Download - 16 Integral Kalkulus
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
1/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 1Go to Sitis file
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_8/Photo-Video.ppthttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_8/Photo-Video.ppt -
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
2/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 2
Motivasi
Jumlah Riemann-Integral Tentu
Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral TentuAnti Derivatif-Integral Tak tentu
Teknik Pengintegralan
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
3/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 3
Luas Bidang Lengkung
1P 2P 3P
Empat sisi Delapan sisi
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
4/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 4
Luas Bidang Lengkung
1P 2P 3P
Untuk
,...,, 321 PPP
n
Empat sisi Delapan sisi Enambelas sisi
)(limn)A(Lingkara nn
PA
)(n)A(Lingkara nPA atau
Deskripsi
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
5/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 5
George Friedrich Bernhard Riemann
(1826-1866)
Deskripsi
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
6/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 6
Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva-y sedemikian sehingga
kecepatannya pada saat t 0 diberikan oleh meter perdetik.Seberapa jauh partikel tersebut bergerak antara dan ?0t 3t
Fakta:Benda bergerak dengan Kecepatan
tetap k selama selang waktu t.
Jarak tempuh=k. t.
k
t
13
41)( ttv
Masalah 1: (Purcell)
Pembahasan
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
7/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 7
Sn
S1S2
14
1 3ty
Bagi selang [0,3]
pada sumbu t menjadi
n selang bagiandengan lebart=3/n.
Pandang
poligon luar
Sn.
Luas Sn=A(Sn)
Luas poligon Si, misalkan y=f(t)
ni
nnn
ittf i
3
4
8131
3
4
1)(
3
4
3
Diperoleh
0=t0
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
8/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 8
312
116
81
3)12(
16
81
3
2
)1(
4
81
3
4
81
34
81
)(
)(...)()()(
2
4
22
2
4
1 1
3
4
1
34
1
2
nn
n
nnn
n
n
nn
n
ni
n
ni
n
ttf
ttfttfttfSA
n
i
n
i
n
i
n
i
i
nin
Selanjutnya diperoleh06,8
16
1293
16
81)(lim n
nSA
Benda bergerak sejauh 8,06 meter antara 0t dan 3t
Deskripsi
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
9/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 9
Fungsi terintegralkan pada [a,b], jhjfn
i
iiP
xxf1
0||)(lim ada. Selanjutnya
b
a
dxxf )(
disebut integral tentu (integral Riemann)fungsif dari a ke b.
Diberikan fungsi
(tidak perlu kontinu asalkan terbatas pada [a,b])
)(xfy pada selang [a,b]
4x
0x0
xa
1x
2x
3x
bxn
1x 2x
ix Titik sampel pada selang [xi-1,xi]
n
i
iip xxfR1
)(
Jumlah Riemann (Rp)
x
y
b
a
n
i
iiP
xxfdxxf1
0||)(lim)(
a b
Deskripsi
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
10/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 10Deskripsi
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
11/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 11
Pandang Kembali Masalah 1
' '( )y F t( )y F t
141)()(' 3ttvty ( )y F t
14
1 3t
14
1 3t
14
1 3t
tt4
16
1
316
1 4tt
716
1 4tt
ctt4
16
11
4
1 3t
Substitusikan dan
ke . Selanjutnya;
0t 3t
)(tfy
(3) (0)1 14 43 3 0 0
16 16
81 1293
16 16
F F
c c
3
0
( ) (3) (0)v t dt F F
Dalam hal ini,
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
12/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 12
f xa
bdx F b F a .
F' x f x , F' x f x ,Jika pada [a,b] maka
Jika )()(' tvty makaT
yTydttv0
)0()()(
atau
T
dttvyTy0
)()0()(
Catatan:Jika
pada [a,b], maka f kontinu pada[a,b]
Fungsi f kontinu pada [a,b]. Luas daerah L yang dibatasi oleh
kurva , sumbux, garis x=a dan x=b ditentukan oleh
L=
F disebut anti derivatif dari fungsi fdengan .
)(xfy
f xa
bdx F b F a .
F' x f x ,
Deskripsi
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
13/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 13
Masalah 2
Penjelasan
11 1 2 1
2
2
1 1 1
1
1
1
2 1
1 1 1
2.1 1
xdx x dx
x
x
Pembahasan
Grafik fungsi 1/x2 seperti pada gambar tidak terbatas,karenanya tidak dapat dihitung menggunakan TeoremaDasar Kalkulus.
Jawaban di atas tidak benar karena hasilnyabernilai negatif, padahal fungsi yangdiintegralkan adalah fungsi positif.
