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MANUAL DEL SOFTWARE TRENDPRUEBAS ESTADÍSTICAS DE SERIES DE
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PRUEBAS ESTADÍSTICAS DE SERIES DETIEMPO HIDROLOGICAS
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01 S. Fonseca 24/02/2015
02
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Tabla de contenido
I. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... 4II. ASPECTOS BÁSICOS DE PRUEBAS ESTADÍSTICAS. .......................................................................... 4
2.1. Hipótesis .......................................................................................................................................... 42.2. Prueba Estadística .......................................................................................................................... 42.3. El nivel de significancia .................................................................................................................. 42.4. Tipo de Errores ................................................................................................................................ 42.5. Pruebas Paramétricas. .................................................................................................................... 42.6. Pruebas no Paramétricas ............................................................................................................... 4
III. Descripción de las pruebas estadísticas usadas en el TREND ........................................................... 53.1. Pruebas de Tendencias .................................................................................................................. 5
3.1.1. Prueba de Mann-Kendall (No Paramétrica) .......................................................................... 53.1.2. SPEARMAN’S RHO (No Paramétrica) ................................................................................... 53.1.3. Regresión Linear (Paramétrica) ............................................................................................. 6
3.2. Pruebas de quiebres de Medias/Medianas .................................................................................... 6
3.2.1. CUSUM .................................................................................................................................... 63.2.2. Desviación Acumulada .......................................................................................................... 73.2.3. Razón Verosimilitud de Worsley ........................................................................................... 8
3.3. Pruebas de diferencias de medias/medianas ............................................................................... 93.3.1. Suma de Rangos ..................................................................................................................... 93.3.2. STUDENT’S ........................................................................................................................... 10
3.4. Pruebas de aleatoriedad ............................................................................................................... 103.4.1. Cruce de mediana ................................................................................................................. 103.4.2. Puntos de inflexión ............................................................................................................... 103.4.3. Diferencias de filas ............................................................................................................... 113.4.4. Autocorrelación .................................................................................................................... 11
IV. Instalación del TREND. .......................................................................................................................... 124.1. Instalación de .NET ....................................................................................................................... 124.2. Instalación de Visual J. NET ......................................................................................................... 14
4.3. Instalación del TREND. ................................................................................................................. 16V. Tutorial del TREND................................................................................................................................. 18
5.1. Formato de entrada. ...................................................................................................................... 18Formato ............................................................................................................................... 18Data vacía ............................................................................................................................ 18Encabezados ....................................................................................................................... 18Fechas ................................................................................................................................. 19
5.2. Uso del TREND .............................................................................................................................. 195.2.1. Comenzando el TREND. ....................................................................................................... 195.2.2. Datos de Entrada. ................................................................................................................. 195.2.3. Opciones para las pruebas estadísticas. ........................................................................... 20
Selección de prueba estadística. ...................................................................................... 21Selección de remuestreo. .................................................................................................. 21Seleccionar periodo............................................................................................................ 21
Display ................................................................................................................................. 21Corrida ................................................................................................................................. 21
5.2.4. Opciones en resultados ....................................................................................................... 21Selección de la prueba estadística ................................................................................... 22Resumen de estadísticos ................................................................................................... 22Resultados de Pruebas estadísticas ................................................................................. 22
