Download - 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04
![Page 1: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/1.jpg)
Квантовые алгоритмы:возможности и ограничения.
Лекция 4: Полиномиальная эквивалентность числаквантовых и классических запросов.
Коммуникационная сложность
М. Вялый
Вычислительный центрим. А.А.Дородницына
Российской Академии наук
Санкт-Петербург, 2011
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 1 / 24
![Page 2: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/2.jpg)
План
1 Завершение доказательства теоремы о полиномиальнойэквивалентности
2 Коммуникационная сложность
3 Задача о пересечении множеств
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 2 / 24
![Page 3: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/3.jpg)
Формулировка
Теорема о полиномиальной эквивалентностиДля любой всюду определенной булевой функции f
Q1/3(f ) 6 R1/3(f ) 6 D(f ) = O(Q1/3(f )6
).
Нижняя оценка квантовой сложности через степень приближения
Для любой булевой функции deg(f ) 6 2Q1/3(f ).
Поэтому достаточно доказать, что D(f ) = O(deg(f )6
).
Определение
deg(f ) — наименьшая степень такого многочлена p(x), что
|p(x)− f (x)| < 13
для всех x .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 3 / 24
![Page 4: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/4.jpg)
Формулировка
Теорема о полиномиальной эквивалентностиДля любой всюду определенной булевой функции f
Q1/3(f ) 6 R1/3(f ) 6 D(f ) = O(Q1/3(f )6
).
Нижняя оценка квантовой сложности через степень приближения
Для любой булевой функции deg(f ) 6 2Q1/3(f ).
Поэтому достаточно доказать, что D(f ) = O(deg(f )6
).
Определение
deg(f ) — наименьшая степень такого многочлена p(x), что
|p(x)− f (x)| < 13
для всех x .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 3 / 24
![Page 5: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/5.jpg)
Формулировка
Теорема о полиномиальной эквивалентностиДля любой всюду определенной булевой функции f
Q1/3(f ) 6 R1/3(f ) 6 D(f ) = O(Q1/3(f )6
).
Нижняя оценка квантовой сложности через степень приближения
Для любой булевой функции deg(f ) 6 2Q1/3(f ).
Поэтому достаточно доказать, что D(f ) = O(deg(f )6
).
Определение
deg(f ) — наименьшая степень такого многочлена p(x), что
|p(x)− f (x)| < 13
для всех x .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 3 / 24
![Page 6: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/6.jpg)
Сертификаты
Частичное присваивание значений переменных
C : S → 0, 1, S ⊆ 1, 2, . . . , n.
b-сертификат (b ∈ 0, 1)Такое частичное присваивание C , что f (x) = b для всех x ,согласованных с C , т. е. xi = C (i) при i ∈ S .
Сертификатная сложностьCx(f ) — длина наименьшего f (x)-сертификата, согласованного с x .
C (f ) = maxx
Cx(f ), C (1)(f ) = maxx :f (x)=1
Cx(f ), C (0)(f ) = maxx :f (x)=0
Cx(f ).
Пример: дизъюнкция
C (1)(OR) = 1; C (0)(OR) = C (OR) = n.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 4 / 24
![Page 7: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/7.jpg)
Сертификаты
Частичное присваивание значений переменных
C : S → 0, 1, S ⊆ 1, 2, . . . , n.
b-сертификат (b ∈ 0, 1)Такое частичное присваивание C , что f (x) = b для всех x ,согласованных с C , т. е. xi = C (i) при i ∈ S .
Сертификатная сложностьCx(f ) — длина наименьшего f (x)-сертификата, согласованного с x .
C (f ) = maxx
Cx(f ), C (1)(f ) = maxx :f (x)=1
Cx(f ), C (0)(f ) = maxx :f (x)=0
Cx(f ).
Пример: дизъюнкция
C (1)(OR) = 1; C (0)(OR) = C (OR) = n.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 4 / 24
![Page 8: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/8.jpg)
Сертификаты
Частичное присваивание значений переменных
C : S → 0, 1, S ⊆ 1, 2, . . . , n.
b-сертификат (b ∈ 0, 1)Такое частичное присваивание C , что f (x) = b для всех x ,согласованных с C , т. е. xi = C (i) при i ∈ S .
Сертификатная сложностьCx(f ) — длина наименьшего f (x)-сертификата, согласованного с x .
C (f ) = maxx
Cx(f ), C (1)(f ) = maxx :f (x)=1
Cx(f ), C (0)(f ) = maxx :f (x)=0
Cx(f ).
Пример: дизъюнкция
C (1)(OR) = 1; C (0)(OR) = C (OR) = n.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 4 / 24
![Page 9: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/9.jpg)
Сертификаты
Частичное присваивание значений переменных
C : S → 0, 1, S ⊆ 1, 2, . . . , n.
b-сертификат (b ∈ 0, 1)Такое частичное присваивание C , что f (x) = b для всех x ,согласованных с C , т. е. xi = C (i) при i ∈ S .
Сертификатная сложностьCx(f ) — длина наименьшего f (x)-сертификата, согласованного с x .
C (f ) = maxx
Cx(f ), C (1)(f ) = maxx :f (x)=1
Cx(f ), C (0)(f ) = maxx :f (x)=0
Cx(f ).
Пример: дизъюнкция
C (1)(OR) = 1; C (0)(OR) = C (OR) = n.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 4 / 24
![Page 10: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/10.jpg)
Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1)(f )t. При каких tалгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24
![Page 11: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/11.jpg)
Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1)(f )t. При каких tалгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24
![Page 12: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/12.jpg)
Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1)(f )t. При каких tалгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24
![Page 13: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/13.jpg)
Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1)(f )t. При каких tалгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24
![Page 14: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/14.jpg)
Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1)(f )t. При каких tалгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24
![Page 15: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/15.jpg)
Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1)(f )t. При каких tалгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24
![Page 16: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/16.jpg)
Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1)(f )t. При каких tалгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24
![Page 17: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/17.jpg)
Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1)(f )t. При каких tалгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24
![Page 18: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/18.jpg)
Блочная чувствительность
Отождествляем множество S ⊆ [1, . . . , n] и его характеристическийвектор χ(S) (χk(S) = 1 ⇔ k ∈ S).
