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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL SUROESTE DE GUANAJUATO
INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS
AUTOR:
M. EN C. EMANUEL MORENO VILLANUEVA
REVISIÓN TÉCNICA:
M. EN I. JESÚS ZARATE FLORES
SEPTIEMBRE DE 2010
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Índice
Introducción
Unidad Temática I: Conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales.
Objetivo de la asignatura
Objetivo de la unidad
Resultado de aprendizaje
Secuencia de aprendizaje
Instrumentos y tipos de reactivos
Tema 1.1 Definiciones y terminología. 09
Orden y grado de una ecuación diferencial ordinaria
Ejercicios
Métodos de solución general, particular y singular de una ecuación diferencial
Ejercicios
Tema 1.2 Teorema de existencia y unicidad. 14
Ejercicios
Tema 1.3 Problema del valor inicial y de valor en la frontera. 18
Ejercicios
Tema 1.4 Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos. 20
Ejercicios
Unidad temática II: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Tema 2.1 Ecuaciones de variables separables. 40
Ejercicios
Tema 2.2 Ecuaciones homogéneas y exactas. 42
Ecuaciones homogéneas
Ejercicios
Ecuaciones exactas
Ejercicios
3
Tema 2.3 Solución de ecuaciones por sustitución. 46
Factores de integración
Ejercicios
Tema 2.4 Ecuaciones lineales y de Bernoulli. 48
Ecuaciones solubles para P
Ecuaciones solubles para Y
Ecuaciones solubles para X
Ecuación de Clairaut
Ecuación de Bernoulli
Ejercicios
Tema 2.5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden. 55
Ejercicios
Evaluación del conocimiento. Parcial #1
Evaluación del producto
Evaluación del desempeño y actitud
Unidad Temática III: Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden
superior.
Objetivo de la unidad
Resultado de aprendizaje
Secuencia de aprendizaje
Instrumentos y tipos de reactivos
Tema 3.1 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas.77
Ejercicios
Problema del valor inicial
Teorema de existencia y unicidad
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
Dependencia e independencia lineal
4
Wronskiano
Ejercicios
Tema 3.2 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.86
Ecuación auxiliar con raíces distintas
Ecuación auxiliar con raíces repetidas
Ecuación auxiliar con raíces complejas
Tema 3.3 Ecuación diferencial lineal no homogénea. 91
Método de superposición (coeficientes indeterminados)
Método del operador anulador
Ejercicios
Tema 3.4 Aplicación de las ecuaciones de diferenciales de segundo orden.103
Clasificación de las vibraciones
Ejercicios
Evaluación del conocimiento. Parcial #2
Evaluación del producto
Evaluación del desempeño y actitud
Unidad temática IV: Transformada de Laplace.
Objetivo de la unidad
Resultado de aprendizaje
Secuencia de aprendizaje
Instrumentos y tipos de reactivos
Tema 4.1 Definición de la transformada de Laplace. 113
Transformadas de Laplace de funciones básicas
Transformadas de Laplace de funciones definidas por tramos
Propiedades de la transformada de Laplace
Linealidad
Traslación en el eje s
5
Traslación en el eje t
Transformada de la derivada
Transformada de la integral
Ejercicios
Tema 4.2 Transformada inversa de Laplace. 120
Propiedades importantes de la transformada de Laplace
Linealidad
Ejercicios
Tema 4.3 Teoremas de traslación y derivada de una trasformada. 123
Fracciones parciales
Traslación
Traslación en el eje s
Traslación en el eje t
Tema 4.4 Transformada de derivadas, integrales y funciones periódicas. 126
Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos
Transformada de derivadas
Transformada de integrales
Teorema de convolución
Transformada de Laplace de funciones periódicas
Ejercicios
Tema 4.5 Aplicaciones. 131
Función Delta de Dirac
Aplicaciones
Ejercicios
Tema 4.6 Sistemas de ecuaciones lineales. 140
Obtención de una segunda solución a partir de otra ya conocida
Ejercicios
6
Sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes
Ejercicios
Evaluación del conocimiento. Parcial #3
Evaluación del producto
Evaluación del desempeño y actitud
Unidad temática V Series de Fourier.
Objetivo de la unidad
Resultado de aprendizaje
Secuencia de aprendizaje
Instrumentos y tipos de reactivos
Tema 5.1 Funciones ortogonales. 155
Funciones ortogonales definición
Ejercicios
Tema 5.2 Series de Fourier. 158
Definición de una serie de Fourier
Ejercicios
Convergencia de las series de Fourier
Ejercicios
Tema 5.3 Series de Fourier de senos y cosenos. 166
Funciones par e impar
Ejercicios
Series de Fourier de funciones par e impar
Desarrollo de una serie de cosenos
Desarrollo de una serie de senos
Ejercicios
Tema 5.4 Aplicaciones. 173
Ejercicios en general
7
Aplicaciones en señales
Evaluación del conocimiento. Parcial #4
Evaluación del producto
Evaluación del desempeño y actitud
Bibliografía
Anexos
Introducción
El presente trabajo expone los fundamentos de la materia Ecuaciones
Diferenciales Aplicadas de la currícula correspondiente a la Ingeniería en
Mantenimiento Industrial, que ofrecen algunas Universidades Tecnológicas del
país correspondiente al nivel 5A.
El manual incluye los puntos de la currícula de la materia mencionada y los
desglosa a través del tratamiento básico de ecuaciones diferenciales ordinarias
y parciales. El desarrollo de la materia de ecuaciones diferenciales aplicadas
en el presente manual, se fundamenta en el Enfoque por Competencias, como
una respuesta a mejorar la calidad educativa de la enseñanza-aprendizaje.
“Diseñar estrategias de mantenimiento mediante el análisis de factores
humanos, tecnológicos, económicos y financieros, para la elaboración y
administración del plan maestro de mantenimiento que garantice la
disponibilidad y confiabilidad de planta, contribuyendo a la
competitividad de la empresa”, es la competencia que se propone en el plan
curricular de la asignatura, a través del seguimiento de cada una de sus cinco
unidades temáticas, con la finalidad de contribuir al desarrollo social, poniendo
en práctica los conocimientos, habilidades y actitudes cultivados durante el
cuatrimestre.
Es por ello que el manual pretende ser una guía para el trabajo conjunto del
docente y el alumno, se presentan los temas de las cinco unidades temáticas
que contiene el plan curricular de la materia. En cada unidad temática se cita el
objetivo, resultados de aprendizaje y los saberes de cada tema (saber, saber
hacer y saber ser). Además, se presentan ejercicios tanto resueltos como
propuestos en cada capítulo, un examen de autoevaluación bajo el principio
taxonómico de Bloom, así como ejemplos de aplicación a manera de estudio
de caso emanados de necesidades reales del contexto.
Por último, en los anexos se presentan tablas de derivadas, integrales y
transformadas de Laplace (anexos 1-5) con la finalidad de brindar un apoyo
más a los usuarios, además de incluir diferentes formatos ejemplificados para
la evaluación del conocimiento (anexo 6) y un formato propuesto para la
8
planeación curricular cuatrimestral de la materia (anexo 7). Al tratarse de una
materia integrada por competencias, no podían faltar la programación curricular
de la materia y los instrumentos de evaluación; formatos basados en
competencias para la evaluación del conocimiento, producto, desempeño y
actitud sin querer decir con ello que estos tengan que aplicarse así, existe la
libertad para que el docente adapte el manual, lo enriquezca y adecue como
una función de su diseño dentro del plan curricular.
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UNIDAD TEMÁTICA I
Conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales.
Objetivo de la asignatura
El alumno aplicará las ecuaciones diferenciales, las transformadas de Laplace
y las series de Fourier para mejorar las condiciones de operación de la
empresa, mediante la modelación y evaluación de condiciones de los
fenómenos eléctricos, electrónicos y mecánicos en los equipos que intervienen
en los procesos productivos de la misma.
Objetivo de la unidad temática I
Comprender qué es una ecuación diferencial, su origen, sus tipos, su solución y
su interpretación en problemas de ingeniería, para modelar sistemas
electromecánicos, mediante el estudio de casos.
Resultado de aprendizaje
El alumno elaborará un mapa conceptual en el que identificará los tipos (orden,
grado, linealidad, ordinaria, parcial) y aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales.
Secuencia de aprendizaje
1.- Identificar las ecuaciones diferenciales y sus tipos.
2.- Comprender el proceso de verificación de soluciones de ecuaciones
diferenciales.
Instrumentos y tipos de reactivos
Ejercicios prácticos.
Lista de verificación.
Tema 1.1
Definiciones y terminología.
Saber: Describir los criterios de clasificación de las ecuaciones diferenciales.
Saber hacer: Identificar los tipos de ecuaciones diferenciales, grado, y
linealidad. Comprobar soluciones de ecuaciones diferenciales.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
Introducción
10
Se puede considerar a una ecuación diferencial, como aquella que contiene
diferenciales (derivadas). En el caso de que la ecuación involucre una sola
variable independiente, las derivadas y diferenciales son derivadas totales, a
este tipo de ecuación se le conoce como; ecuación diferencial ordinaria.
Ahora, si en la ecuación están involucradas dos o más variables
independientes, se presentan derivadas parciales llamándosele a la ecuación;
ecuación diferencial parcial (que no serán consideradas en el presente
manual).
A continuación se presentan ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias
(ejemplos 1 al 5) y de ecuaciones diferenciales parciales (ejemplos 6 al 9):
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
Orden y grado de una ecuación diferencial ordinaria
El orden de una ecuación diferencial; es el orden de la mayor derivada
expresada. Refiriéndose a los ejemplos anteriores, se observa que las
ecuaciones (1), (4) y (5) son ecuaciones diferenciales de primer orden, y las
ecuaciones (2) y (3) son ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden
respectivamente. Por otro lado, el grado de una ecuación diferencial ordinaria
es el grado algebraico de su mayor derivada ordenada. Considerando los
ejemplos referidos, se deduce que las ecuaciones (1), (2), (4) y (5) son de
primer grado, y la ecuación (3) es de segundo grado. Para mayor claridad se
enfatiza que no es lo mismo tener:
y
11
Ejercicios
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
Métodos de solución general, particular y singular de una ecuación
diferencial.
Introducción
Método se entiende como el procedimiento riguroso de orden lógico, cuyo
propósito es determinar el valor de verdad de ciertos enunciados. El método es
la vía para llegar a la meta. Por una solución se entiende lo mismo que el
término utilizado para cualquier ecuación matemática. La diferencia que deberá
percibir el estudiante, será que la solución estará expresada ahora como una
relación funcional en vez de una expresión algebraica o número. Si la solución
de una ecuación diferencial en las variables x y y, presenta la forma:
Se transformará en una identidad cuando y sus correspondientes
derivadas sean sustituidas por y las derivadas de en la ecuación diferencial
dada. En esos casos se llama integral, o una primitiva de la diferencial.
Ejemplo 1.1.1 Demostrar que es una solución de
Solución:
Puesto que :
Se tiene:
12
y;
Finalmente sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial inicial, se
tiene:
que es una identidad.
La solución de una ecuación diferencial puede estar dada en una forma
implícita: y por la solución queda demostrado que todas las
funciones , pueden ser obtenidas resolviendo
explícitamente en términos de que son integrales de una ecuación
diferencial dada.
Ejemplo 1.1.2 Demostrar que la ecuación de una circunferencia de centro en el
origen y radio r: es una solución de la ecuación diferencial
.
Solución:
Dividiendo entre , se escribe la ecuación diferencial en la forma:
Diferenciar implícitamente la solución propuesta, se obtiene:
Resolviendo para ,
Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene:
Satisfaciendo de esta manera la ecuación diferencial propuesta.
Existe la posibilidad de tener más de una solución en una ecuación diferencial
dada. Por ejemplo haciendo referencia al ejemplo 1.1.1, se puede demostrar
que también es una solución de dicha ecuación. Por otro lado, está
claro que una constante arbitraria puede ser considerada en la ecuación
diferencial obteniéndose una ecuación diferente; . Por tanto, se
pueden presentar soluciones particulares y soluciones generales.
Una solución particular de una ecuación diferencial es cualquier relación que
satisfaga dicha ecuación. La solución general de una ecuación diferencial de
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orden , es una relación de constantes arbitrarias (linealmente
independientes), que satisfacen la ecuación diferencial.
Ejemplo 1.1.3 Encontrar la ecuación diferencial que tiene como solución
general:
Solución:
Por algebra, eliminamos las constantes , sustituyendo en la segunda
derivada el valor de , se tiene: que es la ecuación diferencial
deseada.
Ejemplo 1.1.4 Encontrar la ecuación diferencial que tiene como solución
general:
Solución:
Aplicando propiedades de los determinantes para obtener se obtiene:
, que es la ecuación diferencial
deseada.
Ejercicios
Demostrar que cada ecuación dada, es una solución de las ecuaciones
diferenciales siguientes:
14
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Tema 1.2
Teorema de existencia y unicidad.
Saber: Enunciar el teorema de existencia y unicidad.
Saber hacer: Emplear el teorema de existencia y unicidad en solución de
ecuaciones.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
Introducción
Al incursionar en la parte medular de la aplicación de las ecuaciones
diferenciales, interesa de manera particular obtener su solución que está
sujeta a condiciones iniciales, o condiciones preestablecidas. De tal manera
que al enfrentarse a problemas de valor inicial, es natural hacerse las
siguientes preguntas:
¿Cuándo un problema de valor inicial tiene solución?
¿Cuándo un problema de valor inicial que tiene solución, tiene una
solución única?
Recuérdese que no todas las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden
resolverse directamente, por tal motivo es de gran utilidad saber si existen sus
soluciones. Como se mencionó inicialmente, una ecuación diferencial tiene un
gran número de soluciones, de las cuales solo una satisface las condiciones
iniciales, es decir, solo hay una curva que pasa por la condición inicial. Una
forma de garantizar la existencia y unicidad de la solución de una ecuación
diferencial es a través del siguiente teorema:
15
Teorema 1.2.1: Sea una región rectangular en un plano , definida por
que contiene al punto en su interior. Si y
son continuas en , entonces existe un intervalo con centro en y
contenido en , y una única función que satisface el problema de
valor inicial.
Para toda .
Uno de los teoremas de Giuseppe Peano (1858-1932), asegura que la
continuidad de en es suficiente para garantizar la existencia de al
menos una solución del problema sujeto a la condición inicial
, si está en el interior de , ver figura 1.2.1.
Figura 1.2.1 Función continúa en la región R.
Ejemplo 1.2.1 Determine la región del plano que garantice la existencia de
por lo menos una solución de la ecuación diferencial dada:
Solución:
La función , donde se sabe que su dominio en el plano es;
cuando , a su vez (derivada parcial de ,
también tiene como dominio cuando , por lo que en todo el
y
x
d
c
a b
R
(x0, y0)
16
plano excepto en donde , se garantiza que existe al menos una
solución de la ecuación diferencial.
Ejemplo 1.2.2 Indicar si la siguiente ecuación diferencial tiene solución.
, sujeta a:
Solución:
Según el teorema 1.2.1, debe ser continua tanto como
, en la vecindad de , se denota que son funciones continuas para
todo y , por lo que se garantiza la existencia de una solución para este
problema de valor inicial.
Resolviendo la ecuación por variables separables:
, considerando el valor inicial;
Resolviendo para , se tiene:
Sin embargo considerando el dominio de la función, esta no está definida para
todo valor de , ya que se vuelve indeterminada en . El teorema
mencionado garantiza al menos una solución de la ecuación diferencial que
satisfaga una solución inicial, pero no indica que esa solución está definida
para cualquier valor de .
Ejemplo 1.2.3 Analizar el comportamiento de la solución de la siguiente
ecuación diferencial dado el valor inicial .
Solución:
Aplicando el teorema se tiene que: y , que son dos
funciones continuas para todo . Considerando el valor inicial para ,
el teorema no garantiza la existencia de una solución única.
17
Ejemplo 1.2.4 Resolver el problema de valor inicial dado por:
, sujeta a: ; es decir cuando
Solución:
Considerando la sustitución: , se tiene:
Considerando: y sustituyendo en , tenemos: o
, resolviendo por el método de variables separables:
Regresando a la sustitución original:
Finalmente se obtiene la solución general:
Sustituyendo los valores iniciales: , se tiene:
, resolviendo para c;
La solución general ahora se particulariza sustituyendo el valor de c en la
ecuación diferencial:
Ejemplo 1.2.5 Resolver el problema de valor inicial dado por:
, sujeta a
Solución:
Resolviendo por variables separables:
Considerando la condición inicial:
La solución particular será entonces:
18
(Se deja al estudiante graficar la familia de soluciones e identificar la curva
correspondiente).
Ejercicios:
Resolver el problema de valor inicial dado en las siguientes ecuaciones
diferenciales.
a) , sujeta a
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) ,
g) , 0
Tema 1.3
Problema de valor inicial y de valor en la frontera.
Saber: Identificar una ecuación diferencial sujeta a valores iniciales y de
frontera.
Saber hacer: Resolver problemas con ecuaciones diferenciales sujetas a
condiciones prescritas.
Introducción
Un problema en el que se busca una solución de una ecuación diferencial
tal que satisface condiciones prescritas, es decir, condiciones impuestas
sobre una desconocida o sus derivadas. En algún intervalo que contiene
a el problema:
Resolver
Sujeto a:
Donde son constantes reales arbitrarias dadas se llama
problema con valores iníciales. Los valores de y de sus primeras
19
derivadas en un solo punto , se
llaman condiciones iníciales.
Un problema del valor inicial es un problema que busca determinar una
solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función
desconocida, y sus derivadas específicas en un valor de la variable
independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iníciales.
Para el caso de ejercicios de dominio de concepto y aplicación principalmente
en los proyectos finales (contextualización del conocimiento), el educando
habrá de identificar el problema del valor inicial de cada estudio de caso del
proceso industrial en consideración, a través de los datos iniciales obtenidos.
Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una
solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función
desconocida, especificadas en dos o más valores de la variable independiente.
Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.
Ejemplo 1.3.1 El problema de valores iníciales:
Tiene la solución trivial . Como la ecuación de tercer orden es lineal con
coeficientes constantes, se satisfacen todas las condiciones; en consecuencia,
es la única solución en cualquier intérnalo que contenga .
Ejemplo 1.3.2 Resolver el problema del valor inicial dado por:
, sujeta a:
Solución:
Integrando:
, considerando el valor inicial:
, la solución correspondiente es:
20
es decir:
Ejemplo 1.3.3 Resolver el problema del valor inicial dado por:
sujeta a:
solución:
Agrupando: e integrando:
, considerando el valor inicial:
, la solución correspondiente es:
Ejercicios:
Encuentre la solución singular a la ecuación diferencial según las condiciones
iniciales dadas.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
Tema: 1.4
Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos.
A través de la historia de la tecnología, el ser humano se ha preocupado por
conocer e interpretar con mayor exactitud el mundo cambiante que lo rodea.
Los fenómenos naturales y el funcionamiento de sistemas reales han sido
interpretados a través de la generación de modelos matemáticos; dichos
sistemas pueden ser físicos, sociológicos, e incluso económico-financieros. A
continuación se describen algunos modelos matemáticos a manera de ejemplo,
para considerarlos en el desarrollo de ejercicios de aplicación real, propuestos
en el manual o a través de los diferentes proyectos de fin de cuatrimestre,
derivados del análisis operacional de una empresa que presente una mejora
operativa en los mismos:
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a) Crecimiento y decrecimiento.
b) Capitalización continúa del interés.
c) Reacciones químicas.
d) Diseminación de una enfermedad.
e) Ley de Newton del enfriamiento.
f) Mezclado.
g) Vaciado de un tanque.
h) Segunda ley de Newton del movimiento.
i) Caída libre.
j) Caída libre de los cuerpos y resistencia del aire.
k) Circuito en serie.
Antes de la formulación de un modelo matemático de un sistema, se
recomienda atender las siguientes consideraciones:
i. Identificar las variables causantes del cambio del sistema o proceso.
ii. Especificar el nivel de resolución del modelo.
iii. Plantear la(s) hipótesis(s) razonable(s) acerca del sistema definido.
iv. Considerar las posibles leyes empíricas aplicables al sistema.
1) CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.
El modelo definido por (Thomas Malthus 1798) establece básicamente la
hipótesis siguiente: “la tasa de crecimiento de la población de un país aumenta
de manera proporcional a la población en ese país en cualquier tiempo
, en términos matemáticos.”
(1)
Donde:
22
El modelo no toma en cuenta la emigración y la inmigración.
La ecuación diferencial (1) aún se sigue utilizando con mucha frecuencia para
modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos
intervalos.
Ejercicio 1.4.1 Un caldo de cultivo tiene una cantidad inicial de bacterias.
Cuando , la cantidad medida de bacterias es . Si la razón de
reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el
tiempo necesario para cuadruplicar la cantidad inicial de microorganismos
(4 .
Solución:
= número de bacterias para 4 en un tiempo
Condiciones iníciales
Cuando:
23
Cuando: ,
.
Desintegración radioactiva
En el modelado de desintegración radioactiva, se supone que la tasa con que
los núcleos de una sustancia se desintegran (decaen), es proporcional al
número de núcleos de la sustancia que queda cuando el tiempo (o en
el momento ).
(2) condición
El modelo de desintegración en (2), tiene su campo de aplicación en el terreno
de la biología; por ejemplo, la determinación de la vida media o periodo de una
medicina. Es decir el tiempo que tarda el organismo al eliminar 50% de ella,
sea por excreción o metabolización.
Ejemplo 1.4.2 Considerando el modelo matemático de la ecuación (1),
determinar una ecuación diferencial que describa la población , de un país,
cuando se presenta una inmigración a tasa contante .
Solución:
De la ecuación (1)
Considerando el aumento constante de población por inmigración :
24
Ejemplo 1.4.3 Se aplica una inyección en el torrente sanguíneo de un paciente
a una razón constante de . Al mismo tiempo, el medicamento se diluye a
una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento .
Formular una ecuación diferencial que describa la cantidad .
Solución:
Flujo:
Razón de dilución:
Modelo matemático de donde
Pero como se trata de dilución del medicamento (decaimiento) por tanto:
2) CAPITALIZACIÓN CONTINÚA DEL INTERÉS.
El interés que genera una cuenta de ahorros, a menudo se capitaliza o se
compone mensualmente o trimestralmente, el interés también podría
componerse cada día, hora, minuto, etc.; es decir, se podría componer
continuamente. Para modelar el concepto de la composición continua del
interés se supondrá que , es la cantidad de dinero acumulada en una
cuenta de ahorros al cabo de años, y que es la tasa de interés anual,
compuesto continuamente por lo tanto:
(3)
Ejemplo 1.4.4 Se deposita una cantidad en libreta de ahorro que paga un
interés anual, compuesto en forma continua.
Se depositan en una cuenta de ahorro que paga 5 % de
interés anual, compuesto en forma continua.
Encuentre:
a) La cantidad en la cuenta luego de años.
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b) El tiempo requerido para que la cuenta duplique su valor, asumiendo que no
hay retiros ni depósitos adicionales.
Solución:
Indica el balance en la cuenta en cualquier tiempo . Inicialmente,
. El balance de la cuenta crece por medio de los pagos de intereses,
que son proporcionales a la cantidad de dinero en la cuenta. La constante de
proporcionalidad es la tasa de interés. En este caso, y la ecuación se
convierte en:
Esta ecuación diferencial es tanto lineal como separable. Su solución es:
(4)
En , que cuando se sustituye en (4) queda como:
Con este valor de , (1) se convierte en:
(5)
La ecuación (2) proporciona el balance de la cuenta en un determinado tiempo
.
a) Sustituyendo en (5), encontramos que el balance luego de tres
años es:
b) Buscando el tiempo t en el que el balance se . Sustituyendo
estos valores en (5) y resolviendo para , se obtiene:
3) REACCIONES QUÍMICAS.
26
La desintegración de una sustancia radioactiva, caracterizada por la (2), es una
reacción de primer orden. En química hay algunas reacciones que se apegan a
la siguiente ley empírica: “si la moléculas de la sustancia se descomponen
y forman partículas más pequeñas, es natural suponer que la rapidez con la
que se lleva a cabo la descomposición, es proporcional a la cantidad de
sustancia que no ha sufrido la conversión”; esto es sí es la cantidad
de sustancia que queda en cualquier momento, entonces , donde
es una constante negativa ( porque es decreciente).
Si representa la cantidad de sustancia que se forma, y son las
cantidades dadas de las dos primeras sustancia, y , las cantidades
instantáneas que no se han convertido en son: y
respectivamente; por lo tanto, la razón de formación esta expresada por:
(6) reacción de segundo orden.
4) DISEMINACIÓN DE UNA ENFERMEDAD.
Al analizar la diseminación de una enfermedad contagiosa por ejemplo: la
gripe; la tasa o razón con que se difunde no solo es proporcional a la cantidad
de personas que la han contraído en el momento , sino también a la
cantidad de sujetos que no han sido expuestos al contagio. La tasa de
contagio:
(7)
Por ejemplo, si se introduce una persona infectada en una población constante
de personas, entonces y se relacionan mediante la expresión
Usando esta ecuación para eliminar a en (7), se obtiene el
modelo siguiente:
(8)
27
Ejemplo 1.4.5 En una cierta comunidad una cuarta parte de personas de la
población total estable , se infectan con una enfermedad muy contagiosa, si la
teoría de diseminación de una enfermedad establece: “la tasa de cambio en la
población infectada, es proporcional al producto del número de personas que
tienen la enfermedad, con el número que está libre de ésta.” Asumiendo que la
teoría es correcta, ¿Cuánto tiempo le tomará a la mitad de la población adquirir
la enfermedad?
5 personas de una población estable de 500, son infectados intencionalmente
con una enfermedad contagiosa para probar una teoría de difusión de epidemia
que postula:”la tasa de Asumiendo que la teoría es correcta, ¿Cuánto tiempo le
tomará a la mitad de la población adquirir la enfermedad?