5.2.5. Guardando los resultados. .................................................................................................. 22VI. Bibliografía ..................................................................................................................................... 23
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Lista de Figuras
Figura N° 1 Ventana de instalación de .NET .................................................................................... 12 Figura N° 2 Ventana de autorización para instalar .NET ............................................................... 13 Figura N° 3 Ventana de condiciones de licencia de .NET ............................................................. 13 Figura N° 4 Instalación del .NET ........................................................................................................ 13 Figura N° 5 Ventana de conclusión de la instalación de .NET ..................................................... 14 Figura N° 6 Ventana de instalación de J.NET .................................................................................. 14 Figura N° 7 Ventana de autorización para instalar J.NET ............................................................. 14 Figura N° 8 Ventana de bienvenida a la instalación de J.NET ...................................................... 15
Figura N° 9 Ventana de términos de licencia de J.NET ................................................................ 15
Figura N° 10 Instalación del J.NET .................................................................................................... 16 Figura N° 11 Ventana de conclusión de la instalación de J .NET ................................................ 16 Figura N° 12 Ventana de instalación de .NET .................................................................................. 17 Figura N° 13 Ventana de bienvenida a la instalación del TREND ................................................ 17 Figura N° 14 Ventana de términos de licencia del TREND ............................................................ 17 Figura N° 15 Ventana selección de folder para instalación del TREND ..................................... 18 Figura N° 16 Ventana de inicio del TREND ...................................................................................... 19 Figura N° 17 Ventana de selección de archivo de datos ............................................................... 19 Figura N° 18 Ventada de carga de data en el TREND ..................................................................... 20 Figura N° 19 Ventada de opciones de las pruebas estadísticas .................................................. 20 Figura N° 20 Ventana de corridas de las pruebas estadísticas.................................................... 21
Figura N° 21 Ventada de resultados del TREND ............................................................................. 22 Figura N° 22 Resultados del TREND en el Excel ............................................................................ 22
Lista de Cuadros
Cuadro N° 1 valores críticos Q / √ n .................................................................................................... 8 Cuadro N° 2 de valores críticos W ........................................................................................................ 9
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MANUAL DEL SOFTWARE TREN
PRUEBAS ESTADÍSTICAS DE SERIES DE TIEMPO HIDROLOGICAS
I. INTRODUCCIÓN
El software TREND está diseñado para facilitar pruebas estadísticas para la tendencia,el cambio y la aleatoriedad en series de tiempo hidrológicas. El TREND tiene 12 pruebasestadísticas, que se basan en el trabajo de expertos de la OMM y UNESCO, que sepresentaron en un taller sobre la tendencia, detección de cambio en series de tiempohidrológicas, y publicado como Hydrological Recipes: Estimation Techniques in
Australian Hydrology' by Grayson et. El TREND es fácil de usar y se basa en las pruebasestadísticas que son relativamente robusto y fácil de entender.
II. ASPECTOS BÁSICOS DE PRUEBAS ESTADÍSTICAS.
2.1. Hipótesis
El punto de partida de una prueba estadística es definir una hipótesis nula (H0) y unahipótesis alternativa (H1). Por ejemplo, para la prueba de tendencia en una serie detiempo, H0 sería que no existe una tendencia en los datos, y H 1 sería que hay unatendencia creciente o decreciente.
2.2. Prueba Estadística
La prueba estadística, conocido también como test estadístico, es un medio decomparar H0 y H1. Es un valor numérico calculado a partir de la serie de datos, quese está probando.
2.3. El nivel de significancia
El nivel de significación es una forma de medir si la estadística de las prueba es muydiferente de los valores (críticos) que normalmente se producirían bajo H0.
2.4. Tipo de Errores
Hay dos posibles tipos de errores. Error de tipo I es cuando H0 es rechazada deforma incorrecta. Error de tipo II es cuando H0 es aceptada cuando H1 es cierto.
2.5. Pruebas Paramétricas.
Las pruebas paramétricas suponen que los datos de series de tiempo y los erroressiguen una distribución particular (distribución suele ser normal). Las Pruebas
paramétricas son útiles, pueden cuantificar el cambio en los datos (por ejemplo,magnitud del cambio en la media o la pendiente de la tendencia). Las pruebasparamétricas son generalmente más potentes que las pruebas no paramétricas.
2.6. Pruebas no Paramétricas
Las pruebas no paramétricas son generalmente no se ajustan a una distribución.Pueden detectar las tendencias y los cambios, pero no cuantifican el tamaño de latendencia o cambio. Son muy útiles porque la mayoría de series temporales de datoshidrológicos no se distribuyen normalmente.
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III. Descripción de las pruebas estadísticas usadas en el TREND
3.1. Pruebas de Tendencias
3.1.1. Prueba de Mann-Kendall (No Paramétrica)
Los valores de la serie de tiempo n (X1, X2, X3, ……Xn), son remplazados porrangos relativos (R1, R2, R3, ….. Rn). El estadístico es:
( +)
=+−=
Donde:
sgn(x) = 1 for x > 0
sgn(x) = 0 for x = 0sgn(x) = -1 for x < 0
Si la hipótesis nula H0 es verdadera, S es aproximadamente a la distribuciónnormal con:
0 y ( 1)(25)/18 Por tanto, el estadístico z es:
||/. Valores críticos para varios niveles de significación se pueden obtener de lastablas de probabilidad normal. Un valor positivo de S indica que hay unatendencia creciente y viceversa.