ОпределениеБлочная чувствительность bsx(f ) функции f в точке x равна такомумаксимальному b, что существует набор из b попарнонепересекающихся подмножеств B1, . . . ,Bb, для которыхf (x) 6= f (x ⊕ Bi ).
Блочная чувствительность bs(f ) функции f равна maxx bsx(f ).
УтверждениеЖадный алгоритм работает корректно при t > bs(f ).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 6 / 24
![Page 19: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/19.jpg)
Блочная чувствительность
Отождествляем множество S ⊆ [1, . . . , n] и его характеристическийвектор χ(S) (χk(S) = 1 ⇔ k ∈ S).
ОпределениеБлочная чувствительность bsx(f ) функции f в точке x равна такомумаксимальному b, что существует набор из b попарнонепересекающихся подмножеств B1, . . . ,Bb, для которыхf (x) 6= f (x ⊕ Bi ).
Блочная чувствительность bs(f ) функции f равна maxx bsx(f ).
УтверждениеЖадный алгоритм работает корректно при t > bs(f ).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 6 / 24
![Page 20: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/20.jpg)
Блочная чувствительность
Отождествляем множество S ⊆ [1, . . . , n] и его характеристическийвектор χ(S) (χk(S) = 1 ⇔ k ∈ S).
ОпределениеБлочная чувствительность bsx(f ) функции f в точке x равна такомумаксимальному b, что существует набор из b попарнонепересекающихся подмножеств B1, . . . ,Bb, для которыхf (x) 6= f (x ⊕ Bi ).
Блочная чувствительность bs(f ) функции f равна maxx bsx(f ).
УтверждениеЖадный алгоритм работает корректно при t > bs(f ).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 6 / 24
![Page 21: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/21.jpg)
Блочная чувствительность
Отождествляем множество S ⊆ [1, . . . , n] и его характеристическийвектор χ(S) (χk(S) = 1 ⇔ k ∈ S).
ОпределениеБлочная чувствительность bsx(f ) функции f в точке x равна такомумаксимальному b, что существует набор из b попарнонепересекающихся подмножеств B1, . . . ,Bb, для которыхf (x) 6= f (x ⊕ Bi ).
Блочная чувствительность bs(f ) функции f равна maxx bsx(f ).
УтверждениеЖадный алгоритм работает корректно при t > bs(f ).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 6 / 24
![Page 22: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/22.jpg)
Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1, . . . , Ct исуществуют y , y ′, согласованные со всеми известнымизначениями x и такие, что f (y) = 0, f (y ′) = 1.Пусть Bj — множество переменных, по которым различаются Cj иy , а Bt+1 = y ⊕ y ′.Bj 6= ∅ по построению (f (y) = 0, y 6= y ′).Если r ∈ Bj , то xr = yr 6= Cj(r).При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными кэтому времени значениями x , поэтому r ∈ Bj ⇒ r /∈ Bk , т. е.Bj ∩ Bk = ∅.Поэтому bsy (f ) > t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24
![Page 23: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/23.jpg)
Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1, . . . , Ct исуществуют y , y ′, согласованные со всеми известнымизначениями x и такие, что f (y) = 0, f (y ′) = 1.Пусть Bj — множество переменных, по которым различаются Cj иy , а Bt+1 = y ⊕ y ′.Bj 6= ∅ по построению (f (y) = 0, y 6= y ′).Если r ∈ Bj , то xr = yr 6= Cj(r).При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными кэтому времени значениями x , поэтому r ∈ Bj ⇒ r /∈ Bk , т. е.Bj ∩ Bk = ∅.Поэтому bsy (f ) > t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24
![Page 24: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/24.jpg)
Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1, . . . , Ct исуществуют y , y ′, согласованные со всеми известнымизначениями x и такие, что f (y) = 0, f (y ′) = 1.Пусть Bj — множество переменных, по которым различаются Cj иy , а Bt+1 = y ⊕ y ′.Bj 6= ∅ по построению (f (y) = 0, y 6= y ′).Если r ∈ Bj , то xr = yr 6= Cj(r).При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными кэтому времени значениями x , поэтому r ∈ Bj ⇒ r /∈ Bk , т. е.Bj ∩ Bk = ∅.Поэтому bsy (f ) > t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24
![Page 25: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/25.jpg)
Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1, . . . , Ct исуществуют y , y ′, согласованные со всеми известнымизначениями x и такие, что f (y) = 0, f (y ′) = 1.Пусть Bj — множество переменных, по которым различаются Cj иy , а Bt+1 = y ⊕ y ′.Bj 6= ∅ по построению (f (y) = 0, y 6= y ′).Если r ∈ Bj , то xr = yr 6= Cj(r).При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными кэтому времени значениями x , поэтому r ∈ Bj ⇒ r /∈ Bk , т. е.Bj ∩ Bk = ∅.Поэтому bsy (f ) > t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24
![Page 26: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/26.jpg)
Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1, . . . , Ct исуществуют y , y ′, согласованные со всеми известнымизначениями x и такие, что f (y) = 0, f (y ′) = 1.Пусть Bj — множество переменных, по которым различаются Cj иy , а Bt+1 = y ⊕ y ′.Bj 6= ∅ по построению (f (y) = 0, y 6= y ′).Если r ∈ Bj , то xr = yr 6= Cj(r).При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными кэтому времени значениями x , поэтому r ∈ Bj ⇒ r /∈ Bk , т. е.Bj ∩ Bk = ∅.Поэтому bsy (f ) > t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24
![Page 27: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/27.jpg)
Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1, . . . , Ct исуществуют y , y ′, согласованные со всеми известнымизначениями x и такие, что f (y) = 0, f (y ′) = 1.Пусть Bj — множество переменных, по которым различаются Cj иy , а Bt+1 = y ⊕ y ′.Bj 6= ∅ по построению (f (y) = 0, y 6= y ′).Если r ∈ Bj , то xr = yr 6= Cj(r).При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными кэтому времени значениями x , поэтому r ∈ Bj ⇒ r /∈ Bk , т. е.Bj ∩ Bk = ∅.Поэтому bsy (f ) > t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24
![Page 28: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/28.jpg)
Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1, . . . , Ct исуществуют y , y ′, согласованные со всеми известнымизначениями x и такие, что f (y) = 0, f (y ′) = 1.Пусть Bj — множество переменных, по которым различаются Cj иy , а Bt+1 = y ⊕ y ′.Bj 6= ∅ по построению (f (y) = 0, y 6= y ′).Если r ∈ Bj , то xr = yr 6= Cj(r).При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными кэтому времени значениями x , поэтому r ∈ Bj ⇒ r /∈ Bk , т. е.Bj ∩ Bk = ∅.Поэтому bsy (f ) > t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24
![Page 29: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/29.jpg)
Что дальше?
