Download - 3 bledy pomiarowe
MODELOWANIE PROCESÓWMODELOWANIE PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH
Robert Aranowski
tel.: 347 23 34e-mail: [email protected] // t h l i d l/d d kt k /03http://www.technologia.gda.pl/dydaktyka/03-04/1/modelowanie/modelowanie.html
Katedra Technologii ChemicznejKatedra Technologii ChemicznejWydział Chemiczny
Politechnika Gdańska
Szacowanie błędów pomiarowychSzacowanie błędów pomiarowych
Błąd pojedynczego pomiaru:gdzie: xi – wartość zmierzona xz μgdzie: xi wartość zmierzona
zi – błąd pomiaruμ – wartość rzeczywista
ii xz −= μ
)(lub)( bzaPnmbzaP
nm
<<=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛<<≈
nn n⎠⎝ ∞→
Rozkład błędu przypadkowego:gdzie: P – prawdopodobieństwo znalezienia wartość z w przedziale (a,b)
m – ilość pomiarów w których wartość z znajduje się wewnątrzprzedziału (a,b)
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
p ed a u (a,b)n – ilość pomiarów
Szacowanie błędów pomiarowych – cdSzacowanie błędów pomiarowych cd.
Gęstość prawdopodobieństwa p(z)
b
( ) ( )dzzpbzaPa∫=<<a
Gęstość prawdopodobieństwa p(z) musi spełniać następujące warunki:
( ) ( )∫−∞
==∞<<∞− 1dzzpzP )()( zpzdP=( ) ( )∫
∞
∞<<∞ 1dzzpzP )(zpdz
=
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Szacowanie błędów pomiarowych – cdSzacowanie błędów pomiarowych cd.
Funkcja rozkładu normalnego (Gauss’a)Funkcja rozkładu normalnego (Gauss a)
( ) ( ) ( ) ⎤⎡⎤⎡ − 22 11 μ zx( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−= 22 2
exp2
12
exp2
1σπσσ
μπσ
zxzP
Po raz pierwszy wprowadzona przez Moivre’a.P j i i j t i lk ś i 2 ( i ji)Precyzja pomiaru opisywana jest wielkością σ2 (wariancji)
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Szacowanie błędów pomiarowych – cdSzacowanie błędów pomiarowych cd.
Zależność gęstości prawdopodobieństwa od wartości z:) dl óż h t ś i i jia) dla różnych wartości wariancji
b) dla z wyrażonego poprzez wielokrotność σ
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Szacowanie błędów pomiarowych – cdSzacowanie błędów pomiarowych cd.
Wartość średnia w rozkładzie normalnym:n
xx
n
ii∑
=≈ 1μn
x i=≈ 1μ
Błąd średniokwadratowy pojedynczego pomiaru:ą y p j y g p
( )2−∑ xxn
i( )1
1
−=∑=
ns n
i
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Szacowanie błędów pomiarowych – cdSzacowanie błędów pomiarowych cd.
Odchylenie standardowe wartości średniej:
( )−∑ xxn
( )( )1
1
−=∑=
nn
xxs i
i
x ( )1nn
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Szacowanie błędów pomiarowych świelkości złożonych
Złożona wielkość zależna od p parametrów
( )fy( )pxxfy ,...,1=
( )pfy μμ ,...,1=
( )py 1
Wartości obarczone są błędami pxx ,..., pxx ss ,...,1
Wariancję z próby dla wielkości złożonej po uproszczeniach
( ) ( )xxfxxf22 ⎤⎡∂⎤⎡∂
Wariancję z próby dla wielkości złożonej po uproszczeniach można przedstawić w postaci
( ) ( )px
p
px
py s
xxfs
xxfs 212
1
12 ,...,...
,...,1
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂=
μμ
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Szacowanie błędów pomiarowych świelkości złożonych – cd.
Przykłady 1:Określ wariancję pomiaru stałej szybkości reakcji chemicznej, która jest opisana następującą zależnością:
xk =
11
ln1
x−1τBłąd pomiaru czasu τ jest bliski zeru, natomiast pomiar stopnia przemiany x jest charakteryzowany wielkością sx jest charakteryzowany wielkością
1xs
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Szacowanie błędów pomiarowych świelkości złożonych – cd.
ssks =⎟⎞
⎜⎛ ∂=
1122
xxk sx
sx
s−
=⎟⎠
⎜⎝ ∂
=1τ
Im wyższa jest wartość stopnia przemiany tym wyższa jest wartośća więc większą dokładność stałej prędkości reakcji uzyskamy dokonując pomiarów w początkowym etapie reakcji
1xs
pomiarów w początkowym etapie reakcji.
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Szacowanie błędów pomiarowych świelkości złożonych – cd.
Przykłady 2:Określ błąd pomiaru energii aktywacji jeśli obliczenia dokonuje się zgodnie
2ln kR
Określ błąd pomiaru energii aktywacji jeśli obliczenia dokonuje się zgodnie z równaniem:
1
2
11
lnk
RE =
21
11TT
−
zakładamy, że pomiar temperatury dokładnym pomiarem
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Szacowanie błędów pomiarowych świelkości złożonych – cd.
2
2
2
2
sconstsconsts ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
= 112
sk
sk
s kE ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
=
Zakładając, że błąd pomiaru stałej szybkości reakcji jest stałyto:
ks k /
sss kEk 2( ) k
skkE
si
ks
consts kEkE
12 /ln2
2 ==
Zatem błąd względny oceny energii aktywacji jest większy kilkakrotnie od oceny błędu względnego stałej szybkości reakcji.
