Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 1
3.
3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE
Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którąwcześniej już poznaliśmy i przy użyciu której jesteśmy w stanie policzyć przemieszczenia i rozkład siłwewnętrznych układów statycznie niewyznaczalnych. Tok obliczeń matematycznych jest podobny, jednak sensfizyczny wielkości występujących w równaniach jest odmienny. Podstawowe różnice pomiędzy tymi metodamizestawiliśmy w poniższej tabeli oraz zobrazowaliśmy w krótkich przykładach.
Tabela 3.1. Porównanie metody sił z metodą przemieszczeń
Metoda sił Metoda przemieszczeń
Niewiadomymi są: nadliczbowe siły przemieszczenia węzłów
Równania kanoniczne wyrażają: przemieszczenia w miejscu odrzuconychwięzów reakcje w miejscu dołożonych więzów
O liczbie niewiadomych decyduje:
stopień statycznej niewyznaczalności(SSN). Jest to liczba więzów
przesztywniających układ, które trzebaodrzucić.
stopień kinematycznejniewyznaczalności (SKN). Jest to
liczba więzów, które trzebawprowadzić aby układ usztywnić.
3.1. Algorytm obliczeń w metodzie przemieszczeńOkreślenie stopnia kinematycznej (geometrycznej) niewyznaczalności polega na wyznaczeniu liczby
więzów, które należy wprowadzić, aby układ stał się geometrycznie wyznaczalny. Będzie to liczba węzłówukładu prętowego, w którym zbiegają się sprężyście utwierdzone pręty (węzły wewnętrzne) powiększona oliczbę więzów (niezależnych podpór), które należy wprowadzić do układu, aby stał się nieprzesuwny.
W przypadku wieloprętowego układu, relację między kątami obrotów cięciw prętów wyznacza się złańcucha kinematycznego uzyskanego poprzez zamianę wszystkich węzłów wewnętrznych i podpór naprzeguby i określenie stopnia geometrycznej niewyznaczalności.
Układ podstawowy będzie układem, w którym wprowadza się wewnętrzne utwierdzenia do węzłów orazdodaje się podpory liniowe, uniemożliwiające przesuwy. Dalsze obliczenia zilustrujemy na przykładzie.
Przykład 1
Rozpatrujemy belkę ciągłą (rys. 3.1) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolnymobciążeniem ciągłym q. Pod wpływem tego obciążenia belka odkształci się, w wyniku czego powstanie stannaprężeń wyrażony w postaci sił wewnętrznych. Rozwiążmy tą belkę najpierw metodą sił a następnie metodąprzemieszczeń.
q
Rys. 3.1 Belka ciągła statycznie niewyznaczalna
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 2
W metodzie sił, belka jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna (SSN = 1). Możemy zatem przyjąć układpodstawowy w którym jedną z podpór zastąpimy niewiadomą siłą X1 (rys. 3.2).
X1
Rys. 3.2. Układ podstawowy w metodzie sił
Linia ugięcia takiej belki będzie sumą linii ugięć powstałych od obciążenia ciągłego q i od niewiadomej siłyX1 (korzystamy tutaj z zasady superpozycji skutków). Linie ugięć będą wyglądały mniej więcej tak jak narysunku 3.3.
Sw(q)
Sw(x
1)
X1
ws(x
1)
ws(q)
S
w(q) = w(x1)
Rys. 3.3. Linie ugięcia od obciążenia ciągłego q i od niewiadomej siły X1
Warunek geometrycznej zgodności:
ws qws X 1=0
zapisujemy w postaci równania kanonicznego:
11 X 11 P=0
Ta sama belka w metodzie przemieszczeń, będzie posiadać jeden niezależny kąt obrotu przekroju w węźle S(SKN = 1). W celu przyjęcia najlepszego układu podstawowego wprowadzamy dodatkowy więz w postaciutwierdzenia wewnętrznego (sztucznego), który zatrzymuje obrót ale nie blokuje przesuwu (rys. 3.4). Wprzeciwieństwie do metody sił, nie będzie to więc układ statycznie wyznaczalny lecz układ przesztywniony.
