2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 15
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar Çözüm(analiz) yöntemi: Yukarıda yapılan varsayımlar; bu ders notlarında verilen Sonlu Elemanlar Metodunun sadece statik analiz için geçerli olacağı anlamındadır. Doğrusal olmayan malzeme, doğrusal olmayan geometri, dinamik analiz ve stabilite analizi problemlerine doğrudan uygulanamaz. 1
Matris işlemleri özet bilgileri için bak: EKLER
2 Genel koordinat sistemi=Global koordinat sistemi, Yerel koordinat sistemi=Lokal koordinat sistemi
3 Her noktası aynı maddeden oluşan malzeme homojendir. Elastisite modülü, Poisson oranı, yoğunluğu, ısı iletkenliği, dayanımı gibi mekanik özellikleri her doğrultuda
aynı olan malzeme izotroptur. Doğrusal elastik malzemede gerilme artarken de, azalırken de şekil değiştirme orantılı olarak artar veya azalır. Gerilme artarken de, azalırken
de gerilme şekil değiştirme grafiği aynı doğrudur. Gerilme sıfırlandığında şekil değiştirme de tamamen geri döner, kalıcı şekil değiştirme yoktur. 4
Çelik ya da betonarme bir kiriş yük altında yer değiştirir(sehim yapar=sarkar). Sarkmayı göremiyorsak yer değiştirme küçüktür, milimetre mertebesindedir. İpte gezen bir
cambaz yürüdükçe sarkmayı görürüz, yer değiştirme büyüktür, belki metre mertebesindedir.
x3
x2
x1
900
Matris ve skaler: Sonlu Elemanlar Metodu(SEM) matris notasyonunda1 formüle edilir. Bu notlarda matrisler altı çizilerek skaler büyüklüklerden ayırt edilecektir. A veya a skaler bir büyüklük, A veya a bir matris anlamındadır. I birim matris, 0 sıfır matristir. A nın transpozu AT, tersi A-1 ile gösterilecektir.
Genel koordinat sistemi1: Kartezyen koordinat
sistemi kullanılacaktır. Genel koordinat sisteminin eksenleri alışılagelmiş olan �, , � yerine ��, � , �� ile gösterilecek, bazen, her üç ekseni temsilen kısaca �� kullanılacaktır (i=1, 2, 3).
Genel koordinat sistemi daima sağ sistem olacaktır. Sağ koordinat sistemi için sağda örnekler verilmiştir.
Sağ koordinat sisteminde; ��, � eksenleri bir vidanın başlığının düzleminde olmak üzere, �� ekseni � eksenine doğru 900 döndürüldüğünde vida saplanma hareketi yapar. �� ekseni vidanın ucuna doğru yönlenmiştir. Yerel koordinat sistemi
1: ���, �� , ��� ile gösterilecek, bazen, her üç
ekseni temsilen ��� kullanılacaktır (i=1, 2, 3). Yerel koordinat sistemi sağ sistem olacaktır. Malzeme: Homojen, izotrop ve doğrusal elastiktir3. HOOKE kanunu geçerlidir. Yükler: Statiktir. Yüklerin yavaş yavaş nihai değerine ulaştığı, titreşime neden olmadığı varsayılmaktadır. Yer ve şekil değiştirmeler: küçüktür4. Bu varsayımın amacı denge denklemlerinin şekil değiştirmemiş geometri üzerinde kurulması, yer değiştirmeler ile şekil değiştirmeler arasında basit bağıntılar kurulmasıdır.
Bir kafes sistemde sistem ve yerel eksen örneği. Sistem
3x ve yerel 3x̂ eksenleri
kâğıt düzlemine dik ve size doğrudur.
Bir eksenli gerilme halinde doğrusal elastik malzeme davranışı örneği.
