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Dinámica 2013-1
Sesión 24
Tema:
Vibraciones Forzadas Amortiguadas
Emprendedores sin fronteras
1
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Objetivos de la Sesión
1.- Comprender los principios de la vibración forzada amortiguada
2.- Relacionar las fuerzas vibratorias con los cuerpos en contacto.
3.- Resolver problemas de vibraciones forzadas amortiguadas
4.- Trabajar en equipo
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4
Caso: Puente Tacoma Narrow
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5
Puente Franjo Tudjman (Duvrobnik) Rusia
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Amortiguador de autos
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Aplicamos la ecuación del movimiento (2° ley de Newton)
F(t) – FK – FA = m FK es proporcional al desplazamiento. - - kx
FA en función a la velocidad - c m + c + kx = F(t) + 2δ + ω0
2x =. F(t)
ω0 = ωn= frecuencia natural ω0 =
δ = coeficiente de atenuación
δ =
VIBRACION FORZADA AMORTIGUADA
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Caso particular: Si δ = 0 F(t) = F0.Ω OSCILACION FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO
Ω = : frecuencia de la fuerza excitadora
F0 = amplitud de la fuerza
+ ω02x =
.F0.Ω ……. (*)
La solución general es: X(t) = Xhomogenea+ Xparticular
X(t) = Xc(t) + Xp(t)
Siendo Xc(t) = A.Sen(ω0t+ф) Solución complementaria
La solución complementaria Xc define la vibración libre, lo cualdepende de la frecuencia natural (ω0= ωn) y las constantes A y ф.
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Para la solución particular o permanente: Nuestro modelo de soluciónes:
Xp(t) = VΩ C’ = V: amplitud de la vibración forzada
xP(t) = - V.Ω.SenΩt =Ω: frecuencia de la fuerza excitadoraP(t) = - V.Ω2.CosΩt
Reemplazamos en (*) ( + ω02x =
.F0.Ω)
- V.Ω
2
.CosΩt + ω0
2
VcosΩ =
.F0.cosΩ
(ω02 - Ω2).V =
.F0V =
.
−ΩPero:n = u = r =
Ωω0
es la relación de
frecuencias
donde: K = m ω02
V = .
− Por lo tanto Xp = .
− Ω
La solución particular Xp describe la vibración forzada del bloque yprovocada por la fuerza aplicada F= F0.cosΩ.
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FACTOR DE AMPLIFICACION O MAGNIFICACION (MF) Se define como la relación de la amplitud de la vibración de estado continuoC’ = V, a la deflexión estática X0 = F0/K, producida por la amplitud de la fuerzaperiódica F0, entonces:
X0 = Xest= deflexión estática
De la ecuación de la amplitud V = .
− y de la definición de MF.
MF =
=
−
En la figura se observa, que si la fuerza o desplazamiento
se aplica con una frecuencia natural del sistema,
es decir n ≈ 1, la amplitud de vibración del bloque
llega a ser extremadamente grande. Esto ocurre
porque la fuerza F se aplica al bloque de modoque siempre siga el movimiento de este.
Esta condición se llama resonancia; en la práctica,
las vibraciones resonantes pueden dar lugar a
esfuerzos tremendos y a la rápida falla de las partes.
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Aplicación
El compactador de suelo opera porvibración forzada desarrollada porun motor interno.
Es importante que la frecuenciaforzada no se aproxime a lafrecuencia natural de vibración delcompactador, la cual puede
determinarse cuando se apaga elmotor, de lo contrario habráresonancia y la maquina se volveráincontrolable.
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VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
Para determinar la ecuación que gobierna este movimiento,
consideremos el siguiente sistema masa-resorte con unamortiguador y una fuerza armónica externa.
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Luego realizando el D.C.L. del bloque se tiene:
Aplicando entonces la segunda Ley de Newton se tiene:
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Como la función de la fuerza aplicada es armónica, el movimiento delestado permanente también es armónico.
