Download - 2 Matematika 3 Matriks Part 1
![Page 1: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematika 3
Vektor
Matriks dan Determinan
Matriks Invers
Sistem Persamaan Linier
1
Sistem Persamaan Linier
Transformasi Linier
Bidang Datar dan Garis Lurus
Dr. D. L. Crispina Pardede, SSi., DEA.
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 2: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/2.jpg)
ReferensiReferensi[1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S.,
Matematika untuk Perguruan Tinggi, Ghalia-Indonesia, Jakarta, 1995.
[2]. Suryadi H.S., Pengantar Aljabar Linier dan Geometri Analitik, Penerbit Gunadarma, Geometri Analitik, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1991.
[3]. Seymour Lipschutz, Theory and problems of Linear Algebra, McGraw-Hill, 1968.
[4]. D. Suryadi H. S., Teori dan Soal Ilmu Ukur Analitik Ruang, Ghalia Indonesia, 1986
2 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 3: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/3.jpg)
MATRIKSMATRIKS
1. Pengertian Dasar
2. Transpose dari Sebuah Matriks
3. Operasi Pada Matriks
4. Transformasi Elementer Baris dan Kolom4. Transformasi Elementer Baris dan Kolom
5. Determinan
6. Matriks Invers
3 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 4: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/4.jpg)
MatriksMatriks
Sebuah Matriks adalah sekumpulan elemen yang disusun dalam baris dan kolom.
ba
baris
• a dan d adalah elemen-
elemen diagonal.
dc
bakolom
Matriks dapat dijumlahkan, dicari selisihnya, dan dalam beberapa kasus, dikalikan dan diinversikan.
elemen diagonal.
• b dan c adalah elemen-
elemen off-diagonal
4 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 5: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/5.jpg)
MatriksMatriks
Dimensi matriks disebut Ordo dan menunjukkan banyaknya baris dan kolom sebuah matriks.
Contoh: [ ]δβα=
−= b
d
bA ;
1
1
Ordo matriks A adalah 2x2.
5
Ordo matriks A adalah 2x2. Ordo matriks b adalah 1x3.
• Matriks yang mempunyai hanya satu kolom atau satu
baris saja disebut vektor.
• Jika banyaknya baris dan kolom sebuah matriks sama,
maka matriks tersebut adalah matriks bujursangkar.
5 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 6: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/6.jpg)
Bentuk Umum
MatriksMatriks
a...........aa
a...........aa
An22221
n11211
=MOMM
aij adalah elemen di baris ke-i
dan kolom ke-j.
Ordo A adalah m x n
Bila m = n, maka A adalah matriks bujursangkar
Bila aij=0 ∀i, j , maka A adalah matriks nol.
a...........aa mn2m1m
MOMM Ordo A adalah m x n
6 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 7: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/7.jpg)
MatriksMatriks
Dua buah matriks A dan B dikatakan samabila
-. ordo A sama dengan ordo B dan
-. ∀i, j berlaku aij= bij.
Contoh:Contoh:
−
−−
=
+−
−
−+
031
202
112
zxyx1
z20y
1yxx2
x =….. ; y = ….. ; z = …..7 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 8: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/8.jpg)
Operasi Pada MatriksOperasi Pada MatriksMisalkan A dan B matriks, k skalar
1.Penjumlahan Matriks A + B
Syarat: Ordo A = ordo B
C = A + B , A = (aij) ; B = (bij).
C = (cij) , cij = aij + bij , ∀i, j .
2. Perkalian Matriks A x B2. Perkalian Matriks A x B
Syarat: Banyaknya kolom A = banyaknya baris B.
D = A x B , D = (dij) ,
3. Perkalian Skalar dengan Matriks
E = k A , eij = k.aij.