Доказано
D(f ) 6 bs(f )C (1)(f ).
Лемма 1C (1)(f ) 6 C (f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2.
Лемма 2 (теорема Нисана – Сегеди)
bs(f ) 6 6deg(f )2.
Получим из лемм и оценки deg(f ) 6 2Q1/3(f )
D(f ) 6 bs(f )3 6 216deg(f )6 6 13824Q1/3(f )6,что доказывает теорему о полиномиальной эквивалентности.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 8 / 24
![Page 30: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/30.jpg)
Что дальше?
Доказано
D(f ) 6 bs(f )C (1)(f ).
Лемма 1C (1)(f ) 6 C (f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2.
Лемма 2 (теорема Нисана – Сегеди)
bs(f ) 6 6deg(f )2.
Получим из лемм и оценки deg(f ) 6 2Q1/3(f )
D(f ) 6 bs(f )3 6 216deg(f )6 6 13824Q1/3(f )6,что доказывает теорему о полиномиальной эквивалентности.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 8 / 24
![Page 31: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/31.jpg)
Что дальше?
Доказано
D(f ) 6 bs(f )C (1)(f ).
Лемма 1C (1)(f ) 6 C (f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2.
Лемма 2 (теорема Нисана – Сегеди)
bs(f ) 6 6deg(f )2.
Получим из лемм и оценки deg(f ) 6 2Q1/3(f )
D(f ) 6 bs(f )3 6 216deg(f )6 6 13824Q1/3(f )6,что доказывает теорему о полиномиальной эквивалентности.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 8 / 24
![Page 32: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/32.jpg)
Что дальше?
Доказано
D(f ) 6 bs(f )C (1)(f ).
Лемма 1C (1)(f ) 6 C (f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2.
Лемма 2 (теорема Нисана – Сегеди)
bs(f ) 6 6deg(f )2.
Получим из лемм и оценки deg(f ) 6 2Q1/3(f )
D(f ) 6 bs(f )3 6 216deg(f )6 6 13824Q1/3(f )6,что доказывает теорему о полиномиальной эквивалентности.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 8 / 24
![Page 33: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/33.jpg)
Доказательство леммы 1 (C (f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2)
Рассмотрим для некоторого x максимальный наборчувствительных блоков B1, . . . ,Bb, причем каждый блок выберемминимальным по включению.Присваивание X : ∪i Bi 7
x−→ 0, 1 является f (x)-сертификатом:если y согласован с X и f (y) 6= f (x), то Bj ∪ y ⊕ x являетсясистемой чувствительных блоков для x .
Размер каждого блока Bj не больше sx⊕Bj (f ) 6 s(f ):f (x ⊕ Bj ⊕ ek) = f (x ⊕ B ′
j ) = f (x) 6= f (x ⊕ Bj).
Следовательно, C (f ) 6 sx(f )bsx(f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 9 / 24
![Page 34: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/34.jpg)
Доказательство леммы 1 (C (f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2)
Рассмотрим для некоторого x максимальный наборчувствительных блоков B1, . . . ,Bb, причем каждый блок выберемминимальным по включению.Присваивание X : ∪i Bi 7
x−→ 0, 1 является f (x)-сертификатом:если y согласован с X и f (y) 6= f (x), то Bj ∪ y ⊕ x являетсясистемой чувствительных блоков для x .
Размер каждого блока Bj не больше sx⊕Bj (f ) 6 s(f ):f (x ⊕ Bj ⊕ ek) = f (x ⊕ B ′
j ) = f (x) 6= f (x ⊕ Bj).
Следовательно, C (f ) 6 sx(f )bsx(f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 9 / 24
![Page 35: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/35.jpg)
Доказательство леммы 1 (C (f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2)
Рассмотрим для некоторого x максимальный наборчувствительных блоков B1, . . . ,Bb, причем каждый блок выберемминимальным по включению.Присваивание X : ∪i Bi 7
x−→ 0, 1 является f (x)-сертификатом:если y согласован с X и f (y) 6= f (x), то Bj ∪ y ⊕ x являетсясистемой чувствительных блоков для x .
Размер каждого блока Bj не больше sx⊕Bj (f ) 6 s(f ):f (x ⊕ Bj ⊕ ek) = f (x ⊕ B ′
j ) = f (x) 6= f (x ⊕ Bj).
