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Facultad de Ingeniería Mecánica, Aeronáutica, Automotriz y Software
MECÁNICA TEÓRICA I MECÁNICA TEÓRICA I
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COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA
En muchos problemas es convenientedescomponer una fuerza en doscomponentes perpendiculares entre sí.
La fuerza F se descompone en una
componente Fx a lo largo del eje X, y en
otra componente Fy a lo largo del eje Y,
el paralelogramo trazado es un rectángulo, y las fuerzas Fx y
Fy se llaman componentes rectangulares de la fuerza F.
Los ejes X y Y se suelen elegir paralelasa la dirección horizontal y vertical, figura superior, sin embargo pueden elegirse dosdirecciones cualesquiera perpendiculares entre sí, y las fuerzas componentes estaránsobre las direcciones seleccionadas.
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VECTORES UNITARIOS
Los vectores unitarios, son vectores de magnitud unitaria y se representan por: i y j, y están dirigidos a lo largo de los ejes positivos de X y Y. respectivamente, y se representa y escribe de la siguiente manera:
Donde Fx y Fy son las componentes escalares de la fuerza F,
mientras que Fx y Fy son las componentes vectoriales de la
fuerza F, y para evitar confusiones se llaman simplemente componentes de la fuerza F.Se representa con F a la magnitud de la fuerza F, y con θ al ángulo entre F y el eje x positivo en sentido contrario a las
manecillas del reloj y se expresa como: Fx = F cos θ Fy =
F sen θ. θ = 0 – 360º
)0,1(jy)1,0(iDonde:
jy
Fix
FFLuego:
jy
FyFyix
FxF
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PROBLEMA 1:
Una fuerza de 1000 N se ejerce sobre unperno A, como se muestra en la figura.Determine las componentes de la fuerza F.
SOLUCIÓN:
Calculamos el valor del ángulo θ y luegodescomponemos la fuerza en sus
componentes Fx y Fy:
θ = 180º - 35º = 145ºLuego:
Fx = F cos θ = - F cos α
Fx = 1000 cos 145º = - 1000 cos 35º
Fx = - 819,1520 N
Fy = + F sen θ = + F sen α
Fy = + 1000 sen 145 = + 1000 sen 35
Fy = + 573,5764 N.
Luego las componentes vectoriales de F serán:Fx = - (819,1520 N) iFy = + (573,5764 N) jLuego se escribe:F = - (819,1520 N) i + (573,5764 N) j
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PROBLEMA 2:
Un hombre jala una cuerda atada a unedificio con una fuerza de 400 N como semuestra en la figura.Determine las componentes horizontal yvertical de la fuerza F ejercida por el hombre.
SOLUCIÓN:
Realizamos el diagrama de fuerzas con losdatos del prob. y descomponemos la fuerza
en sus componentes Fx y Fy:
Fx = F cos θ = F cos α: (α: 4to cuadrante)
Fx = + 400 cos α
Fy = F sen θ = - F sen α
Fy = - 400 sen α
En la figura superior por Pitágoras calculamos la hipotenusa:
AB2 = 92 + 122 AB = 15 cos α = 12/15 sen α = 9 /
15
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Luego:
Fx = + 400 cos α = 400 x 12 / 15 = 320 N
Fy = - 400 sen α = - 400 x 9 / 15 = - 240 N
Y se escribe: F = (320 N) i - (240 N) j
Cálculo del ángulo de dirección de la fuerza F:
323º323,1301ºθ36,8699º360ºθ
(*):En
37º36,8699º)320240
(1tg)xFyF
(1tgα
(*)α360ºθ360ºθαxFyF
αtg
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PROBLEMA 3:
Una fuerza F = (700 kg) i + (1600 kg) j; se aplica a un perno A. Determine la magnitud de la fuerza y el ángulo θ que forma con la horizontal.