HOOKE malzemesi: � = ��
1x̂2x̂
1x̂
2x̂
1x̂2x̂
1x̂
2x̂
x3
x1
x2
900
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 16
2.1 Taşıyıcı sistemler
Çubuk sistemler: Çubuk denilen(bir boyutu diğer iki boyutuna göre çok büyük olan) elemanların birleşiminden oluşan sistemlere çubuk sistemler denir. Kafes ve çerçeveler bu türden sistemlerdir. Kafes sistemin çubuklarının(elemanlarının) mafsallı birleştirildiği, elemanların üzerinde yük olmadığı, dış yüklerin birleşim noktalarında(düğümlerde) etkidiği varsayılır. Bu varsayımlar sonucu elemanlarda sadece eksenel kuvvet oluşur, eğilme momenti, kesme ve burulma momenti sıfırdır. Kafes sistem genelde yapı çeliği ile, nadiren ahşap ile inşa edilir. Çatılarda, köprülerde ve sanayi yapılarında kullanılır. Çerçeve sistemin elamanları birbirine genelde rijit bağlıdır. Dış yükler eleman üzerinde ve düğümlerde etkiyebilir. Çerçeve elemanlarda eksenel kuvvet, kesme kuvveti, eğilme ve burulma momentleri gibi iç kuvvetler oluşur. Çerçeve sistem yapı çeliği ve yaygın olarak betonarme olarak inşa edilir. En yaygın kullanım alanı çok katlı yapı inşaatıdır. Yüzeysel taşıyıcılar: Kalınlığı az(5-30 cm civarı) olan düzlem veya eğrisel yüzeyli taşıyıcı sistemlerdir. Yüzeysel taşıyıcılara sürekli ortam da denir. Levha, plak ve kabuk bu türdendir. Levha sistemde dış yük levha düzlemi içindedir, yüzeye dik etkiyen yük yoktur. Deprem perdesi, istinat(dayanma) duvarı, tünel, ağırlık barajı ve basınçlı boru problemleri levha problemine örnek olarak verilebilir. Plak genelde çok katlı yapılarda döşeme olarak ve köprü tabliyesi olarak kullanılır. Dış yük plak düzlemine diktir.
Uzay kafes
X1
X2
X3
P1
P2
P3
X1
X2
X3
Plak(döşeme)
p
a
bt<<at<<b
p2
X1
X2
p1
Levha
t<<at<<b
a
t
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 17
Kabuk kalınlığı az (≈10 cm), eğrisel yüzeyli taşıyıcıdır. Dış yükler genelde yüzeye yayılıdır. Kubbe, kemer baraj, yüksek sanayi bacası, soğutma kulesi ve tünel yapımında kullanılır. Diğer: Sürekli kiriş, kemer, kablolu taşıyıcı, basınçlı boru hattı(papeline), tünel, baraj, istinat duvarı gibi sistemlerden de bahsedilebilir. Kablolu sistem çok büyük yer değiştirir, dolayısıyla geometrik doğrusal olmayan analiz gerektirir.
p
Kemer
Yer
deiş
tirm
e ç
ok
büyü
k(örn
ek:
1 m
)
p
Kabuk
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 18
2.2 Elastik cismin1 temel bağıntıları
Sağdaki elastik cisim yüzeyinin bazı noktalarından uzayda mesnetlenmiştir. Bu noktalar yer değiştiremez. V
cismin toplam hacmi, O toplam yüzeyi, Ou mesnetlenmiş toplam yüzeyi, Op yüklenebilir yüzeyi olsun. �
yüklenebilir yüzeydeki yayılı yük, � hacimde yayılı yüktür(birim hacim ağırlık). Yükler; cismin yer ve şekil
değiştirmesine ve gerilmelerin oluşmasına neden olur. Bir noktanın yer değiştirmesi �, gerilmeleri � ve şekil değiştirmeleri � vektörleri ile gösterilir. Matris notasyonunda
=
=
=
=
=
31
23
12
33
22
11
31
23
12
33
22
11
3
2
1
3
2
1
3
2
1
,,
u
u
u
u,
g
g
g
g,
p
p
p
p
εεεεεε
ε
σσσσσσ
σ (2.1)
dır. Burada i=1, 2, 3 olmak üzere:
ii g,p : yüklerin �� ekseni yönündeki bileşenini
iu : yer değiştirmenin �� ekseni yönündeki bileşenini
iiσ : normali �� olan düzlemde ve �� ekseni yönünde olan normal gerilmeyi
ijσ : normali �� olan düzlemde ve �� ekseni yönünde olan kayma gerilmesini(i≠j)
iiε : normali �� olan düzlemde ve �� ekseni yönünde birim şekil değiştirmeyi
ijε : ijσ kayma gerilmesinden oluşan kayma şekil değiştirmesini(açısal değişimi)2
göstermektedir. Bunlar, cismin her noktasında farklı değer alırlar, yani �� koordinatlarının fonksiyonudurlar:
)x,x,x(),x,x,x(),x,x,x(u),x,x,x(g),x,x,x(p 321321321321321 εσ . Basitliği sağlamak için çoğu kez εσ ,,u,g,p
şeklinde yazılmaktadır. Bu büyüklükler arasında, statik, mukavemet ve elastisite teorisinden bilinen, aşağıdaki bağıntılar vardır. a) Denge denklemleri: �, � yükleri ile σ gerilmeleri arasındaki diferansiyel(türevsel) bağıntıdır.
b) Şekil değiştirme-yer değiştirme bağıntıları: ε şekil değiştirmeleri ile u yer değiştirmeleri arasındaki
diferansiyel bağıntıdır. Geometrik uygunluk veya süreklilik koşulu da denir. c) Gerilme-şekil değiştirme bağıntıları: σ gerilmeleri ile ε şekil değiştirmeleri arasında, deneysel olarak
ortaya konmuş bağıntılardır. Bünye denklemleri, malzeme kanunu veya HOOKE kanunu da denilmektedir.
