3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1
Mohamad Sidiq
PERTEMUAN : 9-10
INTEGRASI NUMERIK
METODE NUMERIK• TEKNIK INFORMATIKA – S1
• 3 SKS
Mohamad Sidiq
MATERI PERKULIAHANSEBELUM-UTS SETELAH-UTS
Pengantar Metode Numerik Sistem Bilangan dan Kesalahan
Penyajian Bilangan Bulat & Pecahan Nilai Signifikan Akurasi dan Presisi Pendekatan dan Kesalahan
Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi
Penyelesaian Persamaan Non Linier (Lanjutan) Metode Iterasi Sederhana Metode Newton Raphson Metode Secant
Penyelesaian Persamaan Simultan Metode Eliminasi Gauss Metode Gauss Jordan
Penyelesaian Persamaan Simultan (Lanjutan) Metode Gauss Seidel Studi Kasus
Diferensi Numerik Selisih Maju Selisih Mundur Selisih Tengah Diferensi Tingkat Tinggi
Integrasi Numerik Metode Reimann Metode Trapezoida Metode Simpson
Integrasi Numerik (Lanjutan) Metode Gauss Studi Kasus
Interpolasi Metode Linier Metode Kuadrat
Interpolasi (Lanjutan) Metode Polinomial Metode Lagrange
Regresi Linier Eksponensial Polinomial
Tugas Akhir Semester
INTEGRASI NUMERIK
Pengintegralan numerik merupakan alat atau carauntuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikansecara analitik.
Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.
Digunakan untuk menghitung luas daerah danvolume benda putar
INTEGRASI NUMERIK
Fungsi yang dapat dihitung integralnya :
Fungsi yang rumit misal : dxex
x x5.0
2
0
23
sin5.01
)1cos(2
Cxxxdxx
Cxdxx
Cbaa
dxbax
Cbaa
dxbax
Ca
edxe
Cn
axdxax
axax
nn
||ln||ln
||ln1
)sin(1)cos(
)cos(1)sin(
1
1
DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK
)(...)()(
)()(
1100
0
nn
i
n
i
i
b
a
xfcxfcxfc
xfcdxxf
x0 x1 xnxn-1x
f(x)
DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK
x0 x1 xnxn-1x
f(x)
Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, dan menjumlahkan bagian-bagian kecil tersebut.
Formula Newton-Cotes
dxxfdxxfIb
an
b
a )()(
Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
n
n
1n
1n10n xaxaxaaxf
)(
DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK
fn (x) bisa fungsi linear, bisa fungsi kuadrat
DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK
fn (x) bisa fungsi kubik atau polinomial
DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK
Polinomial dapat didasarkan data
DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK
INTEGRASI NUMERIK
Luas daerah yang diarsir L dapat dihitungdengan:
L = b
a
dxxf
METODE INTEGRAL REIMANN
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
METODE INTEGRAL REIMANN
Luasan yang dibatasi y = f(x) dansumbu x.
Luasan dibagi menjadi N bagian padarange x = [a,b].
Kemudian dihitung Li : luas setiappersegi panjang di mana Li=f(xi).xi
METODE INTEGRAL REIMANN
Luas keseluruhan adalah jumlah Li dandituliskan:
Di mana:
Didapat :
i
n
ii
n
n
xxf
xxfxxfxxfxxf
LLLLL
0
3221100
210
...
..
n
ii
b
a
xfhdxxf0
hxxxx n ...210
CONTOH
Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x**2
CONTOH
Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel:
Secara kalkulus :
Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333= 0,052
385,085,31.0
00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0
)(.10
0
i
ixfhL
.....3333,0|3
1 10
31
0
2 xdxxL
ALGORITMA METODE INTEGRAL REIMANN
Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi
Tentukan jumlah pembagi area N
Hitung h=(b-a)/N
Hitung
N
iixfhL
0
)(.
