Download - 4 Ideal
4. IdealPada Bab 3 telah dibahas mengenai ring beserta sifat-sifatnya. Pada bab ini akan dibahas suatu struktur bagian dari ring yang disebut dengan ideal. Ideal merupakan subring dari R yang memiliki sifat-sifat khusus. Sifat-sifat ideal akan digunakan pada bab-bab selanjutnya.
Definisi 4.1 (Ideal) Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I R . Himpunan I disebut ideal pada R jika dan hanya jika I memenuhi ketiga aksioma berikut: (i).I
(ii). a b I ,
a, b I
(iii). ar = ra I , a I , r R . Ideal I disebut ideal trivial jika I = {0} dan disebut ideal sejati jika I R .
Contoh 4.2
Ideal-ideal pada ring
berbentuk n
dengan n merupakan bilangan bulat.
Teorema 4.3
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R, maka ketiga pernyataan berikut ekuivalen:(i).
I ideal sejati
(ii). 1R I (iii). Jika u unit pada R, maka u I .Bukti.
( i ) ( ii )Diandaikan 1R I , maka untuk setiap r R berlaku r.1R = r I dan dengan demikian
I = R . Muncul kontradiksi dengan hipotesa bahwa I ideal sejati.
Struktur Aljabar Ideal Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
( ii ) ( iii )Diandaikan ada unit u I . Karena u unit maka terdapat v R sehingga uv = vu = 1R I . Muncul kontradiksi dengan hipotesa bahwa 1R I .
( iii ) ( i )Jika I tidak memuat unit, akibatnya 1R I dan dengan demikian I R .
Teorema 4.4
Jika R ring komutatif dengan elemen satuan dan P R dengan P , maka himpunan n I = pi ri pi P, ri R, n merupakan ideal pada R. i =1
Bukti.
Karena P , maka terdapat suatu elemen pada P. Jika dipilih ri = 0 untuk setiap
i = 1,..., n , maka
p r = 0 Ii =1 i i
n
untuk setiap pi P . Karena 0 I , akibatnya I .n m
Diambil sebarang a, b I , maka a = pi ri dan b = qi si dengan m, n , pi , qi P ,i =1 i =1
dan ri , si R untuk setiap i = 1,..., n . Diperhatikan bahwa, a b = pi ri qi si = pi ri + qi ( si ) = xi yi Ii =1 i =1 i =1 i =1 i =1 n n m n m m+n
untuk
suatu xi P dan ri R . Diambil sebarang s R dan a I , maka a = pi ri dengani =1
m, n , pi P , dan ri R untuk setiap i = 1,..., n . Karena R ring komutatif, makan n n n sa = s pi ri = spi ri = pi ri s = pi ri s = as I . i =1 i =1 i =1 i =1
Jadi, terbukti bahwa I merupakan ideal pada R.
Struktur Aljabar Ideal Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
Definisi berikut merupakan akibat dari Teorema 4.4.Definisi 4.5 (Pembangun Ideal)
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan P R dengan P . n Himpunan I = pi ri pi P, ri R, n disebut ideal yang dibangun oleh P dan i =1
dinotasikan P . Himpunan P disebut pembangun (generator) ideal P . Jika P = {a} , maka a = P . Jika Q = P {a} maka P, a = Q .
Contoh 4.6
(i).
Untuk sebarang R ring komutatif dengan elemen satuan, berlaku 1R = R . , maka 2 = {2r r , n
(ii). Diketahui {2}
}= 2[ x]
.
(iii). Diketahui
[ x]
himpunan semua polinomial peubah tunggal dengan merupakan ring terhadap
indeterminate x atas bilangan real. Diketahui
operasi penjumlahan dan perkalian polinomial biasa. Jika dipilih {1, x} maka 1, x = {a + bx a, b
[ x] ,
} [ x] .
Definisi 4.7 (Pembangun Berhingga)
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R. Ideal I dibangun secara berhingga (finitely generated) jika dan hanya jika terdapat himpunan berhingga P R sehingga I = P .
Contoh 4.8
Karena 2 = 2 , maka ideal 2
pada
dibangun secara berhingga.
Struktur Aljabar Ideal Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
Teorema 4.9
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I, J masing-masing merupakan ideal pada R, maka kedua sifat berikut berlaku:(i).
I J merupakan ideal pada R
(ii). I +J merupakan ideal pada R.Bukti.
(i). Karena I dan J masing-masing merupakan ideal, maka 0 I, J dan akibatnya 0 I J . Dengan demikian I J . Diambil sebarang a, b I J , maka a, b I dan a, b J . Karena I dan J merupakan ideal, maka a b I dan a b J . Dengan demikiana b I J . Diambil sebarang a I J , maka a I dan a J . Karena I dan J ideal,
maka untuk sebarang r R , berlaku ar = ra I dan ar = ra J . Dengan demikianar = ra I J .