Uygulamada çözülmesi gereken en yaygın problem şudur: Geometrisi, malzemesi, mesnet koşulları ve �, �
yükleri bilinen elastik cismin u yer değiştirme, ε şekil değiştirme ve σ gerilme vektörlerinin hesaplanması
istenir. Denge denklemleri, Şekil değiştirme-yer değiştirme bağıntıları, Gerilme-şekil değiştirme
bağıntıları ve cismin sınır koşulları (mesnet koşulları) kullanılarak u , ε ve σ hesaplanır.
1 Cisim kelimesi herhangi bir taşıyıcı sistem anlamında kullanılan genel bir kavramdır. Cisim; herhangi bir malzemeden(ahşap, çelik, betonarme, …)
yapılmış, düzlem veya uzay bir çubuk sistem(kafes, çerçeve), bir sürekli ortam(levha, plak, kabuk, …) olabilir.
2 Klasik mukavemet derslerinde kayma gerilmeleri ve kayma gerilmelerinden oluşan şekil değiştirmeleri genellikle
ijτ ve ijγ ile gösterilir.
Buradaki gösterime göre ijij τσ = ve
ijij γε = anlamındadır.
0u=
p
εσ ,,u,g,p
O,O,O,V pu
0u =
0u=
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 19
2.3 Denge denklemleri
Cismin içinde denge: σ gerilmeleri ile g yükü arasındaki bağıntılardır. Cismin içinden çıkartılan
dV=dx1dx2dx3 hacimli çok küçük bir parçaya etkiyen ijσ gerilmeleri ve gi hacimsel kuvveti(birim hacim ağırlık)
aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Denge için, her eksen yönündeki kuvvetlerin toplamı ve her eksen etrafındaki momentlerin toplamı sıfır olmalıdır. Gerilmeler etkidikleri yüzey alanı ile çarpılarak eşdeğer kuvvete dönüştürülebilir. Mesela, sol yüzdeki
11σ gerilmesi kenarları 2dx ve
3dx olan yüzeye etkidiğinden
bu yüzde �� doğrultusundaki eşdeğer kuvvet 3211 dxdxσ olur.
Eksenler etrafındaki momentlerin toplamı: Her üç eksen etrafındaki moment toplamı mukavemetten çok iyi bilinen
(2.2)
bağıntılarını verir: Birbirine dik yüzeylerdeki kayma gerilmeleri birbirine eşittir. x1 yönündeki kuvvetlerin toplamı:
0dxdxdxgdxdx)d(dxdx
dxdx)d(dxdxdxdx)d(dxdx
32112131312131
31212131213211113211
=+++−++−++−
σσσσσσσσσ
dır. Üstü çizili terimler birbirini götürür:
0dxdxdxgdxdxddxdxddxdxd 3211213131213211 =+++ σσσ .
11dσ , 21dσ ve 31dσ küçük artımları için Taylor’e göre
3
3
31
312
2
21
211
1
11
11 dxx
d,dxx
d,dxx
d∂
∂=
∂∂
=∂
∂=
σσσσσσ
x1
x2
x3
0u=
pYük:
0u=
dx1
dx3
133132232112 ,, σσσσσσ ===
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 20
yazılabilir1:
0dxdxdxgdxdxdxx
dxdxdxx
dxdxdxx
3211321
3
31321
2
21321
1
11 =+∂
∂+
∂∂+
∂∂ σσσ
321 dxdxdx e bölünür ve 2.2 bağıntısı dikkate alınırsa
0gxxx
1
3
13
2
12
1
11 =+∂
∂+
∂∂
+∂
∂ σσσ (2.3)
olur. x2 ve x3 yönündeki kuvvetlerin toplamı:
Benzer yolla
0gxxx
2
3
23
2
22
1
21 =+∂
∂+
∂∂
+∂
∂ σσσ (2.4)
0gxxx
3
3
33
2
32
1
31 =+∂
∂+
∂∂
+∂
∂ σσσ
bulunur. Bu üç denge denklemi 2.1 de tanımlı σ gerilme ve g yük vektörleri kullanılarak matris
notasyonunda aşağıdaki gibi yazılabilir: (2.5)
ix∂∂
türev operatörlerini içeren D matrisine diferansiyel veya kinematik operatör matrisi denir. TD matrisi
öyle düzenlenmiştir ki, 2.5 deki matris çarpımı yapıldığında denge denklemlerinin 2.3 ve 2.4 deki açık
ifadeleri bulunur. 1221 σσ = , 2332 σσ = ve 3113 σσ = dir, bu nedenle σ vektörüne eklenmemişlerdir.