1
1
2dx
x
1Periksa
Deskripsi
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
14/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 14
SIFAT LINEAR
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxfii
kdxxfkdxxkfi
)()()()()(
konstanta,)()()(
SIFAT PENAMBAHAN SELANG
c
a
b
a
c
b
dxxfdxxfdxxf )()()(
x
y
2S
c
1S
a b
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
f terintegralkan pada [a,b]
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
15/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 15
SIFAT PENDIFERENSIALANINTEGRAL TENTU
Jikaf fungsi kontinu pada selang [a, b],dan maka
Jika
makaJika maka
),(0 xf
b
a
dxxf )(0
a
SIFAT PERBANDINGAN
Diberikan fungsi-fungsif ,g terintegralkan pada [a,b]
),()( xgxf
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
],[ bax
)(xf
x
y
b
)(xg ],[ bax
)()( xfdttfDx
a
x
Deskripsi
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
16/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 16Deskripsi
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
17/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 17
Fungsi F disebut anti derivatif
dari fungsifpada interval I, jikaF(x)=f(x), untuk setiapx di I.
CONTOH 1:
Selanjutnya, jikaf terintegralkan pada
interval I dan Fanti derivatif darifungsif maka intregral tak tentufungsi f adalah
CxFdxxf )()(
Misalkanf(x)=x3. Jika F(x)=1/4x4
maka F(x) = f(x)
Bentuk paling umum dari antiderivatiffpada I adalah F(x) + CdenganCsembarang konstanta.
Deskripsi
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
18/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 18
METODE SUBSTITUSI
METODE PENGINTEGRALAN
PARSIAL
Substitusi langsung ke bentuk standar
Substitusi yang merasionalkan
Substitusi trigonometri
Substitusi dengan melengkapkan menjadi
bentuk kuadrat
Deskripsi
Teknik Pengintegralan
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
19/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 19
1. METODE SUBSTITUSI
Andaikan g fungsi
yang terdiferensialkan
dan Fanti derivatif dari
f,jika u=g(x), maka
CxgFCuF
duufdxxgxgf
))(()(
)()('))((
b
a
bg
agduufdxxgxgf
)(
)()()('))((
Jikaf dan g terdiferensialkan
pada [a,b] dan u=g(x), , maka
Arahkan penggantian untuk
memperoleh bentuk-bentuk standar
Catatan:
1,,1
1 1nQnCxndxx
nn
1. Pengintegralan Fungsi Aljabar
2. Pengintegralan Fungsi Trigonometri
Cxecdxxecx
Cxdxxx
Cxdxxec
Cxdxx
Cxdxx
Cxdxx
coscoscot
secsectan
cotcos
tansec
cossin
sincos
2
2
Teknik Pengintegralan
Teknik Pengintegralan
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
20/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 20
1. METODE SUBSTITUSI
Penggantian yang Merasionalkan
Integran memuat bentuk n bax
Substitusin baxu
Contoh 2:
Tentukan
Pembahasan
Misalkan:
maka
Cxx
Cuuduuu
duuuu
dxxxdxxx
57
512
712611
425
52
5 2
1
7
51
12
5
7
5
12
55
5.1
1)1(
dxxx52
1
51
1xu
15 xu
dan dxduu45
Teknik Pengintegralan
Teknik Pengintegralan
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
21/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 21
1. METODE SUBSTITUSISubstitusi Trigonometri
Integran berbentuk
Fungsi
integral
Substitusi
dengan
Hasil
222222atau,, axxaxa
22xa
uax sinua
ua
cos
sin12
22 xa
22xa
uax tan
uax sec
ua
ua
sec
tan12
ua
ua
tan
1sec2
Contoh 2:
Tentukan dxxa22
Pembahasan
Misalkanx=a sin u
)sin1(sin2222222 uauaaxa
uaua coscos22
duuadxuax cossin
)cos(cos22 duuauadxxa
duuaduua2222
coscos
Cuuua
Cuua
duua
)cossin(
2
)2sin2
1(
2)2cos1(
22
22
Teknik Pengintegralan
Teknik Pengintegralan
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
22/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 22
Nyatakan kembali ke dalam variabelx
ax
u
x=a sin u
a
xau
a
xarcu
a
xu
22
cos
sinsin
Jadi
Cxaxaxarcadxxa 22
2
22
2sin
2
Teknik Pengintegralan
Teknik Pengintegralan
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
23/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 23
1. METODE SUBSTITUSIMelengkapkan menjadi Kuadrat
CBxx2Integran memuat bentuk Lengkapkan
menjadi bentuk kuadrat
CBxx2
Gunakan SubstitusiTriginometri
Contoh 4
Tentukan dxxx 245
Teknik Pengintegralan
Teknik Pengintegralan
-
7/29/2019 16 Integral Kalkulus
24/24
Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 24
2. METODE PENGINTEGRALAN PARSIAL
dxxgdv )(' )(' xfdu
Pengintegralan Parsial IntergralTaktentu
duvuvdvu
Pengintegralan Parsial Intergral tentub
a
b
a
ba duvuvdvu ][
Misalkan )(dan)( xgvxfu
maka
)()(')(')()()( xgxfxgxfxgxfDx
dxxfxgdxxgxfxgxf )(')()(')()()(
dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(
Karena dan
Arti geometri Pengintegralan
Parsial
)(vhu
)(au
)(bu
)(av )(bv
b
a
vdu
b
a
udv
maka
b
a
b
a
vduavaubvbuudv )()()()(
Deskripsi
Teknik Pengintegralan