Download - 2004 iii 14 funciones
1
Centro Preuniversitario de la UNS S-15 y 16 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS CICLO 2014 – III
ALGEBRA “Funciones”
I) DEFINICION: Sean A y B dos subconjuntos de R = <-, +>
y “F una relación binaria de A en B”, es decir: F A x B Notación F es una función para cada x A existe un
único y B, tal que y = f(x)
Donde las siguientes notaciones son equivalentes:
y = f(x) (x,y) f Se lee: “y es función de x” o “y es la imagen de x por f”
F(-2) = 3 (-2, 3) F.
II) Definición Simbólica: “f” es una función de A en B si [(x1 ,
y) f (x1 , z) f] y = z
III) Definición Geométrica: “f” es una función cualquier recta vertical perpendicular al eje “x” corta al gráfico de “f” en un solo punto.
Es decir: graf (f) L = {1 punto}
Ejemplos:
01.
P
si 02.
P
P
No
03.
P
o
Si
Propiedad Importante: Toda función es una relación, pero toda relación no necesariamente es una función.
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION
Sea la función f : A B
Conjunto Conjunto de Partida de llegada
Dominio de F: Es el conjunto de las 1ras componentes de los pares: ( x , f (x) )
Rango de F: Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ( x1 f (x) )
Nota Una forma muy sencilla de reconocer que un conjunto de pares ordenados es una función, es observando que todas sus primeras componentes deben ser diferentes.
FUNCION DE APLICACIÓN DEFINICION. Una función “f” se llama APLICACIÓN de A en B Si y solo si Dom F = A IV) CLASES DE FUNCIONES FUNCION INYECTIVA (UNIVALENTE)
Dado F: A B una función de A en B, se dice que “f” es una FUNCION INYECTIVA O UNIVALENTE si cada elemento f(a) del rango f(A) es la imagen de solamente un elemento a es el Dominio de F.
[Dom F = A]. Es decir, si para cada par de elementos x1 , x2
Dom F, DISTINTOS, x1 x2, sus imágenes también son DISTINTAS.
a
b
c
1
2
3
4
A Bf
F(x1) F(x2)
OBSERVACION Una función “f” no es inyectiva, si existen dos elementos distintos
x1, x2, x1 x2, en el dominio de f, que tengan la misma imagen. F(x1) = F(x2)
a
b
c
1
2
3
4
A Bf
DEFINICION FORMAL
Una función “F” es INYECTIVA, sí para cada x1 , x2 Dom f.
F(x1) = f(x2) x1 = x2
“F” es INYECTIVA si para cada par de elementos x1 , x2 Dom f:
x1 x2 f(x1) f(x2)
2. FUNCION SURYECTIVA O SOBREYECTIVA Una función F : A B una función de A en B, se dice que f es una
función sobreyectiva si el rango de “f” coincide con el conjunto de llegada B; es decir, si es que:
Rang (f) = B, donde Ran (F) = F(A)
Nota De la definición de FUNCION SOBREYECTIVA, se sigue que toda función
de la forma f : A Ran(f), siempre será subyectiva, pues el rango (F) coincide
Semana Nº 14
“Corpo nato della prospettiva di Leonardo Vinci discepolo della
sperientia”
Lic. Iván Saavedra Ponte Álgebra.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-15 y 16 Ingreso Directo
INTERPRETACION GEOMETRICA
“F” es sobreyectiva toda recta “l” paralela al eje “x” corta al gráfico de f.
Es decir: graf(f) l
FUNCION BIYECTIVA:
La función f: A B es BIYECTIVA , “F” es a la vez: a) Inyectiva y b) Sobreyectiva ACLARACION: A la función INYECTIVA, también se le llama, función BIONIVOCA.
II. FUNCIONES NOTABLES O ELEMENTALES 01. Función Lineal
* Regla de correspondencia 0a ; ax)x(f
* Dom (f) = IR * Ran (f) = IR
* Gráfico: Recta inclinada que pasa por el origen.
Caso Especial: (cuando a = 1) Función Identidad
Regla de correspondencia f(x) = x
Dom (f) = IR
Ran (f) = IR
Gráfico: Recta que pasa por el origen y forma un ángulo de 45° con el semieje positivo de las x.
02. Función Afin Lineal
Regla de correspondencia: bax)x(f ; 0a
Dom (f) = IR
Ran (f) = IR
Gráfico: Recta inclinada que no pasa por el origen, y cuya ordenada en el origen es b.
