Download - 16462851 modul-7-matriks-dan-vector-xii-ipa
- 1 – then must yath now’09
7. Siswa mampu memahami konsep yang berkaitan dengan aturan matriks dan vektor serta mengguna-kannya dalam pemecahan masalah.
• Matriks• Vektor
A = B
Matriks
DEFINISI
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom.
A =
dc
ba
Bilangan-bilangan a,b,c,d,e,f disebut elemen-elemen matriks A
ORDO
ORDO suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris, diikuti oleh banyaknya kolom.
A =
dc
ba⇒ ordo matriks A2x3
KESAMAAN MATRIKS
Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika
a. Ordonya sama b. Elemen-elemen yang seletak sama
Contoh :
Diketahuia dua matriks A =
+ 55
24
qp dan B =
+ 37
24
q. Jika matriks A sama dengan
matriks B, hitunglah nilai p dan q !
⇒
+ 55
24
qp =
+ 37
24
q
5p + q = 7 ⇒ p = 1q + 3 = 5 ⇒ q =2
MATRIKS TRANSPOS
Transpos dari suatu matriks A (ditulis A atau A' atau At) adalah matriks yang elemen barisnya adalah elemen kolom A, dan elemen kolomnya adalah elemen baris A.
- 2 – then must yath now’09
A = B
Rasa takut hanya akan menghambat orang untuk maju
Α =32x
fed
cba
⇒At =
23xf
e
d
c
b
a
PENJUMLAHAN MATRIKS
Jumlali dua matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (A dan B harus berordo sama).
A
dc
ba +
B
sr
qp =
A + B
++++sdrc
qbpa
PENGURANGAN MATRIKS
Pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B.
A - B = A + (-B)
A +
B =
A + B
dc
ba+
sr
qp=
++++sdrc
qbpa
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.
=
dc
baA ⇒
=
dkck
bkakAk
..
...
Dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jika banyaknya kolom A = banyaknya baris B, dengan hasil suatu matriks C yang berukuran baris A x kolom B
mxonxomxn CxBA =
Aturan perkalian : Yaitu dengan mengendalikan baris-baris A dengan kolom-kolom B, kemudian menjumlahkan hasil perkalian itu.
Contoh :
1.
=
dc
baA dan
=y
xB
- 3 – then must yath now’09
++
=
=
dycx
byax
y
xx
dc
baAxB
2 x 2 2 x 1 = 1 x 1
2.
[ a b c ]
z
y
x= [ ax + by + cz ]
1 x 3 3 x 1 1 x 1
Ket :
Perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AB ≠ BA) tetapi bersifat asosiatif (AB)C = A(BC).
Determinan Matriks ordo 2 x 2
Jika
=
dc
baA , maka determinan matriks A didefinisikan sebagai |A| = ad – bc
Determinan Matriks ordo 3 x 3
Jika
=
ihg
fed
cba
A maka determinan matriks A didefinisikan sebagai :
h
e
b
g
d
a
ihg
fed
cba
A =
Keterangan:Untuk menghitung determinan A3x3 dibantu dengan menulis ulang dua kolom pertama matriks tersebut atau cara ekspansi baris pertama.
MATRIKS INVERS
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B-1).
Jika
=
dc
baA , maka A-1 =
−
−− ac
bd
bcad
1
Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks AMatriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular. Sifat A . A-1 = A-1 . A = I
Sifat-Sifat
1. (At)t = A2. (A + B)t = At + Bt
3. (A . B)t = Bt . At
4. (A-t)-t = A
- 4 – then must yath now’09
|A| = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb
5. (A . B)-1 = B-1 . A-1
6. A . B = C → |A| . |B| = |C|
ax + by = p dituliscx + dy = q
dc
ba+
y
x=
q
p
Untuk menentukan himpunan penyelesaian, selain dengan metode eliminasi dan substitusi dapat juga diselesaikan dengan menggunakan aturan matriks, yaitu :
1. Matriks AX = B , maka X = A-1 . B
y
x=
−
−− ac
bd
bcad
1
q
p
2. Cara Determinan
x = Dx
p b q d Dy
a p c q
————— = —————— ; y = ———— = ——————
D a b c d
D a b c d
Contoh :
Diketahui sistem persamaan
=+=+14y5x3
9y3x2. Tentukan himpunan penyelesaiannya dengan
cara determinan !A. {1 , -7} D. {4 , 2}B. {-7 , 1} E. {-5 , 3}C. {2 , 4}
Jawab :
53
32
514
39
==D
Dx x
53
32
143
92
==D
Dy y ⇒ 3
910
4245 =−−=x 1
910
2728 =−−=y
- 5 – then must yath now’09
HP = {3, 1}
Contoh :1. Titik A(3 , 0 , 6) dan B(0 , 3 , -3), titik P membagi AB dengan perbandingan 1 : 2 maka
koordinat titik P adalah ....A. (3 , 1 , 5) D. (1 , 2 , 3)B. (1 , 3 , 4) E. (3 , 2 , 1)C. (2 , 1 , 3)Jawaban C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,1,23
312,30,06
3
3,3,012,0,6
21
3,3,016,0,3.2. =−++=−+=+
−+=++=nm
mBAnp
SOAL LATIHANMATRIKS
1. Diketahui matriks A =
cb
a
32
4 dan B =
+
+−7
1232
ba
abc. Nilai c yang memenuhi A = 2B adalah
a. -2 b. 3 c. 5 d. 8 e. 10
2. Diketahui matriks A =
−
−−1263
1596 dan B =
−−
−421
532. Nilai k yang memenuhi A = kB adalah
.....