Следовательно, C (f ) 6 sx(f )bsx(f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 9 / 24
![Page 36: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/36.jpg)
Доказательство леммы 1 (C (f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2)
Рассмотрим для некоторого x максимальный наборчувствительных блоков B1, . . . ,Bb, причем каждый блок выберемминимальным по включению.Присваивание X : ∪i Bi 7
x−→ 0, 1 является f (x)-сертификатом:если y согласован с X и f (y) 6= f (x), то Bj ∪ y ⊕ x являетсясистемой чувствительных блоков для x .
Размер каждого блока Bj не больше sx⊕Bj (f ) 6 s(f ):f (x ⊕ Bj ⊕ ek) = f (x ⊕ B ′
j ) = f (x) 6= f (x ⊕ Bj).
Следовательно, C (f ) 6 sx(f )bsx(f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 9 / 24
![Page 37: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/37.jpg)
Доказательство леммы 1 (C (f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2)
Рассмотрим для некоторого x максимальный наборчувствительных блоков B1, . . . ,Bb, причем каждый блок выберемминимальным по включению.Присваивание X : ∪i Bi 7
x−→ 0, 1 является f (x)-сертификатом:если y согласован с X и f (y) 6= f (x), то Bj ∪ y ⊕ x являетсясистемой чувствительных блоков для x .
Размер каждого блока Bj не больше sx⊕Bj (f ) 6 s(f ):f (x ⊕ Bj ⊕ ek) = f (x ⊕ B ′
j ) = f (x) 6= f (x ⊕ Bj).
Следовательно, C (f ) 6 sx(f )bsx(f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 9 / 24
![Page 38: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/38.jpg)
Доказательство леммы 1 (C (f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2)
Рассмотрим для некоторого x максимальный наборчувствительных блоков B1, . . . ,Bb, причем каждый блок выберемминимальным по включению.Присваивание X : ∪i Bi 7
x−→ 0, 1 является f (x)-сертификатом:если y согласован с X и f (y) 6= f (x), то Bj ∪ y ⊕ x являетсясистемой чувствительных блоков для x .
Размер каждого блока Bj не больше sx⊕Bj (f ) 6 s(f ):f (x ⊕ Bj ⊕ ek) = f (x ⊕ B ′
j ) = f (x) 6= f (x ⊕ Bj).
Следовательно, C (f ) 6 sx(f )bsx(f ) 6 s(f )bs(f ) 6 bs(f )2.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 9 / 24
![Page 39: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/39.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 40: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/40.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 41: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/41.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 42: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/42.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 43: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/43.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 44: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/44.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 45: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/45.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 46: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/46.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 47: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/47.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 48: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/48.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 49: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/49.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 50: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/50.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 51: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/51.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 52: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/52.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Пустьв точке a набор B1, . . . ,Bb достигает bs(f ),мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1, . . . , yb) подстановками в p(x):если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1− yk ;в противном случае xj := aj .
Свойства q(y)deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенствоМаркова к многочлену q одной переменной, построенному изсимметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24
![Page 53: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/53.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Свойства q(y):deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Симметризация многочлена:qsym(y1, . . . , yb) =
1b!
∑σ∈Sb
q(yσ(1), yσ(2), . . . , yσ(n)).
Многочлен q(t) = qsym(t, t, . . . , t).
удовлетворяет условиям теоремы о нижней оценке.
Теорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) — многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1)− 1| < 1/3, а−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 6 k 6 n.Тогда deg f >
√n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 11 / 24
![Page 54: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/54.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Свойства q(y):deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Симметризация многочлена:qsym(y1, . . . , yb) =
1b!
∑σ∈Sb
q(yσ(1), yσ(2), . . . , yσ(n)).
Многочлен q(t) = qsym(t, t, . . . , t).
удовлетворяет условиям теоремы о нижней оценке.
Теорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) — многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1)− 1| < 1/3, а−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 6 k 6 n.Тогда deg f >
√n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 11 / 24
![Page 55: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/55.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Свойства q(y):deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Симметризация многочлена:qsym(y1, . . . , yb) =
1b!
∑σ∈Sb
q(yσ(1), yσ(2), . . . , yσ(n)).
Многочлен q(t) = qsym(t, t, . . . , t).
удовлетворяет условиям теоремы о нижней оценке.
Теорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) — многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1)− 1| < 1/3, а−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 6 k 6 n.Тогда deg f >
√n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 11 / 24
![Page 56: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/56.jpg)
Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6 6deg(f )2)
Свойства q(y):deg q(y) 6 d , q(y) — мультилинейный;−1/3 < q(y) < 4/3 при y ∈ 0, 1n;|q(0) = p(a)| < 1/3;q(ej) = p(a⊕ Bj), f (a⊕ Bj) = 1, поэтому |q(ej)− 1| < 1/3.
Симметризация многочлена:qsym(y1, . . . , yb) =
1b!
∑σ∈Sb
q(yσ(1), yσ(2), . . . , yσ(n)).
Многочлен q(t) = qsym(t, t, . . . , t).
удовлетворяет условиям теоремы о нижней оценке.
Теорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) — многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1)− 1| < 1/3, а−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 6 k 6 n.Тогда deg f >
√n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 11 / 24
![Page 57: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/57.jpg)
План
1 Завершение доказательства теоремы о полиномиальнойэквивалентности
2 Коммуникационная сложность
3 Задача о пересечении множеств
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 12 / 24
![Page 58: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/58.jpg)
Основная модель коммуникации: детерминированная
x y
Алиса знает x ∈ 0, 1n; Боб знает y ∈ 0, 1n.Цель: вычислить f (x , y).Возможности: Алиса и Боб могут обмениваться сообщениями. Ихдействия адаптивны (зависят от полученных сообщений).Коммуникационная сложность C (f ): наименьшее количествобитов в протоколе, гарантирующем вычисление f (x , y) для любыхx , y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 13 / 24
![Page 59: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/59.jpg)
Основная модель коммуникации: детерминированная
x y
Алиса знает x ∈ 0, 1n; Боб знает y ∈ 0, 1n.Цель: вычислить f (x , y).Возможности: Алиса и Боб могут обмениваться сообщениями. Ихдействия адаптивны (зависят от полученных сообщений).Коммуникационная сложность C (f ): наименьшее количествобитов в протоколе, гарантирующем вычисление f (x , y) для любыхx , y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 13 / 24
![Page 60: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/60.jpg)
Основная модель коммуникации: детерминированная
x y
Алиса знает x ∈ 0, 1n; Боб знает y ∈ 0, 1n.Цель: вычислить f (x , y).Возможности: Алиса и Боб могут обмениваться сообщениями. Ихдействия адаптивны (зависят от полученных сообщений).Коммуникационная сложность C (f ): наименьшее количествобитов в протоколе, гарантирующем вычисление f (x , y) для любыхx , y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 13 / 24
![Page 61: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/61.jpg)
Основная модель коммуникации: детерминированная
x y
Алиса знает x ∈ 0, 1n; Боб знает y ∈ 0, 1n.Цель: вычислить f (x , y).Возможности: Алиса и Боб могут обмениваться сообщениями. Ихдействия адаптивны (зависят от полученных сообщений).Коммуникационная сложность C (f ): наименьшее количествобитов в протоколе, гарантирующем вычисление f (x , y) для любыхx , y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 13 / 24
![Page 62: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/62.jpg)
Основная модель: вероятностная, частные генераторы
x, rA y, rA
rA0rA
1rA2
. . . rB0 rB
1 rB2
. . .
Изменения к предыдущему:
Возможности: Алиса и Боб могут использовать генераторслучайности. У каждого свой.Вероятностная коммуникационная сложность Rε(f ): наименьшееколичество битов в протоколе, гарантирующем вычисление f (x , y)с ошибкой не более ε для любых x , y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 14 / 24
![Page 63: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/63.jpg)
Основная модель: вероятностная, частные генераторы
x, rA y, rA
rA0rA
1rA2
. . . rB0 rB
1 rB2
. . .
Изменения к предыдущему:
Возможности: Алиса и Боб могут использовать генераторслучайности. У каждого свой.Вероятностная коммуникационная сложность Rε(f ): наименьшееколичество битов в протоколе, гарантирующем вычисление f (x , y)с ошибкой не более ε для любых x , y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 14 / 24
![Page 64: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/64.jpg)
Основная модель: вероятностная, общий генератор
x, r y, r
r0 r1 r2 . . .
Изменения к предыдущему:
Возможности: Алиса и Боб используют один и тот же генераторслучайности.Вероятностная коммуникационная сложность с общимгенератором Rpub
ε (f ): наименьшее количество битов в протоколе,гарантирующем вычисление f (x , y) с ошибкой не более ε длялюбых x , y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 15 / 24
![Page 65: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/65.jpg)
Основная модель: вероятностная, общий генератор
x, r y, r
r0 r1 r2 . . .
Изменения к предыдущему:
Возможности: Алиса и Боб используют один и тот же генераторслучайности.Вероятностная коммуникационная сложность с общимгенератором Rpub
ε (f ): наименьшее количество битов в протоколе,гарантирующем вычисление f (x , y) с ошибкой не более ε длялюбых x , y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 15 / 24
![Page 66: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/66.jpg)
Основная модель: квантовая
x y
Изменения к предыдущему:Возможности: Алиса и Боб используют квантовые носителиинформации. Обмениваются также квантовыми сообщениями.Квантовая коммуникационная сложность Qε(f ): наименьшаядлина протокола, гарантирующего вычисление f (x , y) с ошибкойне более ε для любых x , y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 16 / 24
![Page 67: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/67.jpg)
Основная модель: квантовая
x y
Изменения к предыдущему:Возможности: Алиса и Боб используют квантовые носителиинформации. Обмениваются также квантовыми сообщениями.Квантовая коммуникационная сложность Qε(f ): наименьшаядлина протокола, гарантирующего вычисление f (x , y) с ошибкойне более ε для любых x , y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 16 / 24
![Page 68: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/68.jpg)
Общий случай: передача нескольких кубитов
Обозначение: U[S ] — оператор U, который действует намножестве кубитов S , а на остальных как единичный. Если S —первые кубиты, то U[S ]|s, t〉 = U|s〉 ⊗ |t〉.
УпражнениеНапишите в вычислительном базисе матрицу оператора c-NOT[1, 3],который действует на трех кубитах. Оператор c-NOT — это операторобратимого копирования: c-NOT : |x , y〉 7→ |x , x ⊕ y〉.
Квантовый протокол — разбиение 1, 2, . . . ,N = A∪B;последовательность операторов U1[S1], U2[S2], . . . , U`[S`], причемS1 ⊆ A. В начале A — |0, x〉; B — |0, y〉.Множества Sj определяют, какие кубиты пересылаются: чтобыАлиса могла подействовать на кубит, который у Боба, нужно этоткубит ей переслать, и наоборот.Длина протокола — количество пересланных кубитов.Результат измеряется в одном заранее указанном кубите.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 17 / 24
![Page 69: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/69.jpg)
Общий случай: передача нескольких кубитов
Обозначение: U[S ] — оператор U, который действует намножестве кубитов S , а на остальных как единичный. Если S —первые кубиты, то U[S ]|s, t〉 = U|s〉 ⊗ |t〉.
УпражнениеНапишите в вычислительном базисе матрицу оператора c-NOT[1, 3],который действует на трех кубитах. Оператор c-NOT — это операторобратимого копирования: c-NOT : |x , y〉 7→ |x , x ⊕ y〉.
