Download - 3 Vektor Posisi
![Page 1: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/1.jpg)
11
VEKTOR POSISIVEKTOR POSISISimon Patabang
![Page 2: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/2.jpg)
22
PERKALIAN VEKTORPERKALIAN VEKTOR Perkalian titik (Dot Product) Hasilnya skalarHasilnya skalar
AProyeksi B pada A
AB
B
Proyeksi A pada B
ABcosBABA
ABcosABAB
ABBA
![Page 3: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/3.jpg)
33
Perkalian Silang Hasilnya vektorHasilnya vektor
aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)
NAB asinBABA
A B
A
AB B
B A
ABBA
![Page 4: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/4.jpg)
44
SISTEM KOORDINAT KARTESIANSISTEM KOORDINAT KARTESIAN Titik Dinyatakan
dengan 3 buah koordinat x, y dan z P(x, y, z)
P(1, 2, 3) Q(2, -2, 1)
![Page 5: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/5.jpg)
55
Vektor Dinyatakan dengan Dinyatakan dengan
tiga buah vektor tiga buah vektor satuan satuan ax, ay dan az
r = x + y + z r = x ax + y ay + z az
r = vektor posisi = vektor posisi dari sebuah titik dari sebuah titik dalam ruang dalam ruang
![Page 6: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/6.jpg)
Vektor PosisiVektor Posisi
Vektor yang mengarah ke titik (x,y,z) dari titik asal disebut dengan vektor posisi:
• Besarnya
r adalah jarak dari titik asal, dan vektor satuan ř mengarah radial keluar dari permukaan bidang x,y,z
![Page 7: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/7.jpg)
77
Contoh :rrPP = = aaxx + 2 + 2 aayy + 3 + 3 aazz (vektor posisi titik (vektor posisi titik P)P)rrQQ = 2 = 2 aaxx - 2 - 2 aayy + + aazz (vektor posisi titik (vektor posisi titik Q)Q)
![Page 8: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/8.jpg)
88
Vektor antara 2 titikRPQPQ = = rrQQ – – rrPP = [2 - 1] = [2 - 1] aaxx + [- 2 - (2)] + [- 2 - (2)] aayy + [1 - 3] + [1 - 3] aazz = = aaxx - 4 - 4 aayy – 2 – 2 aazz
![Page 9: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/9.jpg)
Vektor SatuanVektor SatuanVektor satuan adalah verktor posisi dibagi dengan bersarnya vektor tersebut.
Contoh : Carilah vektor satuan dari vektor posisi : 2i + 4j – 4kJawab :Besar vektor =>
Vektor satuan =>
99
2 2 2
36 62 4 4r
r
2 4 4| | 60,5 0,667 0,667
pr i j krr
r i j k
![Page 10: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh :Sebuah patikel bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8). a. Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada di titik P
dan di titik Q. b. Hitunglah vektor perpindahan dari titik P ke titik Q serta
besar dan arah vektor perpindahan tersebut.
Penyelesaian :Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11,
8).a. Vektor posisi di titik P (rP) dan di titik Q (rQ) adalah:
rP = 3i + 2jrQ = 11i + 8j
![Page 11: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/11.jpg)
b. Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yang diperoleh sebagai berikut
Δr = rQ – rP
Δr = (11i + 8j) – (11i + 8j) Δr = (11i + 8j) – (3i + 2j)
Δr = 8i + 6j
Besar vektor perpindahan : ṝ = | rQ – rP | = | 8i + 6j |
r = √(8² + 6²) = 10
Vektor satuan :
![Page 12: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/12.jpg)
1212
Titik asal O(0, 0, 0) Bidang x = 0 (bidang ZOY), y = 0 (bidang x = 0 (bidang ZOY), y = 0 (bidang
ZOX), z = 0 (bidang XOY)ZOX), z = 0 (bidang XOY)
Bidang Vektor
![Page 13: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/13.jpg)
1313
Elemen Luas (vektor) dy dz dy dz aaxx dx dz dx dz aayy dx dy dx dy aazz
![Page 14: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/14.jpg)
1414
Elemen Volume (skalar) dx dy dzdx dy dz
![Page 15: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/15.jpg)
1515
Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesianA = Ax ax + Ay ay + Az az
B = Bx ax + By ay + Bz azA B = Ax Bx + Ay By + Az BzA B = ABcos AB
B
A
AB
2z
2y
2x
2z
2y
2x
BBBB
AAAA
222zyx
BBBB
BBBa
Proyeksi vektor A pada vektor B
BBBAB a)aA(acosA
![Page 16: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/16.jpg)
1616
Contoh Soal 1Diketahui tiga buah titik A(2, 5, -1), B(3, -2, 4) dan C(-2, 3, 1)Tentukan :
a. RAB RAC
b. Sudut antara RAB dan RAC
c. Proyeksi vektor RAB pada RAC
Jawab :RAB = ax – 7 ay + 5 az
RAC = - 4 ax – 2 ay + 2 az
![Page 17: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/17.jpg)
1717
RAB = ax – 7 ay + 5 az RAC = - 4 ax – 2 ay + 2 az
a). RAB RAC = (1)(-4) + (-7)(-2) + (5)(2) = 20
899,44416660,825491 ACAB RRb).
o
ACAB
ACAB 9,61471,0)899,4)(660,8(
20RRRRcos
c).zyx
zyx
AC
ACAC a408,0a408,0a816,0
899,4a2a2a4
RRa
Proyeksi RAB pada RAC :(RAB aAC) aAC = [(1)(- 0,816) + (- 7)(- 0,408) + (5)(0,408)]aAC
= 4,08 (- 0,816 ax – 0,408 ay + 0,408 az) = - 3,330 ax – 1,665 ay + 1,665 az
![Page 18: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/18.jpg)
1818
Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesianA = Ax ax + Ay ay + Az az
B = Bx ax + By ay + Bz az
A x B = ABsin AB aN A B
A
AB B
A B = (AyBz – AzBy ) ax + (AzBx – AxBz ) ay + (AxBy – AyBx ) az
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA
![Page 19: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/19.jpg)
1919
a. RBC RBAb. Luas segitiga ABCc. Vektor satuan yang tegak lurus pada
bidang segitiga
Contoh :
Sebuah segitiga dibentuk oleh tiga buah titik A(2, -5, 1), B(-3, 2, 4) dan C(0, 3, 1)Tentukan :
RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az
Jawab :
![Page 20: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/20.jpg)
2020
RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az
zyx
z
y
x
zyx
BABC
a26a6a24a)]5)(1()7)(3[(
a)]5)(3()3)(3[(a)]7)(3()3)(1[(
375313
aaa
RR
a).
![Page 21: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/21.jpg)
2121
944,172888,35
226624
2RR
ABC
222
BABC
zyxBABC a26a6a24RR
b).
ABCLuas2)AD)(BC(
)sinBA)(BC(
sinRRRR BABCBABC
A
AB
C B
D
RBC RBA
![Page 22: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/22.jpg)
2222
A
AB
C B
D
RBC RBA
zyx
zyx
BABC
BABCN
a725,0a167,0a669,0888,35
a16a6a24
RRRRa
c).
![Page 23: 3 Vektor Posisi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081415/58ecd4201a28abc22a8b4613/html5/thumbnails/23.jpg)
Soal Latihan :
Sebuah segitiga yang dibentuk oleh titik-titik A(2, -1, 2), B(-1, 1, 4) dan C(4, 3, -1). Carilah a.Vektor RAB dan RAC b.Sudut yang dibentuk oleh vector RAB dan RAC c.Luas Segitiga tersebutd.Vektor satuan dari vektor A dan C