a. 3 b. -3c. -1 d. 3
1e. -
3
1
3. Diketahui matriks A =
−
−2
2
124
. Hasil dari matriks
A2 adalah ......
a.
4
4
1416
c.
−
−53
1217 d.
53
1217
b.
−
−4
4
1416
e.
−−−
31
415
- 8 – then must yath now’09
4. Hasil kali dari
654
321
6
4
2
5
3
1
=......
a.
6449
2822c.
2249
2864 d.
30154
1882
b.
6428
4922 e.
30154
641
5. Diketahui matriks A =
−
+yxy
xyx dan B =
−
−
322
11
y
x.
Jika AT menyatakan matriks traspos dari A, maka persamaan AT = B dipenuhi untuk x = ........
a. 2 b. 1 c. 0 d. -1 e. -2
6. Diketahui matriks A =
−142
101
21 x
. Jika matriks
merupakan matriks singular, maka nilai x adalah .....a. -6 b. -4 c. 0 d. 4 e. 6
7. Diketahui matriks A =
0
2
y
x, B =
−43
21 dan C
=
−−−
21
81. Nilai x + y yang memenuhi AB = C
adalah .....a. -2 b.-1 c. 0 d. 1 e. 2
8. Diketahui A =
20
02 dan B =
87
65 dan
pernyataan berikut :1. A2 = 2A2. AB = BA3. AB = 2B4. BAB = 2B2
Dari pernyataan tersebut yang benar ......a. 1 dan 2 c. 1,2, dan 3 d. 1,2,3, dan 4b. 1 dan 3 e. 2,3, dan 4
9. Diketahui matriks A =
−
−2
2
124
dan B =
−15
1012.
Hasil dari A2 + B = .....
a.
5
4
15
144c.
−62
25 d.
68
225
b.
−
−3
4
15
1428 e.
−24
63
- 9 – then must yath now’09
10. Diketahui matriks
23
34
y
x =
7
12.
Nilai x + y = .......a. -11 b. 10 c. -5 d. 5 e. 11
11. Diketahui f(x) = x2 – 2x dan A =
23
01.
Nilai f(A) adalah .......
a.
−03
01 c.
−30
01 d.
51
42
b.
− 03
01 e.
− 21
03
12. Bila matriks A =
− 021
64
532
x adalah matriks
singular, maka nilai x = ......a. -10 b. 10 c. 5 d. 15 e. -5
13. Jika x memenuhi :
−
−1)2log(
)62log(log
b
aax
=
1log
1log
a
b, maka nilai x = ..........
a. 1 b. 2 c. 4 d. 6 e. 8
14. Nilai x dari sistem persamaan
=−=+1032
523
yx
yx
dinyatakan dalam matriks adalah .......
a. x =
32
23102
53
−
c. x =
32
2332
23
−
−−−
d. x =
32
23210
35
−
b. x =
32
23310
25
−
− e. x =
32
23103
52
−
−
15. Sistem persamaan
=+=−
33
5
yx
yx diselesaikan dengan
menggunakan matriks untuk y = 13
11 −p
Nilai p =
a. -12 b. -2 c. 4 d. 8 e. 18
- 10 – then must yath now’09
TUGAS INDIVIDU
1. Jika A=
714
938
625
, maka determinan A = ......
a. -4 b. -3 c. 3 d. 4 e. 5
2. Matriks A=
− 413
021 . Matriks A’.A = ......
a.
−−−
−
16412
451
12110
d.
−−−
4812
2393
2168
b.
−−
1139
7261
015
e.
−−
−−
912
838
122348
c.
−−
−
487
0115
932
3. Hasil kali akar - akar persamaan 21
313
++−
xx
x = 0
adalah .....
a. 3
2− b. 3
4− c. 3
5− d. 3
2 e.
3
4
4. Diketahui A =
− 34
21. Hasil dari 2a2 – 4A + 5I
adalah ......
a.
−
−178
49 d.
−
−134120
6014
b.
−
−6760
307 e.
−
−117104
5213
c.