φ1
s
Rys. 3.4. Układ podstawowy w metodzie przemieszczeń
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 3
Układ taki jest zgodny jedynie geometrycznie, kinematyczną zgodność zapewnia przemieszczenie w postacikąta obrotu φ1. Równowagę statyczną uzyskamy jeśli spełnimy równanie równowagi, opisujące reakcję wewprowadzonym więzie:
M s=0 ⇔ M s=M qM L M P=0
które jest równaniem kanonicznym:
r111r1 P=0
Wykonując wykresy sił wewnętrznych powstałych zarówno od obciążenia q jak i od kąta obrotu φ1
korzystamy ze wzorów transformacyjnych (rys. 3.5).
M(q)M(q) =
M(φ1)
ML(φ)
MP(φ)
φ1
ql2
8
Rys. 3.5. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia ciągłego q oraz od kąta obrotu φ
Wykonując linię ugięcia (rys. 3.6) widzimy że ma ona taką samą postać jak ta, która powstała w wynikurozwiązania belki metodą sił, co świadczy o poprawności tej metody.
w(q,φ1)φ
1
Rys. 3.6. Linia ugięcia od obciążenia ciągłego q i i kąta obrotu więzu o φ1
Przykład 2
Analizie poddamy ramę płaską (rys. 3.7) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolną siłąskupioną P i obciążeniem ciągłym q.
q
P
EJs
EJs
EJr
l
h
A B
Rys. 3.7. Rama płaska statycznie niewyznaczalna
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 4
Pod wpływem tego obciążenia rama odkształci się, w wyniku czego powstanie stan naprężeń wyrażonyw postaci sił wewnętrznych. Rama ta składa się z prętów połączonych ze sobą w węzłach, pręty te będziemytraktować jako tarcze doskonale sztywne podłużnie (nie uwzględniamy skracania i wydłużania się prętów podwpływem działania obciążenia). Pod wpływem przemieszczenia pręty ulegają deformacji, a węzły doznająprzemieszczeń. Stan przemieszczenia węzłów charakteryzują wielkości: kąty obrotów φ oraz niezależneprzesuwy Δ (które mogą być wyrażone przez niezależne kąty obrotów cięciw prętów ψik). Przyjmijmy więc tewielkości za niewiadome w metodzie przemieszczeń. Aby uzyskać układ podstawowy w metodzieprzemieszczeń wprowadzamy wewnętrzne utwierdzenia (blokady obrotów po kierunku φ1, φ2) oraz dodatkowąpodporę (blokada przesuwu po kierunku Δ3). W ten sposób naruszymy statykę układu (rys. 3.8).
q
P
EJs
EJs
EJr
l
h
A B
MA,φ
1M
B,φ
2
RBH,Δ3
Rys. 3.8. Układ podstawowy z dodatkowymi wewnętrznymi utwierdzeniami oraz z dodatkową podporą
Układ taki jest geometrycznie i kinematycznie zgodny. Zgodność statyczną, którą naruszyliśmy wprowadzającdodatkowe więzy, zapewnimy spełniając równości:
{∑M A=0∑M B=0∑ RB
H=0(3.1)
Warunki (3.1) oznaczają, że reakcje w dodatkowych podporach muszą być równe zero, bo w rzeczywistościtych podpór nie ma. Podobnie było w metodzie sił: przemieszczenia po kierunku odrzuconych więzów musiałybyć równe zero, bo w rzeczywistości te węzły były zablokowane. Rozpisując każde z równań otrzymujemy:
{M APM A1M A2M A3=0M BPM B 1M B2M B3=0RB
H P RBH 1RB
H 2RBH 3=0
(3.2)
Przyjmując oznaczenia charakterystyczne dla metody przemieszczeń i wprowadzając symbol reakcji powstałejod jednostkowego przemieszczenia rik (reakcja po kierunku niewiadomej i wywołana przemieszczeniem pokierunku k):
{r111r122r133R1 P=0r211r222r233R2 P=0R311r322R333R3 P=0
(3.3)
Zastępując symbole niewiadomych φ1 , φ2 , Δ3 zmienną uogólnioną Zj otrzymujemy ostateczny układ równań:
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 5
{r11 Z 1r12 Z 2r13 Z 3R1 P=0r21 Z 1r22 Z 2r23 Z 3R2 P=0R31 Z 1r32 Z 2R33 Z 3R3 P=0
(3.4)
który możemy zapisać również w postaci wskaźnikowej:
∑j=1
n
rij Z jRiP=0 (3.5)
Układy statycznie niewyznaczalne można rozwiązać metoda przemieszczeń lub metodą sił. Ta samakonstrukcja w każdej z tych metod może mieć inną liczbę niewiadomych. W niektórych przypadkach ram,układ jest wielokrotnie statycznie niewyznaczalny, natomiast w metodzie przemieszczeń ma jedną niewiadomą,w innych przypadkach jest na odwrót (rys. 3.9).
