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République Algérienne Démocratique et PopulaireEcole Normale Supérieurs d’Enseignement Technique
-ORAN-
Département de Génie Electrique
Magistère 1ere année en électrotechnique
Option : Analyse et Commande des Machines Electrique
Monographie de Méthode numérique
Méthode de résolutiondes équations différentielles
ODE
Mr BOUZID Allal El Moubarek
Sous la direction de : Mr.
Anne universitaire 2008-2009
BELAIDI
BELAIDI
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SOMMAIRE
Introduction générale 01
Chapitre I : Résolution des ODE
Introduction 02
I.1 Définition 02
I.2 Rappel des solutions EDO simple 04
I.3 Le problème de Cauchy 04
I.4 Principe général des méthodes numériques 05
I.5 Propriétés des méthodes numériques 05
I.6 Les principales méthodes numériques 07
Chapitre II Méthodes a un pas
Introduction 09
II.1 Méthodes d'Euler explicite et implicite 09
II.2 Méthode d'Euler amélioré 15
II.3 Méthode d'Euler-Cauchy 15
II.4 Méthode de Crank – Nicholson 18
II.5 Méthode de Heun 19
II.6.Méthode de Runge-Kutta 20
II.6.1 Méthode de Rungue Kutta 2 20
II.6.2 Méthode de Runge et Kutta explicite a un point 21
II.6.3 Méthodes RK implicites à un point 22
II.6.4 Méthodes RK explicites à 2 points intermédiaires 22
II.6.5 Méthodes RK explicites à 3 points intermédiaires 22
II.6.6 Formule générale des méthodes RK explicites 24
II.7. Méthode de Burlish – Stoer 26
II.8 Comparaison entre quelques méthodes 27
II.9 Comparaison entre toutes les méthodes 29
II.10. La méthode de Runge-Kutta-Fehlberg 32
Conclusion 38
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Chapitre III Méthode à pas multiples
Introduction 40
III-1 Méthode Adams–Bashforth–Moulton Method 40
III.2.Méthode de Hamming 44
III.3.Comparaison des méthodes (RK4 ; Hamming, ABM) 46
III.4 Méthode de Milne Simpson 51
III.5. Méthodes de Gear 52
III.5.1 Méthode de Gear à 2 pas, implicite, d'ordre 2 52
III.5.2 Méthode de Gear à 3 pas, implicite, d'ordre 3 52
III.5.3 Méthode de Gear à 4 pas, implicite, d'ordre 4 52
III.6 problème de la valeur marginale 52
III.6.1 Méthode de Tir 53
III.7 Méthode des différences finis (Finite Difference) 56
Bibliographie 61
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Introduction
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Introduction
- 1 -
Introduction
On regroupe sous le terme générique de « méthodes numériques », toutes lestechniques de calcul qui permettent de résoudre de manière exacte ou, le plus souvent, demanière approchée un problème donné. Le concept de calcul est assez vaste et doit être pris ausens large. Il peut s'agir de déterminer l'inconnue d'une équation, de calculer la valeur d'unefonction en un point ou sur un intervalle, d'intégrer une fonction, d'inverser une matrice, etc.
Bien que la mise en équation d'un problème et sa résolution passent naturellement parles Mathématiques, les problématiques sous-jacentes concernent des disciplines aussi variéesque la Physique, l'Astrophysique, la Biologie, la Médecine, l'Economie, etc. Il existe ainsi unegrande variété de problèmes possibles avec pour chacun d'eux, des méthodes très spécifiques.De fait, le nombre total de méthodes numériques dont nous disposons à l'heure actuelle estvraisemblablement gigantesque.
L’ordinateur est aujourd’hui un outil incontournable pour simuler et modéliser lessystèmes, mais il faut encore savoir exprimer nos problèmes en langage formalisé desmathématiques pures. Nous sommes habitués à résoudre les problèmes de façon analytique,alors que l’ordinateur ne travaille que sur des suites de nombres. On verra dès lors qu’il existesouvent plusieurs approches pour résoudre un même problème, ce qui conduit à desalgorithmes différents.
Un algorithme, pour être utile, doit satisfaire un certain nombre de conditions. Il doit être :
• Rapide : le nombre d’opérations de calcul pour arriver au résultat escompté doit être aussi
réduit que possible.
• Précis : l’algorithme doit savoir contenir les effets des erreurs qui sont inhérentes à tout
calcul numérique. Ces erreurs peuvent être dues à la modélisation, à la représentation surordinateur ou encore à la troncature.
• Souple : l’algorithme doit être facilement transposable à des problèmes différents.
La résolution numérique d’équations différentielles est très souvent nécessaire, fautede l’existence de solutions analytiques.
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Chapitre I
Définition des équations différentielles
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CHAPITRE I Définition des équations différentielles
ENSET Oran - 2 -
IntroductionLes équations différentielles ordinaires (EDO) apparaissent très souvent dans la modélisation dela physique et des sciences de l'ingénieur. Trouver la solution d'une EDO ou d'un système d'EDOest ainsi un problème courant, souvent difficile ou impossible à résoudre de façon analytique. Ilest alors nécessaire de recourir à des méthodes numériques pour résoudre ces équationsdifférentielles.
I.I Définitions :
Équation d'un (premier ordre) de la forme y' = f (x, y) exprime le taux de changement de lavariable dépendante y en ce qui concerne un changement de la variable indépendante X commefonction f (x, y) de la variable indépendante X et de la variable dépendante Y.
Une solution de l'équation y' ; = f (x, y) est une fonction, que par abus de langue nous dénotonscomme y (x), tel que y' ; (x) = f (x, y (x)).
Le théorème d'existence et d'unicité des équations ordinaires du premier ordre déclare que si lafonction f est continue et remplit la condition de Lipschitz sur une certaine région fermée U×V,avec x dans U et y dans V, contenant le point intérieur (x0, y0), alors là existe une solutionunique y (x) et un sous-intervalle U0 contenant x0 et contenu dans U tels que y (x0) = y0 et (x, y(x)) est contenu dans U×V pour x dans U0.
La condition que y (x0) = y0 s'appelle l'état initial. Si la fonction f est différentiable dans larégion fermée, alors la condition de Lipschitz est automatiquement satisfaite. En outre, si lafonction f est Cn, c.-à-d. f a les dérivés continus jusqu'à la commande n, pour n > 0, dans larégion fermée, alors la solution est Cn+1 dans un voisinage de x0.
Notez que si l'état de Lipschitz n'est pas satisfaisant, alors il n'existe pas une solution ou il peutexister plus d'une solution. Si la fonction f (x, y) est indépendant de la variable dépendante y,alors la solution est y (x) = y0 + ∫ x0 f (t), où l'intégrale peut être rapprochée par une destechniques numériques dans l'intégration numérique de section.
Si la fonction f (x, y) est indépendant de la variable indépendante X, l'équation y' ; =f (y) seraitune équation autonome. Les méthodes données ci-dessous s'appliquent aux équations autonomeset non autonomes mais dans le cas autonome, l'utilisateur peut vouloir éditer les dossiers etsupprimer des références à la variable indépendante partout où la variable indépendante est miseen référence par le F.