Solución:
Sea lo que indique el número de personas con la enfermedad en
tiempo . Se dijo que , de lo que se desprende que es el
número de personas sin la enfermedad en el tiempo . La teoría predice que:
Donde es una constante de proporcionalidad. Esta ecuación diferencial es
diferente porque la tasa de cambio, ya no es más proporcional al número justo
de personas que tiene la enfermedad. La ecuación tiene la forma diferencial:
Que es una ecuación separable. Utilizando la descomposición en fracciones
parciales, se tiene que:
Por lo tanto:
La solución:
28
O bien:
Que se puede rescribir como:
Pero:
Estableciendo se escribe como:
En . Sustituyendo estos valores, encontramos que:
De modo que y se tiene:
Se podría resolver para , pero esto no es necesario. Se identifica un valor de
, donde , la cuarta parte de la población.
5) LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO.
La rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su
temperatura y la del medio que la rodea, que es la temperatura ambiente. Sí
representa la temperatura del objeto en el momento , es la
temperatura constante del medio que la rodea, y es la rapidez de
enfriamiento del objeto, la ley de Newton del enfriamiento se traduce en el
enunciado matemático siguiente:
29
(9)
Condición: y que
Ejemplo 1.4.6 Una pieza metálica a se enfría en un cuarto cuya
temperatura constante es de . Si después de minutos, la temperatura de
la pieza , encuentre el tiempo que tomará para que la barra alcance la
temperatura de .
Solución:
Utilizando la ecuación con ; el medio aquí es el cuarto que está
manteniendo a una temperatura de . De este modo:
Cuya solución es:
Puesto que la temperatura inicial de la pieza es en (la temperatura
inicial de la pieza metálica); se tiene que o bien .
Sustituyendo este valor se obtiene que:
En
Se dijo que ; por lo tanto:
de la cual
Sustituyendo este valor, se obtiene la temperatura de la barra en un momento
como:
Se requiere cuando
Sustituyendo ,
30
6) MEZCLADO.
Al mezclar dos soluciones salinas de diferentes concentraciones, se genera
una ecuación diferencial de primer orden, sea la cantidad de sal en en
el tanque en cualquier momento . En este caso, la rapidez que cambia
es la tasa neta siguiente:
Es decir: (10)
Donde:
.
.
Ejemplo 1.4.7 Un tanque contiene inicialmente de una solución de
salmuera con de sal. En se vierte otra solución de salmuera que
contiene de sal por galón a un ritmo de , en tanto que la salmuera
bien agitada abandona el tanque al mismo ritmo. Encuentre:
31
a) La cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo ,
b) El ritmo en el cual la mezcla en el tanque contiene de sal.
Solución:
a) Aquí,
La ecuación se convierte en:
Es decir:
La solución a esta ecuación diferencial es:
En . Sustituyendo estos valores en la ecuación, se tiene que:
, o bien . Entonces se puede volver a escribir como:
b) Obtención de cuando .
Sustituyendo se tiene:
O bien:
De lo cual:
7) VACIADO DE UN TANQUE.
32
En hidrodinámica, la ley de Toricelli establece que la velocidad de flujo (o
salida) del agua a través de un agujero de bordes aguados en altura o
profundidad es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota
de agua) que cae libremente desde una altura . Esto es,
(11)
Donde:
Es la velocidad con se sale el agua.
Es la aceleración de la gravedad.
Es la altura del agua en el tanque.
Si el área transversal del agujero es en pies cuadrados, la velocidad del
agua que sale del tanque es , , el
volumen que sale de agua del tanque es . Sí representa
el volumen de agua en cualquier momento , se llega a la siguiente ecuación
diferencial:
Donde el signo menos indica que el volumen está disminuyendo. Si el tanque
es tal que el volumen del agua en cualquier momento se expresa como;
, donde es el área constante del espejo (superficie superior del
agua sustituyendo esta última expresión en la ecuación, se llega a la
ecuación diferencial para expresar la altura del agua en cualquier momento (t).
(12)
Esta ecuación es válida cuando no sea constante en este caso, se debe
expresar el área del espejo del agua en función de : por ejemplo
si el recipiente tiene forma cónica.
Ejemplo 1.4.8 Se pretende vaciar un tanque de forma cúbica con agua. Para
ellos se hace un agujero circular de área en su fondo. Debido a la fricción y
33
a la contracción de la corriente al salir del agujero, el flujo de agua por segundo
se reduce a , donde . Deducir una ecuación diferencial que
represente la altura del agua en cualquier momento que hay en el tanque, si
el radio del agujero es de dos pulgadas. Considerar el valor de la gravedad
como .
Solución:
El flujo (gasto) está definido por: , donde
Modelo:
Entonces: con ,
Sustituyendo
8) SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO.
La segunda ley de movimiento de Newton indica cuando la fuerza neta que
actúa sobre un cuerpo no es cero, la fuerza neta es proporcional a su
aceleración , es decir:
(13)
Donde:
Es igual a la masa de un cuerpo.
Ejemplo 1.4.9 Cuando se fija una masa a un resorte, este se estira
unidades y cuelga en reposo en la posición de equilibrio. Al poner en
movimiento el sistema resorte y masa, sea la distancia dirigida desde el
punto de equilibrio hasta la masa. Suponga que la dirección hacia abajo es
positiva y el movimiento se efectúa en una línea recta vertical que pasa por el
centro de gravedad de la masa. También suponga que las únicas fuerzas que
34
actúan sobre el sistema son; el peso de la masa y la fuerza de restauración
del resorte alargado que, según la ley de Hooke, es proporcional a su
alargamiento total. Deduzca una ecuación diferencial del desplazamiento
en cualquier momento .
Solución:
9) CAÍDA LIBRE.
Supóngase que se arroja una pelota hacia arriba, desde la azotea de un
edificio. ¿Cuál será su posición en un momento ?, considerar que la posición
del objeto respecto al suelo es y la aceleración de la pelota es la segunda
derivada del desplazamiento. Si suponemos que si la dirección es hacia arriba
es positiva, que la masa de la pelota es y que no hay otra fuerza además
de la gravedad actuando sobre la pelota, la segunda ley de Newton dice
que:
Es decir, (14)
Donde:
Es la aceleración de la gravedad.
Es el peso de la pelota.
35
Se usa el signo menos por que el peso de la pelota es una fuerza que dirige
hacia abajo, opuesta a la dirección , si la altura del edificio es y la
velocidad de la pelota es: .
Entonces queda determinada mediante el problema de valor inicial.
,
Ejemplo 1.4.10 Un cuerpo que tiene una masa de se deja caer desde
una altura de partiendo del reposo. Asumiendo que no hay resistencia
del aire, encuentre:
a) Una expresión para la velocidad del cuerpo en un determinado tiempo .
b) Una expresión para la posición del cuerpo en cualquier tiempo .
c) El tiempo requerido para llegar al suelo.
Solución:
Se escoge el sistema de coordenadas; dado que no hay
resistencia del aire se aplica la formula .
Esta ecuación diferencial es lineal o en forma diferencial,
separable.
Su solución es:
cuando ,
De aquí que:
De este modo:
Asumiendo que:
36
Recordando que la velocidad es la razón de cambio en el tiempo del
desplazamiento, designado aquí por , por eso se convierte en
. Esta ecuación diferencial es tanto lineal como separable.
Su solución es:
Pero en ,
De este modo: .
O bien .
Sustituyendo este valor se requiere cuando
10) CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS Y RESISTENCIA DEL AIRE.
En ciertas circunstancias, un cuerpo que cae con una masa , se encuentra
con una resistencia del aire que es proporcional a su velocidad instantánea .
En este caso, si consideramos que la dirección es hacia abajo, la fuerza
neta que actúa sobre la masa es: , en la que el peso del cuerpo
es una fuerza que actúa en dirección positiva y la dirección del aire es en
dirección contraria, esto es hacia arriba. Como se relaciona con la
aceleración . La segunda ley de Newton se relaciona como:
,
si
y
Aquí es una constante positiva de proporcionalidad. Si es la distancia
que un cuerpo ha caído a un tiempo desde un punto inicial o de liberación,
37
entonces y . En términos de , la ecuación es diferencial de
segundo orden.
o (15)
Ejemplo 1.4.11 Una ecuación diferencial que describe la velocidad de una
masa en caída, sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad
instantánea, entonces:
a) Resuelva la ecuación, sujeta a .
b) Calcule la velocidad límite (o terminal) de la masa.
b) velocidad límite de la masa en cualquier tiempo
11)CIRCUITO EN SERIE.
38
Considerando un circuito en serie simple que contiene un inductor, resistor, un
capacitor y con el interruptor cerrado, la corriente se representa con y la
carga en el capacitor cuando al tiempo se denota por . Las letras
, son denominadas inductancia, resistencia y capacitancia
respectivamente.
De acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff, el voltaje aplicado a un
circuito cerrado debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje en el mismo.
Como la corriente se relaciona con la carga en el capacitor mediante
, sumando las caídas de voltaje se tienen que:
Inductor : Henris (h)
Caída de voltaje:
Resistor R: Resistencia ( )
Capacitor C: Capacitancia [faradio ( )]
Caída de voltaje:
Igualando la suma al voltaje total para llegar a la ecuación diferencial de
segundo orden:
(16)
Ejemplo 1.4.12 Formular una ecuación diferencial para un circuito RL para
calcular la corriente , si la resistencia es , la inductancia y el voltaje
aplicado es .
Solución:
39
Modelo , pero no se tiene un capacitor, por tanto el
tercer miembro del modelo matemático se hace cero, es decir;
Entonces:
Pero
Finalmente se tiene:
Ejemplo 1.4.13 Un circuito RL tiene una f.e.m. (en voltios) dada por ,
una resistencia de , una inductancia de , y una corriente inicial
de . Encuentre la corriente en el circuito para cualquier tiempo
Solución.
, y ; por lo tanto se convierte en:
Esta ecuación es lineal, con solución:
Llevando a cabo las operaciones de integración, obtenemos
En ;
por lo tanto:
De donde .
La corriente en cualquier tiempo es:
La corriente es la suma de una corriente transitoria, dada por y una
corriente de estado estacionario,
40
Ejercicios:
1. Se tiene una pieza metálica la cual se somete a un proceso de templado
con una temperatura inicial de 852 ° C y con una temperatura ambiente
de 21 ° C, ya han pasado 15 minutos y la temperatura disminuyo a 85°C.
Para un proceso de templado es necesario saber cuánto tiempo tardará
en alcanzar la temperatura necesaria para terminar el proceso.
¿Cuánto tiempo demorará en alcanzar los 21°C?
2. Un tanque contiene de agua en que se han disuelto de sal y le
entran de solución con de sal por litro, y de él sale líquido con
el mismo flujo . Calcule la cantidad de gramos de sal que
hay en el tanque en cualquier momento t.
3. Se coloca una barra de bronce con una temperatura inicial de en un
horno de arco eléctrico, a una temperatura constante de , después
de 25 min. la temperatura de la barra es de . Determine tiempo que
tardará en alcanzar su temperatura de fusión .
4. Pb-209 isotopo radioactivo del plomo se desintegra con una razón
proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un
periodo medio de vida en 3.3 h. Si al principio había un de plomo
¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%?
5. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es
de 70°F y se lleva al exterior donde la temperatura es de 10°F, pasando
minuto el termómetro indica 50°F. ¿Cuál es la lectura cuando
41
? ¿Cuánto tiempo se necesita el termómetro para llegar a
15°F?
UNIDAD TEMÁTICA II
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Objetivo: El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la
solución de ecuaciones diferenciales de primer orden, para su aplicación a
modelos relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante
las técnicas básicas de solución y el uso de software para matemáticas.
Tema 2.1
Ecuaciones de variables separables.
Saber: Explicar el proceso de solución de ecuaciones exactas.
Saber hacer: Resolver ecuaciones exactas.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
Introducción
El desarrollo sistemático de las diferentes técnicas utilizadas para la resolución
de ecuaciones diferenciales se origina, según la parte inicial del capítulo, con
una ecuación que es de primer orden y de primer grado. A continuación se
desarrollaran algunas técnicas a través de su ejemplificación.
2.1 Ecuaciones de variables separables.
42
Saber: Explicar el proceso de solución de ecuaciones de variables separables.
Saber hacer: Resolver ecuaciones de variables separables.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
Introducción
La técnica más simple es la aplicación en una ecuación diferencial que puede
ser reducida a la forma: , en la que es una función de
únicamente. De tal forma han sido separadas las variables, siempre que esto
sea posible se considerará el método de solución por VARIABLES
SEPARABLES. La solución general es obtenida por integración directa:
.
Ejemplo 2.1.1 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:
Solución:
Reescribiendo la expresión: cada diferencial con su correspondiente variable
en la forma:
Por integración se obtiene:
Finalmente:
Nota: Recordar que la solución general de una ecuación diferencial de primer
orden contiene una constante arbitraria, misma que puede ser expresada:
, , etc. Dependiendo de las condiciones algebraicas
desarrolladas se escoge la forma que derive la solución más simple.
Ejemplo 2.1.2 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:
Solución:
Agrupando los diferenciales con sus correspondientes variables:
43
Integrando:
Haciendo , se puede multiplicar la ecuación por (2) y aplicar las
propiedades de los logaritmos para obtener:
Aplicando la propiedad de la diferencia de logaritmos y consecuentemente la
ley de la herradura se tiene:
Ya que dos números que tienen logaritmos equivalentes son iguales, se tiene:
O bien sin manejar fracción:
Nota: Se recomienda en el presente manual, en lo posible, manejar exponentes
positivos y sin fracciones.
Ejemplo 2.1.3 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:
Solución:
Separando las variables resulta:
E integrando
Resolviendo las integrales:
Ya que la diferencia de constantes es una constante, podemos escribir
, obteniendo:
Así, al momento de integrar solo se considerará una constante de integración.
Ejercicios:
Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
44
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Tema 2.2
Ecuaciones homogéneas y exactas.
Saber: Explicar el proceso de solución de ecuaciones homogéneas y exactas.
Saber hacer: Resolver ecuaciones homogéneas y exactas.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
Ecuaciones homogéneas.
Para determinar una solución si es homogénea de la forma:
Se sustituye por , y por ,
Si en ambas ecuaciones el exponencial de es el mismo en ambos lados de
la igualdad, se determina que la ecuación diferencial es homogénea y su grado.
Ejemplo 2.2.1 Demostrar que las expresiones siguientes son homogéneas, y
determinar el grado.
Es homogénea de segundo grado.
45
Cualquier ecuación diferencial homogénea y de primer grado puede reducirse
al tipo de variables separables por sustitución de ó .
Así mismo, o .
Ejemplo 2.2.2
Sustituyendo y
Es homogénea de 1er. grado. Haciendo y , se tiene:
Ejercicios:
Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
46
Ecuaciones exactas.
Recordando del cálculo, se sabe que una diferencial total de una función
está dada por:
Cualquier expresión que es exactamente la diferencial total de alguna función
de las variables x e y se llama diferencial exacta.
Teorema 2.2.1 Una condición necesaria y suficiente para que:
(1)
Se considerada como exacta, es que:
(2)
Para establecer la suficiencia de (2), considérese la función:
Donde indica una integración con respecto a manteniendo a
constante, y es la constante arbitraria de integración, misma que puede
ser una función de , dado que la integración es con respecto a .
Considerando ahora las derivadas parciales de con respecto a y , se
tiene:
(3)
(4)
Puesto que es una función de únicamente: . Igualando la Ec. (4)
a y resolviendo para , se obtiene: .
Para una ecuación diferencial exacta se tiene entonces: ,
la solución puede ser obtenida por una integración: , o bien
considerando:
Ejemplo 2.2.3 Demostrar que la ecuación diferencial es exacta, y determinar
su solución general. .
Solución:
y
47
; por tanto es exacta.
Hacer: .
Ya que , se tiene: .
Resolviendo para , se obtiene: , y .
Ahora que la función está completamente determinada:
, por tanto la solución final sería:
.
Ejemplo 2.2.4 Demostrar que la ecuación diferencial es exacta, y determinar
su solución general. .
Solución:
, por tanto es exacta.
Haciendo: .
Entonces:
Por tanto: .
Finalmente: .
Ejercicios:
Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
48
Tema 2.3
Solución de ecuaciones por sustitución.
Saber: Explicar el proceso de solución de ecuaciones por sustitución.
Saber hacer: Resolver ecuaciones mediante sustitución.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
Factores de integración
La ecuación diferencial se puede transformar en
una ecuación diferencial exacta multiplicando ésta por una expresión
apropiada, Ω , dicha expresión que hace la ecuación exacta es
denominada factor de integración. A continuación se presenta una tabla de
diferenciales exactas para ser utilizadas como factores de integración.
I.-
II.-
III.-
IV.-
V.-
VI.-
VII.-
VIII.-
IX.-
X.-
XI.-
XII.-
49
Ejemplo 2.3.1 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando un
factor de integración apropiado.
Solución:
Considerando el factor integrante de la diferencial (XI) :
O bien:
Integrando ambos miembros:
Resolviendo: , por lo tanto: .
b)
Solución:
Factorizando :
Multiplicando por:
Del factor integrante de (V):
Integrando:
c)
Solución:
Multiplicando por:
De los factores (III y I):
Integrando:
Finalmente:
Ejercicios:
Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
1.-
2.-
50
3.-
4.-
5.-
Tema 2.4
Ecuaciones lineales y de Bernoulli.
Saber: Explicar el proceso de solución de ecuaciones lineales y de Bernoulli.
Saber hacer: Resolver ecuaciones lineales y de Bernoulli.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
En este tema se discute la ecuación diferencial de primer orden ,
en la cual es de grado mayor que el primero. La solución de estas
ecuaciones produce más de una curva integral que pasa por el mismo punto
. Se considerarán cuatro tipos de ecuaciones con sus técnicas de
solución.
a) Ecuaciones solubles para p.
b) Ecuaciones solubles para y.
c) Ecuaciones solubles para x.
d) Ecuación de Clairaut.
e) Ecuación de Bernoulli
a) Ecuaciones solubles para P.
La solución es obtenida al igualar cada factor lineal a cero y resolviendo las
ecuaciones diferenciales de primer orden resultantes que son de primer grado.
Para la solución de los cinco métodos antes citados se hará uso de la notación:
.
Ejemplo 2.4.1 Resolver la siguiente ecuación diferencial.
Solución:
51
Factorizando:
Igualando cada factor a cero: ;
Pero ,
Integrando: I.- y II.-
Las soluciones I y II representan la solución general de una familia de rectas.
Se deja al estudiante grafique esta familia de rectas.
Ejemplo 2.4.2 Resolver la siguiente ecuación diferencial.
Solución.
La solución de esta ecuación cúbica en se efectúa haciendo referencia al
Teorema Factorial del Álgebra y la división sintética. Los posibles divisores de
ecuación son:
, factores del término .
Para :
Por tanto es una raíz solución del sistema. El resultado cuadrático se
puede factorizar fácilmente.
Igualando cada factor a cero se obtiene la solución general.
; ;
b) Ecuaciones solubles para .
Ejemplo 2.4.3 Resolver la siguiente ecuación diferencial.
Solución:
Resolviendo para : (a)
52
Diferenciando con respecto a : (derivando como
producto)
Factorizando :
o
o
y
Sustituyendo en (a)
(I).- y (II).-
Donde la solución II no contiene una constante, y no es por lo tanto, una
solución general, sino una solución particular. En tanto que (I) si representa una
solución general y ambas soluciones satisfacen la ecuación diferencial.
Ejemplo 2.4.4 Resolver la siguiente ecuación diferencial.
Solución:
Resolver para : (a)
Diferenciando:
Reacomodando:
Resolviendo:
Sustituyendo de (a)
Se tiene la solución general:
c) Ecuaciones solubles para .
Este método es llamado también, método de eliminación de variable
dependiente. Si la ecuación diferencial de primer orden puede ser resuelta para
, esta puede ser escrita . La derivada de la ecuación con respecto
a es entonces:
53
Ejemplo 2.4.5 Resolver la siguiente ecuación diferencial.
Solución:
Resolviendo para :
Diferenciando:
Simplificando:
Aplicando algebra:
Integrando:
La solución general de forma paramétrica de la ecuación diferencial viene a
ser:
d) Ecuación de Clairaut (Alexis 1713-1765).
Una ecuación diferencial de la forma , en la que no contiene
explícitamente, está ya resuelta para y por tanto puede aplicarse
directamente el método (b), solubles para .
Ejemplo 2.4.6 Encontrar la solución general de la siguiente ecuación
diferencial.
Solución general:
Solución singular:
Como
54
Así que:
Eliminando el parámetro :
Finalmente la solución singular:
Ejercicios:
Determinar la solución general y singular (de existir), en las ecuaciones
diferenciales siguientes.
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
e) Ecuación de Bernoulli (Daniel 1700-1782).
Hasta este punto se han desarrollado siete técnicas para resolver una ecuación
diferencial de primer orden y de primer grado. La siguiente técnica reduce una
ecuación diferencial dada a otra de los tipos ya considerados previamente. La
reducción se realiza por una sustitución.
La ecuación de la forma:
(1)
Donde es cualquier número real, se conoce como ecuación de Bernoulli.
Observe que si , (1) se transforma en:
(2)
Que es una ecuación diferencial lineal. Si , se recomienda (1) de tal
manera que se tiene:
55
(3)
La cual es también una ecuación diferencial lineal. Por tal razón, se
consideraran casos para cuando La forma de resolver (1) es a través
de una sustitución: (4)
Que permite la reducción de la ecuación (1) a una ecuación diferencial.
Ejemplo 2.4.7 Resolver la ecuación diferencial .
Solución:
Identificamos a , por tanto la sustitución a emplear es según (4):
O bien con:
, sustituyendo en :
, dividiendo entre :
La cual es una ecuación diferencial lineal, con factor integrante: .
Al sustituir el factor integrante en , se tiene:
Resolviendo por partes, haciendo , se obtiene:
Reemplazando a por se tiene:
56
Ejemplo 2.4.8 Resolver el siguiente problema de valor inicial ,
sujeta a
Solución:
Ordenando la ecuación para identificar a
Con
Sustituyendo esta expresión en se tiene:
Ordenando
Que es una ecuación lineal, cuyo factor integrante sería:
Así
con
Resolviendo para ;
Considerando la condición inicial
, , finalmente:
Ejemplo 2.4.9 Resolver la siguiente ecuación de Bernoulli, sujete a la condición
inicial que se especifica. sujeta a
Solución:
Ordenando la ecuación a la forma de Bernoulli:
57
Con , con y , por tanto al sustituir
en se obtiene: , ordenando:
Obteniéndose la linealidad de la ecuación con factor integrante:
Con y la última integral se resuelve de manera directa
; sustituyendo con
, con la condición inicial
; y finalmente:
Ejercicios:
Resolver las siguientes ecuaciones de Bernoulli.
1.- 2.-
3.- 4.-
5.- 6.- sujeta a
7.- , sujeta a
Tema 2.5
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
58
Saber: Explicar las aplicaciones en cinemática de mecanismos y circuitos en
serie RC y RL.
Saber hacer: Resolver modelos de sistemas mecánicos y eléctricos que
requieren de ecuaciones diferenciales (circuitos RC, RL), ley de enfriamiento,
entre otros.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad, motivación.
Introducción:
Para finalizar la presente unidad se considera fundamental incluir el punto de
aplicaciones de ecuaciones diferenciales lineales, máxime si se está integrando
el plan curricular de la misma en base a competencias. De ahí la importancia
del tema, una vez que el alumno ha practicado los temas previos, está en
condición de interpretar diversos fenómenos del contexto a través del
modelado matemático. Se recomienda que al final de la asignatura, los
alumnos presenten un proyecto derivado de un estudio de caso de la región,
donde pongan en práctica las habilidades adquiridas en la asignatura durante
el cuatrimestre.
A continuación se presentan algunos ejercicios resueltos y propuestos para
fortalecer la competencia prioritaria de la materia.
Ejercicio 2.6.1 Un cultivo tiene una cantidad de bacterias. Cuando ,
la cantidad medida de bacterias es . Si la razón de reproducción es
proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario
para triplicar la cantidad inicial de microorganismos (3 , ver figura 2.5.1.
Figura 2.5.1 Crecimiento y decrecimiento.
60
1) Para modelar el fenómeno de desintegración radioactiva, se supone que
la tasa con que los núcleos de una sustancia se desintegran (decaen)
es proporcional al número de núcleos de la sustancia que queda
cuando el tiempo (o en el momento t).
Ec. ( 2), condición
El modelo de desintegración (2) también se aplica a sistemas biológicos; por
ejemplo, la determinación de la vida media o periodo de una medicina. Es decir
el tiempo que tarda el organismo al eliminar 50% de ella, se por excreción o
metabolización.
Ejercicio 2.6.2 Un reactor de cría convierte el uranio 238 relativamente estable
en plutonio 239, un isótopo radioactivo. Al cabo de 15 años, se a desintegrado
0.43% de la cantidad inicial . De una muestra de plutonio calcule el periodo
medio de ese isótopo , si la razón de desintegración es proporcional a la
cantidad presente, ver figura 2.5.2.
Figura 2.5.2 Crecimiento y decrecimiento de partículas.
Solución:
Modelo de decaimiento radioactivo.
Solución:
61
Ejercicio 2.6.3 Una persona deposita en una cuenta de ahorro que
paga 5 por ciento de interés anual, compuesto en forma continua. Encuentre a)
la cantidad en la cuenta luego de tres años y b) el tiempo requerido para que la
cuenta duplique su valor, asumiendo que no hay retiros ni depósitos
adicionales, ver figura 2.5.3.
Figura 2.5.3 Capitalización continua del interés.