z1
X1
X2
X3 X
4
X5
X6
X7
X1
z2
z3
z6
z4
z5
z1
Rys. 3.9. Układy podstawowe w metodzie sił i metodzie przemieszczeń
Proces obliczeń układów niewyznaczalnych metodą przemieszczeń przedstawimy w kilku przykładachliczbowych.
Zadanie 1
Wyznaczyć wykres sił wewnętrznych w zadanej belce (rys. 3.10), korzystając z metody przemieszczeń.
P = 16 kN q = 4 kN/m
2
A B C
2 6 [m]
Rys. 3.10. Belka statycznie niewyznaczalna
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 6
Przyjmujemy układ podstawowy. Zgodnie z założeniami metody przemieszczeń należy zablokować możliweprzemieszczenia węzłowe. W tym przypadku będzie to tylko kąt obrotu na pośredniej podporze (rys. 3.11).Wobec tego SKN = 1, natomiast w metodzie sił należałoby odrzucić dwa więzy (SSN = 2):
4 6
φB,M
B
[m]
Rys. 3.11. Układ podstawowy z wprowadzonym dodatkowym wewnętrznym więzem
Ta krótka analiza dowodzi, że korzystniej (łatwiej) jest rozwiązać zadanie metodą przemieszczeń. Aby układpodstawowy był zgodny z rzeczywistym, reakcja we wprowadzonym więzie musi być równa zero MB = 0(warunek statecznej zgodności). Warunek ten będzie spełniony, jeżeli moment powstały od obciążeniazewnętrznego będzie zrównoważony momentem powstałym od obrotu przekroju w podporze B:
M B qM B =0 (3.6)
Najpierw wykonujemy wykres momentów od jednostkowego przemieszczenia. Korzystając ze wzorówtransformacyjnych wyznaczamy momenty na poszczególnych prętach belki. Część belki AB to prętobustronnie utwierdzony, natomiast część BC to pręt utwierdzony w punkcie B i podparty podporąprzegubowo nieprzesuwną w punkcie C. Wartości momentów od kąta obrotu wyznaczone ze wzorówtransformacyjnych mają wartości:
– dla pręta AB (φA = 0, φB = 1, brak przesuwu ψAB = 0)
M AB=2 EJ
l⋅2AB−3AB=
EJ2 (3.7)
M BA=2 EJ
l⋅2BA−3AB=EJ (3.8)
– dla pręta BC (φB = 1, brak przesuwu ψBC = 0)
M BC=3 EJ
l⋅B−BC =
EJ2 (3.9)
Ponieważ w podporze C jest przegub
M CB=0 (3.10)
Korzystając z gotowych wzorów (tabela 1.2) obliczymy wartości momentów przywęzłowych od obciążeniaprzęsłowego:
– dla pręta AB
M AB=−Pl8=−8 kNm (3.11)
M BA=Pl8=8 kNm (3.12)
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 7
– dla pręta BC
M BC=−ql 2
8=−18 kNm (3.13)
M CB=0 (3.14)
Po obliczeniu momentów możemy narysować ich wykresy (rys. 3.12):
MP
(0)
18
8
Mφ
MP
(0)8
2
Mφ
MP
(0) [kNm]8
1
EJ M
φ
MB(q)
MB(φ)
EJ
8 18
EJ
21 EJ
21 EJ
Rys. 3.12. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego oraz od przemieszczenia φ=1
Z równowagi momentów w węźle B możemy wyznaczyć wartości reakcji w poszczególnych stanach
M Bq=8−18
M B=1=EJ EJ2
(3.15)
Ponieważ reakcje te muszą się równoważyć:
M BqM BB=1B=0
czyli:
8−18EJ EJ2 B=0 (3.16)
Kąt obrotu przekroju B musi być równy:
32B=
10EJ
B=20
3 EJ
(3.17)
Końcowe, rzeczywiste wartości momentów możemy obliczyć korzystając ze wzoru superpozycyjnego (3.18)lub podstawiając do wzorów transformacyjnych obliczoną wartość kąta obrotu φB. Ich wykres w układzieniewyznaczalnym przedstawiono na rys. 3.13.