Luego reemplazando en la ecuación diferencial (I)
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b 2 km
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Vibraciones Forzadas Amortiguadas en
Maquinas desbalanceadas2) Cuando δ >0 :
Maquinas desbalanceadas:F(t)=Fo.Sen(Ωt) ó F(t)=Fo.Cos(Ωt)
Fo :Amplitud de la excitación armónica
Ω: Frecuencia de la fuerza excitadora
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De el grafico obtenemos la siguiente ecuación diferencial: = . ()
2 δ = .() ….. (1)
Trabajando con números complejos : Z = X + iY
= ∅
Después: = ∝ = c o s ∝ s i n ∝
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Dando forma
2δ = .() …….(2)
Sumando 1 y 2:
2δ = . ( )
2δ = .
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Considerando como solución: =
Derivando : = . = .
Reemplazando en la ecuación anterior:
2δ. = .
2 δ . . =
= . 1
2 δ .
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=
.
1
2 δ . .
( 2δ)
( 2δ)
=
. 2δ
4δ
=
.
4δ
2δ
4δ
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Luego
= =
. 1
4δ
: Frecuencia natural.
= : Frecuencia del sistema ó de la fuerza excitadora.
= = t a n−
=tan− 2δ
= ∝
= (+∝)
= [ ∝ ∝ ]
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Luego :
= . ∝ ó = . ∝ C’ = V: Amplitud de la vibración forzada
Haciendo que V dependa de los parámetros n y δ siendo:
=
y δ =
Donde: n = u = r ,es la razón de frecuencias
Reemplazando en la ecuación de la amplitud V :
Xp = = .
− +
Pero como = .
(,)= 1
1 2
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• La ecuación del movimiento está dado por:
• = 0 cos()
•
= • La respuesta permanente del sistema es:
• =cos()
• Luego se puede calcular la fuerza transmitida a la base B,
• = = c os( ) • = = . . . sin cos( )
• :
• :
• La fuerza total transmitida a la base B es (FT)• =cos()...sincos()
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• Haciendo que t a n = w
•
c o s =
+(.)
• s e n = .+(.)
• = /
− +(. )
• Índice o razón de amortiguamiento: =
• Relación de frecuencias:
=
=
• = − . − + . cos()
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Fuerza transmitida máxima = − . − + .
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DESBALANCE ROTATORIO
El desbalance en máquinas rotatorias
es una fuente común de excitaciónvibratoria. Consideremos un sistemamasa-resorte-amortiguadorrestringido a moverse en la direcciónvertical y excitado por una maquina
rotatoria no balanceada, comomuestra la figura. El desbalance estárepresentado por una masaexcéntrica m con excentricidad e
(radio de rotación del movimiento
circular)que rota con velocidadangular . Si x representa eldesplazamiento de la masa norotante (M - m), desde la posición deequilibrio, la aceleración de m es:
0
M
m
C
k/2k/2
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= . =
La aceleración vertical que actúa sobre m es:
= cos
m.g
m
e
= .
= cos()
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• la fuerza vertical que actúa sobre m es:
• = = cos()
• La ecuación diferencial del movimiento del motor es:
• = cos()
• Finalmente:
•
= . .
.cos
= cos(
)
• El movimiento es del tipo:
• = cos()
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• Donde es la amplitud de la excitación externa equivalente que haceoscilar el motor
• Una diferencia importante ha de observarse con respecto al casoestudiado, y es que
= . .
no es constante, sino que depende dew, En otras palabras la excitación crece con la velocidad angular del motor.
• Sabemos que:
• =
−
+ =
−
+
• =
.
− +
• Dónde:
•
= / ;
=
• Entonces:
•.. =
− +
• Representación grafica: . vs r , donde r = n = u , es la razón de
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p g . , ,frecuencias en sus diferentes formas.
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Ejemplo:
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Ejemplo:
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