Квантовый протокол — разбиение 1, 2, . . . ,N = A∪B;последовательность операторов U1[S1], U2[S2], . . . , U`[S`], причемS1 ⊆ A. В начале A — |0, x〉; B — |0, y〉.Множества Sj определяют, какие кубиты пересылаются: чтобыАлиса могла подействовать на кубит, который у Боба, нужно этоткубит ей переслать, и наоборот.Длина протокола — количество пересланных кубитов.Результат измеряется в одном заранее указанном кубите.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 17 / 24
![Page 70: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/70.jpg)
Общий случай: передача нескольких кубитов
Обозначение: U[S ] — оператор U, который действует намножестве кубитов S , а на остальных как единичный. Если S —первые кубиты, то U[S ]|s, t〉 = U|s〉 ⊗ |t〉.
УпражнениеНапишите в вычислительном базисе матрицу оператора c-NOT[1, 3],который действует на трех кубитах. Оператор c-NOT — это операторобратимого копирования: c-NOT : |x , y〉 7→ |x , x ⊕ y〉.
Квантовый протокол — разбиение 1, 2, . . . ,N = A∪B;последовательность операторов U1[S1], U2[S2], . . . , U`[S`], причемS1 ⊆ A. В начале A — |0, x〉; B — |0, y〉.Множества Sj определяют, какие кубиты пересылаются: чтобыАлиса могла подействовать на кубит, который у Боба, нужно этоткубит ей переслать, и наоборот.Длина протокола — количество пересланных кубитов.Результат измеряется в одном заранее указанном кубите.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 17 / 24
![Page 71: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/71.jpg)
Общий случай: передача нескольких кубитов
Обозначение: U[S ] — оператор U, который действует намножестве кубитов S , а на остальных как единичный. Если S —первые кубиты, то U[S ]|s, t〉 = U|s〉 ⊗ |t〉.
УпражнениеНапишите в вычислительном базисе матрицу оператора c-NOT[1, 3],который действует на трех кубитах. Оператор c-NOT — это операторобратимого копирования: c-NOT : |x , y〉 7→ |x , x ⊕ y〉.
Квантовый протокол — разбиение 1, 2, . . . ,N = A∪B;последовательность операторов U1[S1], U2[S2], . . . , U`[S`], причемS1 ⊆ A. В начале A — |0, x〉; B — |0, y〉.Множества Sj определяют, какие кубиты пересылаются: чтобыАлиса могла подействовать на кубит, который у Боба, нужно этоткубит ей переслать, и наоборот.Длина протокола — количество пересланных кубитов.Результат измеряется в одном заранее указанном кубите.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 17 / 24
![Page 72: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/72.jpg)
Общий случай: передача нескольких кубитов
Обозначение: U[S ] — оператор U, который действует намножестве кубитов S , а на остальных как единичный. Если S —первые кубиты, то U[S ]|s, t〉 = U|s〉 ⊗ |t〉.
УпражнениеНапишите в вычислительном базисе матрицу оператора c-NOT[1, 3],который действует на трех кубитах. Оператор c-NOT — это операторобратимого копирования: c-NOT : |x , y〉 7→ |x , x ⊕ y〉.
Квантовый протокол — разбиение 1, 2, . . . ,N = A∪B;последовательность операторов U1[S1], U2[S2], . . . , U`[S`], причемS1 ⊆ A. В начале A — |0, x〉; B — |0, y〉.Множества Sj определяют, какие кубиты пересылаются: чтобыАлиса могла подействовать на кубит, который у Боба, нужно этоткубит ей переслать, и наоборот.Длина протокола — количество пересланных кубитов.Результат измеряется в одном заранее указанном кубите.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 17 / 24
![Page 73: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/73.jpg)
Общий случай: передача нескольких кубитов
Обозначение: U[S ] — оператор U, который действует намножестве кубитов S , а на остальных как единичный. Если S —первые кубиты, то U[S ]|s, t〉 = U|s〉 ⊗ |t〉.
УпражнениеНапишите в вычислительном базисе матрицу оператора c-NOT[1, 3],который действует на трех кубитах. Оператор c-NOT — это операторобратимого копирования: c-NOT : |x , y〉 7→ |x , x ⊕ y〉.
Квантовый протокол — разбиение 1, 2, . . . ,N = A∪B;последовательность операторов U1[S1], U2[S2], . . . , U`[S`], причемS1 ⊆ A. В начале A — |0, x〉; B — |0, y〉.Множества Sj определяют, какие кубиты пересылаются: чтобыАлиса могла подействовать на кубит, который у Боба, нужно этоткубит ей переслать, и наоборот.Длина протокола — количество пересланных кубитов.Результат измеряется в одном заранее указанном кубите.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 17 / 24
![Page 74: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/74.jpg)
Квантовый коммуникационный протокол с передачей поодному кубиту
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
U1 U3
U2 U`
|0〉
|0, x〉A
|0, y〉B
Начальное состояние |x , 0〉A ⊗ |0〉 ⊗ |0, y〉B .U2k+1 действует на кубиты Алисы и кубит сообщения.U2k действует на кубиты Боба и кубит сообщения.Результат определяется измерением кубита сообщения.Длина протокола `.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 18 / 24
![Page 75: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/75.jpg)
Квантовый коммуникационный протокол с передачей поодному кубиту
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
U1 U3
U2 U`
|0〉
|0, x〉A
|0, y〉B
Начальное состояние |x , 0〉A ⊗ |0〉 ⊗ |0, y〉B .U2k+1 действует на кубиты Алисы и кубит сообщения.U2k действует на кубиты Боба и кубит сообщения.Результат определяется измерением кубита сообщения.Длина протокола `.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 18 / 24
![Page 76: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/76.jpg)
Квантовый коммуникационный протокол с передачей поодному кубиту
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
U1 U3
U2 U`
|0〉
|0, x〉A
|0, y〉B
