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§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式
万州高级中学 聂一怀
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§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式
一、同角三角函数基本关系式1. 倒数关系
2. 商数关系
3. 平方关系
tan·cot=1 sin·csc=1
cos·sec=1
sin2+cos2=1 1+tan2=sec2
1+cot2=csc2
tan= cot= sincos
cossin
二、诱导公式
奇变偶不变 , 符号看象限 .
3
§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式牛刀小试
1 tan1 tan 2 tan 3 tan 89 、求 的值
22
22
2
1. 1
1. . 1
mB m
m
mC D m
m
、已知cos31=m, 得sin239 tan149的值是( )
A.
4 4
6 6
1 cos sin3
1 cos sin
、化 简
1B
2
3
4
§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式
2 2
2 2
2 2
tan1 2,
tan 1sin 3cos
;sin cos
2sin 3cos(2) ;
4sin 9cos
(3)4sin 3sin cos 5cos
例 、已知 求下列各式的值:
(1)
分析: tan由已知可以求出 的值,属“给值求值”型本例若借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件应比较简单些。
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§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式
2
2
2
(2) cos ,
2tan 3 2 4 3 5
4tan 9 4 4 9 7
分子、分母同除以 有
原式=
tan2,
tan 1
解:由已知 解得tan =2
2 2(3) sin cos 1, 利用 已知的二次 次式构造成分式将 齐
齐cos
cos 0, cos
(1)注意到分子、分母都是sin 、 的一次 次式,分子、分母同除以 ,有
tan 3 2 3 1
tan 1 2 1 3
原式
2 2
2 2
4sin 3sin cos 5cos
sin cos
原式
2
2
4tan 3tan 5 4 4 3 2 51
tan 1 4 1
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§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式
小结:本类型的题目 , 其题设条件是给出一系列三角函数值,据此再去求其它函数或代数式的值。解题关键是要挖掘已知与所求之间的关系,寻找转化办法。
练习:21 2sin cos 、已知(tan - 3)(sin - 2)=0,求sin 的值;
31
10、
1 sin 1 cos2 ,
cos 2 sin 1
、已知 求 的值;
13 sin cos , , cos sin
8 4 2
、已知 且 求 的值。
12
2、 3
32
、
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§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式3
2 sin(3 ) 2 cos( ) 3 cos( )2
2 cos( ), 0 ,
例 、已知 和
且 、 求 和 的值。
分析 : 本题属“给值求角”型,须先求出相应角的某一个三角函数值,再求角。
sin 2 sin
3 cos 2 cos
解:已知 件可 化 条 转 为
①②
②①2 2 2 2 2 23cos 2(sin cos ) 2 由 ,得sin
2 2sin 3(1 sin ) 2 即 2 1 2sin , sin
2 2
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§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式
20 , sin ,
2
3.
4 4
或
别33 cos 2 cos
4 4
把 , 分 代入 得
3 3cos ,cos .
2 2
50 , .
6 6
又 或
3 5.
4 6 4 6
因此 , 或 ,
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§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式
小结:解决“给值求角”型问题,关键是利用给定的三角函数值或者首先求出该角的某一个三角函数值,在某个范围内求出具体的角。
练习:2sin ,cos 2 ( 3 1) 0
sin cos
1 cot 1 tan(2)
x x m
m
是方程 的 根,求:
(1) 及 的值;
方程 根sin ,cos 及此 的值。
设 两
两 时
3 1 3(1) ;
2 2
(2)6 3
或
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§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式
A B
CD
P Q
R
S
T
例 3. 如图所示 , ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮 , 其中AST 是一半径为 90m 的扇形小山 , 其
余部分都是平地 . 一开发商想在平地上建一个矩形停车场 , 使矩形的一个顶点在 ST 上 , 相邻两边 CQ, CR 落在正方形的边 BC, CD 上 , 求矩形停车场
PQCR 面积的最大值和最小值 .
⌒
解 : 连结 AP, 设 PAB=(0º≤≤90º),
延长 RP, 交 AB 于 M,
M
则 AM=90cos, MP=90sin.
∴ PQ=MB=100-90cos, PR=MR-MP=100-90sin.
∴ S 矩形 PQCR=PQPR=(100-90cos)(100-90sin)
=10000-9000(sin+cos)+8100sincos
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§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式
令 t=sin+cos(1≤t≤ 2 ), 则 sincos= . t2-1 2
∴ S 矩形 PQCR=10000-9000t+4050(t2-1)
故当 t= 时 , S 矩形 PQCR 有最小值 950m2;910
当 t= 2 时 , S 矩形 PQCR 有最大值 (14050-9000 2 )m2.
=4050t2-9000t+5950.
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§4.2.2 同角三角函数基本关系与诱导公式
1. 已知 cot(-)=2, 求 sin( +) 的值 .
32
25 5 , 是第二象限角 ,
25 5 , 是第四象限角 . -
sin( + ) = 32
课堂练习
2. 已知 sin+cos= (0<<), 求 tan 的值 . 23
3. 已知 为锐角 , 且 tan= , 求 的值 .
sin2cos-sin sin2cos2
12
.
54
4. 已知 sin= , cos= , 若 是第二象限角 , 求实数 a 的值 .
1+a 3a-1
1+a 1-a
19
9 4 2
7