METODE INTEGRASI TRAPEZOIDA
Aproksimasi garis lurus (linier)
)()(
)()()()(
10
1100i
1
0i
i
b
a
xfxf2
h
xfcxfcxfcdxxf
x0 x1x
f(x)
L(x)
ATURAN KOMPOSISI TRAPESIUM
)()()()()(
)()()()()()(
)()()()(
n1ni10
n1n2110
x
x
x
x
x
x
b
a
xfxf2x2fxf2xf2
h
xfxf2
hxfxf
2
hxfxf
2
h
dxxfdxxfdxxfdxxfn
1n
2
1
1
0
x0 x1x
f(x)
x2h h x3h h x4
n
abh
METODE INTEGRASI TRAPEZOIDA
iiii
iiii
xffL
atau
xxfxfL
.2
1
.2
1
1
1
1
0
iiLL
nn
n
iii fffff
hffhL
1210
1
01 2...22
22
1
n
n
ii fff
hL
1
10 2
2
ALGORITMA METODE INTEGRASI TRAPEZOIDA
Definisikan y=f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)
Tentukan jumlah pembagi n
Hitung h=(b-a)/n
Hitung
n
n
ii fff
hL
1
10 2
2
ATURAN SIMPSON 1/3
Aproksimasi dengan fungsi parabola
)()()(
)()()()()(
210
221100i
2
0i
i
b
a
xfxf4xf3
h
xfcxfcxfcxfcdxxf
x0 x1x
f(x)
x2h h
L(x)
1 xx
0 xx
1 xx
h
dxd
h
xx
2
abh
2
ba x bx ax let
xfxxxx
xxxx
xfxxxx
xxxx xf
xxxx
xxxxxL
2
1
0
1
120
2
1202
10
1
2101
200
2010
21
,,
,,
)())((
))((
)())((
))(()(
))((
))(()(
)()(
)()()()(
)( 21
2
0 xf2
1xf1xf
2
1L
ATURAN SIMPSON 1/3
)()(
)()()()(
)( 21
2
0 xf2
1xf1xf
2
1L
1
1
23
2
1
1
3
1
1
1
23
0
1
12
1
0
2
1
1
10
1
1
)23
(2
)(
)3
()()23
(2
)(
)1(2
)()1)(
)1(2
)()()(
ξξhxf
ξξhxf
ξξhxf
dξξξh
xfdξξ(hxf
dξξξh
xfdξLhdxxfb
a
)()()()( 210
b
axfxf4xf
3
hdxxf
ATURAN SIMPSON 1/3
ATURAN KOMPOSISI SIMPSON
x0 x2x
f(x)
x4h h xn-2h xn
n
abh
…...
hx3x1 xn-1
METODE INTEGRASI SIMPSON
Dengan menggunakan aturan simpson, luas daridaerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:
atau dapat dituliskan dengan:
nnnn ffh
ffh
ffh
ffh
ffh
ffh
L 11243322110 23
23
...23
23
23
23
n
genapii
ganjilii ffff
hL
0 24
3
N = 0 – n
L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln
CARA II
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tersebut
0
2
2000
2
2002!2
)()(
!2
)()()( f
h
hxxf
h
xfxf
h
hxxxf
h
xxfxp
CARA II
Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]
0
2
00
0
2
00
0
22
2
3
0
2
0
2
00
2
2
2
2
3
0
2
0
2
0
0
2
200
2
0
2
2
0
322
3
422
4
4
6
8
2
42
|462
!2
)(
)(
fh
fhxhfL
fhh
fhxhfL
fh
h
h
hf
h
hxhfL
fh
x
h
xf
h
xxfL
dxfh
hxxf
h
xfL
xdxpdxxfL
hx
x
h
hh
Cara II
Mengingat
Maka selanjutnya
010 fff
)4(3
33
4
3
33
2
3222
)2(3
)(22
210
210
012010
012010
fffh
L
fh
fh
fh
L
fh
fh
fh
hfhfxhfL
fffh
ffhxhfL
0120112010
2 2)()( ffffffffff
ATURAN SIMPSON 3/8
Aproksimasi dengan fungsi kubik
)()()()(
)()()()()()(
3210
33221100i
3
0i
i
b
a
xfxf3xf3xf8
h3
xfcxfcxfcxfcxfcdxxf
x0 x1x
f(x)
x2h h
L(x)
x3h
)())()((
))()(()(
))()((
))()((
)())()((
))()(()(
))()((
))()(()(
3
231303
2102
321202
310
1
312101
3200
302010
321
xfxxxxxx
xxxxxxxf
xxxxxx
xxxxxx
xfxxxxxx
xxxxxxxf
xxxxxx
xxxxxxxL
)()()()( 3210
b
a
b
a
xfxf3xf3xf8
h3
3
abh ;L(x)dxf(x)dx
Error Pemenggalan
3
abh ;f
6480
abfh
80
3E 4
545
t
)(
)()( )()(
ATURAN SIMPSON 3/8
METODE INTEGRASI GAUSS
Metode Newton Cotes (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik-titik data
diskrit. Dengan batasan :
H sama
Luas dihitung dari a sampai b
Mengakibatkan error yang dihasilkancukup besar.
METODE INTEGRASI GAUSS
Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]
Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)
Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida
Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya min
2
)1()1()1()1(2
)(
1
1
h
ffffh
dxxfI
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI
METODE INTEGRASI GAUSS
Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]
f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI
0
32
0
21
1
1
33
22
3
11
1
1
22
22
2
11
1
1
2211
1
1
21
dxxxcxc
dxxxcxc
dxxxcxc
dxcc
Didapat
3
1
3
1
1
21
21
xx
cc
METODE INTEGRASI GAUSS
Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik
)3
1()
3
1()(
1
1
ffdxxf
TRANSFORMASI
Range [a,b] [-1,1]
X u f(x) g(u) dx du
b
a
i dxxfL )(
1
1
)( duugLi
TRANSFORMASI
duab
dx
uabbax
aububax
aabux
abuax
u
ab
ax
2
2
)()(
2
2))(1(2
))(1(22
2
1
a bx
-1 1u
TRANSFORMASI
duuabba
fabduug
1
1
1
12
)()()(
2
1)(
1
1
)( duugLi
)()()(2
1)(
21
21 abuabfabug
ANALISIS METODE
Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.
Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.
Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi
1
1
)( duug
ALGORITMA INTEGRASI KUADRATUR GAUSS DENGAN PENDEKATAN 2 TITIK
Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)
Hitung nilai konversi variabel :
Tentukan fungsi g(u) dengan:
Hitung
)(2
1
2
1abuabx
)()()(2
1)(
21
21 abuabfabug
3
1
3
1ggL
CONTOH SOAL
METODE GAUSS LEGENDRE 3 TITIK
Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari denganmembuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilaitepat untuk 6 buah fungsi berikut :
Dengan cara yang sama didapat
)()()()( 332211
1
1
xfcxfcxfcdxxfI
543
2
)(;)(;)(
)(;)(;1)(
xxfxxfxxf
xxfxxfxf
53;0;53
9
5;
9
8;
9
5
321
321
xxx
ccc
METODE GAUSS LEGENDRE 3 TITIK
5
3
9
50
9
8
5
3
9
5)(
1
1
gggduug
ALGORITMA METODE INTEGRASI GAUSS DENGAN PENDEKATAN 3 TITIK
METODE GAUSS N-TITIK
BEBERAPA PENERAPAN INTEGRASI NUMERIK
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
MENGHITUNG LUAS DAERAH BERDASARKAN GAMBAR
Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandaiatau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnyaadalah 100.000 mm atau 100 m.
Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam halini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Skala 1:100000
0 105
6
3
15
9
MENGHITUNG LUAS DAERAH BERDASARKAN GAMBAR
Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:
Dengan menggunakan metode integrasi Reimann
Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida
Dengan menggunakan metode integrasi Simpson
5.7322
15
1160
iiyyy
hL
5.7316
0
i
iyhL
74243
160
genapi
i
ganjili
i yyyyh
L
MENGHITUNG LUAS DAN VOLUME BENDA PUTAR
Luas benda putar:
Volume benda putar:
b
a
p dxxfL )(2
b
a
p dxxfV2
)(
CONTOH
Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian
bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perludihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,
bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
Bagian I: Bagian II:
4 cm
6cm
7 cm
12 cm
7 cm
5 cm
I II III IV
satuan dalam cm
56)7)(4(2 IL
196)7)(4( 2 IV
288)12(122 IIL
3456121222IIV
CONTOH
Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagianarea , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
Pada bagian II dan IV: dan
Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:
10822
2)(4
150
iiIVII yyy
hLL
5.118722
4
1
225
20
iiIVII yyy
hVV
IVII LL IVII VV
CONTOH
Luas permukaan dari botol adalah:
Luas = 1758.4 cm2
Volume botol adalah:
Volume = 18924.78 cm3
4.1758
560
10828810856
IVIIIIII LLLLL
6024
5.118734565.1187196
IVIIIIII VVVVV