FysicaIndustrieel Ingenieur
Schoonmeersen
Trillingen
* Vrije ongedempte trillingen
* Gedempte en gedwongen trillingen - resonantie
Fluïda
* Vloeistoffen en gassen
* Uitzetting en warmteleer
* Ideale gassen
* Hoofdwetten en toestandsveranderingen
* Aggregatietoestandsverand. - Fasediagrammen - Reële gassen
Golven
* Algemene eigenschappen van golven
* Interferentie en diffractie - Reflectie en transmissie - Breking
* Geluidsgolven en elektromagnetische golven
Optica
* Geometrische optica: spiegels en lenzen
* Fysische optica
Moderne fysica
* Fotonica
* Kernfysica
Inhoud Fysica
Periodegebonden evaluatie: 60%
Niet-periodegebonden evaluatie: 40% waarvan 5% op AiM-testen
De beoordeling en het tot stand komen van de eindquotatie van
opleidingsonderdelen gebeurt via het wiskundige gemiddelde volgens
de toegekende coëfficiënten. Indien nochtans op één van de
onderdelen 7 of minder op 20 wordt behaald, kan worden afgeweken
van deze rekenkundige berekening van de eindquotatie van het
opleidingsonderdeel en kunnen de punten bij consensus worden
toegekend.
Evaluatie
De syllabus is in de eerste plaats een werkboek. Uitwerkingen van formules zijn
niet steeds volledig uitgeschreven, maar dienen door de student zelf verder
uitgewerkt te worden, tenzij uitdrukkelijk anders is aangegeven.
Het is de bedoeling dat de gebruiker zelf oplossingen voor de gestelde problemen
vindt en zijn probleemoplossende ingesteldheid traint.
Om het eigen denkwerk te stimuleren worden nu en dan invulopdrachtjes en
schrapopdrachtjes gepresenteerd.
Ook zijn een aantal voorbeeldoefeningen als invuloefening opgenomen. Een groot
aantal oefeningen stelt de student in staat zich te trainen in de aangeboden leerstof.
In de hoorcolleges worden “theorie” en ” oefeningen” afgewisseld. De slides in deze
lessen en de eigen notities vormen een onmisbare aanvulling bij de verwerking van
de leerinhoud.
Voor het maken van de rekenoefeningen is een rekentoestel TI30XB of C in elke
les onontbeerlijk.
Een aantal rekenoefeningen wordt aangeboden via de AiM-webapplicatie.
Syllabus
FysicaIndustrieel Ingenieur
Schoonmeersen
Inleiding
Introduction
Hoofdstuk 1
1.1 Cirkelvormige beweging
0t t
t
positiehoek t. o. v. een referentie-as
positiehoekverandering bij beweging
1.2 De eenparige cirkelvormige beweging
t
t
0t t
2 12f f
T T
0t t
t
positiehoek t. o. v. een referentie-as
positiehoekverandering bij beweging
1.3 De veerkracht
l (m)
l = 0
l1ll2
Fzw (N)
𝐹𝑧𝑤 = 𝐹𝑉
՜𝐹 𝑧𝑤,1
՜𝐹 𝑧𝑤,2
՜𝐹 𝑉,2
՜𝐹 𝑉,1
l (m)
l (m)
Wet van HookeF (N)Fzw (N)Fzw (N)
1.3 De veerkracht
Wat is de globale krachtconstante van de ophanging van
een auto die 1,20 cm doorzakt als een persoon van 80 kg
plaatsneemt in de auto?
Waarde van de krachtconstante?
1.3 De veerkracht
Potentiële energie in een veer
𝐸𝑝𝑜𝑡,𝑉 =1
2𝑘𝑢2
1.3 De veerkracht
Hoeveel energie is in de veer van een veergeweer gestockeerd
als zij 15 cm ingedrukt is en de veerconstante een waarde heeft
van 50 N/m?
1.3 De veerkracht
Hoeveel energie is in de veer van een veergeweer gestockeerd
als zij 15 cm ingedrukt is en de veerconstante een waarde heeft
van 50 N/m? Met welke snelheid wordt een projectiel van 2,0 g
hierdoor horizontaal en wrijvingsloos weggeschoten?