Начальное состояние |x , 0〉A ⊗ |0〉 ⊗ |0, y〉B .U2k+1 действует на кубиты Алисы и кубит сообщения.U2k действует на кубиты Боба и кубит сообщения.Результат определяется измерением кубита сообщения.Длина протокола `.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 18 / 24
![Page 77: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/77.jpg)
Квантовый коммуникационный протокол с передачей поодному кубиту
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
U1 U3
U2 U`
|0〉
|0, x〉A
|0, y〉B
Начальное состояние |x , 0〉A ⊗ |0〉 ⊗ |0, y〉B .U2k+1 действует на кубиты Алисы и кубит сообщения.U2k действует на кубиты Боба и кубит сообщения.Результат определяется измерением кубита сообщения.Длина протокола `.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 18 / 24
![Page 78: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/78.jpg)
Квантовый коммуникационный протокол с передачей поодному кубиту
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
U1 U3
U2 U`
|0〉
|0, x〉A
|0, y〉B
Начальное состояние |x , 0〉A ⊗ |0〉 ⊗ |0, y〉B .U2k+1 действует на кубиты Алисы и кубит сообщения.U2k действует на кубиты Боба и кубит сообщения.Результат определяется измерением кубита сообщения.Длина протокола `.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 18 / 24
![Page 79: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/79.jpg)
Передача нескольких кубитов моделируется передачейодного и того же кубита
ЗадачаДокажите, что общий протокол можно моделировать протоколом спередачей лишь одного кубита, длина которого ограничена удвоеннойдлиной протокола общего вида.Указание: перестановка кубитов (тензорных сомножителей) —унитарный оператор.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 19 / 24
![Page 80: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/80.jpg)
Квантовая коммуникация с предварительнойсцепленностью
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
U1 U3
U2 U`
|x〉
|ψ〉
|y〉
Начальное состояние |x〉 ⊗ |ψ〉 ⊗ |y〉.Длина протокола `.Коммуникационная сложность с предварительной сцепленностьюQent
ε (f ) — длина наименьшего протокола вычисления f .
Обычно |ψ〉 =( 1√
2(|00〉+ |11〉)
)⊗m ⊗ |0〉 (ЭПР-пары), где первыйкубит в сомножителе идет Алисе, а второй — Бобу (последний —кубит сообщения).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 20 / 24
![Page 81: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/81.jpg)
Соотношения между коммуникационными сложностями
УпражнениеДокажите, что для любой f
Qentε (f ) 6 Rpub
ε (f ) 6 Rε(f ) 6 D(f ) 6 n,Qent
ε (f ) 6 Qε(f ) 6 Rε(f ).
Вопрос (открытый?)Верно ли, что для любой f
Qε(f ) 6 Rpubε (f )?
(Неверно для модели одновременной передачи сообщений.)
Открытая проблемаВозможен ли экспоненциальный разрыв между вероятностной иквантовой коммуникационными сложностями в основной модели?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 21 / 24
![Page 82: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/82.jpg)
Соотношения между коммуникационными сложностями
УпражнениеДокажите, что для любой f
Qentε (f ) 6 Rpub
ε (f ) 6 Rε(f ) 6 D(f ) 6 n,Qent
ε (f ) 6 Qε(f ) 6 Rε(f ).
Вопрос (открытый?)Верно ли, что для любой f
Qε(f ) 6 Rpubε (f )?
(Неверно для модели одновременной передачи сообщений.)
Открытая проблемаВозможен ли экспоненциальный разрыв между вероятностной иквантовой коммуникационными сложностями в основной модели?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 21 / 24
![Page 83: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/83.jpg)
Соотношения между коммуникационными сложностями
УпражнениеДокажите, что для любой f
Qentε (f ) 6 Rpub
ε (f ) 6 Rε(f ) 6 D(f ) 6 n,Qent
ε (f ) 6 Qε(f ) 6 Rε(f ).
Вопрос (открытый?)Верно ли, что для любой f
Qε(f ) 6 Rpubε (f )?
(Неверно для модели одновременной передачи сообщений.)
Открытая проблемаВозможен ли экспоненциальный разрыв между вероятностной иквантовой коммуникационными сложностями в основной модели?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 21 / 24
![Page 84: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/84.jpg)
Соотношения между коммуникационными сложностями
УпражнениеДокажите, что для любой f
Qentε (f ) 6 Rpub
ε (f ) 6 Rε(f ) 6 D(f ) 6 n,Qent
ε (f ) 6 Qε(f ) 6 Rε(f ).
Вопрос (открытый?)Верно ли, что для любой f
Qε(f ) 6 Rpubε (f )?
(Неверно для модели одновременной передачи сообщений.)
Открытая проблемаВозможен ли экспоненциальный разрыв между вероятностной иквантовой коммуникационными сложностями в основной модели?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 21 / 24
![Page 85: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/85.jpg)
План
1 Завершение доказательства теоремы о полиномиальнойэквивалентности
2 Коммуникационная сложность
3 Задача о пересечении множеств
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 22 / 24
![Page 86: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/86.jpg)
Функция DISJ: квадратичный разрыв
ОпределениеDISJ(x , y) = 1 ⇔ x ∩ y = ∅ (т. е. xjyj = 0 для любого j).
Теорема 1 (Razborov, ’92)Rε(DISJ) = Ω(n).
Теорема 3 (Razborov, ’02)
Qε(DISJ) = Ω(√
n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 23 / 24
![Page 87: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/87.jpg)
Функция DISJ: квадратичный разрыв
ОпределениеDISJ(x , y) = 1 ⇔ x ∩ y = ∅ (т. е. xjyj = 0 для любого j).
Теорема 1 (Razborov, ’92)Rε(DISJ) = Ω(n).
Теорема 3 (Razborov, ’02)
Qε(DISJ) = Ω(√
n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 23 / 24
![Page 88: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/88.jpg)
Функция DISJ: квадратичный разрыв
ОпределениеDISJ(x , y) = 1 ⇔ x ∩ y = ∅ (т. е. xjyj = 0 для любого j).