Uygulamada genellikle g hacimsel yükünün eşdeğeri cismin Op yüzeyine aktarılır. Bu durumda
0DT =σ
Olur.
1 Bir )x(f fonksiyonunun dxx + noktasındaki değeri Brook TAYLOR(1685-1731, İngiliz) serisi ile
...dx
x!3
)x(fdx
2x!2
)x(fdx
x!1
)x(f)x(f)dxx(f
3
3
32
2
+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+=+ dir. dx küçük olmak kaydıyla 2dx ve daha yüksek dereceden terimler, dx den çok
daha küçük olacaklarından, ihmal edilebilirler: dx
x
)x(f)x(f)dxx(f
∂
∂+≈+ . Bundan şu anlaşılır: x küçük bir dx kadar artırılınca fonksiyonun
değeri dx
x
)x(f
∂
∂ kadar artarak dx
x
)x(f)x(f
∂
∂+ olur.
O halde, benzeterek, xd
x
d11
111111∂
∂+≈+
σσσσ olduğu, yani dx
x
d11
11∂
∂=
σσ alınabileceği anlaşılır.
x1 yönünde denge denklemi
x2 yönünde denge denklemi
x3 yönünde denge denklemi
{ {0
0
0
0
g
g
g
g
D
xx0
x00
0xx
0x
0
x0
x00
x
3
2
1
31
23
12
33
22
11
T
123
312
321
=
+
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
321444444 3444444 21
σσσσσσσ
0gDT =+σ
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 21
Cismin yüzeyinde denge : σ gerilmeleri ile p yükü arasındaki bağıntılardır. Elastik cismin yüzeyini de
içeren çok küçük üçgen piramit bir parça kesilip çıkartılarak aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
∆
abcüçgen yüzeyi cismin p ile yüklü yüzeyi, ∆
oac , ∆
oab ve ∆
obc yüzeyleri ise cismin içinde σ gerilmelerinin
oluştuğu yüzeylerdir. Şekilde sadece �� ekseni yönünde etkiyen gerilmeler ve p yüzey yükünün ��
yönündeki bileşeni gösterilmiştir. �� yönünde denge
∆∆∆∆σσσ abcpobcoaboac 1312111 =++ (2.6)
dir. abc yüzeyinin normalinin eksenlerle yaptığı açılar 321 ,, ααα olsun. Normalin Kosinüs doğrultmanları
332211 Cosn,Cosn,Cosn ααα === gösterilsin. ∆
oac , ∆
oab ve ∆
obc yüzeyleri ∆
abc yüzeyi cinsinden
yazılabilir1:
33
22
11
nabcCosabcobc
nabcCosabcoab
nabcCosabcoac
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
α
α
α
==
==
==
Bunlar 2.6 da yerine yazılır,
∆∆∆∆σσσ abcpnabcnabcnabc 1331221111 =++
∆abc kısaltılır ve 13311221 σσσσ == , olduğu hatırlanırsa
1313212111 pnnn =++ σσσ
olur. Benzer yolla x2 ve x3 yönündeki denge yazılabilir:
2323222121 pnnn =++ σσσ
3333232131 pnnn =++ σσσ
2.1 de tanımlı σ ve g vektörleri dikkate alınarak bu üç denge denklemi matris notasyonunda aşağıdaki gibi
yazılabilir: (2.7)
1 Bir düzlemin bir başka düzlem üzerindeki izdüşümü düzlemin alanı ile düzlemlerin normalleri arasındaki açının kosinüsü ile çarpımıdır.
0u =0u =
p
1p
x1 yönünde denge denklemi
x2 yönünde denge denklemi
x3 yönünde denge denklemi
∆oacyüzeyi ,
∆abc yüzeyinin normali x1 olan x2-x3 düzlemindeki izdüşümüdür
∆oab yüzeyi,
∆abc yüzeyinin normali x2 olan x1-x3 düzlemindeki izdüşümüdür
∆obc yüzeyi,
∆abc yüzeyinin normali x3 olan x1-x2 düzlemindeki izdüşümüdür
pnT =σ
{p
p
p
p
σ
σ
σ
σ
σ
σ
n
nn0n00
0nn0n0
n0n00n
3
2
1
31
23
12
33
22
11
T
123
312
321
=
321
44444 344444 21
σ
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 22
ii Cosn α= değerlerini içeren T
n matrisine yüzeyden alınan çok küçük parçanın denge matrisi denir.