Jadi, terbukti bahwa I J merupakan ideal pada R. (ii). Diperhatikan bahwa I + J = { x + y x I , y J } . Karena I dan J masing-masing merupakan ideal, maka 0 I, J dan akibatnya 0 = 0 + 0 I + J . Dengan demikianI + J . Diambil sebarang a, b I + J , maka a = x1 + y1 dan b = x2 + y2 untuk suatu
x1 , x2 I dan y1 , y2 J . Karena I dan J merupakan ideal, maka x1 x2 I dan y1 y2 J . Dengan demikian a b = ( x1 + y1 ) ( x2 + y2 ) = ( x1 x2 ) + ( y1 y2 ) I + J .Diambil sebarang a I + J , maka a = x1 + y1 untuk suatu x1 I dan y1 J . Karena I dan J ideal, maka untuk sebarang r R , berlaku x1r = rx1 I dan y1r = ry1 I . Dengan demikian ar = x1r + y1r = rx1 + ry1 = ra I + J . Jadi, terbukti bahwa I + J merupakan ideal pada R.
Struktur Aljabar Ideal Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
Definisi 4.10 (Ideal Utama)
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R. Ideal I disebut ideal utama (principal ideal) jika dan hanya jika I dibangun oleh tepat satu elemen pada R, yaitu I = a untuk suatu a R .
Definisi 4.11 (Daerah Ideal Utama)
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan. Ring R disebut daerah ideal utama(principal ideal domain) jika dan hanya jika R daerah integral dan setiap ideal pada R
merupakan ideal utama.
Contoh 4.12
Himpunan bilangan bulat
merupakan daerah ideal utama, karena setiap idealnya
berbentuk n = n , dengan n = {0,1, 2,...} .
Definisi 4.13 (Ideal Prima)
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R. Ideal I disebut ideal prima (prime ideal) jika dan hanya jika I ideal sejati dan untuk setiap a, b R dengan ab I dan a I berakibat b I .
Definisi 4.14 (Ideal Maksimal)
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R. Ideal I disebut ideal maksimal jika dan hanya jika I ideal sejati dan untuk setiap ideal sejati J pada R dengan I J berakibat J = I .
Contoh 4.15
Ideal p
pada ring
dengan p bilangan prima merupakan ideal prima sekaligus ideal merupakan ideal prima dan bukan ideal
maksimal. Akan tetapi ideal {0} pada ring maksimal.
Struktur Aljabar Ideal Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
Teorema 4.16
Jika R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R , maka himpunanJ = {a R ( m Bukti
) , a m I } merupakan ideal pada R.
Jika dipilih m = 1 , akan berakibat I J dan dengan demikian J . Diambil sebarang
a, b J , maka a m I dan b n I untuk suatu m, n . Dapat dipilih bilangan v = mn ,sehingga
(a b)
v
=
mn i mn i a ( b ) I dan dengan demikian a b J . Diambil i =0 i mn
sebarang r R dan a J . Karena a J , maka a m I untuk suatu m m m
. Perhatikan
bahwa ( ra ) = r m a m = a m r m = ( ar ) I , sehingga dengan demikian ra = ar J . Jadi, terbukti bahwa J merupakan ideal pada R. Definisi berikut merupakan akibat dari Teorema 4.16.Definisi 4.17 (Ideal Radikal)
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R . Himpunan
{a R ( m ) , a
m
I } disebut ideal radikal atas I dan dinotasikan dengan
I dan
berlaku sifat I I . Ideal I disebut ideal radikal jika dan hanya jika I = I .
Contoh 4.18
Diketahui 12
merupakan ideal pada ring
. Perhatikan bahwa 12 dapat difaktorkan adalah ( 22 3) r dengan Perhatikan bahwa 6 J
menjadi 12 = 22 3 , dengan kata lain elemen-elemen pada 12 r . Bentuk himpunan J = {a
( m ) , a m 12
}.
karena dapat dipilih m = 2 , sehingga 62 = ( 22 3) 3 12 . Akan tetapi 2 J dan 3 J , karena untuk setiap m berlaku 2m 12 dan 3m 12 . Karena 6 J , akibatnya
6 r J untuk sebarang r .
Jadi, diperoleh J = 6
atau dengan kata lain 12 = 6 .
Struktur Aljabar Ideal Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
Sumber:
Becker T. and Weispfenning V., 1993, Grbner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra, Springer-Verlag New York inc., New York. Cox D., Little J. and OShea D., 1992, Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, SpringerVerlag New York inc., New York. Fraleigh J. B., 1994, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company inc., United States.
Struktur Aljabar Ideal Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id