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3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen
• 3.3.1 Halbschriftliche Addition und Subtraktion
• 3.3.2 Halbschriftliche Multiplikation und Division
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Rahmenplan
• Rahmenplan Hessen S. 154:• Das halbschriftliche Rechnen wird auch bei den
multiplikativen Operationen zur Entlastung des Gedächtnisses und zur übersichtlichen Darstellung von Rechenschritten eingesetzt. Dabei ist eine rigorose Formalisierung zu vermeiden;Zwischenschritte notiert jedes Kind nur so lange, wie es dies selbst für notwendig hält.
• Problem für die Unterrichtspraxis:• Der Rahmenplan macht keine klaren Aussagen zu
Aufgabentypen bzw. zur Größe der Zahlen.
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Aufgabentypen
• Multiplikation und Division mit Zehnerzahlen• Multiplikation einer einstelligen Zahl mit gemischten
Zehnerzahlen• Multiplikation einer einstelligen Zahl mit gemischten
Hunderterzahlen
• Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen (beide Faktoren ≤ 20)
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Lösungsstrategien
• Multiplikation:• Analogieaufgaben• Schrittweises Rechnen• Vereinfachen• Hilfsaufgabe• Malkreuz
• Division:• Analogieaufgaben • Schrittweises Rechnen• Hilfsaufgabe
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Lösungsstrategien
• Analogieaufgaben• (beonders beim Rechnen mit Zehnern und Hundertern)
• Beispiele:
20 · 72 · 7 = 14
20 · 7 = 140
1800 : 318 : 3 = 6
1800 : 3 = 600
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Lösungsstrategien
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Lösungsstrategien zur Multiplikation
• Schrittweises Rechnen
• 9 · 28 • 9 · 20 = 180• 9 · 8 = 72• 9 · 28 = 252
• 8 · 237• 8 · 200 = 1600• 8 · 30 = 240• 8 · 7 = 56• 8 · 237 = 1896
• Kurzform: 1600 + 240 + 56 = 1896
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Lösungsstrategien
• Schrittweises Rechnen
• 13 · 14• 13 · 10 = 130• 13 · 4 = 52• 13 · 14 = 182
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Lösungsstrategien zur Multiplikation
• Hilfsaufgabe
• 17 · 19 = 340 – 17 = 323• 17 · 20 = 340
• 38 · 99 = 3800 – 38 = 3762• 38 · 100 = 3800
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Lösungsstrategien zur Multiplikation
• Vereinfachen
• 16 · 50 = 800• 8 · 100 = 800
• 28 · 25 = 700• 14 · 50• 7 · 100
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Lösungsstrategien zur Multiplikation
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Lösungsstrategien zur Multiplikation• Malkreuz• Beispiel: 13 · 16
· 10 3
10 100 30 130
6 60 18 78
160 48 208
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Lösungsstrategien zur Multiplikation• Arbeitsmittel: Vierhunderterfeld
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Lösungsstrategien zur Multiplikation
• Multiplizieren am Vierhunderterfeld - Malkreuz
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Lösungsstrategien zur Division
• Schrittweises Rechnen
• 693 : 3• 600 : 3 = 200• 90 : 3 = 30• 3 : 3 = 1• 693 : 3 = 231
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Lösungsstrategien zur Division
• Schrittweises Rechnen• 237 : 3
• Problem: Wie kann man zerlegen?
237 : 3 =210 : 3 = 7027 : 3 = 9
237 : 3 = 79
237 : 3 =180 : 3 = 6030 : 3 = 1027 : 3 = 9
237 : 3 = 79
237 : 3 =240 : 3 = 80
3 : 3 = 1237 : 3 = 79
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Häufige Schülerfehler beim Multiplizieren und Dividieren
• 8 · 60 = 488• Multiplikation der Null als 8 · 0 = 8
• 40 · 20 = 80• Vernachlässigen einer Null
• 6 · 60 = 660• Perseverationsfehler (Nachwirken von Zahlen)
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Häufige Schülerfehler beim Dividieren
• 800 : 20 = 400 oder 800 : 20 = 4• Fehlerhaftes Nullenstreichen
• 400 : 80 = 20• Vertauschen der ersten Ziffern bei Dividend und Divisor
• 400 : 80 = 51• Fehlerhafte Division durch Null • (gerechnet: 40 : 8 = 5, 0 : 0 =1)
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Rechnen mit Kommazahlen
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Division mit Rest
• In Deutschland gab (gibt) es eine Diskussion um die Schreibweise der Division mit Rest.