03. Función Constante
Regla de correspondencia c)x(f ; IRc
Dom (f) = IR
Ran (f) = {c}
Gráfico: Recta paralela al eje x desplazada en “c” unidades.
04. Función Raíz Cuadrada
* Regla de correspondencia: x)x(f
* Dom (f) = ;0
* Rang (f) = 0;
* Gráfico: Curva semejante a una semiparábola.
05. Función Cuadrática
Regla de Correspondencia: cbxax)x(f 2 ; 0a
Dom (f) = IR
Ran (f) =
0a ; 2a
b-F ; y
0a ; ; a2
bFy
Gráfico: Parábola con vértice en
a2
bf;
a2
bV
Si: 0a , La parábola se abre hacia arriba.
Si: 0a , La parábola se abre hacia abajo.
06. Función Cúbica
Regla de correspondencia: 3x)x(f
Dom (f) = IR
Ran (f) = IR
Gráfico: Se muestra a continuación:
√ En general podemos extender las definiciones previas y definir la FUNCIÓN POTENCIA ELEMENTAL:
07. Función Valor Absoluto
Regla de correspondencia: x )x(f
Y se define como:
0x ; x
0x ; xx y
Dom (f) = IR
Ran (f) = ; 0
Gráfico: Se muestra a continuación (tiene forma de V) con el vértice en el origen.
08. Función Signo
Regla de correspondencia: )xsgn()x(f
Y se define como:
0x ; 1
0x ; 0
0x ; 1-
)xsgn(y
Dom (f) = IR
Ran (f) = 1 ; 0 ; 1
Gráfico: Se muestra a continuación:
Propiedad: IRx ; sgn(x) x |x|
09. Función Escalón Unitario
Regla de correspondencia: )x(aU)x(f
Y se define como:
ax ; 0
ax ; 1Uy )x(a
Dom (f) = IR
Ran (f) = 1 ; 0
Gráfico: Se muestra a continuación:
Propiedad: )ax(a(x))ax(a)x( UU ; UU
10. Función Máximo Entero
Regla de correspondencia: )x(f x
Se define el MÁXIMO ENTERO de x como el mayor de todos lo números enteros menores o iguales que x y se denota por
x es decir: x Z n 1n x n n
con lo cual: Dom ( ) = IR ; Ran ( ) = Z
Lic. Iván Saavedra Ponte Álgebra.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-15 y 16 Ingreso Directo
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sean los conjuntos:
cbaBA 3;2;9;6;4 Si AxB=BxA
calcule el mayor valor de "" cba Considere
que: cba ;; enteros.
A) 8 B) 13 C) 10 D) 11 E) 14
2. Si el punto 24;8 mmQ pertenece a la
grafica de la función .xxf Indique la
alternativa correcta.
A) Q está en el 2º cuadrante
B) Q está en el 4º cuadrante.
C) m es un número negativo
D) m + 2 < 0
E) m – 2 > 0
3. Sea bmxxf una función lineal.
,021 ff calcule .1f
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 1/2
4. Halle las coordenadas del vértice de la grafica de la
función xxxf 22
A) (1;1/2) B) (1/4;1/4) C) (1/4;1/8)
D) (-1/4;-1/8) E) (1/4;-1/8)
5. Si la función:
22;2,8;5,3;2
,23;5,3;
nmnm
nmnmf es
inyectiva, calcule el valor de 2f .
A) 3 B) 4 C) 5 D) 10 E) 13
6. Sea 4;1,2;2,3;6,6;5 f . Halle
ff . (f es la inversa de f ).
A) 3;6,2;2 B) 4;2,5;6 C) 8;6,4;2
D) 9;6,4;2 E) 4;2,9;5
7. Determinar el rango de la función h , si
1;1
12
x
x
xxh
A) 0, B) ;0 C) 0;2
D) 0; E) 2;
8. Halle el dominio de la función:
2
32
16
112153
x
xxxg x
A) 3,4 B) 4;3 C) 5;4
D) 45;3 E) ;53;
9. Determinar el dominio de la función f siendo
20
375
2
2345
xx
xxxxf x y ;0Ranf
A) ;53,4 B) ;3 C) 1;03;4
D) 1;0;53,4 E) 1;53,4
10. Halle el rango de la función f si 1
1
2
2
xx
xxf
A)
2;
3
2 B) 2;0 C) ;0
D) ;2 E)
;
3
2
11. Si el rango de la función g , tal que
12012
2013
x
xg x es ;; bba
Calcule el valor de 22 ab
A) 0 B) 3 C) 1 D) -1 E) 4025
Lic. Iván Saavedra Ponte Álgebra.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-15 y 16 Ingreso Directo
12. De la función 0/;21 2 ttttf , halle su
regla de correspondencia y su dominio.