Solución:
Aquí, indican el balance en la cuenta en cualquier tiempo . Inicialmente,
. El balance de la cuenta crece por medio de los pagos de
62
intereses, que son proporcionales a la cantidad de dinero en la cuenta. La
constante de proporcionalidad es la tasa de interés. En este caso, y la
ecuación se convierte en:
Esta ecuación diferencial es tanto lineal como separable. Su solución es
(1)
En , que cuando se sustituye en (1) da
Con este valor de , (1) se convierte en:
(2)
La ecuación (2) da el balance de la cuenta en un determinado tiempo .
a) Sustituyendo en (2), se encuentra que el balance luego de tres
años es
b) Buscando el tiempo t en el que el balance se S(t)=$40,000.
Sustituyendo estos valores en (2) y resolviendo para te, obtenemos
Ejercicio 2.6.4 Cuando se combinan dos sustancias , se forma un
compuesto . La reacción entre ambas es tal que, por cada gramo de se
usan . Se observa que en 10 minutos se han formado de producto
c. Calcule la cantidad de c en función del tiempo si la velocidad de la reacción
es proporcional a las cantidades de A y B, que quedan al principio hay de
A y de B. ¿Qué cantidad de compuesto c hay a los 15 minutos? Interprete
la solución cuando , ver figura 2.5.3.
63
Figura 2.5.3 Reacciones químicas.
Solución:
Sean los gramos del compuesto en c presentes cuando el tiempo es t.
Está claro que y .
Si, por ejemplo, hay 2 gramos del producto , se han de usar, digamos,
gramos de y , de tal modo que y ; por
consiguiente, debemos emplear de la sustancia A y
de . En general, para obtener x gramos de c debemos emplear
y
Entonces, la cantidades de que quedan en cualquier momento son
y ,
Respectivamente.
Se sabe que la rapidez de formación del compuesto c está definida por
Para simplificar las operaciones algebraicas, se saca a como factor común
del primer término, del segundo y se introduce la constante de
proporcionalidad:
Separando variables y por fracciones parciales se obtiene:
Al integrarla:
64
o sea
Cuando , y en consecuencia .
, se tiene que Con
estos datos resolviendo de la última de las ecuaciones:
Se muestra el comportamiento de en función del tiempo. Según está claro
que . Esto quiere decir que se forma 40 g de la sustancia c
y quedan.
y .
Ejercicio 2.6.5 Cinco personas de una población estable de 500, son
infectados intencionalmente con una enfermedad contagiosa para probar una
teoría de difusión de epidemia que postula; la tasa de cambio en la población
infectada es proporcional al producto del número de personas que tienen la
enfermedad, con el número que está libre de ésta. Asumiendo que la teoría es
correcta, ¿Cuánto tiempo le tomará a la mitad de la población adquirir la
enfermedad? ver figura 2.5.4.
Figura 2.5.4 Diseminación de una enfermedad.
Solución:
Sea lo que indique el número de personas con la enfermedad en tiempo .
Se dijo que , de lo que se desprende que es el número de
personas sin la enfermedad en el tiempo t. La teoría predice que:
(1)
Donde k es una constante de proporcionalidad. Esta ecuación diferencial es
diferente porque la tasa de cambio, ya no es más proporcional al número justo
de personas que tiene la enfermedad. La ecuación (1) tiene la forma diferencial
65
(2)
Que es separable. Utilizando la descomposición en fracciones parciales, se
obtiene:
Por lo tanto, (2) se puede escribir como
Solución es
O bien
Que se puede rescribir como
(3)
Pero Estableciendo se puede escribir (3) como
(4)
En . Sustituyendo estos valores (4) se encuentra que:
De modo que y (4) se convierte en:
(5)
66
Resolviendo (5) para x, pero esto no es necesario. Buscando un valor de
donde , la mitad de la población sustituyendo y resolviendo
para t:
O bien unidades de tiempo. Sin tener información adicional, no
se puede obtener un valor numérico para la constante de proporcionalidad o
bien ser más efectivos con respecto a
Ejercicio 2.6.6 Se coloca un barra de metal en un cuarto a temperatura
constante de Si después de 20 minutos la temperatura de la barra es de
, encuentre a) el tiempo que tomará para que la barra alcance la
temperatura de y b) la temperatura de la barra luego de 10 minutos, ver
figura 2.5.5.
Figura 2.5.5 Proceso de templado.
Solución:
Usando la ecuación (7) con ; el medio aquí es el cuarto que está
manteniendo a una temperatura de . De este modo:
Cuya solución es:
67
Puesto que (la temperatura de la barra es inicialmente
), de (1) se tiene que o bien . Sustituyendo este
valor en (1) se genera:
En , se dijo que ; por lo tanto, de (2),
de lo cual
Sustituyendo este valor en (2), se obtiene la temperatura de la barra en un
momento como:
a) Se requiere cuando . Sustituyendo en (3):
o bien
Resolviendo, se tiene que
b) Obtener cuando en (3). Sustituyendo y luego
resolviendo para , se encuentra que:
Los cálculos anteriores representan solamente una primera
aproximación a situación física.
Ejercicio 2.6.7 Un tanque contiene inicialmente 300 gal de una solución de
salmuera con 1lb de sal. En se vierte otra solución de salmuera que
contiene 1lb de sal por galón a un ritmo de 3 gal/min, en tanto que la salmuera
bien agitada abandona el tanque al mismo ritmo. Encuentre a) la cantidad de
sal en el tanque en cualquier tiempo t, y b) el ritmo en el cual la mezcla en el
tanque contiene 2 lb de sal, ver figura 2.5.6.
68
Figura 2.5.6 Tanque de mezclado.
Solución:
a) Aquí, La ecuación (10) de mezclado se
transforma en:
La solución a esta ecuación diferencial es:
(1)
En . Sustituyendo estos valores en (1), encontramos que
, o bien . Entonces (1) se puede volver a escribir como:
(2)
b) Calcular cuando . Sustituyendo en (2), se obtiene
De lo cual:
Ejercicio 2.6.8 Un tanque semiesférico tiene un al está
lleno de agua. En este momento se abre un agujero circular de , en el
fondo del tanque. ¿Cuánto tiempo tardara el tanque en vaciarse por completo
cuando se abre el agujero? ver figura 2.5.7.
Figura 2.5.7 Vaciado de un tanque.
Solución:
69
De la fórmula para vaciado de un tanque:
Sustituyendo:
Ejercicio 2.6.9 Un cuerpo que tiene cinco unidades técnicas de masa se deja
caer desde una altura de 100 pies con velocidad cero. Asumiendo que no hay
resistencia del aire, encuentre a) una expresión para la velocidad del cuerpo en
un determinado tiempo t, b) una expresión para la posición del cuerpo en
cualquier tiempo t y c) el tiempo requerido para llegar al suelo, ver figura 2.5.8.
70
Figura 2.5.8 Caída libre.
Escoger el sistema de coordenadas, luego dado que no hay resistencia del aire
se aplica la formula . Esta ecuación diferencial es lineal o, en forma
diferencial, separable; su solución es cuando
(inicialmente el cuerpo tiene velocidad 0); de aquí que o bien
. De este modo, o bien, asumiendo ,
Recuerde que la velocidad es la razón de cambio en el tiempo del
desplazamiento, designado aquí por , por eso se convierte en
. Ésta ecuación diferencial es tanto lineal como separable; su solución
es:
Pero en de este modo, 0= (16) + . O bien . Sustituyendo
este valor tenemos
Se requiere el valor de cuando de
Ejercicios: Resolver los siguientes ejercicios de aplicación propuestos.
1.- Se tiene un engrane el cual se somete a un proceso de templado con una
temperatura inicial de 752°C y con una temperatura ambiente de 22°C, ya han
pasado 10 minutos y la temperatura disminuyo a 80°C. Para un proceso de
templado es necesario saber cuánto tiempo tardara en alcanzar la temperatura
necesaria para el terminar el proceso. ¿Cuánto tiempo le llevará en alcanzar
los 22°C? ¿Encontrar el tiempo que tarda la pieza en alcanzar la temperatura
ambiente?
2.- La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la
población en cualquier momento. Su población inicial es 500 y aumenta el 15%
en 10 años ¿Cuál será la población pasados 30 años?
3.- Un tanque contiene 200 litros de agua en que se han disuelto 20 de sal y
le entran de solución con 1 de sal por litro y de él sale líquido con el
71
mismo flujo ( ). Calcule la cantidad de gramos de sal que hay en el
tanque en cualquier momento .
4.- Cuando un rayo vertical de luz pasa por una sustancia transparente, la
razón con que decrece su intensidad es proporcional a donde
representa el espesor en pies (ft), del medio. En agua de mar clara la
intensidad a 3 ft bajo la superficie es el 25% de la intensidad inicial Io del rayo
incidente ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 ft bajo la superficie?
5.- Un reactor de cría convierte el uranio 238, relativamente establece en
plutonio 239, un isotopo radiactivo al cabo de 15 años se ha desintegrado el
0.050% de la cantidad inicial de una muestra de plutonio. Calcule el periodo
medio de ese isotopo , si la razón de desintegración es proporcional a la
cantidad presente.
6.- Una barra de bronce se saca del horno a una temperatura de 300°F.
Después de 3 minutos su temperatura es de 200°F ¿En cuánto tiempo se
enfriara esta a la temperatura ambiente de 70°F?
7.- Se aplica una fuerza electromotriz de 30 V a un circuito en serie LR de 1.0
h de inductancia y 50 Ω de resistencia. Determine la corriente , si
. Halle la corriente cuando .
8.- Una ecuación diferencial del movimiento de una partícula que se mueve
sobre el eje x se rige por la ecuación:
Si la partícula se encuentra inicialmente ubicada 7 m a la derecha del origen y
se sabe que para se proyecta a la derecha con una velocidad de
. Determine:
a) El tiempo en que la partícula llega a .
b) El máximo desplazamiento logrado por la partícula.
9.- Se sabe que cierto material decae en un ritmo proporcional a la cantidad
presente. Si inicialmente hay presente 50 mg de material después de 2 horas
se observa que el material a perdido el 10% de su masa original. a) Encuentre
una expresión para la masa del material en un tiempo , b) la masa del material
luego de 4 horas, c) el tiempo en que la masa del material a caído hasta la
mitad de su masa inicial.
72
10.- Una resistencia de 4 y un inductor de 1 h se conectan en serie con un
voltaje dado por . Encontrar , si en .
11.- Un tanque semiesférico tiene un radio máximo de y al tiempo ,
está lleno de agua. En ese instante se abre un agujero circular (homogéneo) de
5.08 cm de diámetro en su fondo. ¿Cuánto tiempo tardará el tanque en
vaciarse por completo?¿En cuánto tiempo estará a un tercio de su capacidad?
12.- Una masa de , forzada a moverse horizontalmente, está sujeta a
una fuerza periódica , si la fuerza de fricción que retarda su movimiento
es igual a dos veces su velocidad y el cuerpo inicia del reposo ¿Cuál es su
velocidad como una función del tiempo?
13.- Una avalancha y sus ocupantes pesan 500 Lbs. Esta se desliza en una
pendiente cuya inclinación es de , la fuerza de fricción es de 20.2 Lb; y la
resistencia del aire (arrastre) es dos y medio veces la velocidad en .
Encuentre una expresión para la velocidad después de segundos del reposo,
la velocidad después de 7 s, así como la velocidad final.
14- Graneros Cedillo, está interesado en saber si el tiempo que tarda una
muestra de maíz blanco en llegar al 14% de su humedad (la cual es aceptable)
es de 17.5 minutos como lo asegura su operador, para ello ha solicitado a un
grupo de estudiantes de la UTSOE que demuestren analíticamente el valor
registrado por el operador de la deshidratadora. La empresa proporcionó los
siguientes datos: se introduce la muestra de maíz blanco a la deshidratadora a
temperatura constante, con una humedad inicial de 16.5%, misma que
disminuye al 15.5% en un lapso de 7 minutos. ¿En cuánto tiempo llegará al
porcentaje de aceptación que es de 14%?¿Qué se puede comentar del valor
registrado por el operador?, ver figura 2.5.9.
Figura 2.5.9 Dibujo de la deshidratadora para maíz.
15.- El laboratorio de Procesos Agroindustriales (PAI), cuenta con un tanque
termo mezclador de acero inoxidable con una capacidad de 150 galones que
73
está lleno de leche. Leche pura cae al tanque a razón de . Una solución
azucarada que contiene ¼ kilos de azúcar por galón, entra al tanque a una
razón de . La mezcla de la leche con la azúcar fluye al exterior a una
razón de , considerando una mezcla perfecta ¿Cuál es el tiempo en el
cual las dos soluciones están disueltas por completo?, ver figura 2.5.10.
Figura 2.5.10 Mezcladora de productos lácteos.
16.- El calentador solar diseñado por alumnos de IMEM (ver figura), registra en
un día caluroso una temperatura de 35 °C, se desea obtener el tiempo
estimado en tener una temperatura ambiente (19°C), una vez que el sol se
haya ocultado, si se registra una temperatura de 30°C en 60 min de los datos
obtenidos durante el día, ver figura 2.5.11.
Figura 2.5.11 Calentador solar 360.
17.- PEMEX Salamanca está interesado en determinar el tiempo de
enfriamiento del intercambiador de calor tipo haz de tubos a una temperatura
de 27° después de haber parado su operación, esto para ahorrar tiempo de
mantenimiento y optimizar la producción, reduciendo tiempos muertos,
contemplando una cierta holgura para imprevistos. Para ello se dispone de los
siguientes datos.
Primer intercambiador gas licuado y vapor de alta.
1 t=0 2 t=10hrs 3 t=?
74
T=1100°C T=700°C T=27°C
Cálculo de enfriamiento de tubería de vapor de alta.
t=0 t=10hrs t=?
1 2 3
T=800°C T=350°C T=27°C
Segundo Intercambiador hidrogeno y vapor de alta.
t=0 t=10hrs t=?
1 2 3
T=1250°C T=800°C T=27°C
18.- La empresa "Muebles y tubulares Valdepeña” se dedica a la manufactura
de muebles hechos de tubo y su acabado es en pintura en polvo, el
endurecimiento o secado de la pintura se lleva a cabo en un horno a 200 °C,
ver figura 2.5.12. Existe un problema con los encargados del horno, puesto que
han ocurrido accidentes de quemaduras por no saber el tiempo en que los
muebles ya están a temperatura ambiente. Por ello se desea determinar el
tiempo de enfriamiento de un mueble hasta la temperatura ambiente (20°C), si
se retiró el mueble del horno a una temperatura de 200°C, y después de 3
minutos su temperatura era de 100°C. ¿En cuánto tiempo estará a temperatura
ambiente?
75
Figura 2.5.12 Horno de secado.
Evaluación del conocimiento. Parcial # 1
Seleccione la respuesta correcta de las siguientes preguntas.
1.- Es aquella expresión que contiene una o más derivadas de una o más
variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
a) Ecuación diferencial parcial
b) Ecuación diferencial ordinaria
c) Ecuación diferencial
d) Ecuación diferencial lineal
2.- Es la ecuación diferencial que contiene derivadas de una o más variables
dependientes con respecto a una sola variable independiente.
a) Ecuación diferencial parcial
b) Ecuación diferencial ordinaria
c) Ecuación diferencial
d) Ecuación diferencial lineal
3.- Las ecuaciones diferenciales se clasifican por su:
a) Tipo, orden y grado
b) Orden, tipo y parcialidad
c) Grado, derivación e integración
d) Tipo, linealidad y curvatura
4.- Completa apropiadamente el siguiente enunciado: “Una solución particular
de una ecuación diferencial es cualquier relación que satisfaga la ecuación, en
tanto la solución general de una ecuación diferencial de orden , es una
relación que contiene constantes arbitrarias linealmente independientes y
satisface la ecuación diferencial.”
5.- Relacionar apropiadamente las siguientes columnas.
76
a) Permite que una ecuación diferencial
de la forma ,
pueda resolverse como una ecuación
exacta.
ECUACIÓN HOMOGÉNEA
b) Es la técnica aplicada a una ecuación
diferencial que puede ser reducida a la
forma .
FACTOR INTEGRANTE
c) Considera como condición necesaria y
suficiente que VARIABLES SEPARABLES
d) Es una expresión de grado ,
cuando estás son sustituidas por ,
resultando una expresión multiplicada
por de la forma
ECUACIÓN DIFERENCIAL
EXACTA
6.- Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Sol. 3° orden, 1° grado.
Sol. 3° orden, 4° grado.
Sol. 2° orden, 3° grado.
7.- Demostrar que la ecuación diferencial es una solución
de la ecuación: .
8.- Encontrar la ecuación diferencial de la primitiva Sol.
9.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales según corresponda por
cualquiera de los métodos expuestos en la unidad temática I.
10.- Suponer que un tanque en forma cilíndrica inicialmente contiene galones
de agua se vacía al hacerle un orificio circular en el fondo en minutos. Utilizar
77
la Ley de Torricelli para demostrar que el volumen de agua en el tanque
después de minutos está dada por: .
Evaluación del producto.
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA
Logotipo del programa
educativo
LISTA DE COTEJO
EVIDENCIA DE DESEMPEÑO
Práctica de estudio de casos
DATOS GENERALES
NOMBRE DEL ALUMNO:
GRUPO:
FECHA:
ASIGNATURA: Ecuaciones diferenciales aplicadas.
UNIDAD TEMÁTICA: Ecuaciones diferenciales de primer orden.
NOMBRE DEL PROFESOR:
INDICACIONES: Organizar grupos de trabajo de 5 integrantes como máximo para realizar la siguiente actividad.
Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) Categorizar las ecuaciones diferenciales presentadas en cuanto su orden y grado.
b) Resolver cada ecuación diferencial por el método correspondiente visto en clase (variables separables,
homogéneas, exactas o factor integrante), sujetas a condiciones prescritas de valor inicial.
c) Demostrar el teorema de existencia y unicidad derivado del inciso b).
d) Plantear un estudio de caso mediante la aplicación de un modelo matemático relacionado con un problema
detectado en una empresa del entorno: a) propuesta por el asesor b) identificado por el alumno.
78
CUMPLIÓ
CONTENIDO FORMATIVO SI NO
1) Categorizó apropiadamente las ecuaciones diferenciales propuestas.
2) Identificó y resolvió acertadamente cada ecuación diferencial según el método considerado.
3) Demostró el teorema de existencia y unicidad de cada ecuación diferencial en cuestión.
4) Contextualizó adecuadamente el modelo matemático a través de las dos aplicaciones del estudio de caso.
5) Entregó en tiempo y forma la actividad realizada.
6)
7)
ACTITUDES
1) Adapto una postura de liderazgo en el equipo.
2) Su desempeño fue activo durante la práctica.
3) Intuyó diferentes aplicaciones del modelo matemático además de los ya asignados.
4) Interactuó con los demás compañeros de la mesa de trabajo en la ejecución de la actividad.
5) Respetó los aspectos del DOLPP (Disciplina, orden, limpieza, participación y puntualidad) durante el
desarrollo de la actividad.
OBSERVACIONES
Domina el contenido
Todavía no domina el contenido
Profesor Alumno
Evaluación del desempeño y actitud.
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA
Logotipo del
programa educativo GUÍA DE OBSERVACIÓN
EVIDENCIA DE DESEMPEÑO
ACTIVIDAD
79
Grupo: Asignatura: Ecuaciones diferenciales aplicadas Fecha:
Actividad: Aplicación del conocimiento. Generación de diez modelos matemáticos de aplicación industrial en función de los diferentes
procesos manejados, ramo metal-mecánica.
Unidad temática: Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Nombre del Alumno:
Nombre del Profesor:
Instrucciones:
Se presentan los aspectos que debe considerar en el desempeño del estudiante durante el desarrollo de la actividad. Marque con una “ X” en la escala atendiendo a los siguientes parámetros:
Excelente: Se desempeña en el rasgo de una manera superior a lo esperado.
Muy bien: Se desempeña en el rasgo de la manera esperada.
Bien : Se desempeña en el rasgo de una manera inferior a lo esperado.
Mejorable: Se inicia en el logro del rasgo.
Sin realizar: No se observo el rasgo o tuvo dificultades para lograrlo.
Criterio Rasgos E MB B M SR
Establece una
analogía entre la
aplicación del
proceso y el modelo
generado.
Manipulación del modelo matemático con las variables
consideradas.
Planteamiento y resolución del modelo matemático considerado.
Interpretación de los resultados obtenidos.
Describe de manera
clara la aplicación del
modelo como función
del proceso realizado.
Dominio de modelo (conocimiento, comprensión), así como de las
herramientas algebraicas para su desarrollo.
Expresa las ideas de manera clara y convincente ante sus
compañeros.
Presenta una
analogía clara de
relación entre el
modelo matemático y
la aplicación
contextual (ramo
metal-mecánica).
Viabilidad de la aplicación propuesta del modelo matemático y el
estudio del caso propuesto.
Argumentación sobre el desarrollo del prototipo relacionado con el
modelo matemático.
Observaciones:
Nivel de Dominio
E MB B M SR
Firma Profesor: Firma Alumno:
80
Unidad Temática III
Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden Superior.
Objetivo
El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de
ecuaciones diferenciales de orden superior, aplicándolas a modelos
relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante el análisis
de los casos más representativos.
Resultado de Aprendizaje
El alumno solucionará problemas orientados al mantenimiento, aplicando las
ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior en cinemática, circuitos
eléctricos (RLC), enfriamiento y resistencia de materiales.
Secuencia de aprendizaje
1.- Identificar los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.
2.- Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.
3.- Analizar las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de
orden superior relacionadas con mantenimiento (circuitos RLC, sistemas
amortiguados).
Instrumentos y tipos de reactivos
Ejercicios prácticos.
Lista de verificación.
Tema 3.1
Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas.
Saber: Explicar los conceptos de:
- Ecuaciones homogéneas y no homogéneas.
- Principio de unicidad.
- Dependencia e independencia lineal.
- Wronskiano.
81
Saber hacer: Resolver problemas de valor inicial y de frontera. Utilizar el
criterio de funciones linealmente independientes. Dependencia lineal e
independencia lineal y principio de superposición.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad, motivación.
Introducción.
Anteriormente se definió una ecuación diferencial lineal de orden como:
(1)
Donde los coeficientes son funciones de o
constantes, mientras que y todas sus derivadas están elevadas a la primera
potencia.
Para el caso de una ecuación diferencial lineal de primer orden (1) se reduce a:
(2)
Misma que se puede expresar en la forma estándar:
(3)
Considerando:
(4)
Obtenemos finalmente:
(5)
La ecuación lineal (4) se transforma en una ecuación exacta buscando un
factor integrante. La ecuación lineal (4) se compone de dos soluciones, una
homogénea (complementaria) y otra particular, por tanto:
(6)
Se puede verificar que por sustitución directa la ecuación (6) satisface a (5),
representa la solución de la parte homogénea de (5), que se obtiene la
resolver:
(7)
82
Por su parte , representa la solución particular de (5), se obtiene
resolviendo (7) por el método de variables separables:
Integrando:
(8)
Pasos para la solución de ecuaciones diferenciales lineales:
1.- Representar la ecuación diferencial en su forma estándar, ecuación , e
identificar .
2.- Determinar el factor de integración .
3.- Multiplicar a (5) por el factor integrante
, e integrando:
.
Ejemplo 3.1.1 Encontrar la solución general de cada una de las siguientes
ecuaciones diferenciales.
a)
Solución.
(1)
(2)
(3)
Simplificando:
b)
Dividiendo entre :
83
c)
Intercambiar las funciones de y dado que
y
Ejercicios. Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones
diferenciales.
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Problema del valor inicial
La ecuación diferencial (1) puede estar sujeta a condiciones iniciales, como se
muestra a continuación:
Sujeta a:
84
Donde: , , ,…, son constantes arbitrarias.
Ejemplo 3.1.2 Resolver la siguiente ecuación diferencial
Sujeta a: y
Solución:
En este caso se trata de una ecuación diferencial no homogénea de segundo
orden, cuya solución general es: , al utilizar las
condiciones iniciales, se obtienen los valores de las constantes :
, se obtiene , además:
Ejemplo 3.1.3 Obtener la solución de la ecuación diferencial sujeta a:
Solución:
La solución general de la ecuación diferencial se puede obtener fácilmente:
Considerando las condiciones iniciales se tiene:
85
Finalmente sustituyendo las constantes en la solución general se tiene:
Teorema de existencia y unicidad
En el tema 1.2 se mencionó un teorema que especifica las condiciones
suficientes que garantizan la existencia y unicidad de una solución de un
problema de valor inicial de primer orden. El siguiente teorema describe las
condiciones suficientes de existencia de un problema de solución única para un
problema de valores iniciales derivada de la ecuación (1):
Sujeta a.
Donde: , , ,…,
Teorema 3.1.1: Sean continuas en
un intervalo J, y sea para toda en dicho intervalo. Si es
cualquier punto en el intervalo, entonces existe una solución única, , en el
intervalo del problema del valores iniciales dado por:
Ejemplo 3.1.4 Demostrar que , es una solución única de
, sujeta a:
Solución:
86
La ecuación diferencial es lineal, con continuas para toda
además para Con ello se cumplen las condiciones expresas
en el teorema 3.1.4, con lo que es una solución única de la
ecuación diferencial.
Ejemplo 3.1.5 Determinar si la solución es única para la ecuación
diferencial .
Sujeta a: .
Solución:
Dado que se trata de una ecuación diferencial lineal de tercer orden con todos
sus coeficientes constantes, incluyendo a , se cumple con lo
considerado en el teorema 3.1.4 por lo tanto, es una solución única para
cualquier intervalo J que contenga a
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
Una ecuación diferencial lineal homogénea tiene la forma:
(1)
Donde el miembro de la derecha de la ecuación (1) es CERO. Si el miembro de
la derecha es diferente de cero entonces se trata de una ecuación
diferencial lineal no homogénea.
Dependencia e independencia lineal.
Se dice que un conjunto de funciones es linealmente
dependiente en un intervalo J, si existen constantes no todas cero
tales que:
Para todo en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente
dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.
