Download - 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας
![Page 1: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/1.jpg)
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Μετασχηματισμοί
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
19 Νοεμβρίου 2014
![Page 2: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/2.jpg)
Μετασχηματισμοί στον R2
![Page 3: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/3.jpg)
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
![Page 4: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/4.jpg)
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
![Page 5: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/5.jpg)
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
![Page 6: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/6.jpg)
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
![Page 7: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/7.jpg)
Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν
μετασχηματισμούς αν
1. δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2. x→ x′ ⇒ cx→ cx′, ∀x ∈Rn,∀c ∈R3. x→ x′,y→ y′ ⇒ x+y→ x′+y′, ∀x,y ∈Rn
![Page 8: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/8.jpg)
Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν
μετασχηματισμούς αν
1. δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2. x→ x′ ⇒ cx→ cx′, ∀x ∈Rn,∀c ∈R
3. x→ x′,y→ y′ ⇒ x+y→ x′+y′, ∀x,y ∈Rn
![Page 9: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/9.jpg)
Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν
μετασχηματισμούς αν
1. δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2. x→ x′ ⇒ cx→ cx′, ∀x ∈Rn,∀c ∈R3. x→ x′,y→ y′ ⇒ x+y→ x′+y′, ∀x,y ∈Rn
![Page 10: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/10.jpg)
Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες
τρείς συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να
παρασταθεί με πίνακα
![Page 11: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/11.jpg)
Παραδείγματα
1.
[10
]→
234
και [01
]→
468
2.
[11
]→
69
12
και [ 2−1
]→
000
![Page 12: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/12.jpg)
Παραδείγματα
1.
[10
]→
234
και [01
]→
468
2.
[11
]→
69
12
και [ 2−1
]→
000
![Page 13: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/13.jpg)
΄Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1. παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
2. ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
![Page 14: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/14.jpg)
΄Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1. παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p2. ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
![Page 15: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/15.jpg)
Παραγώγιση Πολυωνύμων
pn(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+an−1xn−1 +anxn
p′n(x) = 0+a1 +2a2x+3a3x2 + . . .+ (n−1)an−1xn−2 +nanxn−1
pn(x) ↔
a0a1a2. . .
an−1an
p′n(x) ↔
0a1
2a2. . .
(n−1)an−1nan
![Page 16: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/16.jpg)
Παραγώγιση Πολυωνύμων
pn(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+an−1xn−1 +anxn
p′n(x) = 0+a1 +2a2x+3a3x2 + . . .+ (n−1)an−1xn−2 +nanxn−1
pn(x) ↔
a0a1a2. . .
an−1an
p′n(x) ↔
0a1
2a2. . .
(n−1)an−1nan
![Page 17: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/17.jpg)
Παραγώγιση Πολυωνύμων
pn(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+an−1xn−1 +anxn
p′n(x) = 0+a1 +2a2x+3a3x2 + . . .+ (n−1)an−1xn−2 +nanxn−1
pn(x) ↔
a0a1a2. . .
an−1an
p′n(x) ↔
0a1
2a2. . .
(n−1)an−1nan
![Page 18: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/18.jpg)
Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1,v2, . . . ,vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wnβάση του W τότε
Ï Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το Vστο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Ï Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθείεφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στοδιάνυσμα της vj της βάσης του V
Ï Avj = a1,jwj+a2,jw2+ . . .+am,jwm
![Page 19: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/19.jpg)
Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1,v2, . . . ,vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wnβάση του W τότε
Ï Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το Vστο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Ï Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθείεφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στοδιάνυσμα της vj της βάσης του V
Ï Avj = a1,jwj+a2,jw2+ . . .+am,jwm
![Page 20: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/20.jpg)
Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1,v2, . . . ,vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wnβάση του W τότε
Ï Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το Vστο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Ï Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθείεφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στοδιάνυσμα της vj της βάσης του V
Ï Avj = a1,jwj+a2,jw2+ . . .+am,jwm
![Page 21: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/21.jpg)
Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1,v2, . . . ,vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wnβάση του W τότε
Ï Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το Vστο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Ï Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθείεφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στοδιάνυσμα της vj της βάσης του V
Ï Avj = a1,jwj+a2,jw2+ . . .+am,jwm
![Page 22: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/22.jpg)
Περιστροφή
Qθ =(
cosθ −sinθsinθ cosθ
)
![Page 23: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/23.jpg)
Περιστροφή
Qθ =(
cosθ −sinθsinθ cosθ
)
![Page 24: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/24.jpg)
Περιστροφή
Qθ =(
cosθ −sinθsinθ cosθ
)
![Page 25: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/25.jpg)
Περιστροφή
Ï QθQ−θ =
I ⇒Q−1θ
=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2
Ï ...