1.3 De veerkracht
𝐸𝑝𝑜𝑡,𝑧𝑤 = 𝑚𝑔𝑦
1.4 Kracht en potentiële energie
𝐸𝑝𝑜𝑡,𝑉 =1
2𝑘𝑢2
𝑑𝐸𝑝𝑜𝑡 = − Ԧ𝐹. 𝑑 Ԧ𝑟
𝐹𝑥 = −𝑑𝐸𝑝𝑜𝑡
𝑑𝑥
𝐹𝑦 = −𝑑𝐸𝑝𝑜𝑡
𝑑𝑦
𝐹𝑧 = −𝑑𝐸𝑝𝑜𝑡
𝑑𝑧
Eigenschappen van periodieke functies
1.5 Periodieke bewegingen
T
Eigenschappen van periodieke functies
1.5 Periodieke bewegingen
( ) ( n ) met nu t u t T
T
FysicaIndustrieel Ingenieur
Schoonmeersen
De enkelvoudigeharmonische bewegingOscillatory Motion
Hoofdstuk 2
Mass measurements aboard Skylab were part of the medical experiments conducted there. Skylab carried three mass-measuring devices--two small ones (experiment M074) for measuring the intake and outgo of each astronaut, and a large one (experiment M172) with an oscillating chair, designed for daily monitoring of the weight of the astronauts.
The motion of the oscillating mass was tracked electronically, typically over three back-and-forth oscillations, and from this the instrument derived the oscillation period T. Theory predicted that T would be proportional to the square root of the oscillating mass; this was confirmed by calibrations in space, using previously weighed objects, and those calibrations suggested that when carefully performed, such mass measurements were accurate within 0.1%.
Measuring body mass in the M172 chair (see illustration) was not a simple matter. The human body is not rigid, and any internal motion--
even breathing--could affect the oscillation of the chair. After emptying their pockets, astronauts would climb into the chair, always
wearing a suit which had been weighed before the flight. (Credit: Most of this material is based on the transcript of a talk "Physiological
Mass Measurement in Skylab," presented by astronaut-scientist William E. Thornton, MD, and by Colonel J. Ord, USAF, at the Skylab
Life Sciences Symposium, Johnson Space Center, August 27-9, 1974. I thank Joan Ferry of the Johnson Space Center History Archive
for making this and other documents available. )
Questions from Users: Effects of weightlessness on one's body
Spacelab/spaceshuttle: Tamara Jernigan
• Een systeem voert een trilling uit (of oscilleert) als
het een periodieke beweging rond een toestand van
stabiel evenwicht uitvoert.
• Er is een resulterende terugroepende
kracht(moment) die het terug naar de
evenwichtstoestand brengt
• Vb.:– Watermoleculen in microgolfoven
– Bruggen en torengebouwen
– Slingeren van een uurwerk, een schommel ...
– Schokdempers
– Trillend kristal in uurwerk
– Luidspreker
– …
2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB
Kenmerken van de EHB
De enkelvoudige harmonische beweging (EHB) betreft de
beweging van een deeltje die volgende kenmerken
vertoont:
• de beweging gebeurt ten opzichte van een rustpositie
waarbij de resultante van alle inwerkende krachten op
het deeltje nul is in de rustpositie (de evenwichtsstand)
• de beweging gebeurt ten gevolge van een
terugroepende kracht die evenredig is met de
verplaatsing ten opzichte van de rustpositie
• de beweging is periodiek
2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB
u
u = -A u = AO
2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB
Dynamica van de enkelvoudige harmonische beweging
2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB
2 ..
2k 0 of k 0
d um u mu u
dt
Trillingsvergelijking - Bewegingsvergelijking
Trillingsfunctie u(t) = ???
Oplossing van de trillingsvergelijking: trillingsfunctie
2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB
2 ..