87
Clarificando; si las funciones son linealmente dependientes en un
intervalo donde ambas estén definidas, existen constantes y diferentes
de cero tales que , entonces se puede escribir:
Es decir, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es
múltiplo constante de la otra. Así que dos funciones son linealmente
independientes si ninguna es múltiplo constante de la otra en un intervalo.
Ejemplo 3.1.6 Demostrar que las funciones y son
linealmente dependientes.
Solución:
Puesto que:
Además entonces una función es múltiplo de la otra.
Ejemplo 3.1.7 Demostrar que las funciones
son linealmente
dependientes.
Solución:
Las funciones anteriores son linealmente independientes debido a que se
puede escribir como una combinación lineal de y , como se muestra a
continuación:
Con lo que queda demostrada la dependencia lineal, puesto que es
múltiplo constante de la combinación de las otras dos funciones.
88
Ejemplo 3.1.8 Demostrar si y son dos soluciones de
son linealmente independientes o dependientes.
Solución:
Al considerar la razón:
Se obtiene una función que no es constante, con lo que se demuestra que son
un par de funciones linealmente independientes.
Wronskiano
Para el caso en que se manejen dos o más funciones se vuelve más difícil
identificar si se trata de un conjunto de funciones linealmente independientes o
dependientes, por lo que se recurre como herramienta al cálculo del
Wronskiano.
Sean funciones que admiten derivadas hasta al
menos del orden entonces el determinante:
En donde las primas representan las derivadas, se llama Wronskiano.
Teorema 3.1.2: Criterio para soluciones linealmente independientes.
Sean soluciones de la ecuación diferencial (1),
que es lineal, homogénea y de orden , en un intervalo J, entonces el conjunto
de soluciones es linealmente independiente, si y solo si:
Para toda en el intervalo.
89
Ejemplo 3.1.9 Dado el siguiente conjunto de funciones, que son solución de
, indicar si son linealmente independientes, utilizando el
Wronskiano.
Solución:
Para el caso de tres funciones, el Wronskiano está definido por:
Por tanto se tiene
Como entonces se tiene un conjunto de funciones linealmente
independientes.
Ejercicios.
1.- Demostrar que y
son soluciones de .
2.- Obtener por lo menos tres soluciones de la ecuación diferencial
, sin una de las soluciones es: .
3.- Proponer al menos dos soluciones de la ecuación diferencial
dado que
4.- Determinar si las siguientes funciones son linealmente dependientes o
independientes.
a)
b)
c)
Tema 3.2
Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.
90
Saber: Explicar los conceptos de: método de coeficientes constantes, (raíces
reales, raíces reales repetidas y raíces complejas conjugadas).
Saber hacer: Resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con
coeficientes constantes mediante los métodos de: raíces reales, repetidas y
complejas conjugadas.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad, motivación.
Introducción
Recordando que el grado de una ecuación diferencial es el grado de la mayor
derivada ordenada en la ecuación. En algebra elemental, el término lineal está
asociado con las palabras “primer grado”. En la presente materia, se dice que
una ecuación diferencial es lineal; si cada término de la ecuación es de primer
grado en todas las variables dependientes y sus correspondientes derivadas, o
no contiene alguna de ellas. Por ende, una ecuación diferencial que no es lineal
se dice que es no lineal.
Es importante dejar bien en claro que aunque toda ecuación diferencial lineal
es de primer grado, no toda ecuación diferencial de primer grado es
necesariamente lineal.
Ejemplo 3.2.1 Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales en cuanto a su
linealidad.
Ecuación Tipo
1.- yy’ No lineal
2.- No lineal
3.- Lineal
4.- Lineal
La ecuación diferencial lineal general de orden puede ser escrita en la forma:
91
Las funciones y son funciones únicamente de la variable
dependiente . Si todas las funciones (x) son constantes, se dice que la
ecuación es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.
Si , se dice que la ecuación es diferencial lineal homogénea o
reducida.
Si , se dice que la ecuación es diferencial completa, no homogénea.
Solución de una ecuación diferencial lineal.
Considerando primero la ecuación diferencial homogénea.
Si y son soluciones de la ecuación anterior y si y
son constantes arbitrarias, entonces:
Es una solución de la ecuación, para probar lo expuesto se sustituye primero
cada solución en la ecuación, ya que , son soluciones de la misma.
Se obtiene:
Estos valores satisfacen a la ecuación, entonces:
Ya que la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas, se tiene:
Para . De este modo la ecuación anterior se puede ordenar como:
92
Antes de iniciar a analizar las diferentes técnicas de solución de ecuaciones
diferenciales homogéneas de orden , se debe considerar el siguiente
teorema.
Teorema 3.2.1: La solución general de una ecuación diferencial lineal
completa, es igual a la suma de su función complementaria y cualquier integral
particular.
a) Ecuación auxiliar con raíces distintas.
Cualquier ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes puede ser
representado en la forma:
En la que se ha usado la notación: haciendo la sustitución
se obtiene un polinomio en de grado
igualado a cero, se tiene una
ecuación algebraica de grado que tiene raíces. Esta ecuación , es
conocida como la ecuación auxiliar de la ecuación diferencial.
Teorema 3.2.2: Si es una raíz de ecuación auxiliar, esto es:
Entonces es una solución de la ecuación diferencial homogénea.
Donde
Ejemplo 3.2.2 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial.
93
Solución:
Ecuación auxiliar:
Ejemplo 3.2.3 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial.
Solución:
La ecuación auxiliar es:
Empleando la división sintética:
2 -5 -1 6
-2 7 -6
_______________
2 -7 6 0
Por tanto se obtiene
La cuadrática resultante:
Resolviendo por fórmula general:
y
La solución de la ecuación diferencial:
b) Ecuación auxiliar con raíces repetidas.
-1
94
Si una de las raíces de la ecuación auxiliar es una raíz doble, esto es ,
dos veces, entonces en la solución se tendrán dos términos:
Para atender la solución de una ecuación auxiliar con raíces repetidas en toda
su extensión se cita el siguiente teorema.
Teorema 2.2.3: Si la ecuación auxiliar de una ecuación diferencial lineal
homogénea contiene como una raíz doble entonces establece que:
(solución particular)
Donde
Ejemplo 3.2.4 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial.
Solución:
La ecuación auxiliar correspondiente es:
Resolviendo por división sintética, las raíces de esta ecuación son:
La solución general de la ecuación diferencial:
c) Ecuación auxiliar con raíces complejas.
Si la ecuación auxiliar con coeficientes reales contiene una raíz compleja,
y que viene a ser su conjugado. La función complementaria
entonces, involucra los términos: ; por lo tanto se llegaría
a la siguiente sustitución:
Ejercicio 3.2.5 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial.
95
Solución:
La ecuación auxiliar:
Por división sintética se obtiene la raíz: , es decir:
1 -3 +7 -5
1 -2 5
_______________
1 -2 5 0
La ecuación cuadrática resultante:
Resolviendo por fórmula general:
Se obtiene: , con y .
La solución general está dada por:
Ejercicio 3.2.6 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial.
Solución:
La ecuación auxiliar es: , o bien:
Las raíces correspondientes son: , de tal forma que cada raíz,
y , se presentan dos veces con y , ya que
, la solución general: .
Tema 3.3
Ecuación diferencial lineal, no homogénea.
Saber: Explicar los conceptos del método de coeficientes indeterminados.
Saber hacer: Resolver problemas de ecuaciones diferenciales lineales no
homogéneas con coeficientes indeterminados por medio de los métodos:
superposición y anulador.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad, motivación.
-1
96
Introducción
La solución de una ecuación diferencial no homogénea (completa), se
compone de la suma de la función complementaria y una integral particular
como ya se ha mencionado, de tal manera que después de haber visto las
técnicas para obtener la función complementaria , resta proporcionar la
técnica para encontrar la integral particular (coeficientes indeterminados) y
obtener la solución completa de este tipo de ecuaciones. En el anexo 3 se
presenta una tabla de soluciones particulares propuesta para ecuaciones
diferenciales con coeficientes indeterminados.
Considerar el procedimiento general de solución.
Suponer una integral particular de una forma similar a la del miembro
derecho, conteniendo coeficientes indeterminados para cada
término.
Obtener las derivadas necesarias de y sustituirse en la ecuación
diferencial dada.
Igualar los coeficientes de la identidad generada en la variable
independiente.
Igualar los coeficientes de cada término.
Determinar los valores de los coeficientes indeterminados del sistema de
ecuaciones y sustituir en la integral particular .
Obtener la solución general con .
Ejemplo 3.3.1 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial.
Solución:
Ecuación auxiliar:
Factorizando:
Raíces: y
La función complementaria:
97
Se escoge un polinomio de tercer grado para corresponder al término en
y una combinación lineal de y para corresponder a en
.
Por tanto sea la forma de una integral particular:
Se obtiene la primera y segunda derivada (dada la ecuación diferencial original
de segundo orden).
Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial original:
Factorizando términos semejantes:
Dado que se presenta una identidad en , se igualan los coeficientes de los
términos semejantes:
Resolviendo por el método de suma o resta para sistemas de ecuaciones se
obtiene:
Por tanto:
98
Finalmente se obtiene la solución general:
Ejemplo 3.3.2 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial.
Solución:
Ecuación auxiliar:
Factorizando:
Parte complementaria:
Se asume ahora una integral del tipo , obsérvese que no se escogió
la integral del tipo , para no repetir el término de la función
complementaria , es decir; se selecciona una integral particular de la misma
forma que corresponde en y se multiplica por , donde es una unidad
mayor que el exponente del término correspondiente de la función
complementaria. En consecuencia.
Sustituyendo en la ecuación diferencial inicial:
Igualando y resolviendo el sistema: , es decir:
Parte complementaria:
La solución general es:
Ejemplo 3.3.3 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial.
Solución:
99
Ecuación auxiliar:
Con solución:
Función complementaria:
La integral particular que corresponde a es:
No obstante, ya que estos términos están considerados en la función
complementaria, es necesario multiplicar por cómo se explico en el ejercicio
3.3.2.
Por tanto:
Una vez de sustituir en la ecuación diferencial y agrupar términos:
Por lo tanto: y
La solución general:
Ejemplo 3.3.4 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial.
Solución:
Ecuación auxiliar:
Por división sintética:
Simplifica a la cuadrática:
Parte complementaria:
La forma inicial de sería:
Sin embargo como ya se ha venido comentando, no debe haber términos que
ya estén contenidos en , así que es necesario multiplicar por los tres
últimos términos propuestos en . De esta manera:
100
Derivando tres veces:
Para la sustitución en la ecuación diferencial dada la extensión de la misma, se
hace referencia al método de tabulación siguiente:
0
4
5
20
O bien:
y
La solución general es:
Método de superposición (coeficientes indeterminados).
Éste método al igual que el anterior será de utilidad para determinar la solución
general de una ecuación diferencial no homogénea. El método aplica en el
caso de que , la parte no homogénea de:
Tenga la forma de:
101
a) Un polinomio, incluyendo (constante).
b) Una forma exponencial .
c) Una función trigonométrica que incluya una combinación de las
funciones seno y/o coseno como .
d) Una combinación de los tres casos anteriores como sumas y productos
finitos.
Algunos ejemplos de estos casos son.
i.-
ii.-
iii.-
iv.-
v.-
vi.-
Por consiguiente puede ser una combinación lineal de funciones de la
forma: y , para entero positivo, y
número real.
Ejemplo 3.3.5 Obtener la solución general de la ecuación diferencial
Solución:
Obteniendo : (ecuación auxiliar)
Resolviendo:
Proponiendo , utilizando el principio de superposición. Para el caso se trata
de una combinación de casos: polinomio y función exponencial.
para
para
Entonces:
Y
102
Sustituyendo en:
Igualando la identidad a cada término correspondiente, se tiene:
Resolviendo el sistema:
Entonces:
Finalmente se obtiene la solución general:
Método del operador anulador.
La ecuación diferencial
puede escribirse en notación operacional
Donde el operador diferencial representa la -enésima derivada de la
función, es decir:
103
En el caso de que la ecuación tenga coeficientes constantes, se puede
representar como:
O bien
Donde son constantes, y ésta expresión representa una nueva
forma de escribir las ecuaciones diferenciales lineales.
Por ejemplo, la ecuación , puede escribirse como
o en notación operacional
Factorizando se tiene
Donde la expresión del paréntesis (miembro de la izquierda) indica las
operaciones que se van a efectuar sobre la función .
Ejemplo 3.3.6 Representar la siguiente ecuación diferencial en notación
operacional.
Solución:
Ésta última expresión permite observar que al aplicar la operación del
paréntesis sobre la función , la anula (de ahí el nombre del método), o la hace
igual a cero, lo cual es deseable para simplificar la solución del ejercicio.
Ahora el operador se puede factorizar obteniéndose:
o
104
De acuerdo con lo anterior, se verifica que los operadores lineales con
coeficientes constantes son conmutativos.
Teorema 3.3.3: Si los operadores lineales y tienen coeficientes
constantes se cumple:
a) (propiedad conmutativa de la multiplicación)
b) se puede calcular multiplicando las expresiones de como si
fueran polinomios ordinarios.
Ejemplo 3.3.7 Aplicación de la propiedad conmutativa de los operadores.
Sean
Entonces
Ejemplo 3.3.8 Aplicación de la propiedad conmutativa de los operadores.
Considerar ahora que se tiene la expresión , implica que
primero se considere el binomio a y luego al resultado, por tanto:
Aplicando la propiedad conmutativa término de la izquierda:
Para cualquiera de los dos casos desarrollados se llega al mismo resultado, de
hecho se obtiene lo mismo si se aplica el operador a , obsérvese
que es el resultado de multiplicar:
Operador anular
Si es un operador lineal con coeficientes constantes, que al aplicarlo sobre
alguna función lo suficientemente diferenciable, la anula, entonces es un
operador anulador.
105
Por ejemplo, la función puede ser anulada por el operador , es decir:
Lo cual implica que el operador diferencial , que representa la tercera
derivada de respecto a , anula la función .
Otros ejemplos son:
Una función puede tener más de un anulador, sin embargo se recomienda
elegir el más simple. Por ejemplo todos
anulan a , sin embargo el más simple es De esta forma se llega a la
conclusión de que las funciones pueden ser anuladas por .
Ejemplo 3.3.9 Uso del anulador
Proponer los anuladores de las funciones:
a)
b)
Solución:
El anulador de , con es , así .
Y el anulador de , con es , entonces:
Ejemplo 3.3.10 Obtener el anulador de .
Solución:
Recordando que ambas funciones provienen de la solución de la ecuación
auxiliar:
Que a su vez proviene de la ecuación diferencial:
106
O bien
Ejemplo 3.3.11 Uso del operador anulador .
Proponer los anuladores de las funciones:
a)
b)
Solución:
El operador anulador del inciso a es para y
para , de esta manera , el anulador de la función es:
.
El operador anulador de b es , pues es el exponente de y
es sólo un operador, puesto que es el mismo en ambos términos, así:
Ejemplo 3.3.12 Combinación de anuladores y .
Obtener los anuladores de las funciones:
a)
b)
Solución:
a) El anulador de es y el anulador de es , así el
anulador de es: .
Comprobación:
b) Para este ejercicio es necesario un anulador para , , otro para
, , y otro más para , , así:
A continuación se presenta una tabla de anuladores básica.
Tabla 3.3.1 Tabla básica de anuladores con coeficientes constantes
107
Función Anulador de menor orden
Ejercicios:
Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
Obtener los anulares de las siguientes funciones
11.-
12.-
13.-
14.-
15.-
16.-
108
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de operadores
anulares.
17.-
18.-
19.-
20.-
Tema 3.4
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Saber: Explicar los conceptos fundamentales de porqué estas ecuaciones
sirven como modelos matemáticos que facilitan el análisis de fenómenos físicos
y de ingeniería eléctrica, mecánica y química.
Saber hacer: Aplicar las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior
en el estudio de: Movimiento armónico simple, movimiento amortiguado,
movimiento forzado, circuitos eléctricos RLC.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
Introducción.
Una vez visto el análisis en circuitos eléctricos simples, se considerará el
análisis de sistemas oscilatorios, vibraciones. Cualquier movimiento que se
repite a sí mismo en intervalos de tiempo es considerado oscilación o vibración.
La vibración de un sistema implica la transferencia de su energía potencial a
energía cinética, y la de su energía cinética a energía potencial
alternadamente. Si el sistema está amortiguado, la energía se irá disipando en
cada ciclo de vibración.
Clasificación de las vibraciones.
a. Vibración libre
Si un sistema que es perturbado inicialmente se deja vibrando por si mismo se
dice que está en vibración libre. No existe una fuerza externa actuando en el
sistema. La oscilación de un péndulo simple es un ejemplo de vibración libre.
109
Si , entonces - =
Son raíces reales y desiguales
Si . Entonces
Son raíces repetidas.
Si . Entonces =
. Son complejas conjugadas.
Donde
Ya que
Donde: = frecuencia.
Ejemplo 3.4.1 Considerando el sistema masa-resorte de un banco didáctico
(ver figura 3.4.1), un peso de 8 lb que tensiona un resorte en 6 in es estirado 3
in más, desplazándosele en libertad. Encontrar: a) la ecuación del movimiento,
b) su periodo y su c) frecuencia.
110
Figura 3.4.1 Banco de vibraciones.
Solución:
Efectuando las conversiones necesarias: . Entonces:
resolviendo para ,
Donde son las deformaciones longitudinales del resorte estática y final
respectivamente.
Por lo tanto: , donde dividiendo ambos
miembros entre , se tiene:
, sustituyendo valores: , resolviendo la
ecuación diferencial:
Ecuación auxiliar: , las raíces resultantes: .
La ecuación complementaria: .
Para la ecuación complementaria: , por lo tanto:
, para , y
de aquí: , considerando además: , cuando , así
que:
se tiene:
111
, , .
Ejemplo 3.4.2 En la figura 3.4.2 se muestra un péndulo simple cuya longitud
es . Determinar el ángulo después de que transcurrieron , si el
ángulo en . Nota: considerar valores pequeños de
Figura 3.4.2 Péndulo simple.
Solución:
Empleando la ecuación diferencial de segundo orden:
Donde:
Longitud del péndulo.
Ángulo subtendido entre el péndulo y la posición vertical de equilibrio.
Aceleración de la gravedad.
Que es una ecuación lineal homogénea de segundo orden, que se puede
resolver utilizando su ecuación auxiliar, tal como se mostró en la unidad
temática 3, entonces se tiene la siguiente solución:
Para conocer los valores de las constantes y se hace uso de las
condiciones iniciales y en necesario conocer .
112
De donde se obtiene:
y
Por tanto, la solución final está dada por:
Después de transcurridos los , el ángulo mide:
Ejercicios:
1.- Un submarino nuclear de 1,500 ton arranca del reposo bajo un ímpetu de un
propulsor de empuje constante de 3,500 lb. Si la resistencia del agua es 250
lb, determinar la velocidad en pies por segundo como una función del
tiempo, y la velocidad final en millas por hora.
2.- Un peso de 10 lb cuelga de un resorte cuya constante de rigidez es 10. El
peso es jalado 5 ft hacia abajo y dejado en libertad. Encontrar: a) la ecuación
de movimiento, b) su periodo y c) su frecuencia.
3.- Un circuito consta de una inductancia y una resistencia conectadas en
serie con un condensador que tiene una capacidad c y una tensión aplicada .
Considerando que para . Encontrar: a) la corriente
b) la carga en cualquier tiempo si .
4.- El movimiento de un péndulo simple para ángulos pequeños se puede
describir mediante la ecuación diferencial de segundo orden: .
Donde:
longitud del péndulo.
113
ángulo formado entre el péndulo y la posición vertical en equilibrio.
aceleración de la gravedad.
Determinar el ángulo después de que han transcurrido 20 segundos, si el
ángulo es , considerar y y la longitud es de 50 centímetros,
ver figura 3.4.3.
Figura 3.4.3 Péndulo simple.
5.- Considerar el circuito eléctrico de la figura 3.4.4 y verificar las siguientes
ecuaciones:
Resolver las ecuaciones para en función de para cuando .
Figura 3.4.4 Circuito RLC.
114
Evaluación del conocimiento. Parcial #2.
Seleccione la respuesta correcta de las siguientes preguntas.
1.- Es conocido como el método de eliminación de la variable dependiente.
a) Ecuación soluble para .
b) Ecuación soluble para
c) Ecuación soluble para x.
d) Ecuación de Clairaut.
2.- Es el nombre que recibe cualquier curva que en cada uno de sus puntos es
tangente a un miembro de una familia de curvas de un parámetro.
a) Paramétrica.
b) Singular
c) Envolvente.
d) General.
3.- Complete la siguiente oración: “Se dice que una ecuación diferencial el
lineal si cada término de la ecuación es del primer grado en todas la variables
dependientes y sus derivadas varias, o no contiene alguna de ellas.
4.- Cierto o Falso. La solución general de una ecuación diferencial lineal
completa es igual a la suma de sus funciones complementarias y cualquier
integral particular.
Cierto.
Resolver los siguientes ejercicios
5. Encontrar la solución general y’’’
Sol:
6.- Encontrar la solución general y’’
Sol:
7.- Encontrar la solución de la función que sea una solución
del problema con valores iniciales , , y’(1) , en
el intervalo
Sol. .
8.- Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
115
a)
b)
c)
9.- Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
a)
b)
c)
10.- Demostrar que , son respectivamente
soluciones particulares de:
y
Evaluación del producto.
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA
Logotipo del programa
educativo
LISTA DE COTEJO
EVIDENCIA DE DESEMPEÑO
Práctica de estudio de casos
DATOS GENERALES
NOMBRE DEL ALUMNO:
GRUPO:
FECHA:
ASIGNATURA: Ecuaciones diferenciales aplicadas.
UNIDAD TEMATICA: Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
NOMBRE DEL PROFESOR:
INDICACIONES: Organizar por equipos de trabajo de 5 integrantes como máximo. Dadas las siguientes ecuaciones
diferenciales:
a) Resolver las ecuaciones diferenciales de primer orden por solución de la homogénea, solución general.
b) Considerar del modelo matemático previo (U-I), una ecuación diferencial de orden y resolverla según
116
corresponda.
c) Presentar dos modelos matemáticos que involucren dos ecuaciones diferenciales; una homogénea y otra no
homogénea para resolver por el método correspondiente.
d) Proponer un sistema de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes derivados de los diferentes
modelos matemáticos propuestos por el grupo y/o asesor y resolverlo.
CUMPLIÓ
CONTENIDO FORMATIVO SI NO
8) Solucionó correctamente las ecuaciones propuestas.
9) Seleccionó y resolvió acertadamente la ecuación del modelo matemático propuesto según el método
considerado.
10) Aplicó adecuadamente el método de solución de las ecuaciones homogéneas y no homogéneas
correspondientes.
11) Planteó y resolvió apropiadamente el sistema de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes
analizado en los diferentes modelos matemáticos.
12) Entrego en tiempo y forma la actividad realizada.
13)
14)
ACTITUDES
6) Adapto una postura de liderazgo en el equipo.
7) Su desempeño fue activo durante la práctica.
8) Intuyó correctamente la ecuación paramétrica correspondiente para la solución general de la ecuación
diferencial correspondiente.
9) Interactuó con los demás compañeros de la mesa de trabajo en la ejecución de la actividad.
10) Respeto los aspectos del DOLPP (Disciplina, orden, limpieza, participación y puntualidad) durante el
desarrollo de la actividad.
OBSERVACIONES
Domina el contenido
Todavía no domina el contenido
Profesor Alumno
Evaluación del desempeño y actitud.
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA
Logotipo del
programa educativo
118
Grupo: Asignatura: Ecuaciones diferenciales aplicadas Fecha:
Actividad: Aplicación del conocimiento. Integración de los modelos matemáticos de aplicación real propuestos por el docente y por los
alumno (actividad U-I), con la finalidad de cubrir los criterios mencionados en la presente unidad temática.
Unidad temática: Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Nombre del Alumno:
Nombre del Profesor:
Instrucciones:
Se presentan los aspectos que debe considerar en el desempeño del estudiante durante el desarrollo de la actividad. Marque co n una “ X” en la escala atendiendo a los siguientes parámetros:
Excelente: Se desempeña en el rasgo de una manera superior a lo esperado
Muy bien: Se desempeña en el rasgo de la manera esperada
Bien : Se desempeña en el rasgo de una manera inferior a lo esperado
Mejorable: Se inicia en el logro del rasgo
Sin realizar: No se observo el rasgo o tuvo dificultades para lograrlo
Criterio Rasgos E MB B M SR
Identifica una
ecuación diferencial
de primer orden
homogénea.
Manipulación de los diferentes métodos de solución de ecuaciones
diferenciales de primer orden homogéneas.
Descripción de los componentes de la solución general de una
ecuación diferencial homogénea.
Interpretación de los resultados obtenidos.
Determina la solución
general particular y
singular de una
ecuación diferencial
de primer orden no
homogénea, así como
de sistemas de
ecuaciones.
Muestra seguridad en el desarrollo de la parte complementaria y la
parte paramétrica en la solución de una ecuación diferencial no
homogénea.
Ordena y resuelve sistemas de ecuaciones diferenciales utilizando
el Wronskiano.
Presenta una
analogía clara de
relación entre el
modelo matemático y
la aplicación con
fenómenos físicos y
del contextual (ramo
metal-mecánica).
Viabilidad de la aplicación propuesta del modelo matemático y el
estudio del caso propuesto.
Argumentación sobre el desarrollo del prototipo relacionado con el
modelo matemático físico y/o contextual.
Observaciones:
Nivel de Dominio
E MB B M SR
Firma Profesor: Firma Alumno:
119
Unidad Temática IV
Transformada de Laplace
Objetivo de la unidad
El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de
sistemas de ecuaciones de ecuaciones diferenciales a través de transformadas
de Laplace, aplicándolas a modelos relacionados con la ingeniería en
mantenimiento industrial, mediante la comprensión de los conceptos básicos.