1223
48
5. Diketahui A=
− 34
31 dan matriks tak nol X
sedemikian sehingga AX = 3X. Matriks X = .....
a.
−3
1 b.
2
3 c.
−5
2 d.
42
1 e.
- 11 – then must yath now’09
−−
1
5
6. Diketahui A=
10
21. Maka An = .....
a.
01
12n c.
10
21 nd.
−10
32 nn
b.
10
13n e.
−10
31 n
7. Diketahui P =
−
−
130
20
004
t
t
t
. Jika P matriks
singular, maka nilai t yang memenuhi =....a. -4 b. -3 c. -2 d. -1 e. 0
8. Jika diketahui
ihg
fed
cba
= -6, adalah .....
a. -18 b. -6 c. 6 d. 18 e. 72
9. Jika matriks
− 500
112
22 xx
singular, maka nilai x yang
memenuhi adalah ....a. -1 dan 3 c. -2 dan 1 e. 0 dan -1b. 0 dan 2 d. 1 dan 3
10.
−−
3b
d1 +
−
−b3
54 =
−
−34
12
+1ac
1c2,
maka nilai a = ....
A. –2 C. 3
2D. 2
B. 3
4− E. 3
2−
11. Diketahui matriks
=
4
1-
1
2 A ,
+= y
2
3
yx B , dan
=
1
2
3
7 C . Apabila B – A = Ct, dan Ct = transpose
matriks C, maka nilai x.y = ….A. 10B. 15C. 20D. 25E. 30
- 12 – then must yath now’09
Soal Ujian Nasional tahun 2007
12. Diketahui matriks
=
5
0
2
3 A ,
=
1
1-
y
x B , dan
=
5
1-
15-
0 C , At adalah transpose dari A. Jika At . B =
C maka nilai 2x + y = ….A. – 4B. – 1C. 1D. 5E. 7
Soal Ujian Nasional tahun 2006
13. Matriks X berordo ( 2 x 2 ) yang memenuhi
=
1
3
2
4 X
4
2
3
1 adalah ….
A.
4
5-
5
6-
B.
5
6-
4
5
C.
5
5-
4
6-
D.
1
2-
3-
4
E.
8-
10-
10-
12
Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004
14. Diketahui matriks
=
5
2
3
1 A ,
=
4
2-
1
3 B , dan P(2x2).
Jika matriiks A x P = B, maka matriks P adalah ….
A.
10
18-
8-
13
B.
2
8-
7-
21
C.
10-
18
8
13-
D.
2-
8
7
21-
E.
12
6
14
5
Soal Ujian Nasional tahun 2005
15. Diketahui hasil kali matriks
=
7
3
9
16
d
b
c
a
2
3
1
4 .
Nilai a + b + c + d = ….A. 6B. 7C. 8D. 9E. 10
- 13 – then must yath now’09
Soal Ujian Nasional tahun 2003
16. Diketahui matriks
=
4p-
9-
3
4 A ,
=
3
5-
1
5p B , dan
=
6p
8
4-
10- C , Jika matriks A – B = C–1, nilai 2p = ….
A. – 1 B. –½C. ½D. 1E. 2Soal Ujian Nasional tahun 2001
17. Diketahui matriks
=
2-
3
1-
2 A ,
=
10-
12
4-
6 B dan A2 =
xA + yB. Nilai xy = ….A. – 4B. – 1C. – ½D. 1½E. 2Soal Ujian Nasional tahun 2000
VECTOR
1. Diketahui titik A(7 , 4 , -1), B(2 , 4 , 9) dan C(1 , 3 , 2). Jika P terletak pada BA
dengan AP : PB =
2 : 3, maka vektor 2 CP
+ BA
= ....
A.
−−−
1
1
4
C.
−−
8
2
13
D.
−
10
0
5
B.
−−
9
1
9
E.
−10
0
5
2. Jika titik A(2 , 8 , 1), B(3 , 9 , 1) dan C(2 , 9 , 1). Nilai tangen sudut yang dibentuk oleh vektor BA
dan CA
sama dengan ....
A. 1 C. 2
1D. -
2
12
B. 2
12 E. -1
C. 2
1
- 14 – then must yath now’09
3. Sudut antara a
=
−1
x
0
dan b
=
− 2
1
2
adalah 450.
Maka nilai x sama dengan ...
A. 2 C. 7
1− D. -1
B. 1 E. -2
4. Jika panjang proyeksi vektor a
=
2
3
1
pada
vektor b
=
4
0
p
sama dengan 5
11 maka nilai p
adalah ....
A. - 14 C. 3
7− D. 3
B. -3 E. 14
5. Diketahui a
= 6 i - 2 j
- 4 k
dan b
= 2 i + j
- 2
k
. Proyeksi orthogonal a
pada b
adalah ....