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 8
M Pn =M P
oM 11 (3.18)
M ABn =−8 EJ
2⋅ 20
3 EJ=−24
310
3=−14
3kNm (3.19)
M BAn =8EJ⋅ 20
3 EJ= 24
3 20
3=44
3kNm (3.20)
M BCn =−18 EJ
2⋅ 20
3 EJ=−54
310
3=−44
3kNm (3.21)
M CBn=0 (3.22)
MP
(n) [kNm]
314 3
44
327
Rys. 3.13. Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym
Zadanie 2
Rozwiązać zadaną ramę (rys. 3.14) korzystając z metody przemieszczeń.
4
A
B C
4
A
B C
4
3A
B C
q = 6 kN/m
[m]
Rys. 3.14. Rama płaska statycznie niewyznaczalna
Najpierw przyjmujemy układ podstawowy. Zgodnie z założeniami metody przemieszczeń należy zablokowaćmożliwe przemieszczenia. W tym przypadku będzie to kąt obrotu oraz przesuw poziomy (rys. 3.15) SKN = 2:
4
3A
B C
4
3A
B C
4
3A
B C
q = 6 kN/m
Δ2
φ1,M
BR
CH
[m]
Rys. 3.15. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 9
We wprowadzonych dodatkowo podporach powstaną reakcje, które w rzeczywistości powinny być równezero. Najpierw utworzymy wykresy momentów od jednostkowych przemieszczeń (φ1 i Δ2) oraz od obciążeniazewnętrznego w przyjętym układzie podstawowym. Korzystając ze wzorów transformacyjnych wyznaczamymomenty na poszczególnych prętach. Część AB to pręt obustronnie utwierdzony, natomiast część BC to prętutwierdzony w punkcie B i podparty podporą przegubowo nieprzesuwną w punkcie C.
Wartości momentów wywołane jednostkowym przemieszczeniem podpory B wyznaczamy ze wzorówtransformacyjnych przyjmując φ1 = φB = 1:
– dla pręta AB ( φA = 0, φB = 1, ψAB = 0)
M AB=2 EJ
l⋅2AB−3AB=
EJ2 (3.23)
M BA=2 EJ
l⋅2BA−3AB=EJ (3.24)
– dla pręta BC ( φB = 1, ψBC = 0)
M BC=3 EJ
l⋅B−BC =EJ (3.25)
M CB=0 (3.26)
M1
MB(φ
1)
EJ
EJ MB(φ
1) = 2EJ
EJ
EJ
12 EJ
Rys. 3.16. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ1=1
Wartości momentów od przesuwu poziomego Δ2 = 1 wyznaczamy z tych samych wzorów po określeniu kątówobrotu cięciw prętów ψ. Na skutek jednostkowego przesuwu po kierunku Δ2 cięciwy prętów obrócą się.Wartości kątów obrotu wyznaczymy ze związków geometrycznych.
