Neufassung der DAfStb Hefte 220 / 240
Überarbeitung Heft 220 (neu: Heft 630)
Bauteile unter Normalkraft nach Theorie II. Ordnung
Prof. Dr. Oliver Fischer Lehrstuhl für Massivbau, Technische Universität München
5. Jahrestagung des DAfStb | TU Kaiserslautern | Mittwoch 20.09.2017
Neufassung der DAfStb Hefte 220 / 240 Bauteile unter Normalkraft nach Theorie II. Ordnung (neu: Heft 630)
Verhalten einer ideal geraden, elastischen Stütze bei zentrischer Last
Last-Verschiebungskurve:
w
N
Theorie II. Ordnung NK
stabile Gleichgewichtslage instabile Gleichgewichtslage
§ DGL: ;
§ nichttriviale Lösung (Knicklast):
!"#($)%!$"
& '* + , & -(.) = 0! - 0 = 0%; %- / = 0!
,1 =2"&34
5" ; %%%%- . = 6 & sin
2
5& .
Randbedingungen:
N
w(x)
stabile, ausgelenkte Gleichgewichtslage:
N
System; gerade Gleichgewichtslage:
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Verhalten einer ideal geraden, elastischen Stütze bei zentrischer Last
w
N
Theorie II. Ordnung
N
Ausgangslage, imperfektes System:
ei
N
verformte Gleichgewichtslage:
ei + w(x=l/2)
Verformung des imperfekten Systems nach Theorie II. Ordnung
NK
; virtuelles Moment: ! = 1 " #$
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Abschätzung der Knicklast (Verformung des imperfekten Systems)
w
N
Theorie II. Ordnung
Verformung des imperfekten Systems nach Theorie II. Ordnung
§ Ausgangsmoment: !% = & " '(
à Zusatzverformung: )% = *+,- "
./0 "
#$ " 2 = !% " .
$3 " #4,- Parabel + Dreieck
{
N
Ausgangslage, imperfektes System:
ei
N
verformte Gleichgewichtslage:
ei + w(x=l/2) 5 = 1
à 6!/ = & " )%
à Gesamtmoment: !787 = !% "9 & " :20;<>?@ ( =A
(B%1
1 C & " :20;<>?@
NK = p2 " EI / l2 DE9,87 " EI / l2 Nk DE48/5 " EI / l2
{9,6
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N
N
e w
Querschnittstragfähigkeit
M
N
0
(λ1 = 0)
Theorie I. Ordnung
NQu
1
As2 = As1
As1
Querschnitt: System:
! = !" = # $ %!
Querschnittsversagen = Materialversagen
1
Tragverhalten einer Stahlbetonstütze mit steigender Schlankheit
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! = !" +!"" = # $ % + # $ &!
N
N
e w
Querschnittstragfähigkeit
M
N
0
Theorie I. Ordnung
NQu
1 λ2
Theorie II. Ordnung
NQu NSt
2
NQu = NSt 3
As2 = As1
As1
Querschnitt: System:
Querschnittsversagen = Materialversagen
Querschnitts- und Stabilitätsversagen aufgrund lastabhängiger Steifigkeitsabnahme (nichtlineares Materialverhalten des Betons, Rissbildung, Fließen der Bewehrung)
1 ; 2
3
Tragverhalten einer Stahlbetonstütze mit steigender Schlankheit
(λ1 = 0)
λ3 > λ2
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! = !" +!"" = # $ % + # $ &!
