Download - 3.1 La Transformada de Laplace (Rev b)
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1La transformada de Laplace
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2Frecuencia compleja
Considerese la siguiente funcin senoidal exponencialmente amortiguada
donde
tjjm
tjjm
tm
eeVeeVtf
teVtf
)()(
21
21)(
)cos()(
+ +=
+=
*1221
*1221
;21;
21
ssjsjs
KKeVKeVK jmj
m
==+====
-
3Frecuencia compleja
La parte real de est asociada con la variacin exponencial; si es negativa, la funcin decrece conforme t aumenta, si es positiva aumenta, y si es cero, la amplitud de la senoidal es constante. Mientras mayor sea la magnitud de la parte real de , mayor ser la rapidez del aumento o disminucin exponencial.
s
s
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4Frecuencia compleja
La parte imaginaria de describe la variacin senoidal; especficamente, representa la frecuencia angular. Una magnitud grande de la parte imaginaria indica una variacin ms rpida respecto al tiempo. Por lo tanto, valores mayores de la magnitud de , indican una variacin ms rpida respecto al tiempo.
s
s
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5Frecuencia compleja
Se denota por a la parte real, y por a la parte imaginaria:
es la frecuencia compleja, es la frecuencia neperiana y es la frecuencia angular.
js +=
s
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6La transformada de Laplace
La transformada de Laplace se presentarcomo un desarrollo o evolucin de la transformada de Fourier, aunque se podra definir directamente. El objetivo es hacer que la variacin en el tiempo sea de la forma
tje )( +
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7La transformada de Laplace
Para lograrlo se considerar la transformada de Fourier de en vez de , haciendo entonces
y su respectiva transformada de Fourier
)(tfe t
)(tf
)()( tfetg t=
+
== dttfedttfeejG tjttj )()()( )(
-
8La transformada de Laplace
tomando la transformada inversa de Fourier se obtiene
+=+= dttfejFjG tj )()()( )(
+
+=
+=
+==
djFetf
djFetfe
djFedjGetg
tj
tjt
tjtj
)(21)(
)(21)(
)(21)(
21)(
)(
-
9La transformada de Laplace
Ahora se sustituye por la variable compleja , y como es constante,
donde la constante real se incluye en los lmites para garantizar la convergencia de la integral impropia. En trminos de
+
=
j
j
st dssFej
tf0
0
)(21)(
j+s jdds =
0
s
= dttfesF st )()(
-
10
La transformada de Laplace
La ecuaciones anteriores definen el par de la transformada bilateral de Laplace.Puede pensarse que la transformada bilateral de Laplace expresa a como la sumatoria (integral) un nmero infinito de trminos infinitesimalmente pequeos cuya frecuencia compleja es
)(tf
js +=
-
11
La transformada de Laplace
La transformada de Laplace que se toma con lmite inferior
define la transformada unilateral de Laplace, la transforma inversa sigue inalterada, pero slo es vlida para
=0t
=0
)()( dttfesF st
0>t
-
12
La transformada de Laplace
Tambin se puede usar el smbolo para indicar la transformada directa o inversa de Laplace:
L
{ }{ })()(
)()(1 sF
sF=
=LL
tftf
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La transformada de Laplace
Linealidad de Laplace
{ } { } )()()( sAFtfAtAf == LL{ } { } { } )()()()()()( 212121 sFsFtftftftf +=+=+ LLL
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La transformada de Laplace
Funcin exponencial
0;)(0;0)(=
-
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La transformada de Laplace
Funcin escaln
)()(0;)(0;0)(
tAutftAtfttf
=>=
-
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La transformada de Laplace
Funcin rampa
0;)(0;0)(>=
-
17
La transformada de Laplace
Funciones de la forma
( )!1)(1
=
ntAtfn
{ } nsAtf == )()( LsF
-
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La transformada de Laplace
Funcin senoidal
0);()(0;0)(
=
-
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La transformada de Laplace
Funcin cosenoidal
0);cos()(0;0)(
=
-
20
La transformada de Laplace
Funciones desplazadas en el tiempo
0;0);()( ttutf{ }
{ } sesFtutftfsF
==
)()()()()(
LL
-
21
La transformada de Laplace
Funcin pulso
)()()(
;0;0)(
0;)(
000
0
00
ttutAtu
tAtf
ttttf
tttAtf
=>
-
22
La transformada de Laplace
Funcin impulso
)()(;0;0)(
0;0
)(
0
0
00
0
ttAtgttttg
ttt
tAlim
tg
=>
-
23
La transformada de Laplace
Funciones desplazadas en la frecuencia
)()( tfetg t=
{ } { } )()()()( +=== sFtfetgG tLLs
-
24
La transformada de Laplace
Cambio de la escala de tiempo
)( sFtf =
L
-
25
La transformada de Laplace
Teorema de diferenciacin real
)0()()( fssFtfdtd =
L
)1()2(21 )0()0()0()0()()( =
nnnnn
n
n
fsffsfssFstfdtd "L
-
26
La transformada de Laplace
Teorema del valor final
Si f(t) y su derivada se pueden transformar por el mtodo de Laplace, y si existe el limite de f(t) cuando t tiende a infinito.