Resultado de Aprendizaje
El alumno solucionará ecuaciones diferenciales aplicadas al mantenimiento
utilizando las transformadas de Laplace como en dinámica, circuitos (RLC),
resistencia de materiales y fluidos.
Secuencia de aprendizaje
1.- Comprender los conceptos de transformadas directas e inversa de Laplace.
2.- Analizar las aplicaciones de la transformada de Laplace relacionadas con el
mantenimiento industrial (sistemas amortiguados).
Instrumentos y tipos de reactivos
Ejercicios prácticos.
Lista de verificación.
Tema 4.1
Definición de la transformada de Laplace.
Saber: Explicar los conceptos de: transformada de Laplace, linealidad,
funciones continuas por tramos, existencia de la transformada de Laplace.
Saber hacer: Calcular transformadas de Laplace.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad, motivación.
Introducción
120
La transformada de Laplace es una herramienta matemática que facilita el
análisis de los sistemas lineales con variación en el tiempo de una manera más
simple. La aplicación de la transformada de Laplace permite modificar el
análisis de las funciones en el dominio del tiempo, a un análisis en el dominio
de la frecuencia con una considerable reducción de los cálculos matemáticos
relacionados con el tiempo.
La transformada de Laplace representa una transformación integral que
convierte las derivadas e integrales en el tiempo, en multiplicaciones y
divisiones en el dominio ; lo que transforma las ecuaciones diferenciales e
integrales en polinomios mucho más fáciles de resolver. Por otra parte, una vez
obtenida la solución en el dominio de la frecuencia, se procede a regresar en el
dominio del tiempo a través de la transformada inversa de Laplace que se verá
más adelante en el presente manual.
La transformada de Laplace de una función , definida para todos los
números reales está representada por la función y definida como la
integral impropia:
Si existe el límite, se dice que la integral existe o que es convergente, si no
existe el límite, la integral no existe y se dice, que es divergente. En general, el
límite anterior existe solo para ciertos valores de la variable . La sustitución:
proporciona una transformación integral muy importante.
Sea una función definida para , entonces la integral de:
(1)
Transformadas de Laplace de funciones básicas.
A continuación se calculan algunas transformadas de Laplace de funciones
básicas empleando la definición integral de la transformada de Laplace.
Ejercicio 4.1.1 Encontrar la trasformada de Laplace de , donde es
una constante.
Solución:
(2)
Ejercicio 4.1.2 Encontrar la trasformada de Laplace de para .
121
Solución:
Ejercicio 4.1.3 Encontrar la trasformada de Laplace de para .
Solución:
Ejercicio 4.1.4 Encontrar la trasformada de Laplace de para y
un número entero.
Solución:
Ejercicio 4.1.5 Encontrar la trasformada de Laplace de para ,
donde es una constante.
Solución:
Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos.
Si una función puede representarse por tramos con la existencia de saltos
finitos, entonces es razón suficiente para ser considerada como una función
continua por tramos y los saltos son considerados como discontinuidades
ordinarias. La transformada de Laplace de las funciones continuas por tramos
es calculada evaluando la transformación integral de cada uno de los tramos.
122
Ejercicio 4.1.6 Encontrar la trasformada de Laplace de la función definida en
los tramos:
Solución:
Transformada de Laplace de la función escalón unitario.
Dos funciones que con frecuencia son usadas en la representación de
funciones por tramos; son la función escalón unitario (función de Heaviside) y la
función impulso o función delta de Dirac. La función escalón está definida
como:
La transformada de Laplace de la función escalón se calcula de la manera
siguiente:
Propiedades de la Transformada de Laplace.
a) Linealidad.
La transformada de Laplace es un operador lineal. Si se tienen dos funciones
y multiplicadas por las constantes y respectivamente, para las
cuales existe la transformada de Laplace se cumple:
Ejercicio 4.1.7 Encontrar la trasformada de Laplace de para
.
123
Solución:
Aplicando la definición de la transformada de Laplace y utilizando el método de
integración por partes dos veces se obtiene:
b) Traslación en el eje s.
Si se tiene una función para la cual existe una trasformada de Laplace
el objeto de multiplicar por la función es trasladar la función a
unidades en el eje s; es decir, se tendría una nueva función .
c) Traslación en el eje t.
Si es la trasformada de Laplace de la función , entonces es
la transformada de la función:
La transformada de Laplace de la función se calcula de la manera
siguiente:
d) Transformada de derivadas
124
Si se tiene una función continua o por tramos en y para la cual existe
la transformada de Laplace. La transformada resultante de Laplace es:
El procedimiento puede aplicarse repetidamente para encontrar la
transformada de Laplace de una derivada de orden .
Ejemplo 4.1.8 Obtener la transformada de Laplace de para
.
Solución:
;
e) Transformada de integrales
Si es una función integrable en la variable independiente y su
transformada de Laplace entonces aplicando la definición de la
transformada e integrando por partes.
125
El primer término es cero con el límite superior debido al término exponencial y
también es cero con el límite inferior dado el intervalo de integración. Por tanto,
la transformada de la integral de una función viene dada por la ecuación:
Ejercicios de repaso.
Solución de transformadas de Laplace haciendo uso de la tablas de
transformadas de Laplace del anexo 4.
1.- Hallar
Solución:
2.- Hallar
Solución:
3.- Hallar
Solución:
126
4.- Hallar
Solución:
5.- Hallar
Solución:
Ejercicios: Resolver los siguientes ejercicios de transformadas de Laplace.
1.- 2.-
3.- 4.-
5.- 6.-
7.- 8.-
9.- 10.-
Tema 4.2
Transformada inversa de Laplace.
Saber: Explicar los conceptos de la transformada inversa de Laplace.
127
Saber hacer: Calcular transformadas inversas de Laplace de funciones
potenciales, exponenciales y trigonométricas.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad, motivación.
Introducción
Si la transformada de Laplace de una función es , es decir, si
, entonces se llama transformada inversa de Laplace de
y se representa por , donde se llama: “operador
transformada inversa de Laplace”.
Ejemplo: como se puede escribir
Propiedades importantes de la transformada inversa de Laplace.
a) Linealidad.
La transformada de Laplace inversa es también una trasformada lineal para las
constantes .
Donde son las transformadas de las funciones .
Para la solución de transformadas inversas de Laplace, se recomienda al lector
repasar los métodos de solución por fracciones parciales vistos en evaluación
de integrales.
Ejercicio 4.2.1 Hallar
Solución:
Ejercicio 4.2.2 Hallar
Solución:
128
Aplicando la identidad tanto al numerador como al denominador:
Resolviendo el sistema se tiene:
=
Ejercicio 4.2.3 Hallar
Solución:
Ejercicio 4.2.4 Hallar
Solución:
129
Ejercicio 4.2.5. Hallar
Solución:
Ejercicios: Resolver los siguientes ejercicios de transformadas inversa de
Laplace.
1.- 2.-
3.- 4.-
5.- 6.-
7.- 8.-
9.- 10.-
Tema 4.3
Teoremas de traslación y derivadas de una transformada.
Saber: Explicar el teorema de una derivada de una transformada basados en el
primero y segundo teorema de traslación.
Saber hacer: Calcular transformadas de Laplace basados en los teoremas de
traslación y derivada de una transformada.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
130
Introducción
Antes de considerar los puntos programados en el presente tema, se
recomienda hacer un repaso de las fracciones parciales, en virtud de su gran
aplicación en la solución de transformadas inversas de Laplace.
Fracciones parciales.
Las fracciones parciales son determinantes en el cálculo de la transformada
inversa de Laplace como se ha mencionado. La descomposición de una
expresión racional en las fracciones componentes se puede hacer rápidamente
usando una sola instrucción en la mayoría de los sistemas algebraicos
computacionales. Independientemente de que se cuente o no con un software,
en el presente capítulo se han desarrollado las técnicas básicas para la
solución de transformadas de Laplace e inversa de la transformada de manera
analítica, y que permitirán al educando tener una mayor contextualización de
los contenidos curriculares de la asignatura.
Una fracción racional es aquella cuyo numerador y denominador son funciones
racionales enteras, es decir, funciones en que la variable no está afectada de
exponentes negativos o fraccionarios. Si el grado del numerador es igual o
mayor al del denominador, la fracción puede reducirse a una expresión mixta
dividiendo el numerador por el denominador, por ejemplo: .
Aprovechando el espacio, se presenta un resumen para la solución de
fracciones parciales racionales según sea el caso de las raíces presentes.
Caso I. Los factores del denominador son todos de primer grado, como ,
una fracción parcial de la forma: , siendo A una constante. La fracción dada
puede expresarse como una suma de fracciones.
Ejemplo: , donde A, B y C son constantes por
determinar.
Caso II. Los factores del denominador son todos de primer grado, y algunos se
repiten. En este caso a todo factor de primer grado repetido veces, como
corresponde la suma de fracciones parciales de la forma:
, donde A, B,…,L son constantes.
Ejemplo: .
131
Caso III. El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno de
estos factores se repite, la fracción correspondiente es de la forma. .
Ejemplo: .
Caso IV. El denominador contiene factores de segundo grado y algunos de
estos se repiten. A todo factor de segundo grado repetido veces, como
, corresponderá la suma de fracciones parciales, de la
forma: .
Ejemplo: .
Traslación.
En el apartado 4.1 se citaron las técnicas de traslación para la solución de
transformadas de Laplace, sin embargo, aquí se retomarán a manera de
resumen tanto la traslación en s como en t.
Traslación en el eje s.
Si se tiene una función para la cual existe una trasformada de Laplace
el objeto de multiplicar por la función es trasladar la función a
unidades en el eje s; es decir, se tendría una nueva función .
Resolver transformadas de Laplace como se efectúa
de manera directa siempre y cuando se conozcan las transformadas
. En general, si se conoce la transformada de Laplace de una
función , , es posible calcular la transformada de Laplace de un
múltiplo exponencial de , es decir, , sin ningún esfuerzo adicional
que no sea trasladar o desplazar, la transformada a . Este
resultado se conoce como primer teorema de traslación o primer teorema de
desplazamiento, es decir: si y es cualquier número real,
entonces: .
Ejemplo 4.3.1 Hallar
132
Solución:
Traslación en el eje t.
Si es la trasformada de Laplace de la función , entonces es
la transformada de la función:
La transformada de Laplace de la función se calcula de la manera
siguiente:
En aplicaciones ingenieriles, mecánicas y electrónicas primordialmente, es
común encontrar funciones “activadas” o “desactivadas”. Por ejemplo una
fuerza externa que actúa en un sistema masa-resorte, o un potencial aplicado a
un circuito eléctrico, se puede desactivar después de cierto tiempo. Es
conveniente entonces definir una función especial para desactivar (0) para un
tiempo y el número (1) para la activación después de ese tiempo. La
función se le conoce como función escalón unitario o función de Heaviside. La
función escalón unitario se define como: ,
también llamado primer teorema de traslación.
Ejemplo 4.3.2 Expresar en términos de funciones
escalón unitario.
Solución:
Con y , se obtiene .
El segundo teorema de traslación establece:
Si entonces En tanto
que su forma inversa es: .
Ejemplo 4.3.3 Hallar
Solución:
133
De acuerdo con las identidades ,
entonces:
Ejemplo 4.3.4 Hallar
Solución:
De acuerdo con las identidades ,
entonces:
Tema 4.4
Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas.
Saber: Explicar los teoremas de: transformada de una derivada, convolución,
transformada de una función periódica.
Saber hacer: Calcular trasformadas de: derivadas, integrales y funciones
periódicas.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
A continuación se retoman las transformadas de funciones periódicas
introducidas en el punto 4.1.
Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos.
Si una función puede representarse por tramos con la existencia de saltos
finitos, entonces es razón suficiente para ser considerada como una función
continua por tramos y los saltos son considerados como discontinuidades
ordinarias. La transformada de Laplace de las funciones continuas por tramos
es calculada evaluando la transformación integral de cada uno de los tramos.
134
Ejercicio 4.4.1 Encontrar la trasformada de Laplace de la función definida en
los tramos:
Solución:
Transformada de Laplace de la función escalón unitario.
Dos funciones que con frecuencia son usadas en la representación de
funciones por tramos; son la función escalón unitario (función de Heaviside) y la
función impulso o función delta de Dirac. La función escalón está definida
como:
La transformada de Laplace de la función escalón se calcula de la manera
siguiente:
Transformada de derivadas.
Si se tiene una función continua o por tramos en y para la cual existe
la transformada de Laplace. La transformada resultante de Laplace es:
El procedimiento puede aplicarse repetidamente para encontrar la
transformada de Laplace de una derivada de orden .
135
Ejemplo 4.4.2 Obtener la transformada de Laplace de para
.
Solución:
;
Transformada de integrales.
Si es una función integrable en la variable independiente y su
transformada de Laplace entonces aplicando la definición de la
transformada e integrando por partes.
El primer término es cero con el límite superior debido al término exponencial y
también es cero con el límite inferior dado el intervalo de integración. Por tanto,
la transformada de la integral de una función viene dada por la ecuación:
Teorema de convolución
La propiedad de convolución de la transformada de Laplace relaciona el
producto de transformadas y tiene aplicación en el proceso de inversión de la
transformada. Suponer que se tiene el producto de las funciones y de
las cuales se conocen las funciones inversas y y se desea encontrar
la función inversa del producto a partir de las funciones inversas conocidas.
136
Si representa el producto de las trasformadas y la función inversa del
producto de las transformadas, se puede calcular esta última por medio de la
propiedad de la convolución de y , expresa como , donde el
símbolo es empleado para la propiedad de convolución. La siguiente
expresión representa la forma de evaluar la convolución de las funciones
y .
La propiedad de convolución cumple las siguientes leyes:
I.- Conmutatividad: .
II.- Distributivita: .
III.- Asociatividad: .
Se debe tener cuidado al emplear la propiedad de convolución, pues con
frecuencia se confunde con la propiedad de multiplicación.
Ejemplo 4.4.3 Encontrar la transformada inversa de la función
.
Solución:
De tablas (anexo 5): y , aplicando la
propiedad de convolución:
e integrando dos veces por partes:
Transformada de Laplace de funciones periódicas
137
Considerando la función definida para todos los valores positivos de y
con un periodo de manera que ; para valores de
Si es continua por tramos en el intervalo , entonces su
transformada de Laplace existe y la integral puede ser evaluada como se indicó
en las funciones definidas por tramos.
Si se sustituye en las integrales por tramos, la ecuación anterior se
convierte en:
Factorizando los términos que no contienen , se obtiene:
La serie infinita puede ser simplificada de la siguiente manera:
Sea , multiplicando por se obtiene:
, restando estas dos ecuaciones de obtiene:
y finalmente la suma de la serie infinita es:
Al sustituir el resultado de la serie finita en la propiedad de traslación en el eje
s, se obtiene la definición de la transformada de Laplace para funciones
periódicas.
Ejercicios
Encontrar la trasformada de Laplace de las siguientes funciones
1.- 2.-
3.- 4.-
5.- 6.-
7.- 8.-
138
9.- 10.-
11.- 12.-
13.- 14.- .
15.- Encontrar la transformada de Laplace de la función de onda cuadrada
definida como:
Para
16.- Encontrar la transformada de Laplace definida como
Encontrar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones.
17.- 18.-
19.- 20.-
21.- 21.-
Tema 4.5
Aplicaciones.
Saber: Explicar la función delta de Dirac.
Saber hacer: Solucionar problemas relacionados con mecánica de
mecanismos y circuitos en serie RC y RL.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
Introducción
Si una función periódica tiene periodo , entonces . El
siguiente teorema muestra que la transformada de Laplace de una función
periódica se obtiene integrando sobre un periodo.
139
Teorema. Si es continua por tramos en , de orden exponencial y
periódica con periodo , entonces: .
Ejemplo 4.5.1 Encontrar la transformada de Laplace de la función de
onda cuadrada con periodo en el intervalo y fuera del definido
por .
Solución:
Ejemplo 4.5.2 La ecuación diferencial para la corriente en un circuito RL
en serie de una sola malla es: . Determine el valor de la
corriente cuando y es la función de onda cuadrada
correspondiente.
Solución:
Considerando el resultado del ejemplo 3.5.1, la transformada de Laplace de la
ecuación diferencial es: , para
determinar la transformada inversa de Laplace de esta última función, es
necesario hacer uso de la serie geométrica. Con la relación , la
serie geométrica:
se obtiene De
, se puede escribir la ecuación como:
140
Aplicando el segundo teorema de traslación a cada término de ambas series se
obtiene:
O de forma equivalente:
Asumiendo por ejemplificación que: , por lo tanto:
, es decir:
Función Delta de Dirac
La función delta es una idealización de situaciones en las que una variable
tiene una extensión en tiempo o espacio muy pequeña y su valor tiene una
distribución en ese espacio o tiempo, que resulta poco considerable frente al
valor total calculado por medio de la integral en el tiempo. Se podría pensar en
esta función como el límite de un escalón de poca duración o impulso que
conservará el área cuando la duración tienda a cero. La definición formal de la
función delata es:
Esta definición implica que es infinita en y cero en todos los otros
valores de , lo que origina que la función sea ideal. Podría pensarse en una
141
aproximación de la función con duración muy pequeña, , y valor constante
durante este intervalo . Si se toma la definición de la función aproximada
como:
La integral de la función sería:
Lo que muestra que tiene las mismas propiedades de . La
figura 4.5.1 muestra la gráfica de la aproximación a la función delta.
Figura 4.5.1 Gráfica de
Aplicaciones
Con frecuencia la fuerza motriz de un proceso natural es periódica: un voltaje
periódico energiza un circuito eléctrico, un campo magnético pulsante actúa
sobre un peso metálico suspendido de un resorte, el medicamento entra en el
tracto gastrointestinal cada seis horas. Cualquier cálculo práctico de
transformadas debe poder manejar funciones periódicas que van desde las
142
sinusoides de contorno suave hasta un tren de ondas cuadradas o triangulares.
Se encontrará la transformada de tales funciones en relación con un circuito
que tiene una entrada de onda cuadrada. A continuación se ilustran algunos
ejemplos.
Ejemplo 4.5.3 Una partícula P de 2 gramos de masa se mueve sobre el eje x y
es atraída hacia el origen con una fuerza numéricamente igual a . si está
inicialmente en reposo en , hallar su posición en cualquier tiempo
posterior suponiendo que a) no actúa otra fuerza externa, b) actúa una fuerza
amortiguadora igual a 8 veces su velocidad instantánea.
Solución:
a) Sea la dirección positiva hacia la derecha, ver figura 4.5.2.
Figura 4.5.2 Movimiento de la partícula.
Cuando x 0, la fuerza neta es hacia la izquierda y estará dada por .
Cuando x 0, la fuerza neta actuará hacia la derecha y estará dada por .
Por tanto, en cualquier caso la fuerza neta es . Por la segunda Ley del
Movimiento de Newton se tiene:
, es decir;
Considerando las condiciones iniciales y la transformada de Laplace de la
ecuación diferencial, tenemos que si :
o
Entonces:
b) Cuando y , está a la derecha y se mueve hacia la derecha.
Entonces la fuerza amortiguada está dirigida hacia la izquierda (es decir es
negativa) y su valor es . Análogamente, cuando y , está a
143
la izquierda y se mueve hacia la izquierda de tal manera que la fuerza
amortiguadora está dirigida hacia la derecha (positiva) y está dada también por
La fuerza amortiguadora es también para los casos , ,
y Entonces:
Es decir:
Bajo las condiciones iniciales y y aplicando la
transformada de Laplace se obtiene:
Resolviendo para ;
Entonces
Ejemplo 4.5.4 Un inductor de 2 henrys, una resistencia de 16 ohmios y un
condensador de 0.02 faradios se conectan en serie con una f.e.m. de voltios.
En tanto la carga del condensador como la corriente del circuito vale cero.
Encontrar la carga y la corriente en cualquier tiempo si a) ,
b)
Solución:
Sean respectivamente la carga y corriente instantáneas en el tiempo .
Por las leyes de Kirchhoff se tiene:
(1)
y como ,
(2)
144
Bajo las condiciones iniciales
a) Si entonces de (2) será:
Entonces, considerando la transformada de Laplace encontramos que:
Por tanto:
b) Si entonces de (2) será:
Tomando la transformada de Laplace se encuentra que:
Así que:
Finalmente:
145
Ejemplo 4.5.5 Una viga fija en sus extremos y (ver figura 4.5.3)
soporta una carga uniforme por unidad de longitud. Hallar la deflexión en
cualquier punto de la viga.
Figura 4.5.3 Viga cargada uniformemente.
Solución:
La ecuación diferencial y las condiciones de frontera son:
(1)
Considerando la transformada de Laplace en los dos miembros de (1), se tiene
que, si
(3)
Empleando en (2) las dos primeras condiciones y las condiciones desconocidas
, se encuentra que:
Invirtiendo términos:
De las dos últimas condiciones de (2) se obtiene:
Finalmente la deflexión buscada es:
Ejercicios.
146
1.- En referencia a la figura 4.5.4, supóngase que sobre la masa m está
actuando una fuerza y que no hay fuerzas de amortiguamiento.
Figura 4.5.4 Banco didáctico de vibraciones.
a) Demostrar que si la masa parte del reposo a una distancia del punto
de equilibrio , entonces se puede determinar el desplazamiento en
cualquier tiempo de la ecuación de movimiento:
b) Hallar en cualquier tiempo si (constante) para .
c) Hallar en cualquier tiempo donde .
2.- Resolver el ejercicio anterior (1) si , considerando los dos
siguientes casos: a) , b) .
3.- Una partícula se mueve sobre una recta de tal forma que su desplazamiento
desde un punto fijo , está dado en cualquier tiempo por:
a) Si para la partícula está en el reposo en , hallar su
desplazamiento en cualquier tiempo .
b) Hallar la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento después de un
largo tiempo.
c) Es éste movimiento sobreamortiguado, subamortiguado, o críticamente
amortiguado.
m
k x(t)
F(t)
147
4.- Se conectan en serie una resistencia de ohmios y un condensador de
faradios con un generador de voltios. En la carga del condensador es
cero. Hallar la carga y la corriente en cualquier tiempo , si: a)
constante, b)
5.- Resolver el ejercicio anterior (4) para el caso en que y la
carga del condensador sea .
6.- Un inductor de henrys y un condensador de faradios están conectados
en serie con una fuente de voltios. En la carga del condensador y la
corriente del circuito son nulas. Hallar la carga del condensador en cualquier
tiempo si: a) constante, b)
7.- Un inductor de 3 henrys está en serie con una resistencia de 30 ohmios y
una f.e.m. de 150 voltios. Suponiendo que en la corriente es cero, hallar
la corriente en cualquier tiempo
8.- Una viga sometida en sus extremos y soporta una carga
uniforme por unidad de longitud. Demostrar que la deflexión en cualquier
punto es .
9.- Resolver el ejercicio anterior , suponiendo que la viga está empotrada en el
extremo y articulada en el extremo .
10.- Una viga cuyos extremos están articulados en y tiene una
carga dada por:
Hallar la deflexión.
Tema 4.6
Sistemas de ecuaciones lineales.
Saber: Explicar los métodos de: Operaciones, transformadas de Laplace.
Determinar sistemas de ecuaciones lineales de primer orden.
148
Saber hacer: Solucionar problemas relacionados con mecánica de
mecanismos, circuitos eléctricos sistemas degradados.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
Introducción.
Si un conjunto de funciones tiene la propiedad de ser un
conjunto fundamental de soluciones, considerar lo expresado en el siguiente
teorema.
Teorema 4.6.1: Solución de una ecuación lineal homogénea.
Sea un intervalo abierto de valores de , y sean
soluciones no triviales de la ecuación:
Para en . Entonces la solución completa de (1) para en está dada por:
Donde las son constantes arbitrarias, siempre y cuando se cumplan las
condiciones siguientes:
a) son linealmente independientes, es decir,
, donde;
Las primas representan las derivadas del sistema llamado Wronskiano .
b) son funciones continuas para todo en
.
c) para todo en .
Ejemplo 4.6.1 Solución general de una ecuación diferencial homogénea.
Determinar si ; forman un conjunto de soluciones de
la ecuación diferencial. y’’’
149
Solución:
Se analiza primero si las funciones son linealmente independientes, con la
prueba del wronskiano: .
Con lo que , demostrándose que se trata de un conjunto de
soluciones linealmente independientes. Por tanto, se puede proponer la
solución general de y’’’ como: .
Para determinar si la solución general obtenida en (3) corresponde a la
solución de la ecuación diferencial, derivamos:
(3)
Sustituyendo las derivadas obtenidas en (2):
Con ello queda demostrado que el conjunto fundamental de soluciones
satisface a (2).
Ejemplo 4.6.2 Solución general de una ecuación diferencial homogénea.
Las funciones y satisfacen la ecuación diferencial:
Determinar si forman un conjunto fundamental de soluciones.
Solución:
Se determina primero el Wronskiano:
150
Para cualquier valor real de , con lo que y integran
un conjunto fundamental de soluciones. La solución general puede expresarse:
.
Obtención de una segunda solución a partir de otra ya conocida.
El método de reducción de orden muestra que si se conoce una solución
de una ecuación lineal homogénea de segundo orden, entonces siempre se
puede obtener una segunda solución . Suponer que se desea resolver la
ecuación diferencial:
Expresada en forma reducida:
(4)
Donde es una solución conocida de (4). A continuación se demostrará
como obtener una segunda solución de (4) de la forma:
(5)
Por simplicidad se puede expresar como:
Por tanto: y’ (6)
(7)
Sustituyendo (6) y (7) en (4):
Ordenando la ecuación:
(8)
O bien: (9)
Esta última ecuación es de segundo orden y puede reducir a una de primer
orden, considerando el hecho de que siempre el término que multiplica a en
(8) se hace cero, entonces: (10)
(11)
Al sustituir (10) y (11) en (9):
(12)
151
Que es una ecuación diferencial de primer orden que se puede resolver
fácilmente por variables separables, o como una ecuación lineal.