A) 1;12 xxxf
B) 1;12 xxxxf
C)
1;4
12
xx
xf
D) 1;4
12
xx
xf
E) 1;2
12
xx
xf
13. Halle el rango de la función h con regla funcional
xxxh 2
A)
;
4
1 B)
4
1;
4
1 C)
;
4
1
D)
4
1; E)
4
1;
14. La inversa de la siguiente función
xxxxf 155 está dada por.
A) 0;36
20 2
xx
B) 0;36
180 2
xx
C) 0;36
202
xx
D) 0;36
1802
xx
E) 0;180
36 2
xx
15. El valor mínimo de la función 12 xxxf es
""a y el valor máximo de la función
163 2 xxxg es ""b . Calcule: ""b
a
A) 4
3 B)
2
3 C)
8
3 D) 2 E)
3
3
16. Halle el dominio de la función f .
41
2 411sgn xxxxf
A) 4;11; B) 1, C) 4,1
D) ;4 E) ;1
17. Halle el dominio de la función f .
xx
x
x
xxxf
7
3
2
1
14
A) 5,4 B) 5;4 C) 7;13
D) 5;4 E)
18. Del gráfico:
g
f
x
y
- 2 1
Calcule (m + n), si:
F(x) = mx2 ; g(x) = nx + 2
A) 0 B) 1 C) 2 D) - 1 E) 4
19. Calcule la suma de valores de “x” tal que la relación:
5;,6;5,5;4,4;3,3;2,2;1 xF
No sea una función:
a) 15 b) 13 c) 7 d) 20 e) 11
Lic. Iván Saavedra Ponte Álgebra.
5
Centro Preuniversitario de la UNS S-15 y 16 Ingreso Directo
20. La gráfica de la parábola dada por f(x) = x2 – mx + m
+ 15 es como se muestra en la figura.
Calcular E = m2 – m + 1.
A) 63 B) 73 C) 91 D) 111 E) 133
21. Obtener el número de elementos enteros del dominio
de: 4
552
x
xxxF
A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 6
22. El dominio de la función:
F(x) = 1x +
x6
1 es :
A) [0;4] B) R C) [1;5] D) [2;5] E) [1;6[
23. Hallar el rango de la siguiente función:
F(x) = x2 - 4x + 9; x R
a) [5; +[ b) [2;+[ c) [-2;+[
d) [7;+[ e) [2;5]
24. Obtener el rango de la función: 12
13)(
x
xxF
A) R B) R+ C) R-
2
3
D) R- E) R -
2
1;
3
1
25. Hallar el rango de la función:
F(x) = x2 - 4x + 7; si x <0; 5>
a) [1;5[ b) [3;12[ c) [7;9]
d) [1;+[ e) [7;12[
26. Dada las funciones: xx
xxxf
3
12)(
2
2
; y
xxxg 3)( , hallar la suma de los valores
enteros positivos de: Dom (f) Rang(g)
Rpta.: ...............
27. Calcular (a+b) para que: f[a,b] [-1,5] definida por
3 1-xf(x) sea biyectiva.
Rpta.: ...............
28. f(x) = 3x2 - 12x + 13, x [3,5]. Hallar el valor de verdad
de cada función:
1. f es inyectiva
2. Rang(f) = [4, 28]
3. x, xDom(f) tal que f(x)=0
Rpta.: ...........
29. Un carpintero puede producir carpetas a un costo
unitario de S/. 50. Si las vende a “k” soles c/u; podrá
vender aproximadamente (120-k) carpetas al mes. La
utilidad mensual del carpintero depende del precio de
ventas de las carpetas. Calcule el precio de venta si la
utilidad es máxima.
Rpta.: ...............
30. Hallar el área de la intersección de las relaciones
definidas por:
}1||/),{( 2
1 yxRyxR
}2/),{( 2
2 yRyxR
Rpta.: ...............
y
x
f(x)
Lic. Iván Saavedra Ponte Álgebra.