Yüklenebilir Op yüzeyinin yük olmayan noktalarında 0p = , Ou mesnet noktalarında rp = reaksiyon kuvveti
olacaktır. Burada [ ]321
Trrrr = dir.
111
''
1
1
''''
11 dx)1(badx
dxba
ab
abba εε +=→−
=−=
dir. Şekilden a’b’ için
2
1
2
1
22
1
2
1
12
1
1
12
1
2
1
2
1111
2
1
1
22
1
1
11
2
1
2
11
2
1
1
22
1
1
11
2''
)dx()x
u()dx()
x
u()dx(
x
u2)dx()dx)(21(
)dxx
u()dx
x
udx()dx()1(
)dxx
u()dx
x
udx()ba(
∂∂+
∂∂+
∂∂+=++
∂∂+
∂∂+=+
∂∂+
∂∂+=
εε
ε
Her iki taraf 2
1 )dx( terimine bölünürse: 2
1
22
1
1
1
12
1111 )x
u()
x
u(
x
u22
∂∂+
∂∂+
∂∂=+ εε
11ε şekil değiştirmesi küçüktür, kareli terimler ihmal edilebilir:
1
111
x
u
∂∂=ε (2.8)
olur. 2x ve
2x yönündeki birim şekil değiştirmeler benzer yolla
2
222
x
u
∂∂=ε ve
3
333
x
u
∂∂=ε (2.9)
bulunabilir.
12ε açısal şekil değiştirmesi, cismin 21 xx − düzlemindeki açılarında olan değişim olarak tanımlanır. abcd
düzlemi yer ve şekil değiştirerek a’b’c’d’ düzlemi olmuştur. a noktasındaki dik açı ab kenarının α açısı kadar, ad kenarının da β açısı kadar dönmesi sonucu )(2 βαπ +− olmuştur. Toplam açısal değişim
βαε +=12
dır. α ve β küçük açılardır. Tanjantları kendilerine eşit alınabilir:
Yüksüz, yer ve şekil değiştirmemiş geometri
Yüklenmiş, yer ve şekil değiştirmiş geometri
0u = 0u =
2.4 Şekil değiştirme-yer değiştirme bağıntıları ε şekil değiştirmeleri ile u yer değiştirmeleri arasındaki diferansiyel
bağıntılardır. Geometrik uygunluk veya süreklilik koşulları da denir. Yüksüz bir cisimde ne yer değiştirme ne de şekil değiştirme vardır. Yükler altındaki cismin noktaları yer değiştirir ve cisim şekil değiştirir. Cismin içindeki prizmatik bir cisimciğin kenarları normal gerilmelerin etkisiyle uzar veya kısalır. Kayma gerilmeleri de cisimciğin çarpılmasına, açılarının değişmesine neden olur. Prizmatik cisimciğin yer ve şekil değiştirmemiş abcd yüzünün yer ve şekil değiştirmiş durumu a’b’c’d’ dir. Her iki yüz büyütülerek sağ alttaki şekilde gösterilmiştir. dx1 uzunluğundaki ab lifi a’b’ olmuştur. ab nin birim boy değişimi
0u =
p
0u =
22
2 dxx
u
∂∂
α
2dx
1dx2dx
1dx
β1
1
2 dxx
u
∂∂
22
1 dxx
u
∂∂
11
1 dxx
u
∂∂
1u
2u
)
(2/
β+α−
π
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 23
1
2
111
1
1
2
1
1
11
1
1
2
x
u
dx)1(
dxx
u
dxx
udx
dxx
u
Tan∂∂≈
+∂∂
=
∂∂+
∂∂
=≈ε
αα
2
1
222
2
2
1
2
2
22
2
2
1
x
u
dx)1(
dxx
u
dxx
udx
dxx
u
Tan∂∂≈
+∂∂
=
∂∂+
∂∂
=≈ε
ββ
2
1
1
212
x
u
x
u
∂∂+
∂∂=ε (2.10)
olur. Benzer yolla
3
2
2
323
x
u
x
u
∂∂+
∂∂=ε ve
1
3
3
131
x
u
x
u
∂∂+
∂∂=ε (2.11)
olduğu gösterilebilir. Bu bağıntılar mukavemetten çok iyi bilinmektedir. 2.8 den 2.11 e kadar olan bağıntılar bir araya toplanır ve matris notasyonunda yazılırsa
1
3
3
131
3
2
2
323
2
1
1
212
3
333
2
222
1
111
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂=
ε
ε
ε
ε
ε
ε
olur. D diferansiyel operatör matrisinin transpozu 2.5 de tanımlanmıştı. 1221 εε = , 2332 εε = ve 3113 εε =
dir. Bu nedenle, 133221 ,, εεε şekil değiştirmeleri ε vektörüne eklenmemişlerdir. 2.12 bağıntısına süreklilik
koşulu da denir.