Теорема 1 (Razborov, ’92)Rε(DISJ) = Ω(n).
Теорема 2 (Buhrman, Cleve, Wigderson ’98)
Qε(DISJ) = O(√
n log n).
Теорема 3 (Razborov, ’02)
Qε(DISJ) = Ω(√
n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 23 / 24
![Page 89: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/89.jpg)
Функция DISJ: квадратичный разрыв
ОпределениеDISJ(x , y) = 1 ⇔ x ∩ y = ∅ (т. е. xjyj = 0 для любого j).
Теорема 1 (Razborov, ’92)Rε(DISJ) = Ω(n).
Теорема 2′ (Aaronson, Ambainis ’05)
Qε(DISJ) = O(√
n).
Теорема 3 (Razborov, ’02)
Qε(DISJ) = Ω(√
n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 23 / 24
![Page 90: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/90.jpg)
Функция DISJ: квадратичный разрыв
ОпределениеDISJ(x , y) = 1 ⇔ x ∩ y = ∅ (т. е. xjyj = 0 для любого j).
Теорема 1 (Razborov, ’92)Rε(DISJ) = Ω(n).
Теорема 2′ (Aaronson, Ambainis ’05)
Qε(DISJ) = O(√
n).
Теорема 3 (Razborov, ’02)
Qε(DISJ) = Ω(√
n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 23 / 24
![Page 91: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/91.jpg)
Квантовый коммуникационный протокол для DISJ
Идея: использовать алгоритм Гровера.
Алиса выполняет шаги алгоритма вычисления дизъюнкции∨xj=1 yj .
Вместо запроса к «черному ящику» она общается с Бобом:1 Алиса посылает регистр адреса Бобу;2 Боб применяет оператор фазового запроса Oy : |k〉 7→ (−1)yk |k〉 и
возвращает регистр Алисе.
Моделирование одного запроса требует передачи O(log n) кубитов.Всего запросов нужно O(
√n).
Теорема 2 доказана.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 24 / 24
![Page 92: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/92.jpg)
Квантовый коммуникационный протокол для DISJ
Идея: использовать алгоритм Гровера.
Алиса выполняет шаги алгоритма вычисления дизъюнкции∨xj=1 yj .
Вместо запроса к «черному ящику» она общается с Бобом:1 Алиса посылает регистр адреса Бобу;2 Боб применяет оператор фазового запроса Oy : |k〉 7→ (−1)yk |k〉 и
возвращает регистр Алисе.
Моделирование одного запроса требует передачи O(log n) кубитов.Всего запросов нужно O(
√n).
Теорема 2 доказана.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 24 / 24
![Page 93: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/93.jpg)
Квантовый коммуникационный протокол для DISJ
Идея: использовать алгоритм Гровера.
Алиса выполняет шаги алгоритма вычисления дизъюнкции∨xj=1 yj .
Вместо запроса к «черному ящику» она общается с Бобом:1 Алиса посылает регистр адреса Бобу;2 Боб применяет оператор фазового запроса Oy : |k〉 7→ (−1)yk |k〉 и
возвращает регистр Алисе.
Моделирование одного запроса требует передачи O(log n) кубитов.Всего запросов нужно O(
√n).
Теорема 2 доказана.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 24 / 24
![Page 94: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/94.jpg)
Квантовый коммуникационный протокол для DISJ
Идея: использовать алгоритм Гровера.
Алиса выполняет шаги алгоритма вычисления дизъюнкции∨xj=1 yj .
Вместо запроса к «черному ящику» она общается с Бобом:1 Алиса посылает регистр адреса Бобу;2 Боб применяет оператор фазового запроса Oy : |k〉 7→ (−1)yk |k〉 и
возвращает регистр Алисе.
Моделирование одного запроса требует передачи O(log n) кубитов.Всего запросов нужно O(
√n).
Теорема 2 доказана.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 24 / 24
![Page 95: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/95.jpg)
Квантовый коммуникационный протокол для DISJ
Идея: использовать алгоритм Гровера.
Алиса выполняет шаги алгоритма вычисления дизъюнкции∨xj=1 yj .
Вместо запроса к «черному ящику» она общается с Бобом:1 Алиса посылает регистр адреса Бобу;2 Боб применяет оператор фазового запроса Oy : |k〉 7→ (−1)yk |k〉 и
возвращает регистр Алисе.
Моделирование одного запроса требует передачи O(log n) кубитов.Всего запросов нужно O(
√n).
Теорема 2 доказана.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 24 / 24
![Page 96: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/96.jpg)
Квантовый коммуникационный протокол для DISJ
Идея: использовать алгоритм Гровера.
Алиса выполняет шаги алгоритма вычисления дизъюнкции∨xj=1 yj .
Вместо запроса к «черному ящику» она общается с Бобом:1 Алиса посылает регистр адреса Бобу;2 Боб применяет оператор фазового запроса Oy : |k〉 7→ (−1)yk |k〉 и
возвращает регистр Алисе.
Моделирование одного запроса требует передачи O(log n) кубитов.Всего запросов нужно O(
√n).
Теорема 2 доказана.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 24 / 24
![Page 97: 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture04](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060203/559e19ab1a28ab974e8b45bf/html5/thumbnails/97.jpg)
Квантовый коммуникационный протокол для DISJ
Идея: использовать алгоритм Гровера.
Алиса выполняет шаги алгоритма вычисления дизъюнкции∨xj=1 yj .
Вместо запроса к «черному ящику» она общается с Бобом:1 Алиса посылает регистр адреса Бобу;2 Боб применяет оператор фазового запроса Oy : |k〉 7→ (−1)yk |k〉 и
возвращает регистр Алисе.
Моделирование одного запроса требует передачи O(log n) кубитов.Всего запросов нужно O(
√n).
Теорема 2 доказана.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 24 / 24