2k 0 of k 0
d um u mu u
dt
Trillingsvergelijking - Bewegingsvergelijking
0( ) sin( )u t A t
Oplossing van de trillingsvergelijking: trillingsfunctie
2
0 0
kk m
m
Door substitutie in
de
trillingsvergelijking:
2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB
0sinu t A t
Amplitude of maximale elongatie
Natuurlijke pulsatie
Beginfase(hoek)
Fase(hoek)}
Uitwijking of elongatie
Trillingsfunctie - positiefunctie - bewegingsfunctie
𝐴 = 𝑢𝑚𝑎𝑥
2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB
Uitwijking - Elongatie
t
u
O
u0
A
-A
2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB
= /4 = … = ...
u
Verband beginuitwijking en beginfase
𝑢 𝑡 = 0 = 𝑢0 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑
2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB
u
t
Eigenperiode of natuurlijke periode T0
T0
T0
T0
2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB
Eigenschappen van periodieke functies
• De functie is periodiek met periode T0
• De maximale uitwijking is de amplitude A
0
Eigenpulsatie
(rad/s of °/s)
0
0 0
1 22
mT
f k
Eigenperiode
(s)
0u t T u t
u
T0
00
1
2 2
kf
m
Eigenfrequentie
(1/s=Hz)
2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB
0sinu t A t
2 2
0 0 0sindv
a t A t u tdt
maxu A
max 0v A
2
max 0a A
u
0 0cosdu
v t A tdt
2.2 Snelheid en versnelling
u
va
t
• Versnelling is maximaal als de uitwijking …………………… is
• Versnelling is nul bij doorgang door de ………………………………....
• Versnelling is in ………………………. met de elongatie• Snelheid is ...... uit fase ten opzichte van elongatie• Snelheid ‘loopt /2 …………. op’ de elongatie
• Bij doorgang door de evenwichtstand is de snelheid …….
• Bij maximale uitwijking is de snelheid ……
Voorbeeld voor = …..
2.2 Snelheid en versnelling
2.2 Snelheid en versnelling
Een massa-veersysteem is horizontaal wrijvings-loos opgesteld. De massa is 1,8 kg en de lengtevan de veer met verwaarloosbare massa bedraagt0,65m in rusttoestand. Door een kracht van 45 Nwordt de veer ingedrukt tot een lengte van 0,40m. De massa wordt dan losgelaten.
Bepaal de trillingsfunctie. Bereken de uitwijkingals t = 2,1 s.
2 2
max
1 1
2 2mechE k A mv
De totale energie is recht evenredig met het
kwadraat van de amplitude
Totale mechanische energie
2.3 Energie van de EH oscillator
𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ = 𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸𝑝𝑜𝑡
Energievergelijking
2.3 Energie van de EH oscillator
uu
u²u
u
Omkeer
puntOmkeer
punt
Energievergelijking
2.3 Energie van de EH oscillator
Omkeerpunt
bij umax
Ekin
Epot
Omkeerpunt
bij -umax
Waar passeert de massa de evenwichtstand op bovenstaande grafiek?
?
2.3 Energie van de EH oscillator
2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB
vu
au
O
՜𝐴
• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.
Fasorenvoorstelling
0
vu
au
O
՜𝐴
• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.
Fasorenvoorstelling
0
u0
2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB
vu
au
O
՜𝐴
• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.
Fasorenvoorstelling
0
u0=Asin
2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB
vu
au
O
՜𝐴
• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.
Fasorenvoorstelling
0
2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB
vu
au
՜𝐴
u
O
• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.
• Elongatie = projectievan de ECB op de u-as
• Fasehoek: positiehoekten opzichte van referentie-as (loodrecht op de u-as)
Fasorenvoorstelling
0
2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB
• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.
• Elongatie = projectie op de u-as.
• Fasehoek: positiehoekten opzichte van referentie-as (loodrecht op de u-as)
Fasorenvoorstelling
0sinu t A t
vu
au
՜𝐴
O
0
u=Asin(0t+)
2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB
• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.
• Elongatie = projectie op de u-as.
• Fasehoek: positiehoekten opzichte van referentie-as (loodrecht op de u-as)
Fasorenvoorstelling
u
2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB
vu
O
՜𝐴
au
0
2 2
0 0 0sindv
a t A t u tdt
De projecties van de
snelheidsvector en de
versnellingsvector op de
u-as geven de snelheid en
de versnelling van de EHB
0 0cosdu
v t A tdt
v
a
2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB
Invloed van de veermassa
Kwalitatieve bespreking: T neemt ….. als mv ….neemt
Kwantitatieve correctie voor de veermassa
Energievergelijking:
Periode:
2 21 1k
2 3 2
vmm v u C
32 k
vmm
T
2.5 Invloed van de veermassa
• Twee massa’s m1 en m2 verbonden door een veer.
