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Page 1: 4.1 Series de Fourier

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Series de Fourier:

Varios matemáticos del siglo XVIII, incluyendo a los suizos Leonhard Euler y Daniel Bernoulli sabían quepodía llegarse a una representaciónaproximada de una señal o funciónf(t) mediante una suma finitaponderada de senoides relacionadasarmonicamente.

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La idea de describir las ondas comouna serie de funciones senoidales esútil para el ingeniero moderno.

Por ejemplo en la experienciacotidiana nos encontramos con sintetizadores de voz o musicales queproducen sonidos vocales o musicales como resultado de la generación de una serie apropiada de señalessenoidales.

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En 1807, el varón francés Jean Baptiste Joseph Fourier publica la “Teoría del calor” un tratado en el cual introduce unas series trigonométricas, de lo cual una onda o señal periódica podía descomponerseen una serie infinita de senoides queal sumarse, reproducirían la forma exacta de la onda original.En honor a él se debe el nombre de Series de Fourier.

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Consideremos una señal periódica:

)()( nTtftf

Donde: n: múltiplos enteros: 1,2,3,4,5,…

T: periodo fundamental

f(t): señal de voltaje o corriente.

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La serie trigonométrica de Fourier viene expresada por:

)()(0

10

tnwoscaatfn

n

)(0

1

tnwsenbn

n

002 fw

Donde:

0

0

1T

f

: frecuenciafundamental

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Los coeficientes de la Serie de Fourier se calculan mediante la integral:

0

0

)(1

0

tt

t

dttfT

a

a0 representa el Valor Promedio de f(t) en un período fundamental de la señal

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0

0

)cos()(2

0

tt

tn

dttnwtfT

a

Conocido como: Integral en coseno

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0

0

)()(2

0

tt

tn

dttnwsentfT

b

Conocido como: Integral en seno

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Una serie de Fourier es unarepresentación precisa de una señalperiódica y consiste en la suma de senoides múltiplos de la frecuenciafundamental (frecuencias armónicas).El espectro de armónicos es unarepresentación gráfica de la amplitud y fase de los coeficientes de Fourier en términos de la frecuencia fundamental y las frecuencias armónicas.

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Figure 6.10

Discrete frequency spectrum

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Copyright ©2002 McGraw-Hill. All rights reserved.

(a) A waveform showing even symmetry.

(b) A waveform showing odd symmetry.

Simetría de señales periódicas:

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A periodic signal

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Two waveforms,

each of which exhibits half-

wave symmetry.

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Ejemplo: Consideremos una señal cuadrada, a la cual le calcularemos la serie y su respectivoespectro de frecuencias de Fourier:

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Calculando los coeficientes de Fourier:

0} )( )( {21 2

00

wtdVwtdVa

Dada la simetria impar de la señal, es conocidoque su valor medio o promedio es cero !!!

0

0

)(1

0

tt

t

dttfT

a

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0

} )()cos()()cos( {22 2

0

wtdnwtVwtdnwtVan

Dada la simetria impar de la señal, es conocidoque la integral en coseno (an) es cero !!!

0

0

)cos()(2

0

tt

tn

dttnwtfT

a

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2

0

} )() ()()() ( {2

2wtdwtnsenVwtdwtnVsenb

n

impar : ; 4

nn

Vbn

0

0

)()(2

0

tt

tn

dttnwsentfT

b

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Como a0 y an son ceros, la serie de Fourier se simplifica a:

)()(0

1

tnwsenbtvn

n

impar : ; )(4

)(1

nnwtsenn

Vtv

n

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La Serie de Fourier para una señalcuadrada se expresa entonces como:

n

wtnsenn

Vtv

n

] )12([)12(

4)(

1

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Expandiendo la Serie de Fourier para los primeros 11 armónicos (6 términos impares):

) 3(34

)(4

)( wtsenV

wtsenV

tv

) 7(7

4) 5(

5

4wtsen

Vwtsen

V

...) 11(11

4) 9(

9

4 wtsen

Vwtsen

V

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Sintetizando la señal original como una suma de c/ude sus componentes armónicos: (por facilidad V=1)

)(4

)( tsenV

tv

: Componente fundamental o primer armónico. (serie con 1 término)

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) 3(34

)(4

)( wtsenV

wtsenV

tv

fundamental + tercerarmónico:(serie con 2 términos)

1.200422

1.200422

f t( )

2

0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1.2

0.6

0.6

1.2

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) 3(34

)(4

)( wtsenV

wtsenV

tv

) 5(54

wtsenV

fundamental + tercer + quinto armónico:(serie con 3 términos)

1.18834

1.18834

f t( )

2

0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1.19

0.59

0.59

1.19

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) 3(34

)(4

)( wtsenV

wtsenV

tv

) 7(74

) 5(54

wtsenV

wtsenV

fundamental + tercer + quinto + séptimoarmónico:(serie con 4 términos)

1.18416

1.18416

f t( )

2

0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1.18

0.59

0.59

1.18

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) 3(3

4)(

4)( wtsen

Vwtsen

Vtv

) 9(9

4) 7(

7

4) 5(

5

4wtsen

Vwtsen

Vwtsen

V

fundamental + tercer + quinto + séptimo + novenoarmónico (serie con 5 términos)

1.182328

1.182328

f t( )

2

0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1.18

0.59

0.59

1.18

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Sumando hasta el armónico 199(serie con 100 términos)] )12([

)12(

4)(

100

1

wtnsenn

Vtv

n

1.14475

1.14475

f t( )

2

0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1.14

0.57

0.57

1.14

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Sumando hasta el armónico 19,999(serie con 10,000 términos).

Como puede observarse en el gráfico, casi se reproduce la señal cuadrada original.

0.999968

0.999968

f t( )

2

0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1

0.5

0.5

1

10,000

1

4 [(2 1) ]( )

(2 1)n

sen n tv t

n

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Gráfica con una sumatoria de 3,000 términos o hasta el armónico 5,999 (por facilidad V=1)

1.27324

1.27324

f t( )

f1 t( )

f3 t( )

f5 t( )

f7 t( )

f9 t( )

f11 t( )

f13 t( )

f15 t( )

f17 t( )

2 0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1.27

0.64

0.64

1.27

3,000

1

4 [(2 1) ]( )

(2 1)n

sen n tv t

n

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La magnitud del Espectro de frecuencias:

0.050925

0.055423

0.060621

0.067019

0.074917

0.084915

0.097913

0.115711

0.14159

0.18197

0.25465

0.42443

1.27321

Ann

0.025051

0.026049

0.027147

0.028345

0.029643

0.031141

0.032639

0.034437

0.036435

0.038633

0.041131

0.043929

0.047227

Ann

0.016577

0.017075

0.017473

0.017971

0.018569

0.019067

0.019665

0.020263

0.020961

0.021659

0.022357

0.023155

0.024053

Ann

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El Espectro de frecuencias:Magnitud vrs frecuencia de c/u de los armónicos:

n w0

amplitud

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La distorsión armónica total (THD) de la señal cuadrada de voltaje se calcula por:

% 47.82

%100*1.621140.37076

%100*100

22

1

2

n

n

A

ATHD

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Example:

Several of the infinite number of different waveforms which may be obtained by combining a fundamental and a third harmonic. The fundamental is v1 = 2 cos w0t, and the third harmonic is:

(a) v3a = cos 2w0t;

(b) v3b = 1.5 cos 3w0t;

(c) v3c = sin 3w0t.

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(a) The output of a half-wave rectifier to which a sinusoidal input is applied.

(b) The discrete line spectrum of the waveform in part a.

Example:

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Write the Fourier series for the waveform below.

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Figure 6.11

Example:Square wave and its representation by a Fourier series.(a) Square wave (even function); (b) first three terms;(c) sum of first three terms

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Example:(a) periodic (sawtooth) function(b) spectrum of sawtooth

waveform;(c) approximation of sawtooth

waveform for n = 5

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Example:

(a) Pulse train(b) signal spectrum;(c) approximation obtained using 11 Fourier coefficients

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Figure 6.14

Fourier Transform:Response of a linear system to a phasor input

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A Summary of Some Fourier Transform Pairs


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