ΨAB
Δ2
Δ2
ΨBC
A
B C
4
ΨBC
= 0
Δ2Ψ
AB =
4
Δ2tg Ψ
AB =
4
Rys. 3.17. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku D2
W stanie Δ2 = 1 wyznaczamy wartości momentów:
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 10
– dla pręta AB ( φA = 0, φB = 0, Δ2 = 1, AB=14 )
M AB=2 EJ
l⋅2AB−3AB=−3 EJ
8 (3.27)
M BA=2 EJ
l⋅2BA−3AB=−
3 EJ8 (3.28)
– dla pręta BC ( φB = 0, ψBC = 0)
M BC=3 EJ
l⋅B−BC =0 (3.29)
M CB=0 (3.30)
M2
MB(Δ
2)
MB(Δ
1) = -
38 EJ
38 EJ
38 EJ
38 EJ
Rys. 3.18. Wykres momentów w układzie podstawowym od poziomego przesuwu Δ2 = 1
Wartości momentów od obciążenia wyznaczamy na podstawie gotowych wzorów (tabela 1.2):
– dla pręta AB (obustronnie utwierdzonego)
M AB=−ql 2
12=−8 kNm (3.31)
M BA=ql 2
12=8 kNm (3.32)
– dla pręta BC
M BC=0 (3.33)M CB=0 (3.34)
8
8 M
P(0)
MB(P)
8 M
B(P) = 8
Rys. 3.19. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 11
Warunek statycznej zgodności (reakcje we wprowadzonych węzłach są równe zero):
{∑M B=0∑ RC
H=0(3.35)
można rozpisać jako sumę reakcji od poszczególnych wpływów:
{M BPM B1M B=0R2PR2 1R2=0 (3.36)
Wprowadzając oznaczenia charakterystyczne dla metody przemieszczeń, otrzymujemy układ równańkanonicznych:
{r11 Z 1r12 Z 2R1 P=0r21 Z 1r22 Z 2R2 P=0 (3.37)
gdzie rik to reakcja po kierunku zmiennej i wywołana przemieszczeniem po kierunku k, RiP to reakcja pokierunku i wywołana obciążeniem zewnętrznym, Zi to nieznane przemieszczenie.Z równowagi momentów w węźle B otrzymujemy pierwsze równanie:
82 EJ 1−38
EJ 2=0
po uporządkowaniu:
2 EJ 1−38
EJ 28=0 (3.38)
Natomiast drugie równanie otrzymamy korzystając z równania pracy wirtualnej (praca sił zewnętrznych jestrówna pracy wirtualnych sił wewnętrznych L z=Lw ) (rys. 3.19). Praca sił rzeczywistych na wirtualnychprzemieszczeniach równa jest pracy sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach. Ponieważwirtualnym przemieszczeniem jest jednostkowy przesuw 2=1 a układ rzeczywisty nie przemieszcza się to:
RC⋅1∑ M ikM ki ⋅ ik∑ Pi⋅i=0 (3.39)
12 EJ
RC(φ
1=1)
Ψ
Q
Ψ
1
Ψ =
EJ
EJ R
C(Δ
2=1)
ΨΨ
1
Ψ =
RC(P)
ΨΨ
-8
Ψ =
8
δQ
Q = q·4 = 4·4 =16 kN
Stan φ1=1 Stan Δ
2=1 Stan P
1
14
14
14
-
38 EJ
-
38 EJ
δQ= ·1=
12
12
Rys. 3.20. Reakcja w poziomej podporze w poszczególnych stanach
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 12
Reakcje po kierunku Δ2 wyznaczymy w poszczególnych stanach. Dla stanu φ1 = 1:
EJ EJ2 RC⋅1=0
32
EJ⋅14RC=0
RC 1=−38
EJ (3.40)
Następnie dla stanu Δ2 = 1:
−38
EJ − 38
EJ ⋅14RC⋅1=0
RC 2=34⋅1
4⋅EJ= 3
16EJ (3.41)
Na koniec reakcja w stanie P:
−88 ⋅14Q⋅
12RC⋅1=0
RC P=−12(3.42)
Podstawiając powyższe wartości do drugiego równania (3.36) otrzymujemy jego ostateczną postać:
−38
EJ 13
16EJ 2−12=0 (3.43)
Wykorzystując zależności (3.38) i (3.43) zapisujemy układ równań kanonicznych:
{2 EJ 1−38
EJ 28=0
−38
EJ 1316
EJ 2−12=0(3.44)
którego rozwiązaniem są rzeczywiste przemieszczenia:
{Z 1=1=64
5 EJ
Z 2=2=4485 EJ
(3.45)
Ostateczne wartości momentów zginających można wyznaczyć ze wzorów transformacyjnych lub korzystającze wzoru superpozycyjnego (3.46). Końcowe wartości momentów przedstawiono na wykresie w układzieniewyznaczalnym (rys. 3.21):
M Pn=M P
oM 11M 22 (3.46)
M ABn =−8 EJ
2⋅ 64
5 EJ−3 EJ
8 ⋅ 4485 EJ
=−1765
kNm (3.47)
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 13
M Pn=M P
oM 11M 22 (3.46)
M BAn=8EJ⋅ 64
5 EJ−3 EJ
8 ⋅ 4485 EJ
=−645
kNm (3.48)
M BCn =0EJ⋅ 64
5 EJ0⋅ 448
5 EJ=64
5kNm (3.49)
M CBn=0 (3.50)
4
3
64
M(n)
5
645
1765
Rys. 3.21. Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym
Zadanie 3
Wyznaczyć wartości reakcji w zadanej ramie korzystając z metody przemieszczeń.