A. 3
2i +
3
1j
- 3
2k
D. 4 i + 2 j
- 4 k
B. i + 2
1j
- k
E. 6 i + 3 j
- 6 k
C. 2 i + j
- 2 k
6. Jika A(2 , -1 , 4), B(3 , 0 , 4) dan C(2 , 0 , 5). Jika
BA
= p
dan CA
= q
maka besar sudut antara
vektor p
dan q
adalah ....A. 300 D. 1200
B. 600 E. 1800
C. 900
7. Titik A(-1 , 3 , 1), B(1 , 6 , 7), C(0 , 2 , 5) dan D(1 ,
4 , 10). Jika vektor
1
y
x
tegak lurus BA
dan DC
,
maka nilai x dan y berturut-turut adalah ....A. 3 dan 4 D. –4 dan 3B. 3 dan -4 E. 4 dan -3C. –3 dan -4
8. Titik A(3 , 0 , 6) dan B(0 , 3 , -3), titik P membagi AB dengan perbandingan 1 : 2 maka koordinat titik P
- 15 – then must yath now’09
adalah ....A. (3 , 1 , 5) D. (1 , 2 , 3)B. (1 , 3 , 4) E. (3 , 2 , 1)C. (2 , 1 , 3)
9. Jika a
= 2 i - 6 j
- 3 k
dan b
= 4 i + 2 j
- 4 k
.
Maka panjang proyeksi a
pada b
adalah ....
A. -4
3D. 1
B. -3
4E.
3
4
C.4
3
10. Diketahui segitiga ABC, A(1 , 2 , 3), B(2 , 3 , 1)dan C(3 , 1 , 2). Z adalah titik berat segitiga ABC, maka panjang AZ = ....A. 2 D. 6
B. 3 E. 14C. 5
TUGAS INDIVIDU
11. Diketahui P(1 , 7 , 0), Q(-2 , 4 , 3), S(2 , 8 , 5) dan R membagi PQ di dalam dengan perbandingan 1 : 2, maka sudut PRS adalah ....A. 00 D. 600
B. 300 E. 900
C. 450
12. Vektor posisi titik A dan titik B adalah a
dan b
. Jika C pada AB sehingga AB : AC = 3 : 1, maka vektor posisi c adalah ....
A. 3
1(2a
- b
) D.
3
1 (2 b
+ a
)
B. 3
1 (2 b
- a
) E.
3
1 (a
- 3 b
)
C. 3
1 (2a
+ b
)
13. Jika a
= 4, b
= 2 dan a
+ b
= 2 7 , maka
a
- b
= ....A. 2 D. 4B. 3 E. 3 2C. 2 3
14. Diketahui : a
= -2 i + j
- 3 k
b
= -3 i - j
+ 2 k
c
= -2 i - j
+ k
- 16 – then must yath now’09
d
= 3 i + j
- 2 k
Dari vektor-vektor di atas yang saling tegak lurus adalah ....A. c dan d D. a dan cB. b dan d E. a dan bC. a dan d
15. Sudut antara a
= i - j
+ 2 k
dan b
= i + p j
+ k
adalah 300, maka nilai p adalah ....A. 2 D. 0B. 3 E. –1
C. 1
16. Proyeksi vektor a
= i + 2 j
- 3 k
pada vektor b
= 5
i - 4 j
- 2 k
adalah ....
A. 2
1
−2
4
5
C. 5
1
−
−
2
4
5
D. -2
1
−3
2
4
B. 4
1
−1
4
2
E. -3
1
−
−
3
2
4
17. Ditentukan a
= n i + n j
- k
, b
= - i + n j
+ 2 k
dan sudut kedua vektor adalah 900 maka nilai n adalah A. –2 atau -1 D. –1 atau 3B. –2 atau 1 E. 1 atau 3C. –1 atau 2
18. Jika titik A(1 , 1 , 2), B(2 , 2 , 5) dan C(4 , 4 , 11) adalah kolinier, maka AB : BC adalah ....A. 1 : 2 D. 3 : 1B. 1 : 3 E. 3 : 2C. 2 : 1
19. Segitiga ABC, titik A(2 , -1 , 1), B(3 , 0 , 0) dan C(0 , 3 , 3)adalah segitiga siku-siku di titik A, maka jarak titik A ke garis BC adalah ....
A. 3 C. 34 6 D. 2 3
B. 32 6 E. 4 3
20. Diketahui P(6 , 7 , -6), Q(5 , 7 , -4) dan R(3 , 7 , -5) merupakan suatu segitiga maka luasnya adalah ....
A. 5 satuan luas D. 25
5 satuan luas
B. 25 satuan luas E. 2
510 satuan luas
C. 10 satuan luas
- 17 – then must yath now’09
Orang yang bijak adalah mereka yang tahu…
Kapan saatnya berbuat dan kapan