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Profesor: José Fabricio Cuenca G. [email protected]
MANTENIMIENTO Y
SEGURIDAD INDUSTRIAL
Estadística Básica
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DISTRIBUCIÓN NORMAL
Sin duda, la distribución continua de probabilidad más importante, porla frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas,es la distribución normal, gaussiana o de Laplace-Gauss.
Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss(1809), en relación con la teoría de los errores de observaciónastronómica y física .
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Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una
especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).
Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos, puntuaciones de examen,...
Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco.
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
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Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la desviación típica, σ.
Su función de densidad es:
La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por sus
parámetros μ y σ.
istribución normal o gaussiana
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Características de la distribución NormalTiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas (para x = ±∞ )
Simétrica con respecto a la media (μ) donde coinciden la mediana (Mn) y la moda (Mo).
Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores μ ± σ.
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Distribución normal con μ=0 para varios valores σ
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Curvas normales con distintas medias y desviaciones estándar.
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N(μ, σ): Interpretación geométrica
Podemos interpretar
la media como un
factor de traslación.
Y la desviacióntípica como un
factor de escala,
grado de
dispersión,…
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N(μ, σ): Interpretación probabilista
Entre la media y una desviación típicatenemos siempre la mismaprobabilidad: aproximadamente el
68%.
Entre la media y dos
desviaciones típicas aprox. 95%
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Podemos obtener la función de distribución F(x)
integrando la función de densidad deprobabilidad:
De modo que la probabilidad de una variable
aleatoria normal X en un intervalo a ≤ x ≤ b es:
En particular:
¡No podemos calcular analíticamente el valor de la integral!
Se tabulan sus valores numéricos...
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¿Cómo calcular probabilidades asociadas a una curva normal
específica?
Dado que tanto μ como σ pueden asumir infinitos valores, es impracticable
tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales.
Para solucionarlo, se utiliza la distribución normal reducida o tipificada.
Se define una variable:
Es una traslación, y un cambio de escala de la variable original.
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La nueva variable Z se distribuye como una NORMAL con media μ = 0 y
desviación típica σ = 1
Recordemos de nuevo que en cualquier distribución normal las probabilidades
delimitadas entre:
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Tipificación
Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denominavalor tipificado z, de una observación x, a la distancia (con signo) con
respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir:
En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: asigna atodo valor de N(μ, σ) un valor de N(0,1) que deja exactamente la
misma probabilidad por debajo.
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Tipificación
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Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes y se asignará al
que tenga mejor expediente académico:
• El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema donde la calificación de los alumnosse comporta como N(6,1).
• El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la calificación de los alumnos
se comporta como N(70,10).
No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los
80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo
normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una
distribución de referencia N(0,1).
Como zA > zB, podemos decir que el porcentaje de compañerosdel mismo sistema de estudios que ha superado en calificación al
estudiante A es mayor que el que ha superado B. En principio A
es mejor candidato para la beca.
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Tablas Tipificadas
Hay varios tipos de tablas de la distribución normal. La que se utiliza
mayormente representan las áreas para los diferentes valores de zdesde 0 hasta +∞.
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Tablas Normal Tipificada
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