111 <<ε dir, 1 in yanında ihmal edilebilir: 11 11 ≈+ε
122 <<ε dir, 1 in yanında ihmal edilebilir: 11 12 ≈+ε
uD=ε{
u
u
u
u
D
x0
x
xx0
0xx
x00
0x
0
00x
3
2
1
13
23
12
3
2
1
31
23
12
33
22
11
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
444 3444 21
321ε
εεεεεε
(2.12)
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 24
2.5 Gerilme-şekil değiştirme bağıntıları Gerilmeler ile şekil değiştirmeler veya şekil değiştirmeler ile gerilmeler arasındaki, deneysel olarak ortaya konmuş, bağıntılardır. Bünye denklemleri, malzeme kanunu veya HOOKE kanunu1 da denilmektedir. İzotrop, doğrusal elastik malzeme ve küçük şekil değiştirmeler için aşağıda özetlenen bağıntılar mukavemetten bilinmektedir. Şekil değiştirme- gerilme bağıntıları: ε ile σ arasındaki bağıntılardır: (2.13)
Gerilme- şekil değiştirme bağıntıları: σ ile ε arasındaki bağıntılardır:
3131
2323
1212
22113333
33112222
33221111
)1(2
E
)1(2
E
)1(2
E
])1[()21)(1(
E
])1[()21)(1(
E
])1[()21)(1(
E
ευ
σ
ευ
σ
ευ
σ
υευεευυυ
σ
υευεευυυ
σ
υευεευυυ
σ
+=
+=
+=
++−−+
=
++−−+
=
++−−+
=
(2.14)
Matris notasyonunda (2.15)
1 Robert HOOKE (1635-1703, İngiliz ) tarafından bir eksenli gerilme durumu için 1660-1678 yıllarında ortaya konuldu. Leonhard EULER (1707-
1783, İsviçreli), Thomas YOUNG (1773 –1829, İngiliz) , Giordano RICATTI (1782 civarı, İtalyan), Augustin-Louis CAUCHY (1789 – 1857,
Fransız), Siméon Denis POISSON (1781 –1840, Adhémar Jean Claude Barré de SAINT-VENANT (1797 –1886), Fransız) katkıları ile geliştirildi,
genelleştirildi ve genel HOOKE kanunu olarak anılmaya başladı.
321
4444444444444 34444444444444 21
321ε
εεεεεε
υ
υ
υυυυ
υυυυυυ
υυ
σσσσσσσ
−
−
−−
−−
−+=
31
23
12
33
22
11
31
23
12
33
22
11
E
2
)21(00000
02
)21(0000
002
)21(000
0001
0001
0001
)21)(1(
E
3131
2323
1212
22113333
33112222
33221111
E
)1(2E
)1(2E
)1(2
)(E
1
)(E
1
)(E
1
συε
συε
συε
υσυσσε
υσυσσε
υσυσσε
+=
+=
+=
−−=
−−=
−−=
321444444444 3444444444 21321σ
σσσσσσ
υυ
υυυ
υυυυ
εεεεεεε
++
+−−
−−−−
=
31
23
12
33
22
11
31
23
12
33
22
11
G
)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
E
1 σε G=
εσ E=
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 25
E matrisine malzeme rijitlik, G matrisine malzeme esneklik matrisi de denir. Her ikisi de 6x6 boyutlu,
simetrik ve pozitif tanımlıdır(determinantı sıfırdan farklı). Biri diğerinin tersidir: 1EG
−= veya 1GE
−= . Bu
matrisler sadece malzemenin E elastisite modulüne1 ve υ Poisson oranına bağlıdır. E ve υ sayılarına malzeme sabitleri de denir2. Malzemenin G kayma modülü
)1(2
EG
υ+= (2.16)
ile tanımlanır. Herhangi ikili bilinirse üçüncüsü bu bağıntıdan hesaplanabilir. Kayma modülü kayma şekil değiştirmeleri ile kayma gerilmeleri arasındaki ilişkiyi kurar. 2.16 kullanılarak 2.13 ve 2.14 bağıntılarından aşağıdaki bağıntılar çıkartılabilir.