Dit is bvb. een modelvoorstelling van een H2, CO molecule.
• De kracht die de veer uitoefent op zowel m1 als m2 is:
F = -ku met u = u1 + u2
Daar het massamiddelpunt C niet beweegt (géén uitwendige krachten) is tevens :
m1 u1 = m2 u2 zodat u = u1 (1 + m1 / m2) = u1 ((m1+ m2)/ m2) waaruit volgt
C= massamiddelpunt
1 1 2 1 2 1 11 1 1 1
2 1 2
1 2
1 2 1 2
² u ² u ² u
² ² ²
1 1 1" "
d m m m m d dm ku ku ku ku
dt m m m dt dt
m mmet de gereduceerde massa of
m m m m
58
2.6 Gekoppelde trillingen
• Twee massa’s m1 en m2 verbonden door een veer.
Dit is bvb. een modelvoorstelling van een H2, CO molecule.
• De bewegingsvergelijking voor m1 , resp m2 wordt dus
C= massamiddelpunt
2
1,2
1,22
1 2
1 1 1d uku met
dt m m
• Elke massa zal bijgevolg een EHB uitvoeren met:
2
kof T
k = gereduceerde
massa59
2.6 Gekoppelde trillingen
Een massa-veersysteem is horizontaal wrijvings-loos opgesteld. De massa is 1,8 kg en de lengtevan de veer met verwaarloosbare massa bedraagt0,65m in rusttoestand. Door een kracht van 45 Nwordt de veer ingedrukt tot een lengte van 0,45m. De massa wordt dan losgelaten.
Bepaal de trillingsfunctie. Bereken de uitwijkingals t = 2,1 s.
Een massa van 85 g trilt harmonisch met eenperiode van 0,85 s en een amplitude van 15cm.
Bereken alle fasehoeken, uitwijkingen,versnellingen en terugroepende krachten alsde snelheid -0,3 m/s bedraagt. Bereken detotale mechanische energie op minstens tweemanieren.
De meeste systemen hebben in de buurt van een stabiel
evenwicht een potentiële energie curve die ongeveer
parabolisch is:
– Typische potentiële energie curve van een systeem:
– Terugroepende kracht evenredig met uitwijking, dus EHB
2 2dU
U ax F axdx
𝐸𝑝𝑜𝑡𝑑𝐸𝑝𝑜𝑡
62
EHB’s komen veel voor
A
Ongedempte elektrische trillingen in een LC-seriecircuit
http://www.walter-fendt.de/ph14e/osccirc.htm
0q
L qC
0mu k u
max 0sin( )q q t 0
1
LC
max 0sin( )u u t 0
k
m
Voorbeeld: Elektrische trillingen in een LC-circuit
In een LC parallel-circuit is C = 4,0 F en L = 2,5 mH.
Op t = 0 vloeit een stroomsterkte van 1,0 ampère door
de spoel die vervolgens afneemt, en is de lading op de
condensator 66,3 C die vervolgens ook afneemt met
de tijd.
Wat is de maximale lading op de condensator?
Wat is de maximale stroomsterkte door de spoel?
Bepaal de trillingsfunctie voor de lading.
Bepaal de pulsatie en de beginfase.
Op welk eerstvolgend tijdstip na t = 0 zal de lading op
de condensator nul zijn?
Oefening: Elektrische trillingen in een LC-circuit
Een veer met verwaarloosbare eigenmassa rekt12 cm uit als men er in verticale opstelling eenmassa van 6,0 kg aan hangt.
Men bevestigt nu een massa van 1,5 kg aandezelfde veer in horizontale wrijvingslozeopstelling en brengt de massa in harmonischebeweging.
Bepaal de trillingsfunctie als de uitwijking -0,18 men de snelheid -0,90 m/s bedragen op t = 1,6 s.Bepaal de beginuitwijking, de beginsnelheid ende veerkracht op het beginogenblik en controleerde wet van behoud van energie.
Gegeven:
Gevraagd: noteer in de standaardvorm enbereken alle t (>=0) waarop v = -0,60m/s
2,20,8cos25 1 tscmu
Verticale beweging van een massa aan een veer
Oscillerende vloeistofkolom
u
l
Een vloeistofkolom met lengte l oscilleert wrijvingsloos in een U-buis.
