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2.3 Theorie linearer Systeme
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2.3.1 Grundsätzliche Methode
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?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..
zerlegen
einzeln berechnen
überlagern
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?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..
zerlegen
einzeln berechnen
überlagern
Definition: ElementarsignalUnter einem Elementarsignal versteht man eine Klasse von Zeitfunktionen,aus denen jeder beliebige Signalverlauf zusammensetzbar ist.
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?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..
x1(t)
x2(t)
x3(t) …..
zerlegen
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?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..
x1(t)
x2(t)
x3(t) …..
y1(t)
zerlegen
einzeln berechnen
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?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..
x1(t)
x2(t)
x3(t) …..
y1(t)
y2(t)
zerlegen
einzeln berechnen
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?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..
x1(t)
x2(t)
x3(t) …..
y1(t)
y2(t)
y3(t)…..
zerlegen
einzeln berechnen
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?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..
x1(t)
x2(t)
x3(t) …..
y1(t)
y2(t)
y3(t)…..
zerlegen
einzeln berechnen
überlagern
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2.3.2 Gültigkeitsvoraussetzungen
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y(t-t)y(t)
y
t
t
Drei Forderungen an Elementarsignale:
1. Jedes „vernünftige“ Eingangssignal muss sich aus ihnen zusammensetzenlassen Für Rechteck-Impulse erfüllt
2. Sie müssen mathematisch einfach behandelbar sein Für Rechteck-Impulse erfüllt
3. Sie müssen experimentell leicht nachgebildet werden können Für Rechteck-Impulse erfüllt
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Drei Forderungen an die Systeme:
1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt
2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein
3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein
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Definition: KausalitätEin System wird kausal genannt, wenn jedes Ausgangssignal y(t) bis zu irgendeinem Zeitpunkt t1 ausschließlich vom Verlauf des zugehörigen Eingangssignals x(t) bis zu diesem Zeitpunkt abhängt
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Drei Forderungen an die Systeme:
1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt
2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein
3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein
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t
t
t
t
x1(t)
x2(t) f(x2(t))
f(x1(t))
Zeitinvarianz:
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Drei Forderungen an die Systeme:
1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt
2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein
3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein
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SYSTEM
nichtlinear linearDas Superpositionsprinzip gilt nicht :
y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))
y y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))
y(t) f( x1(t) + x2(t))
Es gilt das Superpositionsprinzip:
y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))
y = y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))
y(t) = f( x1(t) + x2(t) )
Lineare Systeme werden durch
linerae Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten beschrieben
Wiederholung:
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Beispiel statisches SystemEingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)
Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)
Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)
Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)
Rechner
Aöffnen
Zschließen
MElektromotor
100 %
0 %Schieber-position
Durchfluß
Strömungs-geschwindigkeit VS
Sensor(Fotozelle)
Lampe
Flügel-rad
Informations-Verarbeitung
I-Eingabe I-Ausgabe
I-Nutzung I-Gewinnung
VS / %
PS / %100
100
0
SYSTEMPS VS
Wiederholung:
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statischeKennliniey=f(x)
Approxi-mations-fehler
?x y
Statisches Systemmodell dieser Maschine
Wiederholung:
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Verhalten eines linearen Systems (Superposition)
t
t
t
t
t
t
x1(t)
x2(t)
x1(t) + x2(t) f(x1(t) + x2(t))
f(x2(t))
f(x1(t))
Wiederholung:
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2.3.3 Faltungsintegral
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Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls
Höhe=1/ , Breite=Fläche=1
t
g(t)
System(t) g(t)
t
(t)
t
(t)
falls Breite gegen Null t 0
wird Höhe=1/ unendlich Einheitsimpuls entartet zum Dirac-Stoß (t),
t
(t)
![Page 23: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040423/5e175d4016844c40133c748a/html5/thumbnails/23.jpg)
t
g(t)
System(t) g(t)
t
(t)
normierter Einheitsimpuls (t): Antwort g(t)auf den normierten Impuls
Höhe=1 , Breite=Fläche=
![Page 24: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040423/5e175d4016844c40133c748a/html5/thumbnails/24.jpg)
für zeitinvariante Systeme gilt:
System(t) g(t)
t
g(t)
t
(t)
WENN
t
g(t-)
t
(t-)
DANN
Sobald man den Eingangsimpulsum nach rechts verschiebt
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für lineare Systeme giltaußerdem: System(t) g(t)
t
g(t)
t
(t)
t
x()g(t-)
t
x(t-)
UND
DANN
WENN
UND
x()g(t-)x(t-)
tt
Sobald man die Summe aller Signale bildet
tt
x(t-) x()g(t-)
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Systemx(t) y(t)
tt
x(t-) x()g(t-)
x(t) ~ x()(t-)
mit f1() = x()(t-) für t=const
x(t) ~ f1()
~ Fläche unter f1() für 0
= f1()d
x(t) = x()(t-)d
y(t) ~ x()g(t-)
mit f2() = x()g(t-) für t=const
y(t) ~ f2()
~ Fläche unter f2() für 0
= f2()d
y(t) = x()g(t-)d
Funktionen von zwei Variablen: von t und . Hier interessiert aber nur der Wert bei einem t=const:
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2.3.4 Stabilität
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Systemx(t) y(t)
Kraft Brücke Weg
Kraft
x(t)
Weg
y(t)
harmlose Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke
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Systemx(t) y(t)
Kraft Brücke Weg
Kraft
x(t)
Weg
y(t)
gefährliche Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: Schwingungen
![Page 30: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040423/5e175d4016844c40133c748a/html5/thumbnails/30.jpg)
Definition der Stabilität
![Page 31: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040423/5e175d4016844c40133c748a/html5/thumbnails/31.jpg)
Systemx(t) y(t)
Kraft Brücke Weg
Kraft
x(t)
Weg
y(t)
harmlose Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: BIBO-stabil
Bx
By
![Page 32: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040423/5e175d4016844c40133c748a/html5/thumbnails/32.jpg)
Systemx(t) y(t)
Kraft Brücke Weg
Kraft
x(t)
Weg
y(t)
Bx
By
?
gefährliche Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: BIBO-instabil
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Tacoma Narrows Bridge (Washington, 7. November 1940)
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