.ba...baba bad njinj22ij11i
k
kjikij +++==∑
8 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 9: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/9.jpg)
Operasi Pada MatriksOperasi Pada Matriks
Penjumlahan, Selisih, Perkalian
++
++=
+
hdgc
fbea
hg
fe
dc
ba
−−
−−=
−
hdgc
fbea
hg
fe
dc
ba
Penjumlahan
Selisih
−−
hdgchgdc
++
++=
dhcfdgce
bhafbgae
hg
fe .
dc
baPerkalian
=
dc
ba
dc
ba
kk
kkk Perkalian dengan Skalar
9 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 10: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/10.jpg)
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix … … Contoh
222222
117
25
20
13
97
12
xxxCBA =+
=
+
=
−
65
11
32
01
97
12
10
653297
222222 x
2726
34
32
01x
97
12
xxxCBA =
=
=
8143
2141
16
42
8
1
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 11: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/11.jpg)
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)
� Perkalian matriks AB harus memenuhi syarat:
Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya baris matriks B.
Jika ordo A adalah (mxn) dan ordo B adalah (nxp), maka AB dapat dicari. AB adalah matriks berordo (mxp)
11
(mxp)
� Penjumlahan matriks A + B harus memenuhi syarat:
Matriks A dan B memiliki ordo sama.
Jika ordo A dan B adalah (mxn), maka A + B adalah matriks berordo (mxn)
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 12: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/12.jpg)
Hukum Pada Operasi Matriks
� Hukum komutatif penjumlahan matriksA + B = B + A
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
++
++=
+
=+
1212111112111211
baba
baba
bb
bb
aa
aaBA
12
++
=
+
=+2222212122212221 bababbaa
BA
++
++=
+
=+
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
abab
abab
aa
aa
bb
bbAB
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 13: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/13.jpg)
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
� Hukum asosiatif penjumlahan matriks(A + B) + C = A + (B + C)
+
+
=++
2221
1211
2221
1211
2221
1211
cc
cc
bb
bb
aa
aaCB)(A
13
++++
++++=
+
++
++=
222222212121
121212111111
2221
1211
22222121
12121111
222122212221
cbacba
cbacba
cc
cc
baba
baba
ccbbaa
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 14: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/14.jpg)
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
� Perkalian skalar dengan matriks bersifat distributif
k (A + B) = k A + k B.
++ ++
+
=+
2221
1211
2221
1211
)ba.(k)ba.(kbaba
bb
bb
aa
aa.k B)k(A
14
++
++=
++
++=
++
++=
22222121
12121111
22222121
12121111
22222121
12121111
kbkakbka
kbkakbka
)ba.(k)ba.(k
)ba.(k)ba.(k
baba
baba.k
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 15: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/15.jpg)
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
Misalkan A, B, C memenuhi syarat perkalian matriks.
� A (B+ C) = AB + AC
� (B+ C) A = BA + CA
� A (B C) = (A B)C
15
� A (B C) = (A B)C
� A B ≠ B A
� Jika A B = matriks nol, maka kemungkinan-. A = 0 atau B = 0
-. A ≠ 0 atau B ≠ 0
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 16: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/16.jpg)
� Perkalian matriks umumnya tidak komutatif.
A B ≠ B A
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
−=
=
76
10B,
43
21A
16
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
=
+−+
+−+=
2524
1312
74136403
72116201AB
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
−−=
++
−+−+=
4027
43
47263716
41203110BA
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 17: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/17.jpg)
� Pengecualian pada hukum komutatif.A B = B A jika dan hanya jika
B = sebuah skalar,
B = matriks identitas, atau
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
17
B = invers dari A i.e., A-1.
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 18: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/18.jpg)
Transpose Pada MatrixTranspose Pada Matrix
Misalkan A sebuah matriks. Transpose dari matriks A, ditulis AT, diperoleh dengan cara
Bila A = (aij ), maka AT = (aij
T) di mana
(aijT) = (aij ), ∀i, j .
a...........aa
a...........aa
a...........aa
a...........aa
A
mn2m1m
n22221
n11211
=MOMM
a...........aa
a...........aa
a...........aa
A
mnn2n1
2m2212
1m2111
T
=MOMM
18 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 19: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/19.jpg)
Transpose Pada Matrix Transpose Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
Contoh:
=
421
321
43
22
11
.1
T
=
=
43
22
11T
421
321
43
22
11
.2
TT
19 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 20: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/20.jpg)
Sifat Transpose Matriks
1. (A + B) T = AT + BT .