Système de premier ordre des équations - équation évoluée :
La variable dépendante y peut être une quantité y de vecteur dans ce cas nous avons un systèmedes équations du premier ordre. Le théorème d'existence et d'unicité indiqué ci-dessus généraliseimmédiatement pour inclure la situation dans laquelle y est un vecteur dimensionnel de n. Uneéquation y de nième ordre (n) = f (x, y, y' ; , y (2),…, y (n-1)) peut être transformé à un systèmedes équations du premier ordre en définissant le z= de quantité de vecteur (z1,…, Zn) par z1=y,z2=y' ; , z3=y (2),…, zn=y (n-1), puis z' ; 1=z2, z' ; 2=z3,…, z' ; n-1=zn, et z' ; n=f (x, z1,…, Zn).
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CHAPITRE I Définition des équations différentielles
ENSET Oran - 3 -
Tandis qu'une équation du second degré peut être transformé à un système de premier ordrecomme décrit ci-dessus mais parce que les équations du second degré sont omniprésentes dansdes méthodes spéciales de physique et de technologie ont été développés pour les résoudre.
Soit une fonction numérique notée y(x) définie sur un intervalle de R et de classe Cp(continûment dérivable d’ordre p). On appelle équation différentielle d’ordre p une équation de laforme
F(x, y, y′, y′′, . . . y(p)) = 0 (1.1)
Ou y′ représente la dérivée première par rapport x, y′′ la dérivée seconde, etc... Plus
généralement, on appelle système différentiel un ensemble d’équations différentielles reliant unevariable x et un certain nombre de fonction yi(x) ainsi que leurs dérivées.
L’ordre du système différentiel correspond `a l’ordre de dérivation le plus élevé parmi l’ensembledes fonctions.
On appelle solution de l’équation différentielle (1.1) toute fonction y(x) de classe Cp qui vérifiel’équation (1.1).
On appelle forme canonique d’une équation différentielle une expression du type
y(p) = f(x, y, y′, y′′, . . . y(p−1)) (1.2)
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CHAPITRE I Définition des équations différentielles
ENSET Oran - 4 -
I.2 RAPPEL - SOLUTIONS D'EDO SIMPLESNous rappelons ici les principes de résolution des équations différentielles simples. Dans ce quisuit, la variable indépendante « t » sera notée et la variable dépendante « x(t) ».
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CHAPITRE I Définition des équations différentielles
ENSET Oran - 5 -
I.3 LE PROBLEME DE CAUCHYOn appelle problème de Cauchy ou problème à la valeur initiale le problème qui consiste àtrouver une fonction y(x) définie sur l'intervalle [a; b] telle que :
0)(
],[;))(,()('
yay
baxxyxfxy
Si la fonction f est continue et vérifie une condition de Lipschitz par rapport à la deuxièmevariable alors le problème admet une solution unique. On dit que le problème est bien posé.
Attention : un problème bien posé ne signifie pas qu'il peut se résoudre numériquement !
I.4 PRINCIPE GENERAL DES METHODES NUMERIQUES
Pour obtenir une approximation numérique de la solution y(x) sur l'intervalle [a; b], nous allonsestimer la valeur de cette fonction en un nombre fini de points xi, pour i = 0; 1; :::; n, constituantsles noeuds du maillage. La solution numérique discrète obtenue aux points xi est notée :yi = y (xi).
L'écart entre deux abscisses, noté h, est appelé pas de discrétisation. Ce pas, dans les méthodesles plus simples, est constant, mais il peut être judicieux de travailler avec un pas variablehi = xi – xi-1.
Le choix du maillage et de la répartition des nœuds, peut s'avérer crucial.
Les techniques de résolution des EDO sont basées sur : l'approximation géométrique de la fonction les formules d'intégration numérique (rectangle, trapèze, Simpson...) les développements de Taylor au voisinage de xi
I.5 PROPRIETES DES METHODES NUMERIQUES
Plusieurs notions mathématiques sont introduites lors de la résolution d'EDO au moyen deleurs équivalents discrétisés. Les trois principales sont la convergence, la stabilité et laconsistance, permettant de relier la solution exacte des équations continues à la solution exactedes équations discrétisées et à la solution numérique obtenue.
A ces propriétés, il convient d'ajouter la notion de précision ainsi que des aspects informatiquescomme la facilité de mise en oeuvre, les coûts CPU et mémoire.
Consistance d'une méthode :La consistance est la propriété qui assure que la solution exacte de l'équation discrétisée tendevers la solution exacte de l'équation continue lorsque le pas de discrétisation h tend vers 0.
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CHAPITRE I Définition des équations différentielles
ENSET Oran - 6 -
Stabilité d'une méthode :
C'est la propriété qui assure que la différence entre la solution numérique obtenue et la solutionexacte des équations discrétisées reste bornée. Le stabilité indique si l'erreur augmente ou non aucours du calcul.
Une méthode peut être stable sous condition (elle sera dite conditionnellement stable) ou toujoursstable (elle sera dite inconditionnellement stable).
Ordre de précision d'une méthode
L'erreur de troncature " est définie comme la différence entre la solution exacte~
y et
l'approximation numérique obtenue yn, soit : )()( p
nnnhyxy
. L'ordre de
précision de la méthode est donné par l'entier p.
Convergence et taux de convergence d'une méthode
Une méthode est convergente si, lorsque le pas de discrétisation tend vers 0, la solutionnumérique tend vers la solution exacte de l'équation continue.
Résultat théorique : Une méthode stable et consistante est convergente.
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CHAPITRE I Définition des équations différentielles
ENSET Oran - 7 -
I.6 LES PRINCIPALES METHODES NUMERIQUES :
Les principales méthodes de résolution numérique des EDO sont séparées en deux grandstypes :
Les méthodes à un pas
Pour ces méthodes, le calcul de la valeur discrète yn+1 au noeud tn+1 fait intervenir la valeur yn
obtenue à l'abscisse précédente. Les principales méthodes sont :
- Méthodes d'Euler explicite et implicite.
- Méthode d'Euler amélioré.
- Méthode d'Euler-Cauchy.
- Méthode de Crank-Nicholson.
- Méthodes de Runge et Kutta.
- Runge-Kutta-Fehlberg Method RKF45.
Les méthodes à pas multiples
Pour ces méthodes, le calcul de la valeur discrète yn+1 au noeud tn+1 fait intervenir plusieursvaleurs yn; yn-1; yn-2;…. obtenues aux abscisses précédentes. Les principales méthodes sont :
- Méthode de Nystrom ou saute-mouton.
- Méthode d'Adams-Bashforth-Moulton.
- Méthode de Gear.
- Méthode de Hamming.
- Méthode Milne-Simpson.
- Méthode Linear Shooting.
- Méthode Finite-Difference.
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Chapitre II
Méthode de résolution des
ODE a un pas
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 9 -
IntroductionLe but de ce chapitre est de montrer comment programmer facilement et efficacement les
schémas classiques de résolution numérique des équations différentielles à l'aide de Matlab. Onmet en évidence leurs ordres de convergence respectifs sur un exemple simple.
II.1 METHODES A UN PAS La formulation générale des méthodes à un pas explicite est :
),,(yy
donnéy
n1n
0
hyxnn
Où la fonction définit la méthode utilisée. La formulation générale des méthodes à un pas implicite est :
),,,(xyy
donnéy
1nn1n
0
hyynn
L'obtention de la solution à chaque abscisse nécessite la résolution d'une équation.Ces méthodes sont obtenues en intégrant l'équation différentielle et en utilisant des formulesd'intégration numérique pour le second membre. L'ordre du schéma est égal au degré dupolynôme pour lequel l'intégration est exacte + 1.
Résultats théoriques :
1) Si la fonction est lipchitzienne par rapport à la deuxième variable alors les méthodesexplicites sont stables.
2) Les méthodes implicites sont toujours stables.3) Les méthodes sont consistantes si x [a; b]; (x; y; 0) = (x; y).
II.1 Méthodes d'Euler explicite et impliciteEn parlant des solutions numériques aux ODE, chacune commence par la méthode
d'Euler, puisqu'elle est facile à comprendre et simple pour programmer.
Explication de la méthode d’Euler :On part d’un point M de coordonnées (XM, YM) appartenant à la solution approchée.
Le point suivant est le point E de coordonnées (XE, YE), tel que XE = XM +h et tel que le pointE est sur la droite passant par M de pente F (XM, YM),
On itère le procédé en partant du point (X0, Y0) et en reprenant à chaque étape le point E commenouveau point M, autant de fois qu’il le faut pour que X décrive l’intervalle demandé. Voir lafigure II.1.
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 10 -
Figure II.1. Méthode d’Euler
Quoique sa basse exactitude la garde d'être employée couramment pour résoudre desodes, elle nous donne un indice au concept de base de la solution numérique pour une équationsimplement et clairement.
Considérons une équation de premier ordre :
II.1.1y0y(0)avec)()(' rtayty
Sa solution analytique est de la forme suivante :
II.1.2)()(0
a
re
a
ryty at
Ce qui peut être obtenu par l'utilisation d’une méthode conventionnelle ou la technique detransformé de Laplace. Cependant, une solution analytique exacte n’exister pas pour chaqueéquation ; même si elle existe, il n'est pas facile de trouver même en utilisant un ordinateuréquipé des possibilités du calcul symbolique. C'est pourquoi nous devrions étudier les solutionsnumériques aux équations différentielles.
Comment traduisons-nous l'équation en forme qui peut facilement être manipulée par ordinateur?Tout d'abord, nous devons remplacer la dérivée y’(t)= dy/dt dans l'équation par un dérivénumérique, où le pas « h » est déterminé sur les conditions d’exactitude et les contraintes decalcul.
(II.1.3)yy(0)avec)()1()(
)()()(
0
hrtyahhty
rtayh
tyhty
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 11 -
Et résoudre cette équation différentielle point par point avec l'augmentation de t par h chaquefois, de t = 0.
.........................................................................................
)1()1()2()1()3(
(II.1.4))1()1()()1()2(
)1()0()1()(
2
00
3
0
2
0
hrahyahhrhyahhy
hrhrahyahhrhyahhy
hryahhryahhy
m
m
C'est un ordre numérique {y (KH)}, que nous appelons une solution numérique de l’équation(II.1.1).
Pour être spécifiques, on laisse les paramètres et la valeur initiale d'Eq. (II.1.1) soit a = 1, r = 1, ety0 = 0. Puis, la solution analytique (II.1.2) devient :
(II.1.5)1)( atety
Nous faisons un programme de MATLAB « comparaison1.m », qui emploie la méthode d'Eulerpour l'équation (II.1.1),
Et la solution numérique (II.1.4) avec le pas h = 0.5 et h = 0.25 sont énumérée dans le tableau II.1et représentée dans fig. II.2.
Tableau II.1 une solution numérique de l'équation (II.1.1) obtenue par la méthode del'Euler
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
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Les graphiques semblent nous indiquer qu'un petit pas « h » aide réduire l'erreur afin trouver lasolution numérique la plus près de la solution analytique (vraie). En fait, un pas « h » trop petitefait non seulement le temps de calcul plus longtemps (proportionnel en tant que 1/h), mais aégalement comme conséquence des erreurs un peu plus grandes dues à l'effet approximatifaccumulé. C'est pourquoi nous devrions rechercher d'autres méthodes pour diminuer les erreursplutôt que réduisons simplement le pas « h ».
La méthode d'Euler peut également être appliquée pour résoudre une équation de vecteur depremier ordre
(II.1.6))y(tavec),()('00
yytfty
Ce qui est équivalent à une équation scalaire d'ordre élevé. L'algorithme peut être décrit près :
(II.1.7))y(tavec),(001
yythfyykkkk
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
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II.1.1 Méthode explicite, d'ordre 1, dont l'algorithme est :
(II.1.8)),(hyy
donnéy
n1n
0
nnyx
La méthode peut s'interpréter de plusieurs manières :
1) Via les formules d'intégration numérique : la méthode est le résultat de l'application de laformule des rectangles basée au point xn.2) Géométriquement : la méthode revient à remplacer localement en chaque point xn la courbesolution par sa tangente.3) Via les développements de Taylor : la méthode provient du développement de Taylor d'ordre1 de la fonction y au voisinage de xn.
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 14 -
II.1.2 Méthode implicite, d'ordre 1, dont l'algorithme est :
(II.1.9))y,hf(xyy
donnéy
1n1nn1n
0
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 15 -
II.2 Méthode d'Euler amélioré
Méthode explicite dont l'algorithme est :
(II.2.1)),(),(2
),(2
donné
1*
11
1*
0
nnnnnn
nnnn
yxfyxfh
yy
yxfh
yy
y
Géométriquement, la méthode consiste à remplacer dans la méthode d'Euler la pente de latangente en (xn; yn) par la valeur corrigée au milieu de l'intervalle [xn; xn+1].
II.3 Méthode d'Euler-CauchyCette méthode est dite aussi la méthode dite de Newton-Cauchy modifiée ou méthode du pointmilieu. C’est une méthode explicite dont l'algorithme est :
(II.2.3)),2
(
),(2
donné
1*
1
1*
0
nnnn
nnnn
yh
xhfyy
yxfh
yy
y
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 16 -
La méthode du point milieu consiste à approcher, au voisinage de t0, la solution de l'équationdifférentielle y'(t) = f (t, y (t)), y(t0) = y0 t0 [a;b], par une parallèle à la tangente au "point milieude la solution obtenue par la méthode d'Euler" :Le "point milieu de la solution obtenue par la méthode d'Euler" est le point de coordonnées :
))y,(th/2fyh/2,(t0000
Et sa tangente a donc comme pente : ))y,(th/2fyh/2,(tf0000
La méthode du point milieu fait passer du point (t0, y0) au point (t1, y1) avec :
))y,(tf*h/2yh/2,(tf*hy*hyy
htt
0000001
01
qui réalise une seule étape de cette méthode et qui permet de passer d'un point d'abscisse t0 aupoint d'abscisse t0 + h, ces points étant situés sur le graphe de la solution approchée par cetteméthode.
La méthode d’Euler est une méthode numérique peu coûteuse numériquement, mais peu précisequand on intègre sur plusieurs pas de temps. Des améliorations sont possibles des que l’onconsidère des points intermédiaires, ce que nous allons voir ci-dessous en considérant desméthodes dites de Runge-Kutta.
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 17 -
Comparaison entre Euler explicite Euler modifier et Euler Cauchy :En prenant la même équation précédente on trouve les résultats suivant. Fig (II.3) :
Dans la figure II.3 on remarque que seule la méthode d’Euler Cauchy s’approche de la solutionexacte avec un pas de h= 0.2
Et pour la figure II.4 qui se trouve ci-dessous on voit bien que l’erreur est petite pour la méthoded’Euler modifier par contre la méthode d’Euler explicite prend une très grande erreur.erreur_Euler_explecite = 0.0192
erreur_Euleur_Modifier = 0.0091
erreur_euler_cauchy = 0.0013 c’es la plus petite valeur si on compare les trois erreur relative
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 18 -
II.4 Méthode de Crank - NicholsonMéthode implicite, d'ordre 2, dont l'algorithme est :
(II.4.1)),(),(2
donné
111
0
nnnnnnyxfyxf
hyy
y
Elle est obtenue en utilisant la formule d'intégration numérique des trapèzes.
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 19 -
II.5 Méthode de Heun
Dans cette méthode (encore appelée méthode de Newton modifiée), on évalue l'incrément endeux étapes. La première étape consiste à écrire :
(II.5.1)),(1
1dxxyfyy
n
x
xnnn
n
n
en estimant l'intégrale par la méthode des trapèzes, soit :
(II.5.2))),(),((2
111
nnnnnnxyfxyf
hyy (A)
Cette formule est une formule implicite en yn+1 et elle n'est généralement pas inversible. De cefait, on ne connaît pas encore yn+1 à ce stade. On trouve une valeur approchée de f (yn+1; xn+1)grâce à la méthode d'Euler. C'est la seconde étape. On a
(II.5.3)
),(
1
1
n
nnnn
y
xyhfyp
La méthode de Heun met en jeu ce que l'on appelle classiquement un schéma de typeprédicateur/correcteur. Le schéma prédicateur donne une estimation de yn+1 qui permet de prédirela valeur de la fonction en xn+1. Le schéma correcteur associé est donné par la relation (II.5.2).Globalement, on a donc :
(II.5.4))),,((),(2
11
nnnnnnnnxxyhfyfxyf
hyy
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 20 -
II.6.Méthode de Runge-Kutta
Les méthodes de Runge-Kutta sont couramment utilisées car elles allient précision,stabilité et simplicité. Toutes nécessitent plusieurs itérations pour effectuer un pas.
II.6.1 Méthode de Rungue Kutta 2
La méthode de Runge-Kutta d’ordre 2 est la plus simple ; elle combine deux itérationssuccessives de la méthode d’Euler explicite. Dans un premier temps la dérivée en (xn , yn ) estévaluée pour faire une première estimation du point suivant (noté « A » dans la figure ci II.5dessous). L’estimation provisoire de yn+1 en ce point est ensuite utilisée pour affiner le calcul dela dérivée. Une nouvelle approximation de celle-ci est obtenue en prenant sa valeur à mi-parcours(prise au point B).
C’est cette valeur de la dérivée qui sera ensuite utilisée pour estimer le prochain pas yn+1 (pointC). La procédure d’intégration se résume à :
)(
(II.6.1))2
,2
(
),(
3
1hyy
yh
xhf
yxhf
nn
nn
nn
Même si cette méthode demande deux fois plus opérations de calcul que la méthode d’Eulerexplicite pour effectuer un seul pas, le résultat est plus précis et plus stable.
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 21 -
Figure II.5 : Principe de fonctionnement de la méthode deRunge-Kutta du second ordre pour effectuer un seul pas
Une méthode explicite, d'ordre 2, peut être obtenue par l'utilisation de la formule destrapèzes. L'algorithme, noté RK2, s'écrit :
)],(),([2
(II.6.2)),(
donné
1*
11
1*
0
nnnnnn
nnnn
yxfyxfh
yy
yxhfyy
y
Elle est obtenue en utilisant la formule d'intégration numérique des trapèzes.
II.6.2 Méthode de Runge et Kutta explicite a un point
donnéy
yh
xfyxfhyy
yxfh
yy
nnnnnn
nnnn
:
(II.6.3)),2
(),()1(
),(2
0
1,1
1,
Avec α un nombre réel compris entre 0 et 1. Les valeurs de α couramment utilisées sont α=1,α=1/2 et α=3/4. Ces méthodes sont d’ordre 2.
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 22 -
II.6.3 Méthodes RK implicites à un pointLa formule de récurrence est définie par la relation :
(II.6.4))],(),()1[(111
nnnnkn
yxfyxfhyy
Oû θ est un nombre réel appartenant à l’intervalle] 0, 1]
Si θ = 0, on retrouve la méthode d’Euler. Si θ = 1/2, la méthode est d’ordre 2 et s’appelle la méthode des trapèzes. Si θ ≠ 1/2, la méthode est d’ordre 1.
II.6.4 Méthodes RK explicites à 2 points intermédiairesCes méthodes sont définies par les relations :
)),3
2(3),((
4
(II.6.5)),3
(3
2
),(3
2,1
1,2,
1,
nnnnnn
nnnn
nnnn
yh
xfyxfh
yy
yh
xfh
yy
yxfh
yy
Ou par
)),(),2
(4),((6
(II.6.6))),2
(2),((
),(2
2,11,1
1,2,
1,
nnnnnnnn
nnnnnn
nnnn
yxfyh
xfyxfh
yy
yh
xfyxfhyy
yxfh
yy
Ces deux méthodes sont d’ordre 3. La première est parfois appelée méthode de Heun.
II.6.5 Méthodes RK explicites à 3 points intermédiairesUne méthode explicite, d'ordre 4, peut être obtenue par l'utilisation de la formule de Simpson.
La méthode avec un pas de h :A partir du point M, on construit les point E, RK1, RK2. « RK3 » est le milieu du segment (M,RK2).Le point suivant de la solution approchée est le point RK4, de coordonnées (XRK4, YRK4), avec :XRK2 = XE = XM + h, et qui, de plus, appartient à la droite passant par M et de pente :
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 23 -
1/6(F (XM, YM) + 2 F (XRK1, YRK1) + 2 F (XRK3, YRK3) + F (XRK2, YRK2))Voir la figure ci-dessous. (II.6)
Figure.II.6 Méthode de Runge-Kutta d’ordre 4
On itère le procédé en partant du point (X0, Y0) et en reprenant à chaque étape le point E commenouveau point M, autant de fois qu’il le faut pour que X décrive l’intervalle demandé.
La méthode suivante est de loin la plus connue et utilisée. Les relations de récurrence sont lessuivantes :
)),(),2
(2),2
(2),((6
),2
(2
(II.6.7)),2
(2
),(2
3,12,1,1
2,3,
1,2,
1,
nnnnnnnnnn
nnnn
nnnn
nnnn
yxfyh
xfyh
xfyxfh
yy
yh
xfh
yy
yh
xfh
yy
yxfh
yy
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 24 -
Méthode est d’ordre 4.La méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 combine quatre itérations successives. Sa précision estgénéralement encore meilleure. La procédure d’intégration devient
43211
34
2
3
1
2
1
0
226
1
,
(II.6.8)2
,2
2,
2
,
donné
kkkkyy
kyhxhfk
ky
hxhfk
ky
hxhfk
yxhfk
y
nn
nn
nn
nn
nn
II.6.6 Formule générale des méthodes RK explicites :
Les méthodes de Runge-Kutta s’écrivent de manière générale
]...[
(II.6.9))]...,([
......
)]...,([
)]...,([
22111
,22,11,
,222,211,222
,122,111,111
nnnn
nnnnnnnnn
nnnn
nnnn
KKKhyy
KKKyhxfhK
KKKyhxfhK
KKKyhxfhK
Les coefficients sont détermines afin que l’ordre soit le plus élevé possible. On note : A la matrice de coefficients (αi,j), Γ le vecteur des coefficients γi. Θ le vecteur des coefficients θi.
Quand la matrice A est triangulaire inférieure stricte, αi,j = 0 pour j ≥ i, on dit que la méthode est
explicite.
Si seule la partie triangulaire supérieure est nulle, αi,j = 0 pour j > i, la méthode est dite implicite ;sinon elle est totalement implicite.
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 25 -
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 26 -
II.7. Méthode de Burlish - StoerL'idée de cette méthode repose sur les trois principes suivants : la résolution de l'équationdifférentielle pour un accroissement de x est donnée par une fonction qui dépend de h, mais quitend vers une limite finie (indépendante de h) ; on cherche à estimer la valeur exacte du systèmedifférentiel à intégrer en calculant pour différents pas et en prenant la limite d'un pas tendant verszéro.
La figure II.7 illustre graphiquement les différentes estimations de la valeur de la fonctionsolution en utilisant trois pas d'intégration différents. La limite d'un pas de temps nul correspondà la solution exacte donnée par la courbe en trait plein. Ce point est très comparable à celui de laméthode de Romberg décrite pour l'intégration.
Le second principe de la méthode consiste à extrapoler cette limite non pas sur la base dedéveloppements polynomiaux mais de développements en fractions rationnelles. Le troisièmeprincipe consiste à utiliser des fonctions d'erreur qui sont paires en pas d’intégration.
Fig. II.7 {Schéma illustrant le principe de la méthode de Burlish-Stoer. Les lignes en pointillecorrespondent aux intégrations réalisées avec trois pas d'intégration différents. La courbe en trait
plein correspond à la solution exacte.
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 27 -
II.8 Comparaison entre quelques méthodesSur le programme suivant on va comparer l’allure des courbes pour quelques méthodes, que nousavons étudiées précédemment et voir la rapidité de chaque méthodeAvec la fonction
y’(t)= -y+1 qui a pour solution exacte : y(t) = 1-exp(-a*t) et y(0) = 0
Voici le temps de résolution pour chaque méthode :
time_Euler = 0.6880
time_Heun = 1.4380
time_RK4 = 2.7660
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 28 -
On voit bien que la méthode d’Euler est la plus rapide parce que dans les autres méthodes y aplus de calcul pour approché la solution exacte.Pour l’allure des courbes on obtient la figure II.8 :
Figure II.8 Solution numérique d’une équation du 1er Ordre
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 29 -
II.9 Comparaison entre toutes les méthodes
Si on prend la comparaison de toutes les méthodes vue dans ce chapitre on obtient la figure II.8suivi du programme sous Matlab ci-dessous enregistré sous le nom de « comparaison »Programme
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 30 -
Suite du programme
Sur la figure II.9 on voit bien que Euler Explicite s’éloigne de la vraie solution par contre les plusprécise sont RK4 et Heun donc c’est les méthodes les plus précises surtout pour RK4
erreur_RK4 = 1.1979e-007 erreur la plus petite
erreur_Euler_explecite = 0.0070
erreur_Euler_Implecite = 0.0077
erreur_Euleur_Modifier = 0.0034
erreur_Heun = 2.3774e-004
erreur_euler_cauchy = 2.3774e-004
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 31 -
Figure II.9 : Solution graphique pour les différentes ODE
Si on compare les résultats obtenu par la figure II.10 ainsi que les résultats de calcul affiché sur leWorks-pace du Matlab on voit bien que la méthode de Runge – Kutta a une erreur très faible etque la solution s’approche du résultas exacte par contre pour les autres implicites on remarquequ’il y a une très grande erreurs
La figure suivant II.10 nous montre les erreurs de chaque méthode par rapport à la solution exacte
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 32 -
FigureII.10 : Allure des différentes méthodes de résolution des ODE
II.10. La méthode de Runge-Kutta-Fehlberg
Une façon pour garantir l'exactitude dans la solution d'un système d’équationdifférentielle est de résoudre le problème en employant deux fois les tailles du « pas » h et h/2 etde comparer les réponses aux points de maille correspondant à la taille du « pas » le plus grand.Mais ceci exige une quantité significative de calcul pour la taille du pas la plus petite et doit êtrerépété si on le détermine que l'accord n'est pas assez bon.
La méthode de Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45 dénoté) est à sens unique pour essayer derésoudre ce problème. Elle a un procédé pour déterminer si la taille du « pas » appropriée h estemployée. À chaque étape, deux approximations différentes pour la solution sont faites etcomparées :
Si les deux réponses sont en accord étroit, l'approximation est acceptée.
Si les deux réponses ne sont pas d'accord sur une exactitude spécifique, la taille du « pas »est réduite.
Si les réponses sont d'accord sur des chiffres plus significatifs qu'exigés, la taille du pasest augmentée.
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 33 -
Chaque étape exige l'utilisation des six valeurs suivantes :
).540
114
4104
18593
2565
3544221
27
8,
2
1(6
),44104
8453
513
3680281
216
439,(5
),32197
72962
2197
72001
2197
1932,
13
12(4
),32
91
32
3,
8
3(3
),14
1,
4
1(2
),,(1
2
kkkkkyhxhfk
kkkkyhxhfk
kkkyhxhfk
kkyhxhfk
kyhxhfk
yxhfk
nn
nn
nn
nn
nn
nn
(A)
Alors une approximation à la solution du système d’équation différentielle est faite pour suivreune méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 :
55
14
4101
21973
2565
14081
216
251
kkkkyynn
(B)
Là où les quatre valeurs de fonction f1, f3, f4, et f5 sont employées. Notez que le f2 n'est pasemployé dans la formule (B). Une meilleure valeur pour la solution est déterminée suivre uneméthode de Runge-Kutta d'ordre 5 :
.655
25
50
94
430,56
561,283
825,12
66561
135
161
kkkkkyznn
(C)
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 34 -
La taille du pas optimale SH peut être déterminée en multipliant les temps scalaires de s avec lataille du pas courant H. Le s scalaire est :
41
11
41
11
84.02
nnnnyz
tolh
yz
tolhs (D)
Là où le tol est la tolérance spécifique de commande d'erreur.