N
N
e w
Querschnittstragfähigkeit
M
N
0
Theorie I. Ordnung
NQu
1
Theorie II. Ordnung
NQu NSt
2
NQu = NSt 3
NSt
NQu
4
As2 = As1
As1
Querschnitt: System:
Querschnittsversagen = Materialversagen
Querschnitts- und Stabilitätsversagen aufgrund lastabhängiger Steifigkeitsabnahme (nichtlineares Materialverhalten des Betons, Rissbildung, Fließen der Bewehrung)
Stabilitätsversagen
1 ; 2
3
4
Tragverhalten einer Stahlbetonstütze mit steigender Schlankheit
(λ1 = 0)
λ2
λ3 > λ2
λ4 > λ3
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Aktuelle Untersuchungen am Lehrstuhl für Massivbau der TUM
§ Verbundstützen, formoptimierte Druckstäbe
Bild Massivbau Seminar (fast deckungsgleich)
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§ Allgemeines im Vergleich zum „alten“ Heft 220
Ø Aktualisierung auf den EC2
Ø knappe Texte, Schwerpunkt Hilfsmittel (Tabellen, Diagramme, Bilder)
Ø klar strukturierter Aufbau mit „Kochrezepten“ zum besseren Überblick
§ wesentliche Inhalte, Überarbeitung
Ø Hinweise zum Ansatz von Imperfektionen
Ø Nachweise am Gesamttragwerk und am Einzeldruckglied
Ø Ansätze zur Berechnung umschnürter Druckglieder
Ø Knicklängen und Sonderfragen
Ø Empfehlungen und Hinweise zur numerischen Berechnung
Überblick Neufassung Theorie II. Ordnung
Neufassung der DAfStb Hefte 220 / 240 Bauteile unter Normalkraft nach Theorie II. Ordnung (neu: Heft 630)
§ Aufbereitung Nachweiskonzept EC 2 als „Kochrezept“ mit zugehörigen Diagrammen, Tabellen und Bildern
§ schnellere und einfachere Nachweisführung für die Praxis
Nachweise am Gesamttragwerk
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§ Aufbereitung Nachweiskonzept EC 2 als „Kochrezept“ mit zugehörigen Diagrammen, Tabellen und Bildern
§ schnellere und einfachere Nachweisführung für die Praxis
Nachweise am Gesamttragwerk
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§ Abgrenzung der Berechnungsverfahren
§ Aufbereitung der komplexen Formeln des vereinfachten Verfahrens (Nennkrümmung) nach EC 2 in ein „Kochrezept“ mit zugehörigen Diagrammen, Tabellen und Bildern
Nachweise am Einzeldruckglied
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Bildquelle: Feix, Walkner (Betonbau)
verformtes System: Momentenverläufe: Krümmungsverlauf !("): virtuelles Moment:
§ Prinzip der virtuellen Kräfte:
Einschub zum vereinfachten Verfahren mit Nennkrümmung
#$ = % &'(")*
+,+- $./ ! " 0" = 1
2 / 34$ / 15!
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Krümmungsverlauf !("): virtuelles Moment &'("):
#$ = % &'(")*
+,+- $./ ! " 0"!
Integraltafel:
= 617 /
347 / 347 / 15 =
689 / 34
$ / 15!
Bildquelle: Feix, Walkner (Betonbau)
Einschub zum vereinfachten Verfahren mit Nennkrümmung
#$ = % &'(")*
+,+- $./ ! " 0" = 1
2 / 34$ / 15!§ Prinzip der virtuellen Kräfte:
§ Beiwert c (exemplarische Berechnung):
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Krümmungsverlauf !("): virtuelles Moment #$("): Integraltafel:
Krümmungsverlauf !("): % = 8 % =48
5= 9,6 % = &' * 10 % = 12 #$("):
Bildquelle: Feix, Walkner (Betonbau)
Einschub zum vereinfachten Verfahren mit Nennkrümmung
! = " #$(%)&
'*'+ !,- . % /% = 1
0 - 23! - 14 § Prinzip der virtuellen Kräfte:
§ Beiwert c:
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§ Krümmung im kritischen Querschnitt (. = 154): Momenten-Normalkraft-Interaktion: zugehörige Normalkraft-Krümmungs-Beziehung:
Näherung der Dehnungsebene bei Nbal (maximale Momententragfähigkeit):
Ø maximale Normalkraft-tragfähigkeit bei Nu (zentrischer Druck):
Ø maximale Momenten-tragfähigkeit bei Nbal (Bewehrung fließt):
Ø dazwischen Linearisierung möglich:
. = 6
.7 = 147 8
9 - :;<6>? - / =
:;<6>@A - /
. = BC - .7 = DE F DG<DE FDHI' - .7 DEDDDEDD
abhängig von Bewehrung As
Bildquelle: Feix, Walkner (Betonbau)
Einschub zum vereinfachten Verfahren mit Nennkrümmung
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Kr
Bewehrungsgrad !"#ä$% [%]
§ Aufbereitung der komplexen Formeln des vereinfachten Verfahrens (Nennkrümmung) nach EC 2 in ein „Kochrezept“ mit zugehörigen Diagrammen, Tabellen und Bildern
Nachweise am Einzeldruckglied
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§ Aufbereitung der komplexen Formeln des vereinfachten Verfahrens (Nennkrümmung) nach EC 2 in ein „Kochrezept“ mit zugehörigen Diagrammen, Tabellen und Bildern
Nachweise am Einzeldruckglied
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§ Aufbereitung der komplexen Formeln des vereinfachten Verfahrens (Nennkrümmung) nach EC 2 in ein „Kochrezept“ mit zugehörigen Diagrammen, Tabellen und Bildern
Nachweise am Einzeldruckglied
geprüfte Interaktionsdiagramme
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Sonderfragen
§ Druckglieder mit zweiachsiger Ausmitte
§ veränderliche Steifigkeiten
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nach DIN EN 1992-1-1:
nach Mander et al. (1988):
!"#," = !"# $ (1,000 + 5,0!" #$%)& ''''' !" ( 0,05#$%
#$%,$ = #$% * -1,125 + 2,5 !" #$%)& !" > 0,05#$%
!" = ./$ * !"3
./$ =4/$
466 * -1 7 866)
• effektive Querdruckspannung:
• Wirksamkeitskoeffizient:
• Längsbewehrungsgrad des umschnürten Betonkerns:
./$ =4/$
466 * -1 7 866)Wirksamkeitskoeffizient:
466
umschnürter
Betonkern
496
effektiv
umschnürter
Betonkern
8$$ =4:;
466
Sonderfragen
§ Druckglieder mit zweiachsiger Ausmitte
§ veränderliche Steifigkeiten
§ vom Rechteck und Kreis abweichende Querschnitts- formen
§ umschnürte Druckglieder
• kreisförmige Bügelbewehrung:
• Wendelbewehrung:
!" =
1 #$%&
'(
6)"*"1 #
+'
2)"1 #
+'
2*"
1 # ,""
• rechteckige Bügelbewehrung:
!" =1 #
+-2./
(
1 # ,""
!" =1 #
+-2.0
1 # ,""
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Sonderfragen
§ Druckglieder mit zweiachsiger Ausmitte
§ veränderliche Steifigkeiten
§ vom Rechteck und Kreis abweichende Querschnitts- formen
§ umschnürte Druckglieder
§ bewehrte Wände
§ unbewehrte oder gering bewehrte Bauteile
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Knicklängen (in Analogie zum „alten“ Heft mit sinnvollen Ergänzungen)
§ unverschiebliche und verschiebliche Rahmen
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! = 4 " # " $ !
Knicklängen (in Analogie zum „alten“ Heft mit sinnvollen Ergänzungen)
§ unverschiebliche und verschiebliche Rahmen
§ Standardfälle
§ Sonderfälle
Ø elastisch in Fundamente eingespannte Stützen
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! = 2 "1 + 2 " #$ #%
3
Ø elastisch in Fundamente eingespannte Stützen
Ø gekoppelte Kragstützen
Ø Kragstützen mit ange-hängten Pendelstützen
Ø Kragstütze mit Auflast und konstanter Eigenlast
Ø Wände
Knicklängen (in Analogie zum „alten“ Heft mit sinnvollen Ergänzungen)
§ unverschiebliche und verschiebliche Rahmen
§ Standardfälle
§ Sonderfälle
Herzlichen Dank
für Ihre Aufmerksamkeit !