6
Centro Preuniversitario de la UNS S-15 y 16 Ingreso Directo
EXAMENES UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
01. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I
Determinar el dominio de la siguiente función
62
41)(
x
xxxf
a) 4,33,1 b) 4,1 c) 4,33,1
d) 4,1 e) 5,43,1
02. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I
En la figura adjunta se muestra la gráfica de una
función exponencial, si 32aM donde “a” es la
base de esta función, entonces el valor de M es igual
a:
a) 16
b) 54
c) 1/4
d) 2/27
e) 1/9
03. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I
El conjunto solución de la inecuación
2)1(log3
1 x es:
a) 9
10;1 b)
10
9;1 c) 1;0
d) 3;1 e) 9
10;
10
9
04. SEGUNDO EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – II
Halla el valor de S en el sistema decimal:
sumandos 20
)6()5()4()3( ...45342312 S
a) 3519 b) 3520 c) 3521 d) 3580 e) 3600
05. SEGUNDO EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – II
Si : 15)4( 2 xxg , hallar )6(g .
a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25
06. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I
Dados los conjuntos L = {2, 3, 5} y M = {3, 6, 7, 10}.
Escriba V ó F, si los siguientes conjuntos:
}/),{(1 yxMLyxR
}2/),{(2 xyMLyxR
}5/),{(3 xMLyxR
Son relaciones de L en M. Considere el orden
correlativo de las relaciones dadas para dar su
respuesta.
a) VVV b) VFV c) FVV d) VVF e) FFV
07. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I
Dada la función 2
1)(
x
xxf , 3 < x <4. su rango
está dado por:
a) 5
2;
5
1 b) 5
4;
5
3 c)
6
5;
5
4
d) 6
5;
5
1 e)
5
3;
5
2
08. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2013 – I
El gráfico que corresponde a f(x), si se tiene que:
2)3(83
53)(2 1
2
3
x
x
xxf , es:
Lic. Iván Saavedra Ponte Álgebra.
7
Centro Preuniversitario de la UNS S-15 y 16 Ingreso Directo
09. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2013 – I
Sea 0,2
1)(
a
bx
axxF ; hallar a y b tal que F
= F* Dom(F*) = IR – {2}.
Dar como respuesta a – b.
a) -4 b) -2 c) 0 d) 4 e) 8
10. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – II
La gráfica que representa a la función inversa de la
figura
11. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – II
El dominio de la función 82)( xxh , es:
a) [3,+∞> b) [2, +∞> c) [1/3, +∞>
d) [1/2,+∞> e) <2,+∞>
12. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – I
Sea la función f cuya regla de correspondencia está
dada por 2)( xxf .
De las siguientes afirmaciones:
1. f no tiene inversa en 2;2
2. f tiene inversa en 2;0
3 f no tiene inversa en 0;2
Son ciertas:
a) Solo 1 b) Solo 2 c) Solo 3
d) 2 y 3 e) 1 y 2
13. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – I
Siendo a > 0 a 1, resolver:
aaxax
axa
1log)(log)(log 2
y señale una
de sus soluciones.
a) 1 b) a c) a2 d) a-1 e) a-2
14. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – III
Si F(x) = x2 – x – 2 es una función con dominio
2
9,
2
5Df , entonces, la regla de correspondencia
de su inversa f*(x), si existe, está dada por:
a) 4
9
2
1)(* xxf
Lic. Iván Saavedra Ponte Álgebra.
8
Centro Preuniversitario de la UNS S-15 y 16 Ingreso Directo
b) 4
9
2
1)(* xxf
c) 4
9
2
1)(* xxf
d) 4
9
2
1)(* xxf
e) )(* xf no existe
15. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – III
La suma de los cuadrados de las soluciones de:
32
xe , es:
a) 3ln b) 3ln2 c) 3ln2
d) 0 e) 3ln2
16. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – II
Si f(n) es la suma de “n” miembros de una progresión
aritmética, entonces el valor de
S = f(n+3) – 3f(n+2) + f(n+1) – f(n), es:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 e) 7
17. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – II
Si 19log32
19
2
x
, el valor de x, es:
a) 8 b) 1/8 c) 2 31 d) -1 e) 1
18. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – I
Si 1,33,fD es el dominio de la
función 3
72)(
x
xxf , entonces, el dominio de la
inversa de f es:
a) ,2
b) ,4
92,
c) ,4
92,
d) ,24
9,
e) ,22,
19. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – I
Si 416log 3 x
, evaluar xx 2log
a) 4
3 b) 3
4 c) 2
1 d) 4
1 e) N.A
20. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – I
Si f(x) es una función cuadrática tal que: f(2)=6 f(0)=4,
f(-1)=7, entonces, la suma de los coeficientes de f es:
a) 5
4 b) 3
11 c) 6 d) 7 e) 8