Resolviendo (12) por variables separables:
Integrando y simplificando:
(13)
Sustituyendo: , se tiene:
Integrando nuevamente:
(14)
Finalmente considerando:
(15)
La cual representa la solución general de (4).
Ejemplo 4.6.3 Obtención de una segunda solución.
Dada la ecuación diferencial , con solución , obtener la
segunda solución, , utilizando la técnica de reducción de orden.
Solución:
La segunda solución tiene la forma: , así:
Sustituyendo las expresiones en la ecuación diferencial:
Con la sustitución: y w’
Separando variables:
Integrando: ;
152
Como: , por tanto:
Integrando:
Utilizando la propuesta inicial: se tiene la solución general:
.
Ejemplo 4.6.4 Obtención de una segunda solución.
Obtener la segunda solución del problema anterior utilizando la fórmula (15).
Solución:
De (15):
Se tiene que y además , entonces:
Ejemplo 4.6.5 Obtención de una segunda solución.
La ecuación de Cauchy-Euler:
Tiene una de sus soluciones con , obtener la segunda solución
utilizando el método de reducción de orden.
Solución:
Utilizando la fórmula (15) para obtener la segunda solución, se tiene que:
y que , al utilizar la fórmula:
(16)
Considerando la solución de la integral en (16):
La integral del numerador es , de esta forma el numerador se
simplifica a , transformándose en:
153
Cuya solución es , al considerar a y se tiene
entonces que la ecuación (16) se transforma en:
Concluyendo que la solución general contiene a la segunda solución.
Ejercicios.
Obtener la solución general de las siguientes ecuaciones.
1.- Para la ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden se
demostró anteriormente, que dos de sus soluciones son y
, obtener la solución general.
2.- Si y , obtener la solución general de la ecuación de
segundo grado
3.- La ecuación diferencial de Cauchy-Euler de tercer orden
tiene las siguientes soluciones:
y
Obtener la solución general.
Obtener la segunda solución para las siguientes ecuaciones diferenciales,
además comprobar si dichas propuestas satisfacen a la ecuación diferencial
dada.
4.-
5.-
6.-
5.-
6.-
Se recomienda como ejercicio extra resolver los ejercicios anteriores utilizando
la fórmula (15) para obtener , así como su solución general.
154
Sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.
Introducción.
Sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.
Para poder abordar el presente tema se recomienda al lector hacer un repaso
de algebra lineal básica de no estar familiarizado con los conceptos que en el
presente punto se manejan.
Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con
incógnitas de la forma:
(1)
Donde: y las son polinomios de diferentes grados en el operador
diferencial . Los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden son
casos especiales de sistemas que tienen la forma normal.
(2)
Un sistema tal como (2) de ecuaciones diferenciales de primer orden se llama
sistema de primer orden.
Sistemas lineales. Cuando cada una de las funciones en (2) es
lineal en las variables dependientes se obtiene la forma normal de
un sistema de ecuaciones lineales de primer orden:
155
(3)
Se supone que los coeficientes así como las funciones son continuas en
un intervalo común . Cuando , se dice que el sistema
lineal (3) es homogéneo; de otro modo es no homogéneo.
Forma matricial de un sistema lineal.
Si , , y denotan matrices respectivas:
Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se
puede escribir como:
O simplemente: (4)
Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces:
(5)
Ejemplo 4.6.6 Sistema escrito en notación matricial.
a) Si , entonces la forma matricial
del sistema homogéneo:
es .
b) Si , entonces la forma matricial
del sistema homogéneo:
156
es .
Vector solución.
Un vector solución en un intervalo es cualquier matriz columna:
Cuyos elementos son funciones derivables que satisfacen el sistema (4) en el
intervalo.
Ejemplo 4.6.7 Comprobación de solución.
Comprobar que en el intervalo , y
, son solución de .
Solución:
De y , se tiene que:
y
Ejercicios.
Escriba el sistema lineal en la forma matricial.
1.- 2.-
3.- 4.-
Comprobar que el valor es una solución del sistema dado.
5.- 5.-
157
Evaluación del conocimiento. Parcial #3
1.- ¿Cuál de los siguientes enunciados corresponde a la definición de
Transformada de Laplace?
a) Herramienta matemática que permite el análisis de sistemas no lineales con
variación de una manera más fácil.
b) Herramienta matemática que permite el análisis de sistemas no lineales con
variación en el tiempo de una manera más simple.
c) Herramienta matemática que representa una transformación integral que
transforma las derivadas e integrales en multiplicaciones y divisiones en el
dominio x.
d) Herramienta matemática que permite el análisis de sistemas lineales
con variación con el tiempo de una manera más simple,
2.- Representa el signo convencional de una transformada inversa de Laplace.
a)
b)
c)
d)
3.- De las aplicaciones en ingeniería ¿por qué es común encontrar funciones
de escalón unitario (o de Heaviside), principalmente en sistemas mecánicos y
eléctricos?
a) Por la acción de fuerzas externas sobre un sistema mecánico o voltaje
aplicado a un circuito.
b) Por los efectos de los saltos finitos de una función.
c) Debido a las discontinuidades ordinarias de una función.
d) Como consecuencia de la linealidad de la función.
4.- Hallar las siguientes transformadas de Laplace.
a)
b)
158
c)
d)
e)
sol.
5.- Hallar las siguientes transformadas inversas de Laplace.
a) b) c) d)
e)
6.- En el circuito eléctrico de la figura 4.6.1 se tienen los siguientes datos:
Figura 4.6.1 Circuito RLC.
Si la carga del condensador y las corrientes son nulas en hallar la
carga del condensador en cualquier tiempo
7.- Supóngase que para , la masa de la figura, está en reposo en su
posición de equilibrio . Considere además que súbitamente se le aplica
una fuerza que le comunica una velocidad instantánea dirigida hacia la
derecha, fuerza que luego se retira. Demostrar que el desplazamiento de la
masa de su posición de equilibrio es en cualquier tiempo
E
159
.
8.- Desde la superficie de la tierra se lanza hacia arriba una bola de masa
con una velocidad . Demostrar que alcanza una altura máxima igual a
donde es la aceleración debida a la gravedad.
Evaluación del aprendizaje
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA
Logotipo del
programa educativo
RÚBRICA
EVIDENCIA DE DESEMPEÑO
ACTIVIDAD
Nombre del alumno: Fecha:
Nombre de la asignatura: Ecuaciones diferenciales aplicadas.
Nombre del Profesor:
Unidad temática: Transformada de Laplace.
Tema: Transformada de Laplace e inversa, traslación y fracciones parciales funciones de fuerzas continuas por partes.
Criterio NIVEL DE DESEMPEÑO
Excelente (10) Bueno (8) Suficiente (7) Insuficiente(5) Puntuación
160
Evaluación de la actitud, desempeño y producto (proyecto final).
Comprende los
conceptos de la
transformada de
Laplace y la
transformada inversa.
Relaciona los
conceptos de
transformada de
Laplace y
transformada inversa
de Laplace con
ejercicios prácticos de
la vida real.
Interpreta la
transformada e
inversa de Laplace.
Aplica las fórmulas
básicas en la
solución de
transformadas de
Laplace y
transformadas
inversas de
Laplace. .
Presenta deficiencias
técnicas en la
aplicación de la
transformada e inversa
de Laplace.
Comprende el método
de solución de una
trasformada de
Laplace y
transformada inversa
de Laplace.
Muestra gran
habilidad y destreza
en la identificación del
método de solución
de la transformada de
Laplace considerada.
Identifica el método
de solución de la
transformada de
Laplace.
Interpreta la
parcialidad de los
diferentes métodos
de solución de la
transformada de
Laplace.
No identifica el método
de solución de la
transformada de
Laplace según
corresponda.
Examina los sistemas
mecánicos y
eléctricos, mediante la
transformada de
Laplace.
Identifica con facilidad
la analogía entre el
modelo matemático
del sistema y su
aplicación real.
Resuelve los sistemas
matemáticos y
eléctricos utilizando la
transformada de
Laplace.
Presenta
dificultades de
interpretación de
sistemas y su
relación con el
entrono además de
su solución.
Las bases sobre
conocimientos
mecánicos y eléctricos
son endebles, por
tanto no resuelve los
sistemas de aplicación.
Predice el
comportamiento del
sistema mecánico o
eléctrico.
Muestra una gran
habilidad para
interpretar el
comportamiento de
fenómenos físicos
(electro-mecánicos)
del contexto.
Predice el
comportamiento de
sistemas mecánicos y
eléctricos de manera
analítica, más no
contextual.
Muestra
dificultades en la
interpretación de
sistemas
mecánicos y
electicos.
Los conocimientos
previos no son
suficientes para la
interpretación y
solución de sistemas
mecanico-electricos.
Puntuación Total
Observaciones:
Firma del profesor Firma del Alumno
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA Logotipo del
161
Alumnos:
Grupo:
Aspecto a evaluar Proyecto / Fecha de evaluación
Actitud
1.- Puntualidad
Los alumnos presentan el avance de
proyecto en tiempo y forma.
2. Trabajo colaborativo
El alumno participa activamente en su
equipo.
Respeta la opinión de sus compañeros.
3. Respeto
El trato hacia los demás es correcto y
respetuoso.
4. Limpieza y orden
El área de trabajo en el aula y talleres se
mantiene limpia y en orden al momento del
desarrollo del proyecto.
5. Compromiso
Los alumnos atienden las observaciones
realizadas por el asesor en el avance
programado.
6.- Equipo y herramientas Cuando se requiere del uso de los talleres
y/o laboratorios se utilizan bajo la supervisión
del asesor o encargado de laboratorio.
7.- Medidas de seguridad
Se siguen las medidas de seguridad en el
uso de máquinas-herramientas dispuesto en
el laboratorio pesado.
EVIDENCIA DE AVANCE DE PROYECTO
ACTIVIDAD
programa educativo
162
Desempeño
8.- Metodología para efectuar el proyecto. La realización del proyecto se fundamenta
en el seguimiento y aplicación de una
metodología bien definida.
9. Cumplimiento del cronograma de
actividades.
El equipo se apegó a la programación
dispuesta en el cronograma de actividades
cuatrimestral.
10. Mejora continua.
Se atendieron las observaciones y
recomendaciones derivadas de las
revisiones de proyecto programadas.
Producto
11. Presentación del proyecto.
El proyecto final se concluyó en tiempo y
forma atendiendo una necesidad del
contexto.
12. Prototipo en funcionamiento.
El prototipo cumple con la función para la
cual fue diseñado y construido.
Resultado
Se recomienda dictaminar C (competente)
cuando se tengan al menos 10 valores C en
la columna.
Observaciones:
Nombre y firma del evaluador
163
UNIDAD TEMÁTICA V
Series de Fourier.
Objetivo de la unidad
El alumno utilizará las series de Fourier en el modelado y análisis de problemas
relacionados con el mantenimiento industrial, en particular en estudios de calidad de la
energía y vibraciones, mediante la comprensión de los conceptos básicos.
Resultados de aprendizaje
Realizará estudios de generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica,
análisis de comportamiento armónico de señales y estudios de respuesta en el tiempo
de una variable de circuitos eléctricos aplicando las series de Fourier en aspectos
relacionados con el mantenimiento.
Secuencia de aprendizaje
1.- Comprender los conceptos de las series de Fourier.
2.- Analizar la aplicación de las series de Fourier en problemas relacionados con
mantenimiento (vibraciones).
Instrumentos y tipos de reactivos
Ejercicios prácticos.
Lista de verificación.
Tema 5.1
Funciones ortogonales.
Saber: Explicar el concepto de ortogonalidad de la función.
Saber hacer: Resolver problemas definiendo la ortogonalidad de la función en
el intervalo y por medio de la integral de la función de peso indicada.
Ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
164
Introducción
Las perturbaciones y oscilaciones periódicas desempeñan un papel importante
en una gran cantidad de áreas de la ciencia y la ingeniería. Por ejemplo el
movimiento de un péndulo en un campo gravitacional, el de los cuerpos
celestes y las oscilaciones en un circuito eléctrico. Las oscilaciones que viajan
por el espacio se conocen con el nombre genérico de movimiento de onda.
Algunos ejemplos relacionados con este tipo de movimiento son las olas en la
superficie de la alberca, las ondas de sonido y las vibraciones transversales de
una cuerda.
Para definir una función a través de una serie de Fourier, se requiere tener
presentes algunos conceptos, tal es el caso de lo que son las funciones
ortogonales.
Funciones ortogonales (definición)
Sean y dos funciones de valor real que están definidas en un
intervalo y son tales que la integral del producto existe
sobre ese intervalo, es decir:
Existe. Entonces se dice que las funciones son ortogonales en el intervalo
si:
(1)
Por ejemplo, las funciones y son ortogonales en el
intervalo porque:
Ejemplo 5.1.1 Demostrar si las funciones y son
ortogonales en el intervalo .
165
Solución:
Por lo tanto se trata de un par de funciones ortogonales.
Ejemplo 5.1.2 Demostrar si las funciones y son
ortogonales en el intervalo .
Solución.
La solución de la integral está definida para el caso cuando y otro para
.
Caso I: Si
Para evaluar la integral se hace uso de la identidad trigonométrica:
Observes que si
y
Para y enteros.
Caso II: Si
Para evaluar la integral se hace uso de la identidad trigonométrica:
166
Dado que la definición de ortogonalidad solo requiere que se cumpla
para que la integral sea cero, por tanto, se trata de un par de funciones
ortogonales.
Ejercicios
1.- Demostrar si las funciones y son ortogonales en el
intervalo .
2.- Demostrar si las funciones ,
, son ortogonales en el intervalo .
Tema 5.2
Series de Fourier
Saber: Explicar el teorema de convergencia de una serie de Fourier.
Saber hacer: Solucionar problemas relacionados con la convergencia de una
serie en intervalos dados.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
Introducción
La obtención de la serie de Fourier de una función representa una gran
importancia en la solución de ecuaciones diferenciales parciales, ya que la
167
solución de una ecuación diferencial, con el método de variables separables,
produce una función, que es una serie de Fourier.
Definición de una serie de Fourier.
Sea una función que satisface las siguientes condiciones:
1.- está definida en el intervalo .
2.- y son continuas seccionalmente en .
3.- , es decir, es periódica con periodo .
Entonces en cada punto de continuidad se tiene que:
(1)
Donde:
(2)
(3)
(4)
En un punto de discontinuidad el miembro izquierdo de se remplaza por
, es decir, el valor medio de la discontinuidad.
La serie (1) en la cual los coeficientes están dados por (2), (3) y (4) se llama la
serie de Fourier de . En muchos ejercicios de series de Fourier se tiene
que vale o . Si , tiene periodo y las ecuaciones anteriores
de pueden simplificar. Las condiciones hasta aquí enunciadas, se le conocen
como condiciones de Dirichlet y son condiciones suficientes (pero no
necesarias) para la convergencia de una serie de Fourier.
Ejemplo 5.2.1 Obtener la representación en serie de Fourier de la función
en el intervalo .
Solución:
168
La gráfica de la función se muestra en la figura 5.2.1.
Figura 5.2.1 Gráfica de la función
La serie de Fourirer está dada por la ecuación (1):
Se utilizan las ecuaciones (2), (3) y (4) para el cálculo de y , se tiene:
Resolviendo por partes:
169
Resolviendo por partes:
dado que
Finalmente sustituyendo los valores obtenidos en la serie de Fourier:
Ejemplo 5.2.2 Obtener la representación en serie de Fourier de la función
definida a trozos, en el intervalo .
Solución:
Considerando la serie de Fourier:
y determinando las constantes y
, y puesto que se trata de una función definida a trozos, se dividen la
ecuaciones en esos dos intervalos de la siguiente manera:
170
Sustituyendo en la serie de Fourier se tiene:
Ejercicios.
1.- Obtener la representación en serie de Fourier se la siguiente función
definida a trozos, en el intervalo
2.- Obtener la representación en serie de Fourier de la función en el
intervalo .
3.- Obtener la representación en serie de Fourier de la función en el
intervalo .
4.- Obtener la representación en serie de Fourier de la función en el
intervalo .
5.- Obtener la representación en serie de Fourier se la siguiente función
definida a trozos, en el intervalo
171
6.- Obtener la representación en serie de Fourier de la función en el
intervalo .
7.- Obtener la representación en serie de Fourier de la función
en el intervalo .
8.- Obtener la representación en series de Fourier de cada una de las
funciones dadas por las gráficas que se muestra a continuación, en el intervalo
. a)
1
b)
c)
172
d)
Convergencia de las series de Fourier
Sea una función continua definida a trozos en , y un punto de
discontinuidad. Si y las derivadas izquierda y derecha de en
existen, la serie de Fourier de en , converge en a:
(1)
Donde es el límite de cuando se aproxima a por la izquierda y
es el límite de cuando se aproxima a por la derecha. Ver
figurara 5.2.2.
173
Figura 5.2.2 Convergencia de la serie de Fourier
Ejemplo 5.2.3 Obtener la representación en serie de Fourier de la siguiente
función definida a trozos, en el intervalo . Graficar la representación en
serie de Fourier a que converge la función.
Solución:
La serie de Fourier está dada por y la
gráfica de la función tiene la forma que se muestra en la figura 5.2.3.
- 4
1
Figura 5.2.3 Función definida a trozos.
Cálculo de coeficientes:
174
De esta manera la serie de Fourier queda definida por:
Para el caso de la discontinuidad se tiene que la serie converge a:
Entonces la gráfica de la función a la cual converge la serie está dada por la
figura 5.2.4.
- 4
1
Figura 5.2.4 Convergencia de la función.
Ejercicios.
Obtener la serie de Fourier en cada una de las siguientes funciones, e indicar
los puntos de discontinuidad en caso de que existan. Dibujar la gráfica a al cual
converge la serie.
1.-
175
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
Tema 5.3
Series de Fourier de senos y cosenos.
Saber: Explicar los conceptos y propiedades matemáticas de las funciones
pares e impares.
Saber hacer: Resolver problemas de las series pares e impares por medio de
las series de senos y cosenos.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
Funciones pares e impares.
Recordando de los cursos de Geometría Analítica; se dice que una función
es impar cuando . Así, son
funciones impares. Por otro lado, se dice que una función es par cuando
. Así, son funciones pares.
Las funciones que se muestran en la figura 5.3.1 a y b, son impar y par
respectivamente.
176
a)
b)
Figura 5.3.1 Funciones par (a) e impar (b)
Ejemplo 5.3.1 Indicar si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna
de las dos opciones. .
Solución:
Para determinar si es par o impar se evalúa , así:
Por lo tanto se trata de una función impar. Se deja al educando graficar la
función.
Ejercicios.
Indicar si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos
opciones.
1.-
2.-
177
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
Series de Fourier de funciones pares e impares
a) La serie de Fourier de una función par, en el intervalo de se calcula
con la serie de cosenos:
Con:
y
b) La serie de Fourier de una función impar, en el intervalo de se calcula
con la serie de senos:
Con:
Ejemplo 5.3.2 Hallar la serie de Fourier de la siguiente función en el intervalo
de y dibujar su gráfica. , ver figura 5.3.2.
Solución:
178
Se verifica si la función es par o impar. , como
, por lo tanto se trata de una función par, lo cual se puede
verificar también con la grafica de la función, la cual presenta simetría respecto
al eje .
Figura 5.3.2 Gráfico de la función
Por tratarse de una función par, se consideran las fórmulas de (a).
Por tanto, la serie de Fourier toma la forma:
Desarrollo de una serie de cosenos.
Ejemplo 5.3.3 Hallar la serie de Fourier de la siguiente función en el intervalo
de . .
Solución:
179
Hacienda que la función presente un comportamiento par en el intervalo de
, por lo que los coeficientes , y la serie se estima con las
ecuaciones de .
Entonces la serie de Fourier toma la forma:
Desarrollo de una serie de senos.
Ejemplo 5.3.4 Hallar la serie de Fourier de la siguiente función en el intervalo
de . .
Solución:
Hacienda que la función presente un comportamiento impar en el intervalo de
, por lo que los coeficientes , y la serie se estima con las
ecuaciones de .
180
Y la serie de Fourier toma la forma:
Ejercicios.
Obtener la serie de Fourier de las siguientes funciones.
1.- en el intervalo .
2.- en el intervalo de .
3.- en el intervalo de .
4.- en el intervalo de .
Obtener el desarrollo en serie de Fourier de las funciones representadas en las
siguientes gráficas, considerar las simplificaciones que se pueden efectuar si la
función es par o impar.
5.-
6.-
181
7.-
8.-
Obtener la serie de Fourier de las siguientes funciones, en el intervalo que se
indica.
9.- en el intervalo de .
10.- en el intervalo .
11.-
12.-
13.- en
14.- en
182
Tema 5.4
Aplicaciones.
Saber: Explicar las aplicaciones de las series de Fourier en el área
electromecánica.
Saber hacer: Modelar y analizar aplicando las series de Fourier en las
vibraciones mecánicas.
Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.
Introducción
La aplicación y la flexibilidad que tienen las series de Fourier se ponen de
manifiesto en el gran número de ramas del conocimiento matemático y físico,
desde teoría de números y geometría, hasta mecánica cuántica. Además de
ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. A
continuación se citan algunas áreas de su aplicación: en la electrónica y la
mecánica (análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y
señales, y comprensión de datos). En ingeniería para el caso de los sistemas
de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de
frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para
la señal portadora del mismo a través del uso de un analizador de espectros.
Considerando primero el movimiento de una masa sujeta a un resorte cuya
constante Hooke es , bajo la influencia de una fuerza externa periódica ,
como se muestra en la figura 5.4.1. Su desplazamiento a partir del equilibrio,
, satisface la ecuación diferencial:
(1)
La solución general de la ecuación (1) es de la forma:
(2)
183
Figura 5.4.1 Sistema masa-resorte con fuerza externa.
Donde es la frecuencia natural del sistema y es una solución
particular de la ecuación (1). Los valores y se determinarán mediante las
condiciones iniciales. Se pretende usar la serie de Fourier para encontrar una
solución particular periódica de la ecuación (1). Se designará como solución
periódica estacionaria
Suponiendo por simplicidad que es una función impar de periodo , por lo
que la serie de Fourier tendría la forma:
(3)
Si para algún entero positivo , se puede determinar una solución
periódica estacionaria de la forma:
(4)
Sustituyendo las series (3) y (4) en la ecuación (1) para encontrar los
coeficientes de la ecuación (4). El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento.
Ejemplo 5.4.1 Se tiene un sistema masa-resorte con y
que es una fuerza periódica impar cuyo periodo es de , y que está
definida para un periodo mediante:
Encontrar el movimiento periódico estacionario .
Solución:
k
m
X(t)
F(t)
184
Recordando para una función impar se tiene para todo y
está definida por:
Sustituyendo esta serie
Considerando los valores de , se obtiene
Igualando los coeficientes de los términos semejantes, se obtiene:
para impar.
.
Ejemplo 5.4.2 Se tiene un sistema masa-resorte con y
que es una fuerza periódica impar cuyo periodo es de , y que está
definida para un periodo mediante:
a)
b)
Solución:
a) La frecuencia natural es y la serie de Fourier está definida por:
Puesto que la serie no contiene el término , no ocurre la resonancia.
b) En este caso, la serie de Fourier es:
La resonancia pura se presenta debido a la presencia del término .
185
Ejemplo 5.4.3 Encontrar una solución periódica estacionaria de la ecuación
diferencial . Donde es la función de periodo , con
para y la serie de Fourier: .
Solución:
Sustituyendo la serie y a en la ecuación diferencial se
obtiene:
Igualando los coeficientes de los términos semejantes y resolviendo para , se
obtiene la solución periódica estacionaria solicitada:
Ejemplo 5.4.4 Supóngase que
y es una
función impar de periodo con Encontrar el
movimiento periódico estacionario .
Solución:
Se determina que la serie de Fourier de es:
Considerando la serie para la condición periódica estacionaria, se tiene:
186
Donde y es el ángulo determinado por , que está definido por:
Así, para par, para impar y sustituyendo en la
condición periódica estacionaria.
Con
Ejercicios.
Encontrar alguna solución periódica estacionaria de cada una de las siguientes
ecuaciones diferenciales.
1.- Si , en donde es la función de periodo tal que
.
2.- donde es la función par de periodo y tal que
.
3.- en donde es la función impar de periodo con
.
En los siguientes ejercicios, la masa y la constante del resorte , han sido
dadas para un sistema masa-resorte. Determinar si ocurre o no resonancia
pura o no bajo la influencia de la fuerza externa periódica .
4.- ; es la función impar de periodo con para
.
5.- ; es la función impar de periodo con para
.
6.- ; es la función par de periodo con para
.
En cada uno de los ejercicios siguientes se han dado los valores de
para un sistema amortiguado masa-resorte. Encontrar el movimiento periódico
187
estacionario de la masa bajo la influencia de una fuerza externa . Además
calcular los coeficientes y ángulos de fase para los tres primeros términos no
nulos.
7.- en donde es la función de periodo tal que
.
8.- en donde es la función impar de periodo con
.
9.- en donde es la función de periodo tal que
.
10.- Suponer un sistema amortiguado forzado masa-resorte con ,
. La fuerza externa es una función de periodo , tal
que para y para . Encontrar.
a) La solución periódica estacionaria de la forma .
b) La ubicación de la masa cuando .
Aplicaciones en señales
El procesamiento de señales es el procesamiento, amplificación e
interpretación de señales. Las señales pueden proceder de diversas fuentes.
Hay varios tipos de procesamientos de señales, dependiendo de la naturaleza
de las mismas.
Procesamiento de señales digitales, para señales digitalizadas. El proceso se
hace mediante circuitos digitales, microprocesadores y ordenadores.
Procesamiento de señales analógicas, para señales no digitalizadas.
Procesamiento de señales de audio, para señales eléctricas que representan
sonidos.
Procesamiento de señales de voz, para analizar señales de voz humana.