l1
l2
l3
q
P
Rys. 3.22. Rama płaska statycznie niewyznaczalna
Układ podstawowy otrzymujemy wprowadzając dodatkowe więzy:
φ1 φ
2
l1
l2
l3
q
P
0
1 2
3
Δ3
l22
Rys. 3.23. Układ podstawowy z dodatkowymi wewnętrznymi utwierdzeniami oraz z dodatkową podporą
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 14
Stateczną zgodność naruszonego układu zapewniamy równaniami:
{∑M A=0∑M B=0∑ RB
H=0(3.51)
Możemy je także zapisać w postaci wskaźnikowej
∑k=1
n
r ik⋅Z kRiP=0 (3.51)
Obliczając wartości kątów obrotu przyjmujemy poniższe zależności:
1=a⋅2=b⋅
3==l 3=
Z 3
l 3
(3.52)
0
1 2
3
Δ=1
Ψ01
=Ψ1
Ψ12
=Ψ2
Ψ32
=Ψ3
r3
l3
Rys. 3.24. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku r3
Wartości wszystkich reakcji obliczymy po wyznaczeniu wartości momentów dla poszczególnych stanów orazkorzystając z równania pracy wirtualnej:
Stan φ1 = 1
φ1=1
0
1 2
3
r11
r21
r31
M1
l1
2EJ1
l1
4EJ1
l2
4EJ2
l2
2EJ2
Rys. 3.25. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ1 = 1
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 15
r11=4 EJ 1
l1
4 EJ 2
l 2
r21=2 EJ 2
l 2
(3.53)
Wartość reakcji r31 wyznaczamy z równania pracy wirtualnej (3.39):
M 011M 10
1⋅1M 112M 1
21⋅ 2M 123⋅ 3r31⋅1=0 (3.54)
r31=−6 EJ 1
l1⋅a−
6 EJ 2
l 2⋅b (3.55)
Stan φ2 = 1
l3
3EJ3
l2
4EJ2
l2
2EJ2
φ2=1
0
1 2
3
r12
r22
r32
M2
Rys. 3.26. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ2 = 1
r22=4 EJ 2
l 2
3 EJ 3
l 3
r21=2 EJ 2
l 2
(3.56)
Wartość reakcji r32 wyznaczamy analogicznie jak dla reakcji r31, czyli z równania pracy wirtualnej:
M 012M 10
2⋅1M 122M 21
2⋅2M 232⋅3r32⋅1=0 (3.57)
r32=−6 EJ 2
l 2b−
3 EJ 3
l 3(3.58)
Stan Δ3 = 1
0
1 2
3
r13
r23
r33
M3
Δ3=1
6a EJ1
l1l3
6a EJ1
l1l3
6b EJ2
l2l3
6b EJ2 l2l3
3 EJ3
l3
2
Rys.3.27. Wykres momentów w układzie podstawowym od poziomego przesuwu Δ3 = 1
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 16
r13=−6 aEJ 1
l 1 l 3−
6 bEJ 2
l 2 l 3
r23=−6 bEJ 2
l 2 l 3−
3 EJ 3
l 32
(3.59)
Wartość reakcji r33 wyznaczamy z równania pracy wirtualnej:
M 012M 10
2⋅1M 122M 21
2⋅ 2M 232⋅ 3r33⋅1=0 (3.60)
r33=12 EJ 1
l1 l 32 a2
12 EJ 2
l 2 l 23
b23 EJ 3
l 33 (3.61)
Stan P:
q l32
12
0
1 2
3
R3P
MP
R1P R
2P
q
P
Pl2
8
q l32
12
Pl2
8
Pl2
8
Rys. 3.28. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego
R1 P=ql 3
2
12−
Pl 2
8
R2 P=Pl 2
8
(3.62)
Wartość reakcji r3P wyznaczamy, jak poprzednio z równania pracy wirtualnej, które w tym przypadkurozszerzone jest o pracę sił Q i P:
M 01PM 10
P⋅1M 12PM 21
P⋅ 2M 23P⋅3R3 P⋅1Q⋅
l 3
2⋅1P⋅
l 2
2⋅ 2=0 (3.63)
r3 P=−Q⋅l 3
2⋅a⋅
1l 3−P⋅
l 2
2⋅b⋅
1l 3 (3.64)
Obliczone wartości reakcji podstawiamy do układu równań kanonicznych z którego już bardzo prosto możnawyznaczyć szukane przemieszczenia. Ostateczne wartości momentów zginających można wyznaczyć zewzorów transformacyjnych lub też korzystając ze wzoru superpozycyjnego przedstawionego poniżej:
M Pn=M P
0M 1⋅Z 1M 2⋅Z 2M 3⋅Z 3 (3.65)
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 17
3.2. Sprawdzenie wyników
Podczas rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń trudno jest ocenić poprawność uzyskanychwyników. Istnieje jednak możliwość przeprowadzenia pewnych kontroli w trakcie obliczeń.
3.2.1. Symetria macierzy sztywności
Porównanie współczynników rik i rki jest pośrednim sposobem kontroli wyników. Macierz sztywnościpowinna być symetryczna, dlatego obowiązuje zależność :
r ik=rki
Dowód tego założenia opiera się na twierdzeniu Rayleigha:
Reakcja uogólniona rik odpowiadająca i-temu kierunkowi przemieszczenia uogólnionego a wywołanajednostkowym przemieszczeniem k-tego więzu równa jest uogólnionej reakcji rki odpowiadającej k-temukierunkowi przemieszczenia uogólnionego wywołana jednostkowym przemieszczeniem i-tego więzu.
Współczynniki rik można sprawdzić również opierając się na twierdzeniu Bettiego o wzajemności prac, któremówi:
Dla ciał liniowo sprężystych praca przygotowana (wirtualna, możliwa) zewnętrznych lub wewnętrznychsił stanu obciążenia I na przemieszczeniach stanu obciążenia II równa jest pracy przygotowanej zewnętrznychlub wewnętrznych sił stanu II na przemieszczeniach stanu I.
Lz=Lw
Sens tego twierdzenia można zilustrować na poniższym przykładzie. Na rys. 3.29 przedstawiono układ oSKN = 3. Po przyjęciu układu podstawowego wykonujemy wykresy momentów. Najpierw rozwiązano układ,któremu nadano kąt obrotu 1 =1 (Stan I). Na rys. 3.30 widzimy ten sam układ, lecz kąt obrotu o wartości1 działa w drugim węźle (Stan II).