SOLUCIÓN:
Primero dibujamos el diagrama de las doscomponentes rectangulares y el ángulo θ. De la figura observamos que:
tg θ = Fy / Fx = 1600 kg / 700 kg = 16 / 7
θ = tg -1 (16 / 7) = 66,3706º
Cálculo de la fuerza F:
1.Por Pitágoras:
2.Por trigonometría:
kg1746,4249216002700F
kg1746,428266,3706ºsen
kg1600θsenyF
FFyF
senθ
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ADICIÓN DE FUERZAS SUMANDO SUS COMPONENTES X y Y
Las fuerzas deben sumarse aplicando la Ley del paralelogramo, las reglas del triángulo y polígono. Cuando se van a sumar tres o más fuerzas, la fuerza resultante se obtiene mediante una solución analítica, descomponiendo cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares, como veremos en seguida:
Considere tres fuerzas P, Q y S que actúan sobre unapartícula A. Hallar su resultante R de las fuerzas.
SOLUCIÓN:
Definimos que la resultante R = P + Q + S
Descomponemos éstas fuerzas en sus componentes rectangulares tenemos lo siguiente:
j)y
Sy
Qy
(Pi)x
Sx
Qx
(Pjy
Rix
R
jy
Six
Sjy
Qix
Qjy
PixPj
yRi
xR
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De donde se tiene que:
De forma más breve sería:
De lo que podemos concluir:
Por Pitágoras:
yS
yQ
yP
yR
xS
xQ
xP
xR
y
Fy
Rx
Fx
R
jy
Rix
RR
2y
R2x
RR
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PROBLEMA 1:
Cuatro fuerzas actúan sobre un pernoA, como se muestra en la figura.Determine la resultante de las fuerzas sobre el perno A.
SOLUCIÓN:
Las componentes en X y Y, de las fuerzasse determinan por trigonometría, comoobservamos en la figura siguiente:
Donde los componentes hacia:La derecha y arriba son positivos,La izquierda y abajo son negativos,
Lo que plasmamos en el siguiente cuadro:
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FUERZAS
MAGNITUD
(N)
COMPONENTE EN X(N)
COMPONENTE EN Y(N)
F1 200 + 173,2051 + 100
F2 100 - 34,2020 + 93,9693
F3 130 0 - 130
F4 160 + 154,5481 - 41,4111
Rx = + 293,5512 Ry = + 22,5582
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Luego la Resultante R de las cuatro fuerzas es:
La magnitud y dirección de la resultante lo podemos ver en el triangulo mostrado:
Luego la resultante R es:
Por Pitágoras:
j)N22,5582(i)N293,5512(R
jy
Rix
RR
j)N22,5582(y
Ri)N293,5512(x
R
4,3943º)293,551222,5582
(1tgαN293,5512N22,5582
xRyR
αtg
N294,41724,3943ºsen
N22,5582αseny
RR
Ry
Rαsen
N294,41672N)(22,55822N)(293,55122y
R2x
RR
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PROBLEMAS:
3.1. Determine:a.Las componentes de la resultante en X y Y0 de las fuerzas que se muestran en la figura.b.La resultante de las fuerzas que se muestran en la figura.c.Cálculo de la magnitud y dirección de la resultante de las fuerzas.
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3.2.Determine:a. Las componentes en X y Y de las fuerzas que se muestran
en la figura.b. La resultante de las fuerzas que se muestran en la figura.c. La dirección de la resultante
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3.3.El cilindro hidráulico BD ejerce una fuerza P sobre el elemento ABC, dicha fuerza está dirigida a lo largo de la línea BD. Si se sabe que P debe tener una componente de 800 N perpendicular al elemento ABC, determine:a. La magnitud de la fuerza P,b. La componente paralela a ABC,c. Cálculo de la fuerza Q.
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3.4.Para el collarín mostrado determine:a. El valor requerido de α si la resultante de las fuerzas
mostradas es vertical,b. La magnitud de la fuerza resultante,c. La dirección de la resultante de fuerzas.
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3.5.Determinar:a. La tensión requerida en el cable AC, si se sabe que la
resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto C del aguilón BC es 140 kg, debe estar dirigida a lo largo de BC,
b. La magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas
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3.6.Determinar:a. La magnitud de la resultante de las fuerzas y el ángulo que
define su dirección, si se sabe que α = 40º