2. (AT )T = A .
3. λ(AT ) = (λA)T .
4. (AB)T = BT AT .
Transpose Pada Matrix Transpose Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
20
4. (AB)T = BT AT .
Latihan:
Buktikan sifat-sifat operasi matriks dan sifat-sifat pada matriks transpose.
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 21: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/21.jpg)
Jenis Matriks KhususJenis Matriks Khusus
000
100
010
001� Matriks Identitas adalah sebuah matriks bujursangkar dengan semua elemen diagonal bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai 0.
� Matriks Nol adalah matriks dengan semua elemen bernilai 0 (nol).
21
000
000elemen bernilai 0 (nol).
� Keduanya merupakan matriks diagonal. Semua elemen off-diagonal bernilai 0.
� Keduanya merupakan Matriks Idempoten
A = AT and
A = A2 = A3 = …
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 22: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/22.jpg)
Transformasi ElementerTransformasi Elementer
pada Baris dan Kolom Matrikspada Baris dan Kolom Matriks
� Hij (A) : penukaran tempat baris ke-i dengan baris ke-j. Elemen-elemen pada baris ke-i menjadi elemen-elemen baris ke-j dan sebaliknya.dan sebaliknya.
� Kij(A) : penukaran tempat kolom ke-i dengan kolom ke-j. Elemen-elemen pada kolom ke-i menjadi elemen-elemen kolom ke-j dan sebaliknya.
22 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 23: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/23.jpg)
�Hi(λλλλ)(A): mengalikan baris ke-i dengan
skalar λ ≠ 0 .
� Ki(λλλλ)(A): mengalikan kolom ke-i dengan
skalar λ ≠ 0 .
Transformasi ElementerTransformasi Elementer
pada Baris dan Kolom Matrikspada Baris dan Kolom Matriks
skalar λ ≠ 0 .
�Hij(λλλλ)(A): menambahkan baris ke-i dengan
λ kali baris ke-j.
� Kij(λλλλ)(A): menambahkan kolom ke-i dengan
λ kali kolom ke-j.
23 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 24: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/24.jpg)
Matriks EkivalenMatriks Ekivalen
Matriks A dikatakan ekivalen
dengan matriks B, ditulis A ∼∼∼∼ B,
jika salah satunya diperoleh dari yang jika salah satunya diperoleh dari yang
lain melalui transformasi baris
dan/atau kolom.
24 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 25: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/25.jpg)
Matriks EkivalenMatriks Ekivalen … Contoh… Contoh
A dan B ekivalen, karena B = H12(A).
132
014B H
014
132A ).1 12
=
=
∼
03151204
ekivalen, karena B = H12(K42(-2)(K12
(1)(A)))
1204
0315Bdan
2314
1204A ).2
=
=
25 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
![Page 26: 2 Matematika 3 Matriks Part 1](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052215/557201ea4979599169a29bab/html5/thumbnails/26.jpg)
1. Tentukan matriks hasil transformasi elementer berikut
terhadap matriks A.
a). H21(-3) b). H31
(2) c). K21(-2)
d). K23 e). K1(-1)
2(1)
2. Tentukan hasil transformasi H (1) dan K (2) secara
Transformasi ElementerTransformasi Elementer
pada Baris dan Kolom Matrikspada Baris dan Kolom Matriks …Latihan…Latihan
2. Tentukan hasil transformasi H31(1) dan K21
(2) secara
berurutan terhadap matriks B.
=
−
−
=
021-
28-4
11-2
B
5232
2143
1021
A
26 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)