3.1.2.SPEARMAN’S RHO (No Paramétrica)
Determina si es significativa la correlación entre dos variables. Al igual que laprueba de Mann-Kendall, los valores de la serie de tiempo n se sustituyenpor sus filas. La rho y la s son estadística de prueba estadística, se obtieneen la misma forma que el coeficiente de correlación de la muestra habitual,para el uso de filas: xi (tiempo), yi (variable de interés).
/().
( ̅)
=
( ̅)= ( ̅)
=
( ̅)
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3.1.3. Regresión Linear (Paramétrica)
Se trata de una prueba paramétrica que supone que los datos se distribuyennormalmente. Comprueba si hay una tendencia lineal mediante el examen dela relación entre el tiempo (x) y la variable de interés (y). El gradiente deregresión se calcula por:
∑ ( ̅)( ̅)=∑ ( ̅)= ̅ ̅ La prueba estadística S es:
/ Donde:
12 ∑ ( )=( 2)( 1)
La prueba estadística S sigue una distribución t de Student con n-2 grados de
libertad bajo la hipótesis nula (valores críticos para varios niveles designificación se pueden obtener de tablas estadísticas t de Student). La pruebade regresión lineal asume que los datos se distribuyen normalmente y que loserrores (desviaciones de la tendencia) son independientes y sigue la mismadistribución normal con media cero.
3.2. Pruebas de quiebres de Medias/Medianas
3.2.1. CUSUM
Este método comprueba si el medio en dos partes de un registro es diferente(para un tiempo desconocido de cambio). Es una prueba no paramétrica(distribución libre). Dado las series de tiempo de datos (x1, x2, x3, ….., xn), la
prueba estadística se define como:
( )= k = 1,2,,3, ….. , n
sgn(x) = 1 for x > 0sgn(x) = 0 for x = 0sgn(x) = -1 for x < 0
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Donde: xmediana es el valor de la mediana de Xi
La distribución de Vk sigue la Kolmogorov-Smirnov para dos muestras:
(KS = (2 / n) max | Vk |)
Con los valores críticos de max | Vk | dada por:
α= 0.10 1.22 (n)^0.5α= 0.05 1.36 (n)^0.5α= 0.01 1.63 (n)^0.5
Un valor negativo de Vk indica que la última parte de la data histórica tieneuna mediana superior a la primera parte y viceversa.
3.2.2. Desviación Acumulada
Este método comprueba si las series de tiempo dividido en dos partes sondiferentes (para un tiempo desconocido de cambio). La prueba supone que losdatos se distribuyen normalmente.
E(xi) = μ i = 1,2,3,…..,m E(xi) = μ + Δ
i = m+1, m+1, m+2, ….., n
Donde μ es la media antes de la modificación y Δ es el cambio en la media.
Las desviaciones acumulativas de los medios se calculan como:
∗ 0 ∗ ∑ ( ̅)= k = 1,2,3, …, n
Y las sumas parciales ajustadas a escala modificada se obtienen dividiendolos valores Sk* por la desviación estándar:
∗∗ ∗ / ( ̅)
=
Y se calcula para cada año, con el valor más alto indica el punto de cambio.
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Valores críticos de Q / √ n se dan en la siguiente tabla. Un valor negativo de
Sk* Indica que la última parte del registro tiene una media superior a la primeraparte y viceversa.
Cuadro N° 1 valores críticos Q / √ n
NQ/√n al nivel de significancia
α = 0.10 α = 0.05 α = 0.01 10 1.05 1.14 1.2920 1.1 1.22 1.4230 1.12 1.24 1.4640 1.13 1.26 1.550 1.14 1.27 1.52
100 1.17 1.29 1.55α 1.22 1.36 1.63
Fuente: Manual del TREND.