Bepaal de differentiaalvergelijking van de beweging
en de uitdrukking voor de periode in functie l.
FysicaIndustrieel Ingenieur
Schoonmeersen
Rotatietrillingen
Rotational Vibration
Hoofdstuk 3
http://largependulumwave.nl/
C: torsieconstante van de ophangdraad
3.1 De torsieslinger
Een draad met torsieconstante C
zorgt voor een terugroepend
krachtmoment
0 2 MMIT
C
C: torsieconstante van de ophangdraad
IMM: traagheidsmoment t.o.v. de rotatieas (de Z-as)
door het massamiddelpunt van het roterende lichaam
MM
3.1 De torsieslinger
Een draad met torsieconstante C
zorgt voor een terugroepend
krachtmoment
0 2 OIT
dmg
d: afstand tussen het ophangpunt en het
massamiddelpunt
m: massa van het slingerend lichaam
IO: traagheidsmoment t.o.v. de rotatieas (de Z-as)
door het ophangpunt O
MMvoor kleine maximale uitwijkingshoeken
3.2 De fysische slinger
2
max= 2 1m d 16
OIT
g
2 4max max1 9= 2 1 sin sin ...
m d 4 2 64 2
OIT
g
3.2 De fysische slinger
0 2l
Tg
l
voor kleine maximale uitwijkingshoeken
3.2.2 De wiskundige slinger
Voorbeeld: een staafslinger
Een staafslinger met lengte l hangt op
in een punt op l /6 van een uiteinde.
Bepaal het slingerpunt O’ en toon de
eigenschap van het slingerpunt aan.
Antw: O’ ligt op l /4 van het andere uiteinde verwijderd.
MM
O
l /6
l
3.2.3 en 3.2.4 Equivalente lengte - Slingerpunt
L
Gevraagd :
1. ω voor L=R/2 en voor L=R
2. L waarvoor T= 2π/ω minimaal wordt.
3.4 Voorbeeld
FysicaIndustrieel Ingenieur
Schoonmeersen
Samenstellen van Trillingen
Superposition of vibrations
Hoofdstuk 4
Werken op een massa gelijktijdig twee of meerkrachten in, die elk afzonderlijk de massa in trillingbrengen, dan behoudt elk van deze krachten haarvolle uitwerking en is de resulterende uitwijkinggelijk aan de som van de uitwijkingen die dekrachten elk apart veroorzaken.
1 2( ) ( ) ( ) ... ( )r iu t u t u t u t
Superpositiebeginsel
4.1 Het superpositiebeginsel
Twee trillingen met evenwijdige trilrichtingen en gelijke pulsaties
1 1 1
2 2 2
( ) sin
( ) sin
u t A t
u t A t
Fasorenmethode - Methode van Fresnel
1
1
22
Y
4.2 Trillingen met evenwijdige trilrichtingen
Fasorenmethode - Methode van Fresnel
u
4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties
Twee trillingen met evenwijdige trilrichtingen en gelijke pulsaties
1 1 1
2 2 2
( ) sin
( ) sin
u t A t
u t A t
( ) sinr ru t A t Y
De samengestelde van twee (of meer)
trillingen met gelijke pulsaties en dezelfde
trillingsrichting is een trilling met dezelfde
pulsatie en dezelfde richting als haar
samenstellende trillingen.