![Page 26: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/26.jpg)
Περιστροφή
Ï QθQ−θ = I
⇒Q−1θ
=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2
Ï ...
![Page 27: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/27.jpg)
Περιστροφή
Ï QθQ−θ = I ⇒Q−1θ
=Q−θ
Ï Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2
Ï ...
![Page 28: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/28.jpg)
Περιστροφή
Ï QθQ−θ = I ⇒Q−1θ
=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =
Qθ1+θ2
Ï ...
![Page 29: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/29.jpg)
Περιστροφή
Ï QθQ−θ = I ⇒Q−1θ
=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2
Ï ...
![Page 30: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/30.jpg)
Περιστροφή
Ï QθQ−θ = I ⇒Q−1θ
=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2
Ï ...
![Page 31: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/31.jpg)
Μετασχηματιμός Γινομένου
x A→ y B→ z⇒ x AB→ z
Συμπέρασμα
AπαραγAoλoκλ= I ⇒A−1παραγ=Aoλoκλ
![Page 32: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/32.jpg)
Μετασχηματιμός Γινομένου
x A→ y B→ z⇒ x AB→ z
Συμπέρασμα
AπαραγAoλoκλ= I
⇒A−1παραγ=Aoλoκλ
![Page 33: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/33.jpg)
Μετασχηματιμός Γινομένου
x A→ y B→ z⇒ x AB→ z
Συμπέρασμα
AπαραγAoλoκλ= I ⇒A−1παραγ=Aoλoκλ
![Page 34: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/34.jpg)
Παράδειγμα - Προβολή
Pθ =(
cos2θ −cosθsinθcosθsinθ sin2θ
)
![Page 35: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/35.jpg)
Παράδειγμα - Προβολή
Pθ =(
cos2θ −cosθsinθcosθsinθ sin2θ
)
![Page 36: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/36.jpg)
Παράδειγμα - Προβολή
Pθ =(
cos2θ −cosθsinθcosθsinθ sin2θ
)
![Page 37: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/37.jpg)
Προβολή
Ï P2 =
P⇒Pk =PÏ Ο P δεν αντιστρέφεταιÏ Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...
![Page 38: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/38.jpg)
Προβολή
Ï P2 =P
⇒Pk =PÏ Ο P δεν αντιστρέφεταιÏ Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...
![Page 39: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/39.jpg)
Προβολή
Ï P2 =P⇒Pk =P
Ï Ο P δεν αντιστρέφεταιÏ Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...
![Page 40: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/40.jpg)
Προβολή
Ï P2 =P⇒Pk =PÏ Ο P δεν αντιστρέφεται
Ï Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...
![Page 41: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/41.jpg)
Προβολή
Ï P2 =P⇒Pk =PÏ Ο P δεν αντιστρέφεταιÏ Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...
![Page 42: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/42.jpg)
Παράδειγμα - Ανάκλαση
Hθ =(
2cos2θ−1 2cosθsinθ2cosθsinθ 2sin2θ−1
)
![Page 43: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/43.jpg)
Παράδειγμα - Ανάκλαση
Hθ =(
2cos2θ−1 2cosθsinθ2cosθsinθ 2sin2θ−1
)
![Page 44: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/44.jpg)
Παράδειγμα - Ανάκλαση
Hθ =(
2cos2θ−1 2cosθsinθ2cosθsinθ 2sin2θ−1
)
![Page 45: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/45.jpg)
Ανάκλαση
Ï H2 =
I ⇒H−1 =HÏ H = 2P− I ⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...
![Page 46: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/46.jpg)
Ανάκλαση
Ï H2 = I
⇒H−1 =HÏ H = 2P− I ⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...
![Page 47: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/47.jpg)
Ανάκλαση
Ï H2 = I ⇒H−1 =H
Ï H = 2P− I ⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...
![Page 48: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/48.jpg)
Ανάκλαση
Ï H2 = I ⇒H−1 =HÏ H = 2P− I
⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...
![Page 49: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/49.jpg)
Ανάκλαση
Ï H2 = I ⇒H−1 =HÏ H = 2P− I ⇒Hx+x= 2Px
Ï Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...
![Page 50: 23η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051212/5597cbee1a28ab67608b47d8/html5/thumbnails/50.jpg)
Ανάκλαση
Ï H2 = I ⇒H−1 =HÏ H = 2P− I ⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...