)(0
)( ssFslimtf
tlim
=
-
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La transformada de Laplace
Teorema del valor inicial
Si f(t) y su derivada se pueden transformar por el mtodo de Laplace, y si existe el limite de sF(s) cuando s tiende a infinito.
)()0( ssFslimf =
-
28
La transformada de Laplace
Teorema de integracin real
ssFdttf
t )()(0
=
L
-
29
La transformada de Laplace
Teorema de diferenciacin compleja
[ ] )()( sFdsdttf =L
[ ] ...3,2,1);()1()( == nsFdsdtft n
nnnL
-
30
La transformada de Laplace
Integral de convolucin
dftftftft =0
2121 )()()(*)(
{ } )()()(*)( 2121 sFsFtftf =L
-
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La transformada de Laplace
Transformada inversa de Laplace
aIntegral de conversinaTablasaFracciones parciales
-
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La transformada de Laplace
Fracciones parciales con polos distintos
Considere F(s) escrita en la forma factorizada
para m
-
33
La transformada de Laplace
Si F(s) slo involucra polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones parciales simples de la siguiente manera:
n
n
psa
psa
psa
sAsBsF ++++++== "2
2
1
1
)()()(
-
34
La transformada de Laplace
en donde ak(k=1,2,...,n) son constantes y se denominan como el residuo del polo en s=-pk. El valor de ak se encuentra multiplicando ambos miembros de la ecuacin anterior por (s+pk) y suponiendo que s=-pk, esto nos lleva a
kps
kn
nk
k
kk
psk apsps
apsps
apsps
asAsBps
kk
=
++++++++++=
+==
)()()()()()(
1
1 ""
-
35
La transformada de Laplace
Se observa que todos los trminos expandidos se cancelan con excepcin de ak. Por lo tanto el residuo ak se encuentra a partir de
kpskk sA
sBpsa=
+=)()()(
-
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La transformada de Laplace
Encontrar la transformada inversa de Laplace de
)2)(1(3)( ++
+=ss
ssF
)2()1()2)(1(3)( 21 +++=++
+=sa
sa
ssssF
113
)2)(1(3)2(
223
)2)(1(3)1(
222
111
=
++=
++++=
=
++=
++++=
==
==
ss
ss
ss
ssssa
ss
ssssa
-
37
La transformada de Laplace
[ ]
++
+== 21
12)()( 111
sssFtf --- LLL
0;2)( 2 = teetf tt
-
38
La transformada de Laplace
Fracciones parciales con polos mltiples Se usar un ejemplo para demostrar como obtener la expansin en fracciones parciales de F(s)
3
2
)1(32)( +
++=s
sssF
33
221
)1()1(1)( +++++= s
bsb
sbsF
-
39
La transformada de Laplace[ ] [ ]
[ ] 2)32()()1()1()1()()1(
12
13
3
1322
113
=++=+=++++=+
==
==
ss
ss
sssFsb
bsbsbsFs
[ ] [ ][ ] [ ] 0)22(32)()1(
)1(2)()1(
112
13
2
213
=+=++=+=
++=+
=== sss sssdsdsFs
dsdb
bsbsFsdsd
[ ] [ ][ ] [ ] 1)2(
2132
21)()1(
21
2)()1(
12
2
2
13
2
2
1
13
2
2
==++=+=
=+
== ss ssdsdsFs
dsdb
bsFsdsd