4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties
2211
2211
21
2
2
2
1
coscos
sinsintan
cos2
AA
AA
A
A
AAAAA
x
y
r
Y
4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties
Twee trillingen met evenwijdige trilrichtingen en gelijke pulsaties
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen
Geel: f1= 1 Hz A1=1 1=0
Groen: f2= 1 Hz A2=2 2=30°
Rood: fr=… Hz Ar= … Y= …
4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen
Geel: f1= 1 Hz A1=1 1=30°
Groen: f2= 1 Hz A2=2 2=60°
Rood: fr=… Hz Ar= … Y= …
4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties
u
4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen
Geel: f1= 1 Hz A1=1 1=60°
Groen: f2= 1 Hz A2=2 2=60°
Rood: fr=… Hz Ar= … Y= …
4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties
4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen
Geel: f1= 1 Hz A1=1 1=60°
Groen: f2= 1 Hz A2=2 2=240°
Rood: fr=… Hz Ar= … Y= …
4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen
Geel: f1= 1 Hz A1=1 1=60°
Groen: f2= 1 Hz A2=1 2=240°
Rood: fr=… Hz Ar= … Y= …
4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties
Meerdere trillingen met evenwijdige trilrichtingen en gelijke pulsaties
Y
tAu
nitAu
rr
iii
sin
,...,1:sin
De samengestelde van twee (of meer)
trillingen met gelijke pulsaties en dezelfde
trillingsrichting is een trilling met dezelfde
pulsatie en dezelfde richting als haar
samenstellende trillingen.
4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties
Meerdere trillingen met evenwijdige trilrichtingen en gelijke pulsaties
x
y
yxr
iiy
iix
rri
iii
A
A
AAA
AA
AA
tAuu
nitAu
Y
Y
tan
sin
cos
sin
,...,1:sin
22
4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties
Amplitudevectoren samenstellen :
Wiskundig x en y componenten samenstellen
Grafisch kop aan staart leggen
beginpunt eerste met eindpunt laatste verbinden
Ԧ𝐴1
Ԧ𝐴2Ԧ𝐴3
𝑋
𝑌
𝜃1𝜃2𝜃3
Fasorenmethode - Methode van Fresnel
4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties
Amplitudevectoren samenstellen :
Wiskundig x en y componenten samenstellen
Grafisch kop aan staart leggen
beginpunt eerste met eindpunt laatste verbinden
Ԧ𝐴1
Ԧ𝐴2Ԧ𝐴3
𝑋
𝑌
𝜃1𝜃2𝜃3
Fasorenmethode - Methode van Fresnel
4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties
Amplitudevectoren samenstellen :
Wiskundig x en y componenten samenstellen
Grafisch kop aan staart leggen
beginpunt eerste met eindpunt laatste verbinden
Ԧ𝐴1
Ԧ𝐴2Ԧ𝐴3
𝑋
𝑌
𝜃1𝜃2𝜃3
Ԧ𝐴
4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties
Fasorenmethode - Methode van Fresnel
Amplitudevectoren samenstellen :
Wiskundig x en y componenten samenstellen
Grafisch kop aan staart leggen
beginpunt eerste met eindpunt laatste verbinden
Ԧ𝐴1
Ԧ𝐴2Ԧ𝐴3
𝑋
𝑌
𝜃1𝜃2𝜃3
Ԧ𝐴
4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties
Fasorenmethode - Methode van Fresnel
Amplitudevectoren samenstellen :
Wiskundig x en y componenten samenstellen
Grafisch kop aan staart leggen
beginpunt eerste met eindpunt laatste verbinden
Ԧ𝐴1
Ԧ𝐴2Ԧ𝐴3
𝑋
𝑌
𝜃1𝜃2𝜃3
Ԧ𝐴
4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties
Fasorenmethode - Methode van Fresnel
Amplitudevectoren samenstellen :
Wiskundig x en y componenten samenstellen
Grafisch kop aan staart leggen
beginpunt eerste met eindpunt laatste verbinden
Ԧ𝐴1
Ԧ𝐴2Ԧ𝐴3
𝑋
𝑌
𝜃1𝜃2𝜃3
Ԧ𝐴
Ax
Ay
4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties
Fasorenmethode - Methode van Fresnel
Samenstellen van trillingen
Bepaal de samengestelde trilling van de volgende drie trillingen met evenwijdige trilrichtingen
Oefening 1 Oefening 2
tu
tu
tu
35cos3
110sin4
50cos5
3
2
1
tu
tu
tu
30cos6
130sin5
70cos2
3
2
1
Atot = 8,60 ψ=14°,1Atot = 4,58 ψ=171°
4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties
Twee trillingen met evenwijdige trilrichtingen en weinig verschillende
pulsaties
1 1 1
2 2 2
( ) sin
( ) sin
u t A t
u t A t
1 2
1
1 2 2
+ =
= + 2
= met 1
2
2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
sin( )
2 cos 2
sin sintan
cos cos
r r
r
u A t
A A A A A t
A t A t
A t A t
Y
Y
4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Geel: f1= 9 Hz A1=1
Groen: f2= 11 Hz A2=1,5
Rood: fzwev=… Hz Amax= … Amin= … zwevingsdiepte=….
4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Geel: f1= 9 Hz A1=2,5
Groen: f2= 11 Hz A2=2
Rood: fzwev=… Hz Amax= … Amin= … zwevingsdiepte=….
4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Geel: f1= 9 Hz A1=1
Groen: f2= 11 Hz A2=1
Rood: fzwev=… Hz Amax= … Amin= … zwevingsdiepte=….
4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties
ZWEVINGEN
4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties
100 % modulatie
4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Geel: f1= 14 Hz A1=2,5
Groen: f2= 16 Hz A2=1
Rood: fzwev=… Hz Amax= … Amin= … zwevingsdiepte=….
4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Geel: f1= 28 Hz A1=2,5
Groen: f2= 32 Hz A2=0,5
Rood: fzwev=… Hz Amax= … Amin= … zwevingsdiepte=….
4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen
Geel: f1= 50 Hz A1=1
Groen: f2= 48 Hz A2=2
Rood: fzwev=… Hz Amax= … Amin= … zwevingsdiepte=….
4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen
Samenstellen van // trillingen met sterk verschillende pulsaties
De resulterende trilling is niet harmonisch,
maar wel periodiek als met 𝑛𝑖𝜖 𝑁𝜔1
𝜔2=𝑛1𝑛2
4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties
Iedere trilling wordt voorgesteld door vector (= fasor) die roteert met
constante 1, resp. 2.
Optellen van vectoren geeft vector die continu verandert van lengte en
van hoeksnelheid: geen EHB, maar wel een periodieke beweging als de
pulsaties zich verhouden als natuurlijke getallen.
T = kleinste gemeen veelvoud (T1,T2)
A
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Reeks1
Reeks2
Reeks3
T = 12sT1 = 4s
T2 = 6s
121
4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen
4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen
4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen
AM: Amplitudemodulatie
4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties
• Vb.: Radio-ontvanger
Afstemgedeelte, wordt in resonantie gebracht. Ontvangen
radiogolven produceren een wisselstroom in keten.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen
4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen
4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties
Samenstellen van // trillingen met sterk verschillende pulsaties
4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties
4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties
Ontbinden van een periodieke beweging
Een willekeurige periodieke beweging is steeds te
ontbinden in een som van harmonische bewegingen
4.2.8 Ontbinden van periodieke functies
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
u(t
)
t (s)
Ontbinden van een periodieke beweging
0
1
( ) cos sinn n
n
f t a a n t b n t
Een willekeurige periodieke beweging is steeds te
ontbinden in een som van harmonische bewegingen
0
0
0
0
1( )
2( )cos
2( )sin
T
T
n
T
n
a f t dtT
a f t n t dtT
b f t n t dtT
Fourierreeks ontwikkeling
4.2.8 Ontbinden van periodieke functies
Samenstellen van twee trillingen met onderling loodrechte trilrichtingen
1
2
sin 90
sin 2 60
h
v
x u A t
y u A t
Voorbeeld:
4.3 Samenstellen van onderling trillingen
1
2
sin 90
sin 2 60
h
v
x u A t
y u A t
uv
A1
A2
Verschillende pulsaties
Figuren van Lissajous
4.3 Samenstellen van onderling trillingen
1
2
sin 90
sin 2 60
h
v
x u A t
y u A t
uv
A1
A2
Verschillende pulsaties
Figuren van Lissajous
4.3 Samenstellen van onderling trillingen
1
2
sin 90
sin 2 60
h
v
x u A t
y u A t
uv
A1
A2
Verschillende pulsaties
Figuren van Lissajous
4.3 Samenstellen van onderling trillingen
Figuur van Lissajous: gesloten
resulterende curve als de
pulsaties zich verhouden als
natuurlijke getallen
Gelijke pulsaties
4.3 Samenstellen van onderling trillingen
𝑥 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜔1𝑡 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜔2𝑡 + 𝜑
𝜔2
𝜔1
𝜑
4.3 Samenstellen van onderling trillingen