l1
l2
l3
φ1 = 1 3EJ1
l1
4EJ2l2
2EJ2l2r11
r21 r31
M I
Rys. 3.29. Wykres momentów MI dla φ1 = 1
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 18
r11=3 EJ
l1
4 EI 2
l 2
r12=2 EJ 2
l 2
l2
l3
2EJ2l2
4EJ2l2
4EJ3l3
2EJ3l3
φ2 = 1
M II
r12 r22r32
Rys. 3.30. Wykres momentów M II dla φ1 =1
Pracę sił zewnętrznych (reakcji ze stanu I na przemieszczeniach ze stanu II) można zapisać w następującysposób:
Lz=r11⋅0 r21⋅1 r31⋅0 ∑ R j⋅0 =r21
Natomiast pracę sił wewnętrznych wyznaczamy korzystając z metody Wereszczagina - Mohra:
Lw=∑∫ M I M II
EJds = 1
EJ 2 [ 12⋅
4 EJ 2
l 2⋅l 2 ⋅ 2
3⋅
2 EJ 2
l 2−1
3⋅
4 EJ 2
l 2 1
2⋅
2 EJ 2
l 2⋅l 2 ⋅ 2
3⋅
4 EI 2
l 2−1
3⋅
2 EJ 2
l 2 ] = 2 EJ 2
l 2
stąd otrzymujemy wartość reakcji
r21=2 EJ 2
l 2
Jeżeli wyznaczamy pracę sił ze stanu II na przemieszczeniach ze stanu I, to:
Lz=r12⋅1 r22⋅0 r32⋅0 ∑ R j⋅0 =r12
a praca sił wewnętrznych:
Lw=∑∫ M II M I
EJds=
2 EJ 2
l 2
Ponieważ tym razem
r12=2 EJ 2
l 2
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 19
ostatecznie można zapisać
r12=r21
Opierając się na twierdzeniu Bettiego o wzajemności prac, możemy sprawdzić współczynniki rik,
jednak sprawdzenie wielkości riP (wpływu sił zewnętrznych) jest kłopotliwe, ponieważ obliczając pracę siłzewnętrznych (P) powinniśmy znać linie przemieszczeń prętów wywołanych obrotami bądź przesuwamiwęzłów. Linie te są krzywymi wyższego stopnia, których w zadaniu nie wyznaczamy. Widać to na przykładzieramy, której wykres momentów w stanie odkształconym z1 = 1 przedstawiony jest na rys. 3.31, a odobciążenia zewnętrznego na rys. 3.32.
Z1 = 1 Z1 r11r21 r31
δ
Rys. 3.31. Wykres momentów i postać odkształcona w stanie Z1 = 1
Praca sił ze stanu P na przemieszczeniach ze stanu Z1 = 1 wymaga skomplikowanego całkowania.
Lz=r1 P⋅1 r2 P⋅0 r3 P⋅0 ∫s
qds
r1Pr2P r3P
q
Rys. 3.32. Schemat obciążenia i wykres momentów od obciążenia ciągłego
3.2.2. Sprawdzenie kinematyczne
W metodzie przemieszczeń sprawdzenie kinematyczne nie daje pewności poprawnego rozwiązaniazadania, jak było w metodzie sił. Pozwala ono jedynie ocenić czy wykres momentów zginających jestpoprawny. Kontrolę kinematyczną przeprowadza się podobnie jak w metodzie sił tzn. opierając się nazależności:
∑i
Pi i∑i
Rkk=∑j {∫s M M P
EIt t
h ds∫s
N N P
EAt tds∫
s
TT PGA
ds}∑
n
Rn RnP f ∑
m
Bm bm
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 20
gdzie:
MP, NP, TP - wewnętrzne siły rzeczywiste,
Δi - niewiadome przemieszczenie,Pi - jednostkowa siła wirtualna,Rk - reakcja wywołana siłą jednostkową wirtualną w podporze k (doznającej przemieszczenia),
Δk - znane przemieszczenie podpory (narzucone osiadanie podpór),Rn - reakcja wirtualna w n-tej podporze podatnej,
RnP - reakcja rzeczywista w n-tej podporze podatnej,
bm - wartość błędu montażu (liniowa lub kątowa) w punkcie m,Bm - siła w pręcie po kierunku wielkości obarczonej błędem.
3.2.3. Sprawdzenie statyczne
Zadanie jest rozwiązane poprawnie jeśli w sprawdzeniu statycznym dla całego układu, obciążonegosiłami zewnętrznymi oraz wyznaczonymi przez nas siłami w podporach (zawieszonego na reakcjachpodporowych), okaże się, że prawdziwe są równości:
∑ X =0 ∑ Y=0 ∑M =0
Suma momentów może być zapisana względem dowolnego punktu układu.
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater