3.2. Axonometria –
Műszaki rajzok
párhuzamos vetítéssel
Párhuzamos vetítések, axonometriák
• Kevésbé valószerű – de közeli, kis tárgyaknál . . .
• Affin transzformáció
• A képsíkra merőlegesen, vagy ferde szög alatt
• 4 „független” pont és képe meghatározza
Emlékeztető
• Műszaki rajzoknál
- egyezményes ábrázolási módok:
- könnyen szerkeszthető
- a szakemberek által megszokott,
- könnyen értelmezik
- méretek és arányok jól „leolvashatók”
• A műszaki rajzolónak szerkesztési eljárások
- a számítógéphez számítási eljárások
Merőleges vetítés koordináta-síkokra
„Számítások”:
a harmadik koordináta elhagyása
A
F
HEJ B
Kiegészítő nézet ferde síkra
• A test jellemző síkjával párhuzamos síkra• Forgatással és nyírással
visszavezethető a merőleges vetítésre• A nézetek szabványos egyesítése
Axonometriák
• Frontális axonometria• Izometria• Dimetria• Trimetria (olv)
• Affin mátrix,
4-4 független ponttal
Affin transzformációk mátrixának előállítása
• A tér egy affin transzformációját
4 „független” pont és képe
• A „határozatlan együtthatók” módszere
• Pl. (gyakran): a TKR „ölében ülő” téglatest
O = (0,0,0)
A = (a,0,0), B = (0,b,0), C = (0,0,c)
Kavalier perspektíva, frontális axonometria
• Előírások:- vetítés: párhuzamos, ferde szögben- az UV képsík | | a TKR XY „homloksíkjával” - X’ = U, Z’ = V; 1 : 1- Y’: 45 fokban hátrafelé; 1 : 2
• P’ = MM · P;
• MM = ( 1 t 0 0); |0 t 1 0| |0 -1 0 0| (0 0 0 1)
t = 2/4
A határozatlan együtthatók módszerével:
1. O = [0, 0, 0, 1]; O’ = [0, 0, 0, 1]; a képsíkban
2. X tengely (TKR) képe || U tengely (KKR):
A = [1, 0, 0, 1]; A’ = [1, 0, 0, 1]
3. Z tengely (TKR) képe || V tengely (KKR)
C = [0, 0, 1, 1], C’ = [0, 1, 0, 1]
4. Y tengely képe 450 -ban hátrafelé:
B = [0, 1, 0, 1]; B’ = [bu, bv, bw, 1];
bu = cos() / 2, bv = sin() / 2,
bw = +1 (vagy más !!!)
mik kiszámítása:
mik = ? : M (A B C O ) := (A’ B’ C’ O’)
= (m11 m12 m13 m14) ( 1 0 0 0 ) := ( 1 bu 0 0 ),
(m21 m22 m23 m24) | 0 1 0 0 | | 0 bv 1 0 |
(m31 m32 m33 m34) | 0 0 1 0 | | 0 1 0 0 |
( 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 )
mik kiszámítása:
mik = ? : M (A B C O ) := (A’ B’ C’ O’)
( m11+m14 m12+m14 m13+m14 m14 ) := ( 1 bu 0 0 ),
| m21+m24 m22+m24 m23+m24 m24 | | 0 bv 1 0 |
( m31+m34 m32+m34 m33+m34 m34 ) | 0 1 0 0 |
( 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 )
M = ( 1 bu 0 0 ), bu = cos () / 2,
| 0 bv 1 0 | bv = sin () / 2,
| 0 1 0 0 | ( 0 0 0 1 ) = 450, esetleg 300.
Axonometria – tengelyméretes ábrázolás
• Párhuzamos, merőleges vetítés egy ferde állású képsíkra
• „tengelyméretes ábrázolás”:
előírás a tengelyirányú rövidülésekre
• (Egy d szakasz rövidülése: k = d’ / d = cos )
• A három tengelyirányú rövidülésre: k2 + l2 + m2 = 2
• Megőrzi a párhuzamosságot
és egy-egy irányban a szakaszok arányát
• Affin transzformációval számolható
Axonometria - a rajz szokásos elrendezése:
Y’X’
Z’
U
V
Izometria, egyméretű axonometria
• k = l = m = 2/3 = 0.82…; ( ~1 !)
• A tengelyirányú távolságok
jól érzékelhetőek
• A TKR egységkockáját
a csúcsára állítva
a képsíkra merőlegesen
• A tengelyek vetülete
egymástól 1200-ra
Izometria, egyméretű axonometria
• MM = ( m11 m12 m13 m14 )=
| m21 m22 m23 m24 |
| m31 m32 m33 m34 )
( 0 0 0 1 )
=( -t t 0 0 ) | -f/2 -f/2 f 0 | ( -h –h -h h ) ( 0 0 0 1 )
h = 3/3, f = 2/3, és t = 1/2
Levezetés: 4 független pont és képe:
{O A B C} {O’ A’ B’ C’}
0 1 0 0 0 –f f 0 0 0 1 0 0 –g –g h 0 0 0 1 m 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
a = OA = 1, AB = 2 f = AB/2 = 2/2,g = AB (3/2)/3,h = 2g;m = akármi, de 0
Dimetria
• k = l/2 = 0.47…, l = m = 0.94..; • Rajzolási szabály (jó közelítés):
X” balra lefelé 7/8 irányban Y” jobbra lefelé 1/8 irányban Z” fölfelé
az X méretek: 1:2 az Y és Z méretek: 1:1
• P’ = MM · P;
MM = ( -2/4 21/8 0 0 )
|-14/12 –2/12 8/3 0 | ( -7/3 –1/3 –1/3 1/3) ( 0 0 0 1 )
Trimetria (olv.)
• k, l, m: három különböző, rögzíthető érték
• P’ = M · P ; 3D 3D mozgás:
- O’ a T (a KKR origója) fölött,
- Z” = V tengely
- X’, Y’, Z’
a képsíkot P, Q, R-ben döfi
cos = k, cos = l, cos = m
szög alatt.
•M a határozatlan együtthatók
módszerével