Download - 3 общие сведения об уравнениях
![Page 1: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/1.jpg)
: Общие сведения об уравнениях, . определение классификация
. Равносильность уравнений, 3 ОВЭМ Лекция
. . ., . к п н доц Пырков Вячеслав Евгеньевич
pyrkov.professorjournal.ru [email protected] [email protected]
![Page 2: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/2.jpg)
План1. Понятие уравнения2. Классификация уравнений3. Равносильность уравнений4. Общие методы решения уравнений5. Частные методы решения уравнений
![Page 3: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/3.jpg)
Из истории уравнений
≈3000 лет до н.э. – древнеегипетские папирусы
≈2000 лет до н.э. – древневавилонские таблички
≈3 в. до н.э. – геометрическая алгебра + Диофант …
IX-ХV в. – арабы + Омар Хайям
XVI в. – итальянцы + французы
Становление теории уравнений – трудный и длительный процесс (≈ 46 веков)
![Page 4: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/4.jpg)
1. Понятие уравненияОпределение: Предложение с переменной, имеющее вид
равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением.
Основные термины:- переменная;- неизвестное;- уравнение;- корень уравнения;- что значит решить уравнение?- система уравнений;- решение системы уравнений;- равносильность;- логическое следование и др.
Основные преобразования:1. Тождественные (скобки, подобные);2. Согласованные преобразования обеих
частей в результате применения арифметических действий (прибавление, умножение);
3. Преобразования, изменяющие логическую структуру:а) f(x)g(x)=0 → f(x)=0 или g(x)=0;б) почленное сложение, умножение или деление уравнений;в) способ подстановки;г) введение новой переменной.
![Page 5: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/5.jpg)
2. Классификация уравнений
![Page 6: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/6.jpg)
3. Равносильность уравнений
Пусть даны два алгебраических уравнения с одним R(x) = Q(x) S(x) = ( ). неизвестным и Т х Эти уравнения
, называются равносильными если любой корень первого , .уравнения является корнем второго уравнения и наоборот
Примерыравносильных переходов
1. R(x) = Q(x) R(x) - Q(x) = 0. ⇔
2. R(x) = Q(x) ⇔ R(x) + a = Q(x) + , а ∀ а∊R.
3. R(x) = Q(x) ⇔ aR(x) = aQ(x), ∀ а∊R/{0}.
4. ⊐ ∀ x∊R → R(x) = ( ), R(x) = Q(x) Т х то ⇔ ( ) = Q(x). Т х
![Page 7: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/7.jpg)
3. Равносильность уравнений
Теоремыравносильности
1.Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или выражение, не меняющее области определения.
2.Если умножить (разделить) каждую часть уравнения на одно и то же выражение, не равное нулю и не меняющее области определения.
3.Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень;
4.Если обе части уравнения неотрицательны в области определения уравнения, то возведя обе части уравнения в четную степень, получим уравнение, равносильное данному.
![Page 8: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/8.jpg)
3. Равносильность уравнений
25х-19=37-3х
25х+3х=27+19
28х=56
х=2
Равносильное преобразование
Тождественное преобразование
Равносильное преобразование
![Page 9: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/9.jpg)
4. Общие методы решения уравненийАлгебраический метод (метод равносильных преобразований)
Сущность метода
1.Последовательный переход с помощью тождественных и равносильных преобразований от данного уравнения к более простым до тех пор, пока не получится одно или несколько простейших данного вида.
2.Решение простейших уравнений по известной формуле или алгоритму.
Два способа установления равносильности
1.Убедиться в совпадении множеств корней.
2.Применять преобразования, не нарушающие равносильность.
![Page 10: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/10.jpg)
4. Общие методы решения уравненийАлгебраический метод (метод равносильных преобразований)Алгебраический метод (метод равносильных преобразований)
Равносильные преобразования уравненийРавносильные преобразования уравненийОбщие для всех видов:•перенос слагаемых из одной части в другую;•деление всех членов уравнения на одно и то же число;•приведение уравнения к целому виду;•смена знаков всех членов;•замена уравнения f(x)g(x)=0 на совокупность f(x)=0 и g(x)=0;•замена переменной.
Специальные:•возведение обеих частей в степень с натуральным показателем;•извлечение из обеих частей уравнения корня;•логарифмирование и потенцирование;•использование основных тригонометрических тождеств.
![Page 11: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/11.jpg)
4. Общие методы решения уравненийНаглядно-графические приемы
Графический метод
Отыскание значений переменной х, соответствующей равным значениям функции f(x) и g(x) с помощью точки пересечения их графиков.
Метод интервалов•Найти корни уравнения, соответствующего данному неравенству.•Отметить их на числовой прямой, разбиваемой на интервалы.•Исследовать значение неравенства на каждом из полученных интервалов.
![Page 12: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/12.jpg)
5. Частные методы решения уравненийУравнение первой степени
Уравнение второй степени
![Page 13: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/13.jpg)
5. Частные методы решения уравненийУравнение второй степени
1.Замечание :Квадратное уравнение имеет
1) , Мнимые сопряженные корни еслиD<0;2) , Два совпадающих корня еслиD=0;3) , Два различных корня еслиD>0.
2.Замечание =1, :Если а то уравнение называется приведенным
Д/з: Выписать методы решения неполных квадратных уравнений и схему решения биквадратного уравнения.
![Page 14: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/14.jpg)
5. Частные методы решения уравнений
![Page 15: 3 общие сведения об уравнениях](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062300/557f0215d8b42ac0728b48ec/html5/thumbnails/15.jpg)
5. Частные методы решения уравненийСимметричное уравнение третьей степени
Симметричное уравнение четвертой степени
Д/з: Выписать схему решения симметрического уравнения 4-й степени