3.2.3. Razón Verosimilitud de Worsley
Este método comprueba si las series de tiempo dividido en dos partes sondiferentes (para un tiempo desconocido de cambio). La prueba supone que losdatos se distribuyen normalmente. Es similar a la prueba de la desviaciónacumulada, pero los pesos de los valores de Sk * en función de su posición enla serie temporal.
∗ ( )−.∗ ∗∗ ∗/ La prueba estadística W es:
( 2).( 1 ). Donde:
|∗∗| Los valores críticos de W se dan en la tabla a continuación. Un valor negativode W indica que la última parte del registro tiene una media mayor que la parteanterior y viceversa.
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Cuadro N° 2 de valores críticos W
NW al nivel de significancia
α = 0.10 α = 0.05 α = 0.01 10 3.14 3.66 4.9315 2.97 3.36 4.3220 2.9 3.28 4.1325 2.89 3.23 3.9430 2.86 3.19 3.8635 2.88 3.21 3.8740 2.88 3.17 3.7745 2.86 3.18 3.7950 2.87 3.16 3.79
Fuente: Manual del TREND
3.3. Pruebas de diferencias de medias/medianas
3.3.1. Suma de Rangos
Este método evalúa si las medianas de dos períodos son diferentes. Paracalcular el estadístico de la prueba de suma de rangos: clasifique todos losdatos, a partir de 1 (el más pequeño) a N (grande). En el caso de las relaciones(valores iguales en los datos), utilizará el promedio de filas.
Calcular una estadística S como la suma de rangos de las observaciones enel grupo más pequeño (el número de observaciones en el grupo más pequeñose denota como N, y el número de observaciones en el grupo más grande se
denota como m); y calcular la media teórica y la desviación estándar de S paratoda la muestra.
µ= n (N + 1) / 2
δ= [n m (N + 1) / 12]0.5
La forma estandarizada de los Zrs Prueba estadística se calcula como:
Zrs = (S – 0.5 – µ) / δ Si S > µZrs = 0 Si S = µZrs = S + 0.5 – µ / δ Si S < µ
Zrs es una distribución aproximadamente normal, y los valores estadísticos deprueba críticos para varios niveles de significación se pueden obtener a partirde tablas de probabilidad normales.
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3.3.2.STUDENT’S
Este método comprueba si la media en dos períodos es diferentes. La pruebasupone que los datos se distribuyen normalmente.
Valores estadísticos de prueba críticos para varios niveles de significación sepueden obtener de tablas estadísticas t de Student:
( ̅ ̅)√ 1 1
Donde X e Y son las medias de los primero y segundo períodos,respectivamente, y m y n son el número de observaciones en los primero ysegundo períodos, respectivamente, y S es la desviación estándar de lamuestra (de toda la m y n observaciones).
3.4. Pruebas de aleatoriedad
3.4.1. Cruce de mediana
Los valores de la serie de tiempo n se sustituyen por 0 si x i < xmediana y por 1 sixi > xmediana
Si las series temporales de datos provienen de un proceso aleatorio, entoncesm (el número de veces que 0 es seguido por 1 o 1 es seguido por 0) es una
distribución aproximadamente normal con:
µ= (n – 1) / 2δ= (n – 1) / 4
Por tanto, z es el estadístico (valores estadísticos de prueba críticos paravarios niveles de significación se pueden obtener de las tablas de probabilidadnormal):
z = | (m – µ) | / δ 0.5
3.4.2. Puntos de inflexión
Los valores de la serie de tiempo n se asignan 1 si x i -1 < x i > xi+1 o xi -1 > xi <xi+1 de lo contario son de valor 0
El número de veces que aparece 1 (m *) es aproximadamente una distribuciónnormal con:
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µ= 2 (n – 2) / 3
δ= (16n – 29) / 90Por tanto, el estadístico z es (valores estadísticos de prueba críticos paravarios niveles de significación se pueden obtener de las tablas de probabilidadnormal):
z = | m* – µ | / δ 0.5
3.4.3. Diferencias de filas
Los valores de las series de tiempo n se sustituyen por las filas relativas apartir de 1 para el más bajo hasta la n. El estadístico U es la suma de las
diferencias absolutas entre clasificación de filas sucesivas:
| −|
=
Para n grande, U tiene una distribución normal con:
µ = (n + 1) (n – 1) / 3
δ = (n – 2) (n + 1) (4n – 7) / 90
Por tanto, z es el estadístico (valores estadísticos de prueba críticos paravarios niveles de significación se pueden obtener de las tablas de probabilidadnormal):
Z = | U – µ | / δ 0.5
3.4.4. Autocorrelación
El coeficiente del primer retardo de la autocorrelación se calcula como:
[∑ ( ̅)( + ̅)−= ][∑ ( ̅)= ]
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Si los datos de series temporales provienen de un proceso aleatorio, entonces
el valor esperado y la varianza de r 1 son:
E(r 1) = - 1 / n
Var (r 1) = (n3 – 3n2 + 4) / [n2 (n2 – 1) ]
Por tanto, z es el estadístico (valores estadísticos de prueba críticos paravarios niveles de significación se pueden obtener de las tablas de probabilidadnormal):
