解非唯一;必须保证分母的根在左半平面。
-
【例】综合n=2的Chebyshev低通网络
( ) ( )sjTHsG
n
n
−+=− 22
2
1 ε
( ) ( ) 1212 222 −−=−−=− ssjsjT
( ) ( )14411
2422
+++=−
sssG
ε
( ) ( ) ( )
2
224
22
2421111
4121
144111
εε
ε
+++
+
=
+++−=−
ss
s
sssSsS
-
( ) ( )( )
( ) ( )bsasbsasss
sSsS+−⋅++
+−⋅
+
=− 22
22
111121
21
待定系数a,b,得到
+=
−=
εε
ε
21
111
2
2
b
a
( )bsas
ssS
++
+= 2
2
1121
-
( ) ( )( )21
212
11
2
11
11
−+
+++=
+−
=bsa
bsas
sSsSsZin
sa2
21
+b
21
−b
0
sb
a
21
+
212 2 +++ bsas
21
−+ bsa
sa
bs 122 2 −+
122 −= ba
21
−+ bsa
sa
21
+b
2121
−
+
b
b
21
+b
-
sa2
sb
a
21
+2121
−
+
b
b