• Möglichkeiten:
• Restschreibweise• 13 : 5 = 2 Rest 3
• Zerlegungsschreibweise• 13 : 5; 13 = 5 · 2 +3
• Divisionsschreibweise• 13 : 5 = 2 + (3 : 5)
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Division mit Rest
• Argumente gegen die Restschreibweise:• (1) Gleichheitszeichen wird nicht korrekt im Sinne der
mathematischen Identität gebraucht.
• (2) Die Restschreibweise verstößt gegen die Transitivität der Gleichheitsrelation.
• 14 : 4 = 3 Rest 2 und 11 : 3 = 3 Rest 2• Aber es gilt nicht: 14 : 4 = 11 : 3
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Verknüpfung von Rechenoperationen
• Gewinnung der Regel „Punktrechnung geht vor Strichrechnung“
• Beispiel: 2 + 3 · 5
• Methodischer Weg:• Ausprobieren und Überprüfen am Sachverhalt• 2 + 3 · 5 = 25 ?oder• 2 + 3 · 5 = 17 ?• Möglicher Sachverhalt:• Zwei einzelne Joghurtbecher und 3 x 5 Joghurtbecher in einer
Palette werden “zusammengezählt”
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Übungsformen
• Automatisierendes Üben• Ziel: Fertigkeiten• Merkmal: schnelles und sicheres Beherrschen von
Handlungen (teilweise automatisiert)• Einprägendes Üben• Ziel: Kenntnisse• Merkmal: abrufbares Wissen• Operatives Üben• Ziel: Fähigkeiten• Merkmal: flexibles Anwenden beim Problemlösen
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Beispiele für Operative Übungen•Nachbaraufgaben (Handbuch produktiver Rechenübungen, Bd. 2, S. 71)
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Beispiele für Operative Übungen
Ist das immer so?
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Beispiele für Operative Übungen
• Zifferntausch• Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 sollen je zwei zweistellige Zahlen
gebildet und multipliziert werden.• 1. Frage:• Wie viele verschiedene Aufgaben gibt es?
• 2. Frage:• Versucht die Aufgaben nach der Größe ihrer Ergebnisse zu
ordnen! Ihr braucht nicht unbedingt auszurechnen, wenn ihr es anders entscheiden könnt.
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Beispiele für Operative Übungen
• Zifferntausch
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Beispiele für Operative Übungen
• „Immer 22“
• Wähle aus den Ziffernkärtchen mit den Zahlen 0 bis 9 drei beliebige aus.
• Es lassen sich damit sechs verschiedene zweistellige Zahlen bilden.
• Addiere die sechs Zahlen. Dividiere anschließend durch die Summe der drei ausgewählten Zahlen.
• Das Ergebnis der Divisionsaufgabe ist immer 22.• Warum?
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Beispiele für Operative Übungen
• „Immer 22“• Beispiel: 3, 4, 6
Zehner Einer
346643
464336
2 · 13 2 · 13
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Beispiele für Operative Übungen
• Rechenketten
• Beispiel:• Merke dir eine Zahl• Multipliziere die Zahl mit 6!• Addiere zum Ergebnis 3!• Dividiere das neue Ergebnis durch 3!• Subtrahiere vom neuen Ergebnis 1!• Vergleiche Endergebnis und Startzahl!• Das Endergebnis ist doppelt so groß wie die Startzahl.
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Alternative Multiplikationsverfahren
• Verdopplungs- /Halbierungsverfahren („Russisches Bauernmultiplizieren)
• Verdopplungsverfahren
• Die Neperschen Streifen / Gittermethode
• Diese Verfahren sind vor allem als Alternativen zum schriftlichen Normalverfahren zu verstehen.
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Alternative Multiplikationsverfahren
• Verdopplungs- /Halbierungsverfahren• „Russisches Bauernrechnen“• Grundidee: Ein Faktor wird verdoppelt, der andere halbiert.
• Beispiel: 346 · 36• 346 · 36
• = 692 · 18• = 1384 · 9• > 2768 · 4 • = 5536 · 2• = 11072 · 1
11072+ 138412456
Also: 346 · 36 = 12456
+1384
346 · 36692 · 18
1384 · 92768 · 4 5536 · 2
11072 · 1
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Alternative Multiplikationsverfahren• Verdopplungsverfahren• Es muss nur das Verdoppeln und das Multiplizieren mit
Zehnerpotenzen beherrscht werden.• Beispiel:• 4379 · 86• · 8 35032• · 4 17516• · 2 8758• · 1 4379 · 86• 4379 · 80 = 350320• 4379 · 4 = 17516• 4379 · 2 = 8758• 4379 · 86 = 376594
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Alternative Multiplikationsverfahren
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