Procesamiento de señales de video, para interpretar movimientos en escenas.
Procesamiento de matrices, ordenación rectangular de elementos.
Ejemplo 5.4.5 Se tienen tres señales de audio cuyas representaciones en
series de Fourier son las siguientes:
188
Determinar si cada una de ellas es real y par.
Solución:
Si el coeficiente entonces los exponenciales negativo y positivo
se sumarán para producir una componente real. Por lo tanto y son
reales, mientras que no lo es.
Por otra parte, para que la señal sea real solo deben permanecer los cosenos
(parte real de los exponenciales), por lo tanto , y esto solo se
cumple para .
Ejemplo 5.4.6 Considerar un circuito RLC, donde R, L, y C son constantes
positivas, y que la carga en el condensador satisface la ecuación
diferencial . Si tiene un periodo de en el
intervalo , determinar la serie de Fourier de la función .
Solución:
Sea en
Considerando que la ecuación diferencial tiene una solución en el intervalo
definido se tiene:
y
Donde los valores de han de calcularse y los de se conocen, pues se da
. Con las condiciones iniciales de intervalo dadas y la derivación término a
término se tiene:
y
189
Sustituyendo las series de Fourier para
, donde
Puesto que es una base, se deduce entonces que
pero de modo
que para todo Se tiene:
Con ello se demuestra que el circuito RLC tiene una respuesta periódica única
para un voltaje de entrada periódico . La respuesta se conoce
como oscilación forzada periódica.
Ejercicios.
1.- Si , determinar la serie de
Fourier de cada una de las señales.
2.- encontrar la carga de estado estacionario en el condensador de un circuito
RLC, si , medida en volts.
Evaluación del conocimiento. Parcial #4
1.- ¿Cuál de las siguientes definiciones corresponde a la definición de serie de
Fourier?
a) Expresión de valor real cuya integral del producto de dos funciones existe
sobre un intervalo dado.
b) Magnitud de un vector que puede ser expresado en términos de su producto
interno.
c) Es aquella función que al multiplicarla por , ésta no se ve alterada, es
decir;
d) Función periódica y continua, que está definida en un intervalo dado.
2.- Expresión que corresponde a una serie infinita de Fourier.
a)
190
b)
d)
3.- Son dos condiciones suficientes para que una función se considere par.
a) Si y además presenta simetría respecto al plano cartesiano.
b) Si y además presenta simetría respecto al plano cartesiano.
c) Si y además es discontinua en el intervalo
d) Si y además es continua en el intervalo
4.- Desarrollar y graficar en serie de Fourier si a) el
periodo es , b) el periodo no se especifica.
b) Si el periodo no se especifica, no es posible determinar unívocamente la
serie de Fourier en general.
5.- Hallar a) la transformada finita de seno de y b) la transformada finita de
coseno de Fourier de la función .
a) b)
6.- En el circuito eléctrico de la figura se tienen los siguientes datos:
E
191
Si la carga del condensador y las corrientes son nulas en hallar la
carga del condensador en cualquier tiempo
7.- Supóngase que para , la masa de la figura, está en reposo en su
posición de equilibrio . Considere además que súbitamente se le aplica
una fuerza que le comunica una velocidad instantánea dirigida hacia la
derecha, fuerza que luego se retira. Obtener el desplazamiento de la masa de
su posición de equilibrio es en cualquier tiempo
8.- Desde la superficie de la tierra se lanza hacia arriba una bola de masa
con una velocidad . ¿Cuál será la altura máxima que alcanza
la bola?
Evaluación del producto.
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA
Logotipo del
programa educativo
RÚBRICA
EVIDENCIA DE DESEMPEÑO
ACTIVIDAD
Nombre del alumno: Fecha:
Nombre de la asignatura: Ecuaciones diferenciales aplicadas.
Nombre del Profesor:
Unidad temática: Series de Fourier.
Tema: Transformada de Laplace e inversa, traslación y fracciones parciales funciones de fuerzas continuas por partes.
Criterio NIVEL DE DESEMPEÑO
Excelente (10) Bueno (8) Suficiente (7) Insuficiente(5) Puntuación
Relaciona el concepto
de dos funciones
ortogonales con la
apelación en sistemas
motrices.
Interpreta el
concepto de
ortogonalidad de
funciones a través de
una aplicación real.
Interpreta la
ortogonalidad de
funciones.
Aplica la definición
de ortogonalidad
de funciones.
Presenta deficiencias
en la interpretación de
la ortogonalidad de
funciones.
Aprende la serie de
Fourier, así como su
convergencia en
sistemas mecánicos-
eléctricos.
Muestra gran
habilidad y destreza
en la interpretación,
aplicación y definición
de la serie y
convergencia de
Fourier.
Soluciona ejercicios
referentes a la
convergencia de
series a trozos.
Interpreta la
convergencia de
series a trozos.
No identifica el
planteamiento y
solución de ejercicios
de convergencia.
Explica y diferencia de
manera teórico-
práctica las funciones
pares e impares.
Identifica con facilidad
los conceptos y
propiedades de las
funciones par e impar,
así como su solución
e interpretación
gráfica.
Resuelve los ejercicios
referentes a funciones
par e impar en una
aplicación presentada.
Presenta
dificultades de
interpretación y
solución ejercicios
de funciones par e
impar.
Las bases conceptuales
y resolutivas de
funciones par e impar
no son claras.
192
Evaluación de la actitud, desempeño y producto (proyecto final)
Presentación).
Alumnos:
Grupo:
Aspecto a evaluar Proyecto / Fecha de evaluación
Presenta proyecto
final concluido y
validado sobre una
aplicación integral que
involucre la serie de
Fourier.
Muestra una gran
habilidad para
interpretar el
comportamiento de
fenómenos físicos
(electro-mecánicos)
del contexto
relacionado con el
mantenimiento.
Predice el
comportamiento de
sistemas mecánicos y
eléctricos de manera
analítica, más no
contextual.
Muestra
dificultades en la
interpretación de
sistemas
mecánicos y
eléctricos.
Los conocimientos
previos no son
suficientes para la
interpretación y
solución de sistemas
mecánico-eléctricos.
Puntuación Total
Observaciones:
Firma del profesor Firma del Alumno
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA
Logotipo del
programa educativo
EVIDENCIA DE AVANCE DE PROYECTO
ACTIVIDAD
193
Actitud
1.- Puntualidad Los alumnos presentan el avance de
proyecto en tiempo y forma.
2. Trabajo en equipo
El alumno participa activamente en su
equipo.
3. Respeto
El trato hacia los demás es correcto y
respetuoso.
4. Limpieza y orden
El área de trabajo en el aula y talleres se
mantiene limpia y en orden al momento del
desarrollo del proyecto.
5. Compromiso
Los alumnos atienden las observaciones
realizadas por el asesor en el avance
programado.
6.- Equipo y herramientas Cuando se requiere del uso del los talleres
y/o laboratorios se utilizan bajo la supervisión
del asesor o encargado de laboratorio.
7.- Medidas de seguridad
Se siguen las medidas de seguridad en el
uso de máquinas-herramientas dispuesto en
el laboratorio pesado.
Desempeño
8.- Metodología para efectuar el proyecto. La realización del proyecto se fundamenta
en el seguimiento y aplicación de una
metodología bien definida.
9. Cumplimiento del cronograma de
actividades.
El equipo se apegó a la programación
dispuesta en el cronograma de actividades
cuatrimestral.
10. Mejora continua.
Se atendieron las observaciones y
recomendaciones derivadas de las
revisiones de proyecto programadas.
Producto
11. Presentación del proyecto.
El proyecto final se concluyó en tiempo y
forma atendiendo una necesidad del
contexto relacionado con el mantenimiento.
194
12. Prototipo en funcionamiento.
El prototipo cumple con la función para la
cual fue diseñado y construido.
Resultado
Se recomienda dictaminar C (competente)
cuando se tengan al menos 10 valores C en
la columna.
Observaciones:
Nombre y firma del evaluador
195
ANEXO 1
Tabla de fórmulas de derivación
1.- derivada de una constante.
2.- derivada de un monomio a la .
3.- derivada de un polinomio a la .
4.- derivada de la suma.
5.- derivada del producto.
6.- derivada del producto de una constante por variable
7.- derivada de la división.
8.- derivada de la razón constante entre variable.
10.- derivada de la razón variable entre constante.
11.-
12.-
13.-
14.-
15.-
16.-
17.-
18.-
19.-
20.-
21.-
196
22.-
23.-
24.-
25.-
26.-
27.-
ANEXO 2
Tabla de integrales indefinidas.
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
11.-
12.-
13.-
14.-
197
15.-
16.-
17.-
18.-
19.-
20.-
21.-
22.-
23.-
24.-
ANEXO 3
Tabla de soluciones particulares propuestas para ecuaciones diferenciales con
coeficientes indeterminados.
Forma de Forma tentativa de
a) (constante) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m)
200
ANEXO 6
EXAMEN DE DOBLE OPCIÓN Considera los dos primeros niveles del pensamiento crítico (conocimiento y comprensión), está integrado por preguntas, aseveraciones incompletas o definiciones de conceptos con cuatro opciones de respuestas y un nuevo elemento indicado por un número romano, que se emplea para justificar la respuesta elegida.
Ejemplo A:
Ecuación diferencial se define como:
a) Expresión algebraica que involucra integrales finitas.
b) Es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto a
una o más variables independientes.
c) Ecuación con variables de primer grado dependientes e independientes.
d) Función definida en un intervalo dado y que tiene al menos n derivadas
continuas en ese intervalo.
Las razones son:
I)
II)
Ventajas
Permite que los estudiantes hagan un esfuerzo argumentativo para describir convincentemente por qué eligieron una respuesta determinada.
Evita la adivinación o respuesta azarosa que caracteriza la selección de respuestas en estos exámenes.
Resulta favorable para el desarrollo de habilidades de análisis, argumentación y reflexión.
Diseño y Análisis de Casos en formato de Opción Múltiple, con doble Respuesta.
201
Desde el diseño de reactivos de doble opción, se pueden trabajar, en lugar de conceptos, casos más completos que permitan al estudiante, decidir sobre las posibles soluciones al problema mismo, propiciando la aplicación de los tres últimos niveles del pensamiento crítico (análisis, síntesis y evaluación) siguiendo el esquema de trabajo anterior. Así, el maestro puede documentar casos que ha resuelto en su práctica profesional en el área de mantenimiento industrial, para proponerlos a sus estudiantes como casos de estudio y análisis.
Ejemplo B (diseño de casos):
En Quesos la Rosita se hace una gran variedad de productos lácteos de
calidad, para ello es fundamental contar con una caldera para la generación de
vapor utilizado en los diferentes procesos de producción de queso.
Sin embargo, la caldera ha sufrido desperfectos continuos desde hace más de
un año, provocando con ello constantes paros en la producción de queso hasta
que el especialista es llamado de Irapuato para programar su visita y repararla.
Desafortunadamente el técnico regresa de un curso en 20 días más.
La caldera es producto del armado de componentes de otras calderas, es decir,
“hechiza”. El dueño está preocupado por los constantes paros de producción
por fallas en la caldera, y solo restan 15 días para cubrir los pedidos de sus
clientes potenciales, así como la llegada del periodo de ventas fuertes.
Preguntas generales
¿Cuáles son los componentes críticos de la caldera? ¿Existe un historial operativo del equipo? ¿Cuáles son las razones de no contar con un operario capacitado en
Quesos la Rosita? ¿Se ha analizado la posibilidad de adquirir otra caldera?
Descripción del
caso.
Componentes
críticos.
Historial
operativo.
Operario
capacitado.
a) a) a)
b) b) b)
c) c) c)
Alternativas de solución
Razones para decidir por la opción de componentes críticos.
Razones para decidir por la opción de historial operativo.
Razones para decidir por la opción del operario capacitado.
202
I) I) I)
II) II) II)
III) III) III)
Soluciones documentadas
Esta forma de evaluación considera principalmente los niveles del pensamiento crítico (aplicación y análisis), ya que concierne a la interrelación de principios y generalizaciones con casos particulares o prácticos, a través de la división de un todo en sus partes.
1ª Parte: Se pide a los estudiantes que, de forma individual, resuelvan un problema y anoten todos los pasos que vayan siguiendo. 2ª Parte: A continuación, se intercambia el protocolo generado y se intenta seguir los pasos dados por el autor para resolver el problema. Una vez usada, esta técnica puede ampliarse y desarrollarse por pares o por grupos de tres o más participantes. Éste último aspecto depende de la meta de aprendizaje propuesta.
Ejemplo C:
Problema de aplicación (ejercicio) Pasos seguidos
Resolver la siguiente ecuación diferencial exacta.
.
Solución: 1.-
2.-
Como , se trata de una
ecuación diferencial exacta.
3.-
.
4.-
.
5.-
1.- Aplicando la condición necesaria
y suficiente para que:
sea exacta,
es que:
2.- , es decir
3.- Para satisfacer la suficiencia del
paso (2) considerar:
, donde
denota una integración con
respecto a manteniendo a
constante, y es la constante
arbitraria de integración.
4.- Ya que ,
203
6.-
7.-
.
5.- Considerar .
6.- Se sustituye el valor de en el
paso #3.
7.- Solución: .
Ventajas
Permite evaluar el proceso de solución y la forma de documentar el proceso que se siguió para llegar a la solución, así, en la segunda parte de la técnica, se prueba el método a seguir, ya que debería llevarnos a la solución.
Apoya el desarrollo de habilidades del pensamiento, organización de soluciones a problemas de aplicación y ejercicios.
Permite el desarrollo de habilidades para colaborar, y fomenta la metacognición del estudiante.
Evaluación de las Actitudes y Disposiciones de Aprendizaje.
El docente debe decidir de forma individual y colegiada (primero una y luego cotejar con la otra), qué disposiciones de aprendizaje valorará en la asignatura para poder incluirlas en las actividades de aprendizaje integral en lo que al saber ser refiere.
Para lo anterior, debe tener en cuenta que cada disposición consta de tres aspectos básicos: habilidades, inclinación y sensibilidad para la ocasión.
Estar dispuesto a actuar de forma específica involucra ser competente para hacerlo y considerar cuándo es apropiado hacerlo.
Disposiciones de acuerdo con algunos autores: Bonfenbrenner: Describe la competencia educativa en términos de la
disposición para pensar, persistir en la tarea, dar opiniones y contribuir con ideas al trabajo colaborativo.
Goleman: Incluye la disposición en términos de confianza, curiosidad,
intencionalidad, autocontrol, comunicación y cooperación. Claxton: Determina las disposiciones importantes en la capacidad para
aprender a la curiosidad, selectividad, resistencia, experimentación, reflexión y búsqueda de oportunidades de aprendizaje.
Ejemplo D:
Disposiciones Actividades Criterios de evaluación
Persistencia Solución de problemas en Que intente solucionar el
204
la comprensión de temas difíciles.
problema y se mantenga en la actividad hasta resolverlo.
Flexibilidad En la solución de problemas, en el desarrollo de proyectos, en el trabajo colaborativo, en proyectos de investigación.
Intentar varias formas o métodos de solución al problema de manera gráfica, algorítmica, geométrica o aritmética.
Curiosidad En actividades de investigación.
Que el estudiante se oriente a encontrar el tema, indagar, cuestionar, preguntar y reflexionar sobre lo investigado.
Por ejemplo se recomienda aplicar éste tipo de instrumento como parte complementaria en la evaluación conjunta en la realización de prácticas en laboratorios y/o talleres, dinámicas grupales y proyectos de fin de cuatrimestre. Ventajas
Permite evaluar al estudiante no sólo por sus conocimientos, sino
también por su desempeño de la actividad y por la medida en que ésta contribuya al desarrollo de disposiciones de aprendizaje, importantes para la formación integral.
Comentario Las técnicas e ideas analizadas, permiten al docente explorar los procesos de pensamiento de sus estudiantes, así como imprimir a las clases un tono más lúdico y creativo. Además, permiten incluir al alumno en ejercicios de colaboración, reto intelectual y sistematización de los procesos que siguen para resolver problemas y fomentar el aprendizaje a lo largo de la vida.
La evaluación del aprendizaje es, en sí misma, una oportunidad que requiere de un maestro dispuesto a intentar actividades de mayor colaboración, es decir, un desafío intelectual que permita adquirir habilidades de razonamiento y una comprensión profunda, desarrollando al mismo tiempo, habilidades de aprendizaje autónomo, además de contribuir con el fortalecimiento en la aplicación del pasamiento crítico en sus seis niveles taxonómicos. ANEXO 7
PLAN CURRICULAR CUATRIMESTRAL
PROGRAMACIÓN CUATRIMESTRAL DE ASIGNATURA POR COMPETENCIAS
205
Asignatura ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS
Competencia
Genérica
DISEÑAR ESTRATEGIAS DE MANTENIMIENTO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE FACTORES HUMANOS, TECNOLÓGICOS,
ECONÓMICOS Y FINANCIEROS, PARA LA ELABORACIÓN Y ADMINISTRACIÓN DEL PLAN MAESTRO DE MANTENIMIENTO
QUE GARANTICE LA DISPONIBILIDAD Y CONFIABILIDAD DE PLANTA, CONTRIBUYENDO A LA COMPETITIVIDAD DE LA
EMPRESA.
Horas totales 75 Horas
teóricas 30
Horas
practicas 45 Semanas 15
Cuatrimestre
/Periodo
Unidad
Temática
I. Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Competen
cia del
Modulo
COMPRENDER QUE ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL, SU ORIGEN, SUS TIPOS, SU SOLUCIÓN Y SU INTERPRETACIÓN EN
PROBLEMAS DE INGENIERÍA, PARA MODELAR SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS MEDIANTE EL ESTUDIO DE CASOS.
Horas
Totales
10 Horas
teóricas
5 Horas
practicas
5 Sema
na
Resultado
de
aprendizaj
e (Tarea
integrador
a)
- Elaborará un mapa conceptual en el que identificará los tipos (orden, grado, linealidad, ordinaria/parcial) y aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales.
- Identificará las ecuaciones diferenciales.
- Comprenderá el proceso de verificación de soluciones de ecuaciones diferenciales.
- Aplicará los métodos de solución de ECD ordinarias expuestos.
TAREAS DEL CONOCIMIENTO SECUENCIA DIDACTICA EVALUACIÓN
RECURSOS
DIDACTICO
S
BIBLIOGRAFÍA
SABER HACER SER
PRESENCIA
LES CON EL
DOCENTE
AUTONOM
AS DEL
ESTUDIAN
TE
CRITERIO EVIDENCIA
TEMA 1:
DEFINICIO
NES Y
TERMINOL
OGÍA.
Describir
los
criterios de
clasificació
n de las
ecuaciones
diferencial
es.
Identificar
los tipos de
ecuaciones
diferencial
es, grado y
linealidad.
Comprobar
soluciones
de
ecuaciones
*
Responsabi
lidad
*
Puntualida
d
*
Proactivida
Apertura
A:
Presentaci
ón,
informació
n sobre el
modelo de
evaluación,
temario,
objetivos
temáticos.
Desarrollo
D:
Introducció
n,
definición
A:
Presentaci
ón y
expectativa
s del curso.
D:
Resolución
de
ejercicios
propuestos
en clase y
extra clase.
C:
Retroalime
ntación de
*Clasifica e
interpreta
adecuada
mente los
diferentes
tipos de
ECD.
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
en clase y
extra clase.
* Carpeta
de
evidencias.
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Manual
de
ecuaciones
diferencial
es
aplicadas.
* Zill Dennis G.
Ecuaciones
Diferenciales con
aplicaciones, México
DF, ED Ibero Ámerica.
*Ecuaciones
Diferenciales, Serie
Schaum, cuarta
edición, México 1990.
* www.ejercicios
ecd.com
* Edwards Jr. C.H. y
Penney David E.,
Ecuaciones
Diferenciales
elementales con
206
TEMA 2:
TEORIA DE
EXISTENCI
A Y
UNICIDAD.
Enunciar el
teorema
de
existencia
y unicidad.
TEMA 3:
PROBLEM
AS DE
VALOR
INICIAL Y
CONDICIO
diferencial
es.
Emplear el
teorema
de
existencia
y unicidad
en
soluciones
de
ecuaciones
.
d
*
Motivación
de una E.C
diferencial
(ECD),
clasificació
n de una
ECD según
su tipo,
orden y
linealidad.
Cierre C:
Ejercicios
propuestos
y su
relación
con
conocimien
tos previos.
A:
Reforzamie
nto,
gráfica de
una
función.
D:
Explicación
del
teorema de
existencia y
unicidad.
C.
Ejercicios
propuestos
.
A:
Reforzamie
nto y
aclaración
de dudas
conceptos.
A:
Comentari
os de
relación
conceptual
con
saberes
previos del
tema
anterior.
D:
Interpretac
ión de los
conceptos
prácticos
de
existencia
y unicidad.
C: Solución
de
ejercicios
propuestos
y su
relación
con la
geometría
analítica.
A:
Comentari
os de
relación
conceptual
con
*Interpreta
y relaciona
apropiada
mente los
conceptos
de
existencia
y unicidad
de una
función.
*
Desarrolla
e
interpreta
adecuada
mente las
condicione
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
en clase.
* Carpeta
de
evidencias.
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
en clase y
extra clase.
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Manual
de
ecuaciones
diferencial
es
aplicadas.
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
aplicaciones, México,
ED Prentice Hall.
* Isabel Carmona
Jover, Ecuaciones
Diferenciales, México
1998, Ed Pearson.
207
NES DE
FRONTERA
.
Describir
los
problemas
con valores
iniciales y
con
condicione
s de
frontera.
TEMA 4:
LAS
ECUACION
ES
DIFERENCI
ALES
COMO
MODELOS
MATEMÁT
ICOS.
Describir
los
modelos
de
sistemas
que
emplean
ecuaciones
diferencial
es.
Emplear
condicione
s iniciales
de frontera
en
soluciones
de
ecuaciones
.
Interpretar
los
modelos
de
sistemas
que
emplean
ecuaciones
diferencial
es.
del tema
anterior,
objetivo
del tema.
D:
Explicación
de valores
frontera en
la solución
e
interpretac
ión de ECD.
C: Solución
de
ejercicios
en clase.
A:
Reforzamie
nto: ¿Qué
es un
modelo
matemátic
o? ¿Cuáles
son sus
ventajas y
aplicacione
s en el
campo de
la física e
ingeniería?
D:
Planteamie
nto y
solución de
ejercicios
en el
pintarrón.
C:
Ejercicios
propuestos
(mini-
examen de
la unidad).
saberes
previos del
tema
anterior.
D:
Resolución
de
ejercicios
propuestos
en clase y
extra clase.
C:
Retroalime
ntación
conceptual
de los
valores de
frontera en
el
problema
del valor
inicial.
A:
Interpretac
ión y
definición
de modelo
matemátic
o y su
aplicación
en cursos
previos.
D:
Aclaración
de dudas
en el
planteamie
nto y
solución de
ejercicios
propuestos
.
C:
Resolución
de
ejercicios
propuestos
en mini
examen
por
parejas.
s de
frontera en
la solución
de ECD.
* Utiliza y
aplica
apropiada
mente los
métodos
para la
solución de
ECD
ordinarias.
Así como
su
importanci
a en la
interpretac
ión de
fenómenos
físicos e
ingenieriles
.
* Carpeta
de
evidencias.
*
Realización
de
ejercicios
propuestos
por parejas
en el aula.
* Carpeta
de
evidencias.
cómputo.
* Manual
de
ecuaciones
diferencial
es
aplicadas.
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Manual
de
ecuaciones
diferencial
es
aplicadas.
208
.
Unidad
Temática.
II. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Competen
cia del
Modulo
DESARROLLAR LAS HABILIDADES PARA EL PLANTEAMINETO Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN, PARA SU APLICACIÓN A MODELOS RELACIONADOS CON LA INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO
INDUSTRIAL, MEDIANTE LAS TÉCNICAS BÁSICAS DE SOLUCIÓN Y EL USO DE SOFTWARE PARA MATEMÁTICAS.
Horas
Totales
15 Horas
teóricas
5 Horas
practicas
10 Sema
na
Resultado
de
aprendizaj
e (Tarea
integrador
a)
- Solucionará problemas orientados al mantenimiento, empleando las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
como: cinemática, circuitos eléctricos (RC, RL), enfriamiento y resistencia de materiales.
- Identificará los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
- Comprenderá el procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden relacionadas con
mantenimiento (circuitos RC y RL, dinámica, enfriamiento).
TAREAS DEL CONOCIMIENTO SECUENCIA DIDACTICA EVALUACIÓN
RECURSOS
DIDACTICO
S
BIBLIOGRAFÍA
SABER HACER SER
PRESENCIA
LES CON EL
DOCENTE
AUTONOM
AS DEL
ESTUDIAN
TE
CRITERIO EVIDENCI
A
TEMA 1:
ECUACION
ES DE
VARIABLES
SEPARABL
ES.
Explicar el
Resolver
*
Apertura
A:
Introducció
n a la
solución de
ECD por
variables
separables.
Desarrollo
A:
Derivación
de pasos
secuencial
es de
solución
por
variables
separables.
* Utiliza y
aplica
apropiadam
ente los
métodos
para la
solución de
ECD lineales
por el
método de
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
en clase y
extra
clase.
*
Portafolio
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo.
*Manual
209
proceso de
solución de
ecuaciones
de
variables
separables.
TEMA 2:
ECUACION
ES
EXACTAS.
Explicar el
proceso
de
solución
de
ecuacione
s exactas.
TEMA 3:
SOLUCIÓN
DE
ECAUCION
ES POR
SUSTITUCI
ÓN.
Explicar el
proceso
ecuaciones
de
variables
separables.
Resolver
ecuaciones
exactas.
Resolver
ecuaciones
Responsabi
lidad
*
Puntualida
d
*
Proactivida
d
*
Motivación
D:
Pasos
secuenciale
s de
solución de
ECD por
variables
separables.
