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©Richard Lowry, 1999
Correlação parcialSuponhamos que o nosso interesse seja estudar N indivíduos em
três variáveis, X, Y, e Z, com as seguintes correlações:
X versus Y: r XY = +.50 r2
XY = .25
X versus Z: r XZ = +.50 r2
XZ = .25Y versus Z: rYZ = +.50 r
2
YZ = .25
Inicialmente, focalize no valor de r 2, o qual, para este exemplo, é
igual a 0.25. Isto significa que, para cada par de variáveis, XY,XZ, e YZ, a covariância, ou a sobreposição das variâncias é de
25%. Como ilustrado no diagrama seguinte, 25% da
variabilidade de X sobrepõem com a variabilidade em Y; 25%
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da variabilidade de X sobrepõem com variabilidade em Z; e
25% da variabilidade de Y também sobrepõem com
variabilidade em Z.
Note que há uma região onde todos os trêscírculos de variabilidade se sobrepõem. O
significado destas três sobreposições é que certa
quantia da correlação encontrada entre
quaisquer duas variáveis equivale à correlação
que cada uma dessas duas tem com a terceira
variável. Assim, 25% das variabilidades
sobrepostas estão entre X e Y, aproximadamente metade(julgado a olho nu) está empatado com o que existe entre XZ e
YZ. Semelhantemente, para os 25% das variabilidades
sobrepostas entre X e Z, onde metades estão limitadas na parte
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superior com a sobreposição de XY e YZ. E, semelhantemente,
para os 25% de sobreposições de YZ, onde metades estão
limitadas na parte superior com a sobreposição de XY e XZ.
A Correlação parcial permite medir a região de trêssobreposições precisamente e, então, removê-lo da figura para
determinar qual seria a correlação entre quaisquer duas variáveis
(hipoteticamente) se elas não fossem, cada uma, correlacionada
com a terceira variável.
Alternativamente, pode-se dizer que a correlação parcial permite
determinar qual a correlação entre quaisquer duas variáveis(hipoteticamente) se a terceira variável fosse mantida constante.
A correlação parcial de X e Y, com os efeitos de Z removidos
(ou mantido constante), seria dada pela fórmula,
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a qual, para o presente exemplo seria,
.
Conseqüentemente, .
A mesma estrutura geral seria aplicada para calcular a correlação
parcial entre X e Z, com os efeitos de Y removidos:
.
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e para calcular a correlação parcial de Y e Z, com os efeitos deX removidos:
.
Exemplo de correlação parcial aplicada a vida real.O Wechsler Adult Intelligence Scale (WAIS) é uma escala
freqüentemente utilizada para medir "inteligência" durante os
anos de infância.
Entre suas várias sub-escalas três estão rotuladas como C, A e
V.
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O "C" representa "compreensão", que reflete principalmente nahabilidade do indivíduo testado em compreender os significados
e implicações de passagens escritas.
O "A" refere-se à habilidade do indivíduo em executar tarefasque requerem habilidade em aritmética.
O "V" representa "vocabulário", que como pode ser imaginado é
uma medida que aumenta ou diminui conforme a amplitude dovocabulário do indivíduo dentro do domínio do idioma no qual o
teste é construído.
A tabela seguinte mostra as correlações encontradas entre estastrês sub-escalas típicas.
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C versus A: rCA = + 0.49 r2
CA = 0.24C versus V: rCV = + 0.73 r
2
CV = 0.53
A versus V: r AV = + 0.59 r2
AV = 0.35
Neste exemplo, as sobreposições são diferentes,
embora a lógica seja a mesma. Isto é, 24% dassobreposições das variâncias ocorrem na relação entre
compreensão e habilidade em aritmética, uma porçãosignificativa reflete o fato de que ambas variáveis são
correlacionadas com vocabulário. Se nós fôssemos remover osefeitos de vocabulário da relação entre C e A, a correlação parcial resultante seria,
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Conseqüentemente, .
Em resumo: com os efeitos de vocabulário removidos, a
correlação entre compreensão e habilidade em aritmética se
desmorona até quase zero.A conclusão prática é que se nós fôssemos administrar o WAIS
a um grupo de indivíduos, que eram homogêneos com respeito à
amplitude de vocabulário, a correlação entre os escores de
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compreensão e aritmética prova-se bastante escasso, da ordem
de r = +0.11 e r 2 = 0.01.
Na maioria dos casos, uma correlação parcial da forma geral
r XY.Z mostrar-se-á menor do que a correlação original r XY .
Nesses casos, em que se mostra maior, a terceira variável, Z, é
chamada tipicamente de variável supressora, uma vez que estásuprimindo a maior correlação que estaria embutida entre X e Y
se Z permanecesse constante.
Por exemplo, suponha que um professor, muito exigente, tenhaadministrado uma prova na disciplina de estatística e que nós
temos as medições obtidas, a cada um dos estudantes do curso,
as três variáveis seguintes:
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X = O esforço despedido no estudo para o exame
Y = O conceito do estudante na prova da disciplina
Z = Uma medida do grau em que o professor inspira temor erespeito no estudante
A seguir, apresentam-se as correlações entre as trêsvariáveis:
X versus Y: r XY = +0.20 r2
XY = 0.04X versus Z: r XZ = + 0.80 r
2
XZ = 0.64
Y versus Z: rYZ = - 0.40 r2
YZ = 0.16
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Observem que não é estranho a correlação entre X e Y resultarem baixo valor, r XY = + 0.20 e r
2XY = 0.04, indicando mero 4%
de covariância entre os graus de esforço que os estudantes
dispensaram para o exame e as notas que eles receberam?.
Examine, porém, as outras duas correlações e observem que não
é, afinal de contas, tão estranho assim.Quanto maior o temor e respeito, maior é o esforço que os
estudantes tendem a impor para se preparar para o exame;
conseqüentemente r XZ = + 0.80 e r 2XZ = 0.64.
Por outro lado, quanto maior o medo e respeito, os estudantes
tendem menos a fazer um bom exame, como resultado disso r YZ
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= - 0.40 e r 2YZ = 0.16. Removendo os efeitos supressores, medo
e respeito, da equação, tem-se:
,
e a correlação entre esforço e o conceito no exame vai de um
pequeno r XY = + 0.20, para um expressivo r XY.Z = +0.95.
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Ou, alternativamente: removendo-se o medo e o respeito, acovariância entre esforço e conceito no exame vai de mero 4%
para um valor altamente significativo de 90% (r 2
XY.Z = .90).