z = | r 1 – E(r 1) | / Var(r 1)0.5
IV. Instalación del TREND.
4.1. Instalación de .NET
El .NET Framework es un componente del Windows, usada para hacer correr variosaplicativos, por lo que se requiere este aplicativo para que corra el TREND.
Se procede a la instalación del .Net, con un doble clic, en el ejecutable, que seentregó en el material del TREND.
Figura N° 1 Ventana de instalación de .NET
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Se da clic en ejecutar y te muestra la ventana, que pregunta si deseamos continuar,
hacemos clic en sí.Figura N° 2 Ventana de autorización para instalar .NET
Se muestra la ventana de la figura N° 3 y se selecciona I agree, y se da clic en Install
para continuar.Figura N° 3 Ventana de condiciones de licencia de .NET
Se instala en aplicativo.
Figura N° 4 Instalación del .NET
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Al término de la instalación nos muestra una pantalla, para aceptar la instalación.
Figura N° 5 Ventana de conclusión de la instalación de .NET
4.2. Instalación de Visual J. NET
J. NET, es un componente de .NET, que tiene la finalidad de complementarfuncionalidades, con el mismo objeto de correr aplicativos en Windows.
Se procede a la instalación del J.Net, con un doble clic, en el ejecutable, que seentregó en el material del TREND.
Figura N° 6 Ventana de instalación de J.NET
Clic en ejecutar y se muestra la ventana, pregunta si deseamos continuar, hacemosclic en sí.
Figura N° 7 Ventana de autorización para instalar J.NET
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Se muestra la ventana de la figura N° 8 y clic en NEXT para continuar.
Figura N° 8 Ventana de bienvenida a la instalación de J.NET
Se muestra la ventana de la figura N° 9 y se selecciona I agree, y se da clic en NEXTpara continuar. Seguidamente en la ventana, para leer en que consiste el J. NET,hay que darle NEXT.
Figura N° 9 Ventana de términos de licencia de J.NET
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Se instala en aplicativo.
Figura N° 10 Instalación del J.NET
Al término de la instalación nos muestra una pantalla, para aceptar la instalación.
Figura N° 11 Ventana de conclusión de la instalación de J .NET
4.3. Instalación del TREND.
Se procede a la instalación del TREND, con un doble clic, en el ejecutable, que seentregó en el material del TREND.
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Figura N° 12 Ventana de instalación de .NET
Al dar clic a ejecutar, nos muestra la ventana de bienvenida a la instalación delTREND, se da clic en NEXT.
Figura N° 13 Ventana de bienvenida a la instalación del TREND
En la ventana de licencia, se lee los términos de uso de la licencia y se da clic en I Agree y en NEXT.
Figura N° 14 Ventana de términos de licencia del TREND
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En la ventana de seleccionar folder, hay que seleccionar el folder en la cual se va
instalar el TREND, se aconseja dejarlo por defecto, luego clic en NEXT, de igualforma NEXT en la siguiente ventana.
Figura N° 15 Ventana selección de folder para instalación del TREND
Se instala el TREND y finalmente te muestra la ventana de instalación completa, secierra la ventana.
V. Tutorial del TREND.
5.1. Formato de entrada.
Formato
EL formato de los archivos de entrada de datos, para las pruebas estadísticas,puede en extensión CDT, SDT y CSV en el TREND, debe tener la siguiente formade organizar los datos:
Date, value1, value2, value3, value4
Data vacía
Si en la serie de datos se tiene vacíos o datos faltantes, estas deben ser rellenadas
con -9999
Encabezados
Como opción se puede especificar nombres de cada serie de tiempo en la primerafila, estos deben ser separados por comas, como se muestra en el ejemplo
Date,rainfall,evaporation,temperatura
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Fechas
Para fines del presente tutorial, se utilizará el siguiente formato de fecha dd/mm/yyy,en TREND, puede leer otros tipos de formato de fecha, pero por lo común en el paísse utiliza el señalado.
5.2. Uso del TREND
5.2.1. Comenzando el TREND.
Al comenzar el trend desde el menú inicio, se muestra la siguiente ventana.
Figura N° 16 Ventana de inicio del TREND
5.2.2. Datos de Entrada.
En la ventana anterior se hace clic en el botón select, seleccionamos la dataque se desee analizar.
Figura N° 17 Ventana de selección de archivo de datos
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Si la data es leída y cargada se visualiza la ventana siguiente, luego para
continuar se le da clic en Next:Figura N° 18 Ventada de carga de data en el TREND
5.2.3. Opciones para las pruebas estadísticas.
La pantalla principal, se muestra varias opciones.
Figura N° 19 Ventada de opciones de las pruebas estadísticas
Panel de
periodo
Selección de
pruebas
estadísticas
Remuestreo
Displey
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Selección de prueba estadística.
En esta parte de la ventana, se puede seleccionar las pruebas estadísticasque deseamos realizar
Selección de remuestreo.
Si se desea trabajar con remuestreo dar check en esta opción si se quiere remuestrear la serie, se tiene que escribir el número de re muestreo, esrecomendado 1000, con esta opción se puede tardar varios minutos pararealizar los cálculos.
Seleccionar periodo.
Se puede separar las series de tiempo en dos periodos, para las pruebas de
suma de rangos y Student.Display
Se señala el número de dígitos, para que muestren los resultados.
Corrida
Después de haber realizado las configuraciones respectivas, se hace clic enNext, para correr el TREND, al terminar se muestra una pantalla deresultados.
Figura N° 20 Ventana de corridas de las pruebas estadísticas
5.2.4. Opciones en resultados
En la siguiente ventada se muestra los resultados de la corrida realizada.
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Figura N° 21 Ventada de resultados del TREND
Selección de la prueba estadística
En esta parte se selecciona la prueba estadística de la cual se quierevisualizar los resultados.
Resumen de estadísticos
En esta parte se muestra las estadísticas básicas de la serie hidrológica.
Resultados de Pruebas estadísticas
En este panel se muestra los resultados de la prueba estadísticaseleccionada
5.2.5. Guardando los resultados.
Para guardar los resultados, se hace clic en el botón en lado derecho inferior,los resultados se guardan en formato CVS, que pueden ser abiertos porExcel.
Figura N° 22 Resultados del TREND en el Excel
Selección de la
prueba
estadística
Resumen de
estadísticos
Resultados de
las pruebas
estadísticas
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VI. Bibliografía
1. Kundzewicz, Z.W. and Robson, A. (Editors) (2000) Detecting Trend and OtherChanges in Hydrological Data. World Climate Program – Water, WMO/UNESCO,WCDMP- 45, WMO/TD 1013, Geneva, 157 pp.
2. Grayson, R.B., Argent, R.M., Nathan, R.J., McMahon, T.A. and Mein, R. (1996)Hydrological Recipes: Estimation Techniques in Australian Hydrology. CooperativeResearch Centre for Catchment Hydrology, Australia, 125 pp.
3. Kuhn M., "A Summary of the International Standard Date and Time Notation",http://www.cl.cam.ac.uk/~mgk25/iso-time.html
4. Houston G., "ISO 8601:1988 Date/Time Representations",http://hydracen.com/dx/iso8601.htm
5. Francis Chiew and Lionel Siriwardena, TREND, trend/change detection software,User Guía, CRC for Catchement Hydrology, Australia 2005, 29 pag.
6. Geoff Podger and Robert Argent, Toolkit Data File Formats, CRC for CatchementHydrology, Australia 2006, 36 pag.