Exemple 1 : résolution d’une équation avec la méthode RKF45 et RK4
1.4][0,0)0(avec1' 2 yyy
Tableau II.2 : RKF45
La dérivation de la formule (D) peut être trouvée dans les livres avancés sur l'analyse numérique.Il est important d'apprendre qu'une taille fixe du « pas » n'est pas la meilleure stratégiequoiqu'elle donne une table gentille apparaissante des valeurs. Si les valeurs nécessaires ne sontpas dans la table, l'interpolation polynôme devrait être employée.
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 35 -
Tableau II.3 : RK4
Comparaison entre RKF45 et RK4 pour la résolution d’une équation différentielle.
Un programme RKF45 a été employé avec le tol de valeur = 2 × 10-5 pour la tolérance decommande d'erreur. Il a changé la taille du pas automatiquement et a produit les 10approximations à la solution dans le tableau II.2.
Un programme RK4 a été employé avec la taille du pas a priori de h = 0.1, ce qui a exigé del'ordinateur de produire de 14 approximations aux points équidistants dans le tableau .II.3.
Les approximations au bon point final sont :
7919748.5yy(1.4)et7985045.5)4.1(1410 yy
Et l’erreur est de :
0059089.0Eet0006208.01410E
Pour les méthodes RKF45 et RK4, respectivement. La méthode RKF45 a une erreur très petite
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 36 -
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 37 -
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CHAPITRE II Méthode de résolution des ODE a un pas
ENSET ORAN - 38 -
Conclusion
Les intégrateurs implicites sont souvent moins précis, plus compliqués à utiliser. Mais ils sontplus stables que les intégrateurs explicites : ils divergent moins rapidement. En d’autres termes :moins précis à court terme, plus précis à long termes.Pour les méthodes RKF45 et RK4, respectivement. La méthode RKF45 a une erreur très petite
Donc on peut dire que :
• Runge-Kutta d’ordre 4 : Souvent la réponse par défaut Précision est généralement encore meilleure Bon rapport qualité/prix Mais pas une réponse universelle !
• Euler : Beaucoup de défauts Déconseillée pour presque tout Mais tellement rapide à implémenter
• Heun : Fait la moyenne entre 2 pentes ; les méthodes de Runge-Kutta font la moyenne de
m pentes …
La précision dépend de l’ordre Euler : ordre 1 Heun : ordre 2 Runge-Kutta : ordre 4 Cependant utilisation d’ordre supérieur n’est pas très intéressant …
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Chapitre III
Méthode de résolution des
ODE à pas multiples
![Page 45: 31196203 Methode Numeriques Equations Differentielles](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020117/55cf9a74550346d033a1d0df/html5/thumbnails/45.jpg)
CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 40 -
III Méthode à pas multiplesIntroduction
Un intégrateur “intelligent” possède une procédure de contrôle de la méthode deconvergence, c’est à dire un moyen d’estimer l’erreur commise par le calcul sur un pasd´intégration et la possibilité de choisir en conséquence un nouveau pas si le système différentielaborde une région ou la fonction prend des valeurs plus importantes. Le calcul de cette estimationentraîne un surcoût de calcul, qu’il convient de bien gérer afin de minimiser cet effortsupplémentaire.
L’idée la plus simple pour estimer cette erreur consiste à calculer la solution donnée par unalgorithme (de Runge-Kutta d’ordre 4 par exemple) pour deux pas d´intégration différents, h et2h. Soit y(x + 2h) la solution exacte à x + 2h et y(x + h) la solution exacte à x + h, on a
y(x + 2h) = y1 + (2h)5+ O(h6) y(x + 2h) = y2 + 2(h5) + O(h6)
Où est une fonction qui reste constante sur l’intervalle x, x + 2h à l’ordre h5.
La première équation correspond à une intégration avec un pas égal à 2h tandis que la seconde
correspond à deux intégrations successives avec un pas de h. La différence = y2 − y1 fournit
une estimation de l’erreur commise avec un pas d’intégration h.
III-1 Méthode Adams–Bashforth–Moulton Method
La méthode d'Adams-Bashforth-Moulton (ABM) se compose de deux étapes. La première étapeest de rapprocher f (t, y) par le polynôme (de Lagrange) de degré 4 assortissant les quatre points :
ftftftft nknkkk ,,,,,,, 112233
Méthodes basées sur des techniques d'intégration numérique, dont la formulation générale est :
),(1
1 jkjk
p
jjkk ytfhyy
et substituez le polynôme dans la forme intégrale d'équation pour obtenir une évaluation prévuede yk+1.
(III.1.1a))5559379(24
)(123
031 kkkkk
h
kkffff
hydttlyp
La deuxième étape est de répéter le même travail avec les quatre points mis à jour :
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 41 -
)),((f,,,,,,, 111k111122 kkkkkkkkkk ptfftftftft
pour obtenir une évaluation corrigée de yk+1.
(III.1.1b))919(24
)(113
0
3'
1 kknkk
h
kkffff
hydttlyc
Alternativement, nous écrivons à Taylor l'expansion de série de yk+1 au sujet de tk et de celui duyk au sujet de tk+1 avec
et remplacez les premiers, deuxièmes, et troisième dérivés par leurs approximations dedifférence.
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 42 -
De ces équations et dans la prétention cela K
(4)
k
(4)
1kff , nous pouvons écrire les erreurs de
facteur prédictif/correcteur avec :
(III.1.4b)Kh720
19fh
720
19
(III.1.4a)Kh720
251fh
720
251
5(4)
1k
5
111,
5(4)
k
5
111,
kkkC
kkkP
pyE
pyE
Nous ne pouvons pas encore employer ces formules pour estimer les erreurs de facteurprédictif/correcteur, puisque K est inconnu. Mais, de la différence entre ces deux formules
(III.1.5)E19
270-E
251
270Kh
720
2701kC,1kP,
5
111,1,
kkkCkPpcEE
Nous pouvons obtenir les formules pratiques pour estimer les erreurs avec
(III.1.6b))(270
19
(III.1.6a))(270
251
11111,
11111,
kkkkkC
kkkkkP
pccyE
pcpyE
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 43 -
Ces formules nous donnent de grandes évaluations de la façon dont valeurs prévues/corrigéesétroites sont à la valeur vraie et ainsi peuvent être employées pour les améliorer aussi bien quepour ajuster l'étape-taille.
(III.1.7b))(270
19c
(III.1.7a))(270
251
11111k
111
kkkk
kkkkk
ypcc
mpcpp
On s'attend à ce que ces formules de modification récompensent nos efforts que nous avons faitpour les dériver.
La méthode d'Adams-Bashforth-Moulton (ABM) avec les formules de modification peut êtredécrite par Eqs. (III.1.1a), (III.1.1b), et (III.1.7a), (III.1.7b) récapitulé ci-dessous et est moulé
dans ode_ABM courant de MATLAB le « () ».
