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3.7 曲 率弧微分
曲率及其计算公式
曲率圆与曲率半径
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在实际生活中 ,如公路、铁路的弯道设计时 ,对
于弯曲程度有一定的要求 .因为在一定的速度下 ,
弯曲程度越大 ,转弯时所产生的离心力就越大 ,容易出现翻车 ,脱轨事故 .
此类问题反映在数学上 ,归结为对于曲线的
弯曲程度的讨论和研究 .
一、弧微分
A
0x
M
x
.
),()(
内具有连续导数在区间设函数 baxf
x
y
o
),,(: 00 yxA基点
,),( 为任意一点yxM
规定:
;)1( 增大的方向一致曲线的正向与x
.,,,
)2(
取负号相反时取正号向一致时
的方向与曲线正当
ss
AMsAM
).(xss 单调增函数
),,( yyxxN 设 如图,
NTMTMNMN
,0时当 x
22 )()( yxMN xxy
2)(1 ,1 2 dxy
sMN
,ds
22 )()( dydxMT ,1 2 dxy
dyyNT ,0 .1 2 dxyds 故
,)( 为单调增函数xss .1 2dxyds 故
弧微分公式
N
M TRA
0x x xx x
y
o
二、曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量。
1M
3M
) 2
2M 2S
1SM
M 1S
2SN
N )
弧段弯曲程度
越大转角越大
转角相同弧段越
短弯曲程度越大
1.曲率的定义
1)
)
S
S).
M .
M
C
0M
y
xo
.s
KMM
的平均曲率为弧段
(
设曲线 C是光滑的,
.0是基点M ,sMM
(
. 切线转角为MM
定义
sK
s
0
lim曲线 C在点M处的曲率
,lim0
存在的条件下在dsd
ss
.
dsd
K
2.曲率的计算公式
,)( 二阶可导设 xfy ,tan y
,1 2 dx
yy
d
ds
dk
,arctan y有
.1 2dxyds .
)1( 2
32y
y
(1) 直线的曲率处处为零 ;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数 ,且半径越小曲率越大 .
b ax y a y'
0'' y
2
32 )1( y
yk
0
2 2 2R y x 0 2 2
' yy x
y
xy
'2
'''
y
xy yy
2
32 )1( y
yk
R
1
,),(
),(二阶可导设
ty
tx
.
)]()([
)()()()(
2
322 tt
ttttk
,)()(
tt
dxdy
.)(
)()()()(32
2
ttttt
dxyd
例 1 ?2 上哪一点的曲率最大抛物线 cbxaxy
解 ,2 baxy ,2ay
.
])2(1[
2
2
32bax
ak
显然 ,
,2时当
ab
x .最大k
,)4
4,
2(
2
为抛物线的顶点又a
acbab
.最大抛物线在顶点处的曲率
点击图片任意处播放 \暂停
).
(1
),(
,
的半径
为圆弧轨道到
率连续地由零过渡使曲如图缓冲段
弯道之间接入一段稳,往往在直道和
驶平容易发生事故,为了行的曲率突然改变道时,若接头处铁轨由直道转入圆弧弯
RR
例 2
.1
)1(
,
],0[6
10
3
RA
Rl
Rl
OOA
OAlOA
xxxRl
y
的曲率近似为
时,在终端
很小并且当为零
的曲率在始端的长度,验证缓冲段为,其中缓冲段
.作为,通常用三次抛物线
x
y
o
R
),( 00 yxA
)0,( 0xC
l
x
y
o
R
),( 00 yxA
)0,( 0xC
证 如图
的负半轴表示直道,x
., 是圆弧轨道是缓冲段 ABOA
( (
在缓冲段上 ,
,2
1 2xRl
y .1
xRl
y
,0,0,0 yyx 处在 .00 k故缓冲始点的曲率
实际要求 ,0xl
l
B
,6
1 3xRl
y
202
10
xRl
y xx 有 2
21
lRl
,2Rl
0
10
xRl
y xx lRl1
,1R
的曲率为故在终端A
0
2
32 )1(
xxA
y
yk
2
3
2
2
)4
1(
1
Rl
R
,1Rl
.1R
kA 得,4 2
2
Rl略去二次项
x
y
o
R
),( 00 yxA
)0,( 0xC
l
三、曲率圆与曲率半径
定义
D)(xfy
M
k1
).0(),(
)(
kkyxM
xfy
处的曲率为在点设曲线
,曲率中心D .曲率半径
x
y
o
.1
,
,
k
DMD
M
使在凹的一侧取一点
处的曲线的法线上在点
.),(
,
处的曲率圆称此圆为曲线在点如图作圆为半径为圆心以
M
D
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数 .
.1
,1
k
k即
注意 :
2.曲线上一点处的曲率半径越大 ,曲线在该点处的曲率越小 (曲线越平坦 );曲率半径越小 ,曲率越大 (曲线越弯曲 ).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧 (称为曲线在该点附近的二次近似 ).
例 3
x
y
o
Q
P
.
,
.70
,/400
,)(4000
2
压力飞行员对座椅的到原点时
求俯冲千克飞行员体重秒米处速度为点
在原俯冲飞行单位为米
飞机沿抛物线
vO
xy
解 如图 ,受力分析 ,PQF
视飞行员在点 o作匀速圆周运动 , .2
mv
F
O点处抛物线轨道的曲率半径
00 2000 xx
xy ,0 .
20001
0 xy
得曲率为 .2000
10xxk 曲率半径为 .2000米
200040070 2
F ),(4.571)(5600 千克牛
),(4.571)(70 千克力千克力 Q
).(5.641 千克力
即 :飞行员对座椅的压力为 641.5千克力 .
四、小结
运用微分学的理论 ,研究曲线和曲面的——性质的数学分支 微分几何学 .
基本概念 : 弧微分 ,曲率 ,曲率圆 .
——曲线弯曲程度的描述 曲率 ;
曲线弧的近似代替曲率圆 (弧 ).
思考题
椭圆 上哪些点处曲率最大?
,cos2 tx ty sin3
思考题解答
23
2 ])(1[
||
y
yk
23
22 )cos9sin4(
6
tt
23
2 )cos54(
6
t
要使 最大,k 23
2 )cos54( t 必有 最小,
23
,2
t 此时 最
大,k
下课了!
下课了!
下课了!下课了!
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