(2.17)
2.6 İki eksenli durum
Dış yükleri düzlemi içinde olan levhalar düzlem problem olarak ele alınabilir. İki farklı problem türü vardır: a) Düzlem gerilme durumu b) Düzlem şekil değiştirme durumu. a) Düzlem gerilme durumu:
Varsayım:
0,0
0
333231
313233
≠=====
εεεσσσ
Bu varsayımlar 2.1-2.15 arasındaki genel bağıntılarda yerine konarak aşağıda özetlenen bağıntılar bulunur. Yük vektörleri: [ ]T
21 ppp = , [ ]T
21 ggg =
Yer değiştirme vektörü: [ ]T
21 uuu =
Gerilme vektörü: [ ]T
122211 σσσσ =
Şekil değiştirme vektörü: [ ]T
122211 εεεε =
1 E elastisite modülüne (İngiliz Thomas YOUNG’a, 1773 –1829 ithafen) YOUNG modülü de denir. Elastisite modülü kavramını YOUNG’ dan önce,
1727 yılında İsviçreli Leonhard EULER(1707-1783) kullanmış, ilk deneysel çalışmaları da İtalyan Giordano RICATTI 1782 yılında
gerçekleştirmiştir. 2 E ve G simetrik 6x6 boyutlu kare matrislerdir. Yapı malzemelerinde(Çelik, beton,…) E>0, 0≤υ <0.5 dir. Bu nedenle E ve G matrislerinin
determinantı det E≠ 0 ve det G≠ 0 dır, tersleri daima vardır. Determinantı sıfırdan farklı ve simetrik olan matrislere pozitif definit(pozitif tanımlı)
matris denir. Pozitif definit matrisler sıfırdan farklı herhangi bir tamamen keyfi vektör ile soldan ve sağdan çarpıldığında daima pozitif bir sayı elde
edilir. Yani x≠0 herhangi bir keyfi vektör olmak üzere daima xT E x>0 dır. xT E x>0 ifadesine kare form da denir. Bu özellikten ilerideki konularda
yararlanılacaktır.
313131
232323
121212
G)1(2
E
G)1(2
E
G)1(2
E
εευ
σ
εευ
σ
εευ
σ
=+
=
=+
=
=+
=
GE
)1(2GE
)1(2GE
)1(2
313131
232323
121212
σσυε
σσυε
σσυε
=+=
=+=
=+=
p2
x1
x2
p1
Levha
L t
Kesit
t<<ht<<L
x3
Sağda görülen levhanın kalınlığı diğer iki boyutu yanında çok küçüktür. Levha ve dış yükler x1-x2 düzlemindedir. Levhanın noktaları, mesnetler hariç, x3 yönünde engellenmemiştir, Poisson etkisiyle levha bu yönde şekil değiştirebilir(şişer veya büzülür) fakat, engelleme olmadığı için, bu yönde gerilme oluşmaz.
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 26
Denge denklemleri:
Şekil değiştirme–yer değiştirme bağıntıları:
uD
u
u
xx
x0
0x
2
1
12
2
1
12
22
11
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
ε
εεε
Şekil değiştirme-gerilme bağıntıları: Gerilme-şekil değiştirme bağıntıları:
b) Düzlem şekil değiştirme durumu: Varsayım:
0,0
0,0u
333231
3132333
≠======
σσσεεε
Yük vektörleri: [ ]T
21 ppp = , [ ]T21 ggg =
Yer değiştirme vektörü: [ ]T
21 uuu =
Gerilme vektörü: [ ]T122211 σσσσ =
(2.18)
=
=
12
21T
T
nn0
n0nn
pn σ
εσ
εεε
υυ
υ
υσσσ
E
2
100
01
01
1
E
12
22
11
2
12
22
11
=
−−=
0
)(1
1)(
E
1
3231
2211221133
==
−−−
=−−=
εε
υευευ
υσυσε
Poisson etkisiyle x3 doğrultusunda oluşan şekil değiştirme:
Sağda görülen istinat duvarı ve basınçlı borunun x3 yönünde boyu çok uzundur. Bu yönde yer değiştirme ve şekil değiştirme olmaz, u3=0 dır. Ağırlık barajı, tüneller, basınçlı borular ve zemin mekaniği problemlerinde de durum aynıdır. Birim kalınlıkta bir dilim çıkartılırsa dış yükler ve yer değiştirmeler x1-x2 düzleminde olacaktır. x3 yönünde yer değiştirme engellendiği için gerilme oluşacaktır.
Bu varsayımlar 2.1-2.15 arasındaki genel bağıntılarda yerine konarak aşağıda özetlenen bağıntılar bulunur.