On s'attend à ce qu'ainsi cet arrangement a besoin de seulement deux évaluations de fonction(appels) par itération, tout en ayant une erreur de troncation d'O (h5) et fonctionne mieux que lesméthodes discutées jusqu'ici.
Il est mis en application par la routine intégrée de MATLAB « ode113 () » avec beaucoup detechniques sophistiquées additionnelles.
(III.1.8d))(270
19y
(III.1.8c))),(9195(24
c:
(III.1.8b))(270
251pm:urModificate
(III.1.8a))5559379(24
p:Prédicteur
1111n
11121n
1n1n
1231n
nnn
nnnnnn
nn
nnnnn
pcc
mxffffh
yCorrecteur
pc
ffffh
y
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 44 -
Programme de ABM
III.2.Méthode de Hamming
Dans cette section, nous présentons juste l'algorithme de la méthode de Hamming [H-1]récapitulée dans la boîte ci-dessus et le « ode_Ham courant correspondant () », qui est une autreméthode multi pas de pré enregistreur/correcteur comme la méthode d'Adams-Bashforth Moulton(ABM).
Cet arrangement a besoin également de seulement deux évaluations de fonction (appels) paritération, tout en ayant l'erreur d'O (h5) et est ainsi comparable à la méthode d'ABM discutéedans la section précédente.
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 45 -
Méthode de Hamming avec des formules de modification
(III.1.9d))(121
9y
(III.1.9c))),(2(398
1c:
(III.1.9b))(121
112pm:urModificate
(III.1.9a))22(3
4p:Prédicteur
1111k
11121k
1k1k
1231k
kkk
kkkkkk
kk
kkkk
pcc
mxfffhyyCorrecteur
pc
fffh
y
Programme de Hamming :
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 46 -
III.3.Comparaison des méthodes (RK4 ; Hamming, ABM)
Les facteurs principaux à considérer dans l'évaluation/comparant différentes méthodesnumériques sont l'exactitude de la solution numérique et son temps de calcul.Dans cette section, nous comparerons les routines : “ode_RK4()”, “ode_ABM()”,“ode_Ham()”, “ode23()”, “ode45()”, and “ode113()” .
Il est important de noter que l'évaluation/comparaison des méthodes numériques n'est pas aussisimple parce que leurs exécutions peuvent dépendre de la caractéristique du problème actuel.Il devrait également noter qu'il y a autre facteurs à considérer, comme la stabilité, polyvalence,preuve contre l'erreur d'exécution, et ainsi de suite. Ces points sont considérés dans la plupart desroutines de fonction intégrée de MATLAB.
La première chose que nous allons faire est de valider l'efficacité des modificateurs (Eqs. (II.1.8b,d) et (III.1.9b, d)) dans l'ABM (Adams-Bashforth-Moulton) méthode et la méthode de Hamminget RK4.Pour ce travail, nous écrivons et lançons le programme « nm643_1.m »
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 47 -
Pour obtenir les résultats représentés dans fig. III.1 pour l'équation
(6.4.10)0y(0)avec1y(t)-(t)y' Solution exactetety 1)(
La Fig. III.1 nous montre un fait intéressant ce, bien que la méthode d'ABM et la méthode deHamming, même sans modificateur, sont théoriquement prévus avoir une meilleure exactitudeque la méthode RK4, ils s'avèrent fonctionner mieux que RK4 seulement avec modificateurs.On remarque que l’erreur relative est plus grande pour la méthode de RK4 par rapport aux autresméthodes.
Tableau III-1 : Résultats d'appliquer plusieurs routines pour résoudre une équation simple
ode_RK4 ode_ABM ode_Ham ode23 ode45 ode113err =1.0e-004 *
0.0061 0.0050 0.0049 0.1275 0.0062 0.0294
time = 0.3280 0.2030 0.1720 0.4840 0.1880 0.3280
Figure III.1 Solutions numériques et leurs erreurs pour l'équation y’(t) = -y(t)+1
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 48 -
Naturellement, ce n'est pas toujours le cas, comme illustré dans fig. III.2, ce que nous avonsobtenu en appliquant les mêmes routines pour résoudre une autre équation :
(6.4.11)0y(0)avec1y(t)(t)y'
Là où la véritable solution analytique est :
(6.4.12)1-y(t) te
Il est remarquable que, sans modificateurs, la méthode d'ABM semble être meilleure queMéthode de Hamming ;
Cependant, avec les modificateurs, c'est l'autre manière autour du mineurs ils courent un cou etune course de cou.
N'importe qui verra que les méthodes de pré enregistreur/correcteur telles que la méthode d'ABM(l'ode_ABM ()) et la méthode de Hamming (ode_Ham ()) nous donne une meilleure solutionnumérique avec moins d'erreur et de temps plus court de calcul que les routines intégrées deMATLAB « ode23 () », « ode45 () », et « ode113 () » aussi bien que la méthode RK4 (ode_RK4()), comme énuméré dans le tableau III.2.
Mais, une conclusion générale ne devrait pas être déduite juste d'un exemple.
Tableau III-2 : Résultats d'appliquer plusieurs routines pour résoudre une équation simple
ode_RK4 ode_ABM ode_Ham ode23 ode45 ode113err =1.0e-004 * 0.0925 0.0203 0.0179 0.4770 0.0422 0.1249
time = 0.05 0.03 0.03 0.07 0.05 0.05
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 49 -
Figure III.2 Solutions numériques et leurs erreurs pour l'équation y’(t) = y(t)+1
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 50 -
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 51 -
III.4 Méthode de Milne Simpson :
)4(3
y:
)22(3
4p:Prédicteur
11111k
1231k
kkk
kkkk
fffh
yCorrecteur
fffh
y
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 52 -
III.5. Méthodes de Gear
Les méthodes de Gear ne sont pas construites à partir de techniques d'intégrationnumérique mais directement à partir de polynôme d'interpolation passant par p points (xi+1; yi+1),(xi; yi),...,(xi-p+1; yi+1).
III.5.1 Méthode de Gear à 2 pas, implicite, d'ordre 2 :
),(3
2
3
1
3
4
pasunàméthodeuneaveccalculé
1111
1
0
nnnnn yxfh
yyy
y
donnéy
III.5.2 Méthode de Gear à 3 pas, implicite, d'ordre 3 :
),(11
2
11
2
11
9
11
18
pasunàméthodeuneaveccalculéy,
11211
21
0
nnnnnn yxfh
yyyy
y
donnéy
III.5.3 Méthode de Gear à 4 pas, implicite, d'ordre 4 :
),(25
12
25
3
25
16
25
36
25
48
pasunàméthodeuneaveccalculéy,y,
113211
321
0
nnnnnnn yxfh
yyyyy
y
donnéy
III.6 problème de la valeur marginale
Un problème de la valeur marginale (BVP) est une équation de Nième-ordre avec certaines desvaleurs de la variable dépendante X (t) et son dérivé spécifiques au temps initial t0 et d'autresspécifiques au temps final tf.