Cierre C:
Ejercicios
propuestos
y su
relación
con
conocimien
tos previos.
A:
Reforzamie
nto y
aclaración
sobre el
método de
solución de
ECD por el
método de
variables
separables.
D:
Introducció
n al
método de
solución de
ECD por
ecuaciones
exactas.
C:
Aplicación
del método
de solución
de ECD.
A:
Diagnóstico
sobre la
solución de
ECD por
ecuaciones
exactas.
D:
Introducció
n al
método de
D:
Corroborac
ión de
solución de
ECD por el
método de
variables
separables.
C: Solución
de
ejercicios
de ECD por
variables
separables.
A:
Retroalime
ntación
sobre las
tareas
asignadas.
D:
Resolución
de
ejercicios
propuestos
en clase
aplicando
el método
de solución
expuesto.
C:
Ejercicios
propuestos
de la
aplicación
del método
(extra
clase).
A:
Autoanálisi
s sobre
bases
conceptual
es del
tema.
D: Solución
de
ejercicios
propuestos
variables
separables.
Así como su
importancia
en la
interpretació
n de
fenómenos
físicos e
ingenieriles.
* Utiliza y
aplica
apropiadam
ente los
métodos
para la
solución de
ECD lineales
por el
método de
ecuaciones
exactas.
* Identifica y
aplica las
reglas de
solución en
ECD por el
método de
sustitución.
de
evidencia
s.
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
(extra
clase) y
solución
de
ejercicios
en clase.
*
Portafolio
de
evidencia
s.
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
en clase y
extra
clase.
* Carpeta
de
evidencia
de
ecuaciones
diferencial
es.
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo.
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo.
,
210
de
solución
de
ecuacione
s por
sustitución
TEMA 4:
ECUACION
ES
LINEALES Y
DE
BERNOULL
I.
Explicar el
proceso
de
solución
de
ecuacione
s lineales
y de
Bernolli.
TEMA 5:
APLICACIO
NES DE LAS
ECUACION
ES
DIFERENCI
ALES
ORDINARI
AS DE
PRIMER
ORDEN.
Explicar las
aplicacione
s de
cinemática
de
mediante
sustitución.
Resolver
ecuaciones
lineales y
de Bernolli.
Resolver
modelos
de
sistemas
mecánicos
y eléctricos
que
requieren
de
solución de
ECD por
sustitución
C: Solución
secuencial
de ECD por
sustitución.
A:
Diagnóstico
sobre la
solución de
ECD por los
métodos
vistos.
D:
Introducció
n al
método de
solución de
ECD
lineales y
de
Bernoulli.
C:
Ejercicios
muestra
sobre ECD
lineales y
de
Bernoulli.
A:
Metodologí
a para la
selección
de un
proyecto
de
aplicación
contextual
(ingeniería
de
desarrollo).
D:
Presentaci
ón en
PowerPoint
de un
estudio de
caso
en equipos
de trabajo.
C:
Comparaci
ón de
resultados.
A:
Autoanálisi
s sobre
bases
conceptual
es y de
aplicación
de los
métodos
de solución
vistos.
D:
Identificaci
ón de
habilidades
en la
aplicación
de
soluciones
de ECD
lineales
por los
diversos
métodos
vistos.
C:
Aclaración
de dudas.
A:
Integración
de equipos
de trabajo
(cuatro
alumnos).
D: Mesas
de trabajo
en equipo
para la
identificaci
ón del
proyecto a
desarrollar
en el
cuatrimest
re como
función de
una
* Identifica y
aplica las
reglas de
solución en
ECD lineales
y de Bernolli
de manera
apropiada, al
igual que la
aplicación de
los métodos
de solución
vistos en la
unidad
temática.
.
* Identifica y
propone una
necesidad
contextual a
través del
seguimiento
de proyectos
previos o de
la iniciación
de nuevos
proyectos, a
través de la
experiencia
del grupo de
trabajo y
colaboración
del asesor.
* Establece
un plan de
s.
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
en clase y
extra
clase.
* Carpeta
de
evidencia
s.
*
Definició
n de
proyecto
y
cronogra
ma de
actividad
es
semanal.
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo.
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo
(cañón).
211
mecanismo
s y
circuitos en
serie RC y
RL.
ecuaciones
diferencial
es
(circuitos
RC, RL) ley
de
enfriamien
to, entre
otros.
.
surgido en
empresas
de la
región bajo
la
metodologí
a expuesta.
C:
Aclaración
de dudas y
comentario
s.
necesidad
identificad
a (o por
identificar)
en
empresas
del área de
influencia.
C: Proyecto
tentativo
propuesto.
trabajo bien
estructurado
para el
desarrollo y
presentación
final del
proyecto
seleccionado
al final del
cuatrimestre
.
212
Unidad
Temática
III.- ECUACIONES DIFERENCILAES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR
Competen
cia del
Modulo
DESARROLLAR LAS HABILIDADES PARA EL PLANTEAMIENTO Y LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR, APLICÁNDOLAS A MODELOS RELACIONADOS CON LA INGENIERÍA EN MANTENIMINETO
INDUSTRIAL, MEDIANTE ANÁLISIS DE LOS CASOS MÁS REPRESENTATIVOS, ASÍ COMO LA APLICACIÓN DE LOS
CONOCIMIENTOS EN EL DESRROLLO DEL PROYECTO DE FIN DE CUATRIMESTRE.
Horas
Totales
20 Horas
teóricas
10 Horas
practicas
10 Sema
na
Resultado
de
aprendizaj
e (Tarea
integrador
a)
- Solucionará problemas orientados al mantenimiento, aplicando las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior en
cinemática, circuitos eléctricos (RLC), enfriamiento y resistencia de materiales.
- Identificará los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.
- Resolverá ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.
- Analizará las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior relacionadas con mantenimiento
(circuitos RLC, sistemas amortiguados).
TAREAS DEL CONOCIMIENTO SECUENCIA DIDACTICA EVALUACIÓN
RECURSOS
DIDACTICO
S
BIBLIOGRAFÍA
SABER HACER SER
PRESENCIA
LES CON EL
DOCENTE
AUTONOM
AS DEL
ESTUDIAN
TE
CRITERIO EVIDENCIA
Unidad
Temática
IV.- TRANSFORMADA DE LAPLACE
Competen
cia del
Modulo
DESARROLLAR LAS HABILIDADES PARA EL PLANTEAMIENTO Y LA SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES A TRAVÉS DE TRASNFORMADAS DE LAPLACE, APLICÁNDOLAS A MODELOS RELACIONADOS CON
LA INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL, MEDIANTE LA COMPRENSIÓN DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS.
Horas
Totales
15 Horas
teóricas
5 Horas
practicas
10 Sema
na
Resultado
de
aprendizaj
e (Tarea
integrador
a)
- Solucionará ecuaciones diferenciales aplicadas al mantenimiento, aplicando la transformada de Laplace, en dinámica,
circuitos eléctricos (RLC), resistencias de materiales y fluidos.
- Comprenderá los conceptos de transformada directas e inversas de Laplace.
- Analizará las aplicaciones de la transformada de Laplace relacionadas con el mantenimiento industrial (sistemas
amortiguados).
213
TAREAS DEL CONOCIMIENTO SECUENCIA DIDACTICA EVALUACIÓN
RECURSOS
DIDACTICO
S
BIBLIOGRAFÍA
SABER HACER SER
PRESENCIA
LES CON EL
DOCENTE
AUTONOM
AS DEL
ESTUDIAN
TE
CRITERIO EVIDENCIA
TEMA 1:
DEFINICIÓ
N DE LA
TRASFOR
MADA DE
LAPLACE.
Explicar los
conceptos
de:
*Transfor
mada de
Laplace
*Linealidad
*Funciones
continuas
por tramos
*Existencia
de la
transforma
da de
Laplace.
TEMA 2:
TRANSFOR
MADA
INVERSA.
Explicar los
conceptos
de
transforma
da inversa
de Laplace.
Calcular
transforma
das de
Laplace
directas
(por
definición
y por
tablas).
Calcular
trasformad
as de
Laplace
inversas de
funciones
potenciales
,
exponencia
les y
trigonomét
ricas.
*
Responsabi
lidad
*
Puntualida
d
*
Proactivida
d
*
Motivación
Apertura
A:
Invitación a
la
participació
n en
congresos
y
seminarios
a través de
los
proyectos
desarrollad
os por los
educandos.
Desarrollo
D:
Definición
de
conceptos,
y
presentaci
ón de
formulas
para la
transforma
da de
Laplace...
Cierre C:
Ejercicios
propuestos
y su
relación
con
conocimien
tos previos.
Apertura
A:
Introducció
n al tema.
Desarrollo
D:
Definición
de
conceptos,
y
presentaci
ón de
A:
Considerac
ión de las
bases
emitidas
por
congresos
para su
posible
participaci
ón.
D:
Aprendizaj
e sobre la
aplicación
ingenieril
de la
transforma
da de
Laplace.
C:
Realización
de
ejercicios
propuestos
.
A:
Cuestiona
mientos
sobre el
tema.
D:
Aprendizaj
e sobre la
aplicación
ingenieril
de la
transforma
*Aplicación
y solución
de
ejercicios
aplicando
la
transforma
da de
Laplace
como
antecedent
e de la
resolución
de
ejercicios
del
contexto.
*Definición
y
programaci
ón sobre
la
Presentaci
ón de
avance de
artículo
para las
diferentes
convocator
ias.
*Aplicación
y solución
de
ejercicios
aplicando
la
transforma
da inversa
de Laplace
como
antecedent
e de la
resolución
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
en clase y
extra clase.
* Carpeta
de
evidencias.
*Cronogra
ma de
actividades
para la
presentaci
ón y envío
de
artículos.
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
en clase y
extra clase.
* Carpeta
de
evidencias.
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo.
*
Comparad
or óptico.
*Manual
de
ecuaciones
diferencial
es
aplicadas.
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo.
*Manual
de
ecuaciones
diferencial
214
Describir el
concepto
de
transforma
da inversa.
TEMA 3:
TEOREMAS
DE
TRASLACIÓ
N Y
DERIVADA
S DE UNA
TRANSFOR
MADA
Explicar el
teorema
de
derivada
de una
trasformad
a, basados
en el
primero y
segundo
Teorema
de
traslación.
Determinar
la solución
de
transforma
da inversa.
Calcular
transforma
das de
Laplace
basados en
los
teoremas
de
traslación y
derivada
de una
transforma
da.
formulas
para la
transforma
da inversa
de
Laplace...
Cierre C:
Ejercicios
propuestos
y su
relación
con
conocimien
tos previos.
Apertura
A:
Introducció
n al tema.
Desarrollo
D:
Definición
de
conceptos,
y
presentaci
ón de
métodos
de solución
para la
transforma
da de
Laplace
utilizando
el teorema
de
traslación y
su
derivada.
Cierre C:
Ejercicios
propuestos
y su
relación
con
conocimien
tos previos.
da inversa
de Laplace.
C:
Realización
de
ejercicios
propuestos
.
A:
Cuestiona
mientos
sobre el
tema.
D:
Aprendizaj
e sobre la
aplicación
de los
métodos
de solución
de la
transforma
da de
Laplace
utilizando
el teorema
de
traslación y
la
derivación.
..
C:
Realización
de
ejercicios
propuestos
. Aplicación
de la
derivada
de una
transforma
da.
de
ejercicios
del
contexto
(considerar
la analogía
con el
proyecto
grupal de
aplicación).
*Utilizació
n de la
técnica de
fracciones
parciales
para la
solución de
la
trasformad
a inversa.
*Aplicación
y solución
de
ejercicios
aplicando
el teorema
de
traslación,
así como la
interpretac
ión del
teorema
de la
derivada
de una
transforma
da, y sus
diferencias
o
similitudes
con la
derivada
de una
función..
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
(extra
clase) y
solución de
ejercicios
en clase.
* Rubrica.
es
aplicadas
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo.
*Manual
de
ecuaciones
diferencial
es
aplicadas
215
TEMA 4:
TRANSFOR
MADA DE
DERIVADA
S,
INTEGRALE
S Y
FUNCIONE
S
PERIÓDICA
S.
Explicar los
teoremas
de:
*Trasforma
da de una
derivada
*Convoluci
ón
*Transfor
mada de
una
función
periódica.
TEMA 5:
APLICACIO
NES.
Explicar la
Calcular
transforma
das de:
*Derivadas
*Integrales
*Funciones
periódicas.
Solución
de
problemas
relacionad
Apertura
A:
Introducció
n al tema.
Desarrollo
D:
Definición
de
conceptos,
funciones
de fuerzas
periódicas
y continuas
por partes
y su
relación
con señales
eléctricas y
vibraciones
mecánicas.
Derivadas
en
integrales
de
funciones
periódicas.
Cierre C:
Ejercicios
propuestos
en clase y
extra clase.
Mini
proyecto
de
aplicación
con
modelos
matemátic
os
derivados
de equipos
existentes
en un
laboratorio
pesado de
mecánica.
Apertura
A:
Introducció
n al tema.
Desarrollo
A:
Cuestiona
mientos
sobre el
tema.
D:
Generación
de
modelos
matemátic
os en
sistemas
mecánicos
y
eléctricos.
C:
Realización
de
ejercicios
propuestos
.
A:
Cuestiona
mientos
sobre el
tema.
D:
Generación
*Aplicación
y solución
de
ejercicios a
través del
modelado
de
diferentes
equipos
eléctricos y
mecánicos
utilizados
en la
industria.
*Presentac
ión del
mini
proyecto
de
aplicación
sobre
modelado
de equipos
y/o
máquinas
existentes
en el
Laboratori
o pesado
de
Mecánica.
*Aplicación
y solución
de
ejercicios a
través del
modelado
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
(extra
clase) y
solución de
ejercicios
en clase.
*
Exposición
de mini
proyecto
*Lista de
cotejo.
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
(extra
clase) y
solución de
ejercicios
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo.
* Examen
escrito
*Presentac
ión de
proyecto.
*Manual
de
ecuaciones
diferencial
es
aplicadas
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo y
cañón de
216
función
delta de
Dirac.
TEMA 6:
SISTEMAS
DE
ECUACION
ES
LINEALES
DE PRIMER
GRADO.
Explicar los
métodos
de:
*Operacio
nes
*Transfor
madas de
Laplace
os con
mecánica
de
mecanismo
s y
circuitos en
serie RC y
RL.
Solucionar
problemas
relacionad
os con
mecánica
de
mecanismo
s, circuitos
eléctricos
sistemas
degradado
D:
Definición
de la
función
delta de
Dirak.
Aplicación
en
mecanismo
s de uno y
dos grados
de libertad
y circuitos
eléctricos
del tipo RC
y RL.
Cierre C:
Ejercicios
propuestos
en clase y
extra clase.
Presentaci
ón de casos
sobre
aplicacione
s de la
función
delta en la
interpretac
ión de
problemas
de
mantenimi
ento
industrial y
su
consecuent
e solución.
Apertura
A:
Introducció
n al tema.
Desarrollo
D:
Definición
y
explicación
conceptual.
Desarrollo
de
ejercicios
con
sistemas
de
ecuaciones
de
modelos
matemátic
os en
sistemas
mecánicos
y eléctricos
utilizando
la función
delta.
C:
Investigaci
ón sobre
un caso
real de
mantenimi
ento
industrial
utilizando
los
recursos
vistos en el
tema 5.
A:
Cuestiona
mientos
sobre el
tema.
D: Solución
de
sistemas
de
ecuaciones
diferencial
es.
C:
Aclaración
de dudas.
de
diferentes
equipos
eléctricos y
mecánicos
utilizados
en la
industria.
*Presentac
ión del
reporte (en
diapositiva
s)
referente
al estudio
de caso
real
encomend
ado (por
equipo).
*Solución
de
sistemas
de
ecuaciones
diferencial
es.
*Validació
n e
interpretac
ión de
resultados
derivados
de la
presentaci
ón final del
en clase.
*
Exposición
de caso
real
proyecto
*Lista de
cotejo.
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
(extra
clase) y
solución de
ejercicios
en clase.
*Reporte
impreso y
en medio
magnético
del
proyecto
de
aplicación
final.
*Carta de
aportación
firmada
electrones.
* Examen
escrito
*Presentac
ión de
proyecto.
*Manual
de
ecuaciones
diferencial
es
aplicadas
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo y
cañón de
electrones.
* Examen
escrito
*Presentac
ión de
proyecto.
*Manual
de
ecuaciones
diferencial
es
217
*Determin
ar sistemas
de
ecuaciones
lineales de
primer
orden.
s. .
Cierre C:
Ejercicios
propuestos
en clase y
extra clase.
Programaci
ón de la
presentaci
ón de
proyectos
finales de
fin de
cuatrimestr
e.
proyecto
de estudio
de caso de
fin de
cuatrimest
re.
por el
responsabl
e
empresaria
l del
proyecto.
*Lista de
cotejo.
aplicadas
Unidad
Temática
V.- SERIES DE FOURIER
Competen
cia del
Modulo
UTILIZAR LAS SERIES DE FOURIER EN EL MODELADO Y ANÁLISIS DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL
MANTENIMIENTO INDUSTRIAL, EN PARTICULAR EN ESTUDIOS DE CALIDAD DE LA ENERGÍA Y VIBRACIONES,
MEDIANTE LA COMPRENSIÓN DE LOS CONCEPTSO BÁSICOS.
Horas
Totales
15 Horas
teóricas
5 Horas
practicas
10 Sema
na
Resultado
de
aprendizaj
e (Tarea
integrador
a)
- Realizará estudios de generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica, análisis de comportamiento armónico de
señales y estudios de respuesta en el tiempo de una variable de circuitos eléctricos aplicando las series de Fourier.
- Comprenderá los conceptos de las series de Fourier.
- Analizará las aplicaciones de las series de Fourier en problemas relacionados con mantenimiento (vibraciones).
TAREAS DEL CONOCIMIENTO SECUENCIA DIDACTICA EVALUACIÓN
RECURSOS
DIDACTICO
S
BIBLIOGRAFÍA
SABER HACER SER
PRESENCIA
LES CON EL
DOCENTE
AUTONOM
AS DEL
ESTUDIAN
TE
CRITERIO EVIDENCIA
218
TEMA 1:
FUNCIONE
S
ORTOGON
ALES.
Explicar el
concepto
de
ortogonali
dad de la
función.
TEMA 2:
SERIES DE
FOURIER.
Explicar el
teorema
de
convergenc
ia de una
serie de
Fourier.
Resolver
problema s
definiendo
la
ortogonali
dad de la
función en
el intervalo
y por
medio de
la integral
de la
función de
peso
indicada.
Calcular
transforma
das de
Laplace
directas
(por
definición
y por
tablas).
Solucionar
problemas
relacionad
os con la
convergenc
ia de una
serie en
intervalos
dados.
*
Responsabi
lidad
*
Puntualida
d
*
Proactivida
d
*
Motivación
Apertura
A:
Recuerda:
citar el
concepto
de
ortogonalid
ad y su
aplicación
en otras
ramas de la
matemátic
a...
Desarrollo
D:
Definición
del
concepto, y
solución de
ejercicios
de
ortogonalid
ad
utilizando
la integral
de la
función...
Cierre C:
Ejercicios
propuestos
.
Apertura
A:
Introducció
n al tema.
Desarrollo
D:
Interpretac
ión práctica
sobre la
convergenc
ia de series
de Fourier
(banco de
electrónica
y banco de
vibraciones
mecánicas)
.
Cierre C:
Práctica
propuesta
en el banco
de
A: Asociar
el
concepto
de
ortogonali
dad con
otras
materias
curriculare
s vistas.
D: Solución
de
ejercicios
referentes
al tema.
C:
Realización
de
ejercicios
propuestos
.
A:
Cuestiona
mientos
sobre el
tema.
D:
Aprendizaj
e sobre la
aplicación
ingenieril
de la
convergenc
ia de series
de Fourier.
C:
Programaci
ón de la
práctica
propuesta.
*Aplicación
y solución
de
ejercicios
aplicando
el principio
de
ortogonali
dad.
*Aplicación
y solución
de
ejercicios
de
convergenc
ia de series
de Fourier.
Realización
e
interpretac
ión de
resultados
de la
práctica
propuesta.
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
en clase y
extra clase.
* Carpeta
de
evidencias.
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
en clase y
extra clase.
*Entrega
en impreso
del reporte
de la
práctica de
laboratorio
.
*Carpeta
de
evidencias.
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo.
*
Comparad
or óptico.
*Manual
de
ecuaciones
diferencial
es
aplicadas.
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Banco de
electrónica
y
vibraciones
mecánicas.
*Manual
de
ecuaciones
diferencial
es
aplicadas
219
TEMA 3:
SERIES DE
FOURIER
DE SENOS
Y
COSENOS.
Explicar los
conceptos
y
propiedade
s
matemátic
as de la
función par
e impar.
TEMA 4:
APLICACIO
NES.
Explicar las
aplicacione
s de las
series de
Fourier en
el área
electromec
ánica.
Resolver
problemas
de las
series par e
impar por
medio de
las series
de senos y
cosenos.
Modelar y
analizar
aplicando
las series
de Fourier
en las
vibraciones
mecánicas.
..
electrónica
y
vibraciones
mecánicas.
Apertura
A:
Introducció
n al tema.
Desarrollo
D:
Definición
de
conceptos,
gráfica de
la función
seno y
coseno,
gráfica de
una
función par
e impar,
propiedade
s de las
funciones
par e
impar.
Ejercicios
resaltos...
Cierre C:
Importanci
a
interpretati
va de la
función par
e impar en
aplicacione
s físicas e
ingenieriles
.
Apertura
A:
Introducció
n al tema.
Desarrollo
D:
Aplicacione
s de
Fourier
utilizando
el banco
didáctico
de
A:
Cuestiona
mientos
sobre el
tema.
D: Solución
de
ejercicios
conceptual
es y de
aplicación.
C:
Aclaración
de dudas.
A:
Cuestiona
mientos
sobre el
tema.
D:
Realización
de
prácticas
propuestas
en el banco
didáctico
de
vibraciones
*Interpreta
ción de
series de
Fourier
consideran
do las
propiedade
s de las
funciones
par e
impar.
*Aplicación
y solución
de
problemas
de
mantenimi
ento
menores
en equipos
eléctricos y
dinámicos
(institucion
ales) a
través de la
interpretac
ión gráfica
funcional
de su
espectro.
*Diagnósti
co de fallas
en equipos
dinámicos
mediante
el uso de
series de
Fourier.
*Analogía
contextual
de fallas en
equipos
dinámicos
a través de
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
(extra
clase) y
solución de
ejercicios
en clase.
* Reporte
“maestro”
de
mantenimi
ento a
equipos
considerad
os.
* Entrega
de
ejercicios
resueltos
(extra
clase) y
solución de
ejercicios
en clase.
* Reporte
“maestro”
de
mantenimi
ento a
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo.
*Manual
de
ecuaciones
diferencial
es
aplicadas
*Equipos
eléctricos y
dinámicos.
* Pintarrón
* Cuaderno
de notas.
* Equipo
de
cómputo.
* Banco de
vibraciones
mecánicas.
*Manual
220
vibraciones
mecánicas.
Cierre C:
interpretac
ión de
fallas más
comunes
en
component
es
mecánicos
(rodamient
os,
engranes,
ejes,
sujetadore
s etc.) a
través de la
aplicación
de series
de Fourier.
mecánicas.
C:
Interpretac
ión y
contextuali
zación de
los
resultados.
la
interpretac
ión de
series de
Fourier.
banco de
vibraciones
mecánicas.
*Lista de
cotejo.
de
ecuaciones
diferencial
es
aplicadas
*Manual
del banco
de
vibraciones
mecánicas.
221
La programación cuatrimestral de la asignatura, deberá presentarse por unidad temática, y se desarrollara de manera co legiada
por el grupo de profesores que impartan la asignatura, cada grupo de profesores podrá establecer su planeación y definir las
actividades específicas que estime necesarias para lograr los resultados de aprendizaje, de acuerdo con su experiencia doc ente,
las posibilidades de los alumnos y las condiciones de la Universidad.
222
+ Apertura.- Se recomienda se dirija a explorar y recuperar los saberes previos e intereses del alumno, así como los aspectos del
contexto que resultan relevantes para su formación.
+ Desarrollo.- Debe dirigirse al despliegue de nuevos conocimientos, habilidades y actitudes, mediante la promoción de la
investigación, el trabajo en equipo, la comunicación, la resolución de problemas, el planteamiento de proyectos y las visitas al
sector productivo, es decir empleando las estrategias didácticas.
+ Cierre.- En la fase de cierre se propone elaborar las conclusiones y reflexiones que, entre otros aspectos, permiten advertir los
resultados del aprendizaje y, con ello, la situación en que se encuentra cada alumno.
+ Los criterios deberán ser acordes a la secuencia de aprendizaje indicada en cada uno de los programas de estudios.
ELABORÓ:
NOMBRE Y FIRMA
223
Bibliografía
1.- Borrelli L. Robert, Coleman S. Courtney, Ecuaciones Diferenciales, una
perspectiva de modelación, Alfaomega, Primera edición, México 2002, 828 pp.
2.- Cornejo Serrano Ma. Del Carmen, Villalobos Oliver E.B., Quintana
Hernández P.A., Métodos de Solución, Ecuaciones Diferenciales, Reverté,
Primera edición, México 2008, 285 pp.
3.- Edwards C.H., Penney E.D., Ecuaciones Diferenciales Elementales,
Prentice Hall, Primera edición, México 1986, 681 pp.
4.- G. Zill Dennis, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado,
Cengage Learning, Novena edición, México 2009, 362 pp.
5.- Murray R. Spiegel, Transformadas de Laplace, McGraw-Hill, México 1981,
261.
6.- Nielsen Kaj L., Ecuaciones Diferenciales, CECSA, Octava impresión,
México 1985, 311 pp.
10.- www.librosintinta.com