σε
σσσ
υυ
υ
εεε
G
)1(200
01
01
E
1
12
22
11
12
22
11
=
+−
−=
(V hacminde)
(Op yüzeyinde)
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
=+
12
21T
T
xx0
x0
xD
0gD σ
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 27
Şekil değiştirme vektörü: [ ]T122211 εεεε =
Denge denklemleri:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
=+
12
21T
T
xx0
x0
xD
0gD σ
Şekil değiştirme–yer değiştirme bağıntıları:
uD
u
u
xx
x0
0x
2
1
12
2
1
12
22
11
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
ε
εεε
Şekil değiştirme-gerilme bağıntıları: Gerilme-şekil değiştirme bağıntıları: x3 doğrultusunda oluşan gerilme:
0, 3231221133 ==+= εσυσυσσ
2.7 Bir eksenli durum
Sadece eksenel kuvveti olan kafes sistemlerdeki gerilme durumudur. Eleman x1 ekseni boyunca uzar veya kısalır. Poisson etkisi olmadığı(( = 0) , �� ≠ 0, ��� ≠ 0, ��� ≠ 0 ve tüm diğer gerilme ve şekil değiştirmelerin sıfır olduğu varsayılır. Bu nedenle � → ��, � → ���, � → ���, � → �, + → +.
��� =,
,-.�� (2.20)
��� = ����
=
=
12
21T
T
nn0
n0nn
pn σ
εσ
εεε
υυυ
υυ
υυσσσ
E
2
2100
01
01
)21)(1(
E
12
22
11
12
22
11
=
−−
−
−+=
1
1X2
X3 X1
Su
g2
X2
X1
Ağırlık barajı Birim kalınlıkta dilim
p1
11σ
11σ
σε
σσσ
υυυυ
υ
εεε
G
200
01
01
E
1
12
22
11
12
22
11
=
−−−−
+=
(V hacminde) (Op yüzeyinde)
(2.19)
2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar
Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 28
2.8 Problem türleri ve çözüm yöntemleri Uygulamada çözülmesi gereken en yaygın problem şudur: Geometrisi, malzemesi, g,p yükleri ve mesnet
koşulları bilinen elastik cismin(sistemin) u yer değiştirme, σ gerilme ve ε şekil değiştirme vektörlerinin
hesaplanması istenir. σ gerilmeleri dayanım hesapları için, u yer değiştirmeleri kullanılabilirlik için
gereklidir.
Çözülmesi gereken sistemin malzemesi ve geometrisi doğrusal veya doğrusal olmayan türden olabilir. Yüklerin etkime şekline bağlı olarak problem statik veya dinamik olarak ele alınabilir. Çözüm; cismin yer değiştirme, şekil değiştirme ve gerilme fonksiyonlarının belirlenmesi anlamındadır, analitik veya nümerik(sayısal) olarak yapılabilir. Analitik çözüm 2.5, 2.12 ve 2.15 diferansiyel denklemlerinin integrasyonu yoluyla u yer değiştirme, ε şekil değiştirme ve σ gerilme fonksiyonlarının bulunması esasına dayanır. Sağlanması gereken 15 bağıntı vardır, bunlardan 9 u kısmi diferansiyellidir. Çözüm için cismin sınır koşulları kullanılır. Son derece kısıtlı ve teorik düzeyde kalan uygulaması vardır. Geometrisi, yükleri ve sınır koşulları karmaşık olmayan çok basit sistemlerin çözümü dışında kullanılamaz. Nümerik(sayısal) çözüm yöntemleri 2.5, 2.12 ve 2.15 bağıntılarını doğrudan kullanmazlar, bu bağıntılar ile yaklaşık aynı anlama gelen, genelde enerji yöntemlerini kullanırlar. Sistemin çözümünü yer değiştirmeleri ve/veya gerilmeleri bilinmeyen olarak içeren bir denklem sisteminin çözümüne dönüştürürler. Sonlu elemanlar metodu enerji temellidir. Bilinmeyenlerin yer değiştirmeler olması durumunda Sonlu elemanlar yer değiştirme veya rijitlik metodu(displacement or Stiffness method), gerilmeler olması durumunda Sonlu elemanlar kuvvet veya Fleksibilite metodu(force or flexibility method), hem yer değiştirmeler hem de gerilmeler olması durumunda Karma sonlu elemanlar metodu(mixed method) adını alır. Yer değiştirme metodu yaygın olarak kullanılmaktadır. Kuvvet metodu ve karma metod uygulama alanı bulamamıştır. Bu ders notları sonlu elemanlar yer değiştirme metodunun temel ilkelerini içermektedir.
σ
σ ,u
σ
σ ,u