(t))x,...(t),x(t),x'x(t),(t,f(t)x:[BVP] 1)-(N(2)(N)N
Avec les valeurs limites
(6.6.1)x)(tx,...,x)x(t,x)x(t 1-NN,N1)-(N
212101
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 53 -
Dans certains cas, quelques relations entre les valeurs initiales et les valeurs finales peuvent êtredonnées comme état de frontière mélangé au lieu de valeurs initiales/finales spécifiques. Cettesection couvre la méthode de tir et la méthode de différence finie cela peut être employé pourrésoudre un BVP de second ordre :
(III.6.2)x)(tx)x(tavecx(t)(t,f(t)x:[BVP]ff00
"
2
III.6.1 Méthode de Tir
L'idée de cette méthode est d'assumer la valeur de x’ (t0), résolvez alors le différentield’équation (IVP) avec l'état initial [x (t0) x’ (t0)] et subsistance ajustant la valeur de x’ (t0) et derésoudre l'IVP répétitivement jusqu'à la valeur finale X (tf) de la solution assortit, le xf donné devaleur avec assez d'exactitude.
Il est semblable à l'ajustement de l'angle de mettre le feu à un canon de sorte que la coquillefrappe par la suite la cible et à cela est pourquoi cette méthode est appelée la méthode de tir.
Ceci peut être regardé comme problème non linéaire d'équation, si nous considérons x’ (t0) commevariable indépendante et la différence entre la valeur finale en résultant X (tf) et un xf désirécomme (non-adaptation) fonction de x’ (t0). Ainsi l'arrangement de solution peut être systématiséen employant la méthode sécante et est présenté dans la routine « bvp2_shoot de MATLAB () ».
Par exemple, considèrent un BVP comprenant l'équation de second ordre
(III.6.3)3
1x(1),
4
1x(0)avec(t)4tx(t)x'(t)2x)(tx" 2
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 54 -
Programme de la méthode du TIR
La solution x(t) et ses dérivés x’(t) sont comme suite :
(III.6.4)(t)2tx)t-(4
2t(t)et x'
t-4
1x(t) 2
22
Notez que cette équation du second ordre peut être écrite sous forme d'équation d'état est :
(III.6.5)3/1
4/1x
)0(
)0(xavec
)()(4)(2
)(x
)('
)(x' 0
2
1
21
2
1
2
2
1
fxxtxttxtx
t
tx
t
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 55 -
Afin d'appliquer la méthode de tir, nous avons placé la conjecture initiale de x2(0)=x’ (0) avec :
(III.6.6)x
(0)xx0[1]0
0f
2tt
xd
f
et résolvez l'équation d'état avec l'état initial [x1(0) x2(0)=dx0[1]].
Puis, selon le signe de la différence « e (1) » entre la valeur finale « x1 (1) » de la solution et duxf final de valeur de cible, nous rendons la prochaine conjecture « dx0 [2] » plus grande/pluspetite que la conjecture initiale dx0 [1] et résolvons l'équation d'état encore avec l'état initial [x1(0) dx0 [2]].
Nous pouvons commencer vers le haut la méthode sécante avec les deux valeurs initiales dx0 [1]et dx0 [2] et répétez l'itération jusqu'à la différence (l'erreur) « e(k) » devient suffisamment petit.
Pour ce travail, nous composons le programme de MATLAB “extir.m”, ce qui emploie la routine“bvp2_shoot ()” pour obtenir la solution numérique et la compare à la véritable solutionanalytique.
Programme de la fonction
La figure III.3 prouve que la solution numérique obtient plus près de la véritable solutionanalytique après chaque rond de l'ajustement. Avec une erreur estimée a err = 3.5166e-012
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 56 -
Figure III.3 La solution d'un BVP obtenu en employant la méthode de tir.
III.7 Méthode des différences finis (Finite Difference)
L'idée de cette méthode est de diviser l'intervalle entier [t0, tf] en segments de N de largeur h=(tf-t0)N, et rapprochez les premiers et deuxièmes dérivés dans l’équations pour chaque point degrille par les formules de différence centrale. Ceci mène à un système de tri diagonal deséquations en ce qui concerne (n-1) variables [xi= x(t0+ih) = 1…………..N-1].
Cependant, afin que ce système d’équations soit résolu facilement, il devrait être linéaire, enimpliquant que ses coefficients peuvent ne pas contenir aucune limite de x
Par exemple, on considère un BVP comprenant l'équation linéaire de second ordre
(AB))(,)x(tavec)()()()(')()("0001
xftxxtutxtatxtatxf
Selon la méthode de différence finie, nous divisons l'intervalle de solution [t0 tf] dans N, dans dessegments de N et convertir l'équation pour chaque point de grille ti = t0 + ih, dans une équation àdifférences
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 57 -
iiiiiii
iii
ii
i
iii
uhxhaxahxha
uxah
xxa
h
xxx
2
110
2
11
0
11
12
11
2)2()24()2(
2
2
Puis, tenant compte de l'état de frontière cela x0 = x(t0) et xN = x(tf), nous rassemblons le tout les(N-1) équations pour construire un système tri diagonal avec des équations
Ceci peut être résolu efficacement en employant « trid » courant de MATLAB le « () », qui estconsacré à un système de tri diagonal des équations linéaires.
Le procédé entier de la méthode de différence finie pour résoudre une équation linéaire de secondordre avec des états de frontière est moulé dans la routine « bvp2_fdf de MATLAB () ». Cetteroutine est conçue pour accepter les deux coefficients a1 et a0 et l'entrée u de côté droit del’équation AB, en tant que ses trois premiers entrés arguments, où n'importe lequel de ces troisarguments entrés peut être indiqué comme nom de fonction au cas où la limite correspondante neserait pas une valeur numérique, mais une fonction du temps t.
Nous faisons le programme « dofdf » pour employer cette routine pour résoudre le BVP desecond ordre.
(BB)3)2(,5)x(1avec0)(2
)('2
)("2
xtxt
txt
tx
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 58 -
Programme
Pour obtenir le résultat représenté dans fig. III.4 et, en plus, pour employer la commandesymbolique de calcul « dsolve () » et « subs () » d'obtenir la solution analytique
2
4)(
tttx
et substituez le vecteur de temps dans la solution analytique pour obtenir ses valeurs numériquespour le contrôle.
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CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 59 -
Figure III.4 solution d'un BVP obtenu en employant la méthode de différence finie.
![Page 65: 31196203 Methode Numeriques Equations Differentielles](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020117/55cf9a74550346d033a1d0df/html5/thumbnails/65.jpg)
CHAPITRE III Méthode de résolution des ODE à pas multiples
ENSET ORAN - 60 -
On note à propos de la méthode de tir et de la méthode de différence finie :
1- Tandis que la méthode de tir s'applique à BVP linéaire/non linéaire, la méthode dedifférence finie convient à BVP linéaire. Cependant, nous pouvons également appliquer laméthode de différence finie d'une façon itérative pour résoudre BVP non linéaire
2- Les deux méthodes peuvent être modifiées pour résoudre BVP avec des états defrontière mélangés
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Bibliographie
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