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Wykorzystanie kryteriów statystycznych do i i i kó b d ń d ś i d l hwyciągania wniosków z badań doświadczalnych
Ocena statystyczna wyników doświadczalnych jest pomocna przy:pomocna przy:
1. Porównaniu wyników dwóch serii doświadczalnych jeśli były one wykonane w odmiennych warunkach
2. Podejmowaniu decyzji, które z kilku dopuszczalnych równań (jaka teoria) opisuje najlepiej dany proces
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Porównaniu wyników dwóch serii doświadczalnychPorównaniu wyników dwóch serii doświadczalnych
Do porównania wyników doświadczalnych stosuje się metodę Fisher’a W pierwszej kolejności należy określić wariancję zFisher a. W pierwszej kolejności należy określić wariancję z obu serii i stwierdzić czy różnią się statystycznie. Fischer wprowadził funkcję: 2s
22
1
x
xe s
sF =
Z prawdopodobieństwem P wariancje pomiarów są równe jeśli ( )vvpFF ≤ ( )21 ,, vvpFFe ≤Metoda Fisher’a nadaje się również do odrzucenia wyników
b h i óKatedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
grubych pomiarów.
Porównaniu wyników dwóch serii doświadczalnychPorównaniu wyników dwóch serii doświadczalnych
W przypadku sprawdzania zależności teoretycznych można wykorzystać metodę Fischer’a zastępując wariancję pomiarów wariancją resztową:
( )yyn
iei −∑ 2
kns i
r −=∑−12
k – liczba współczynników równania teoretycznego ocenianych na podstawie doświadczeń.P ó i i ji h bli h dl óż h l ż ś iPorównanie wariancji rusztowych obliczonych dla różnych zależności teoretycznych pozwala na określenie równania najdokładniejszego o najmniejszej wartości wariancji rusztowej
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Planowanie doświadczeń – metoda l k ósimpleksów
Simpleksem p zmiennych jest wielościan w p-wymiarowej przestrzeni o p+1 wierzchołkach uzyskanych przez przecięcie p-hiperpłaszczyzn. Przykładem p p y ysimpleksu w przestrzeni dwu zmiennych jest trójkąt, a w przestrzeni trójwymiarowejprzestrzeni trójwymiarowej czworościan.Metody planowania simpleksowego wraz z ich modyfikacjami są oparte nawraz z ich modyfikacjami są oparte na powszechnie stosowanej simpleksowej metodzie poszukiwania k t
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
ekstremum.
Planowanie doświadczeń – metoda l k ó dsimpleksów – cd.
Metoda postępowania jest następująca:Początkowo określa się wartość y w punktach określonych zbioramiwartości x1,...,xp, stanowiących wierzchołki simpleksu. Następnie wybierasię wierzchołek z najniższą wartością y i określa się nowy wierzchołekpołożony symetrycznie względem przeciwległej ściany. W nowymp y y y g ę p g j y ysimpleksie opierającym się na wszystkich wierzchołkach starego simpleksuz wyjątkiem tego, który został zastąpiony nowym wierzchołkiem, wybierasię wierzchołek o najniższej wartości y i postępowanie powtarza się Wsię wierzchołek o najniższej wartości y i postępowanie powtarza się. Wten sposób następuje posuwanie się w kierunku optimum. Ponieważ przydużej liczbie zmiennych do każdego wierzchołka można zbudować wielewierzchołków symetrycznych to jako środek symetrii wybiera się środekwierzchołków symetrycznych, to jako środek symetrii wybiera się środekciężkości pozostałych punktów początkowego simpleksu.
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Planowanie doświadczeń – metoda l k ó dsimpleksów – cd.
Współrzędne środka ciężkości można ocenić, posługując się rachunkiem wektorowym. Wektor rc środka ciężkości c punktów pozostałych po codrzuceniu wierzchołka j o najniższej wartości y można przedstawić przez wektory tych punktów rl:
rn
∑( )jl
p
rr l
l
c ≠=∑=1
Wektor rj’ punktu j' symetrycznego do punktu j względem środka ciężkości c można znaleźć na podstawie wektora rj punktu j wektora cł k j iłączącego punkty j i c
crr jj 2' −=
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Planowanie doświadczeń – metoda l k ó dsimpleksów – cd.
Wektor c jest różnicą wektorów rl i rc
cj rrc −=
rp
∑( )jlr
p
rrrr j
ll
jcj ≠−=−=∑=1
' 22
Zgodnie z tą zależnością, dla zmiennej xi w punkcie j’ symetrycznym do punktu j , mamy
p
rp
il∑( )jlx
p
rx ij
lil
ij ≠−=∑=1
' 2
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Planowanie doświadczeń – metoda l k ó dsimpleksów – cd.
Przy stosowaniu planów simpleksowych, tak samo jak przy planach czynnikowych i powtórzeniach ułamkowych, stosuje się zmienne bezwymiarowe. Pewne trudności sprawia wybór postaci simpleksu y p y p ppoczątkowego.We wczesnych pracach stosowano simpleksy foremne, o równych bokach.W przypadku trzech zmiennych simpleksem początkowym może byćW przypadku trzech zmiennych simpleksem początkowym może byćczworościan równoboczny o krawędzi równej jedności (wysokość czworościanu jest równa ok. 0,82 długości krawędzi).
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska
Planowanie doświadczeń – metoda l k ó dsimpleksów – cd.
Istotną zaletą planowania simpleksowego jest możliwość dołączeniaw trakcie doświadczenia nowego (p+1)-ego czynnika, który wcześniejnie był uwzględniony (miał ustaloną wartość). Wprowadzenie tego czynnika, wymaga przeprowadzenia tylko jednego doświadczenia uzupełniającego, podczas gdy przy planowaniu czynnikowym należałoby p ją g , p g y p y p y y ypodwoić liczbę doświadczeń.
Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska