Download - 5. Elastisitas Struktur(1).ppt
![Page 1: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/1.jpg)
OLEH :
DWI HARTINI, S.T., M.T.
5. ELASTISITAS STRUKTUR
![Page 2: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/2.jpg)
POKOK BAHASAN
1. STRESS (TEGANGAN)
PERSAMAAN KESETIMBANGAN TEGANGAN
TEGANGAN BIDANG
KONDISI BATAS
PENENTUAN TEGANGAN PADA BIDANG MIRING
2. STRAIN (REGANGAN)
PERSAMAAN KOMPATIBILITAS
REGANGAN BIDANG
PENENTUAN REGANGAN PADA BIDANG MIRING
3.HUBUNGAN STRESS- STRAIN (TEGANGAN –REGANGAN)
![Page 3: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/3.jpg)
STRESS (TEGANGAN)
Pada gambar, benda tiga dimensi adalah dalam kesetimbangan di bawah aksi eksternal dengan gaya yang bekerja adalah P1, P2, P3, P4, P5 dan diasumsikan terdiri dari material yang kontinyu dan deformable sehingga gaya ditransmisikan ke seluruh volumenya. Oleh karena itu pada setiap titik internal O terdapat adanya gaya resultan δP. Partikel dari material di O dikenai gaya δP berada dalam kesetimbangan sehingga harus ada gaya yang sama tetapi berlawanan dengan gaya δP yang bekerja pada partikel pada saat yang sama.
![Page 4: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/4.jpg)
Jika sekarang kita membagi benda dengan suatu bidang n-n yang dimana titik O berada pada bidang n-n, maka kedua gaya δP dapat dianggap sebagai gaya yang terdistribusi secara merata di daerah/luasan yang kecil δA. Stress di O kemudian didefinisikan oleh persamaan:
![Page 5: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/5.jpg)
Arah gaya δP pada gambar menghasilkan tegangan tarik di penampang bidang n-n. Meskipun arah tegangan di O akan selalu ke arah δP, besarnya tegangan tergantung pada bidang yang sebenarnya dipilih karena bidang yang berbeda akan memiliki kemiringan yang berbeda dan oleh karena itu akan dihasilkan nilai yang berbeda untuk daerah δA.
![Page 6: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/6.jpg)
Hal ini dapat lebih mudah dipahami dengan mengacu pada bar dalam tegangan sederhana pada gambar. Pada penampang bidang m-m, tegangan seragam diberikan oleh P / A, sementara di bidang miring m’-m’, tegangan adalah besarnya P / A’. Dalam kedua kasus, tegangan paralel dengan arah P.
![Page 7: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/7.jpg)
Umumnya, arah δP tidak normal ke area δA, dalam hal ini adalah biasa untuk menyelesaikan δP menjadi dua komponen: satu, δPn, normal terhadap bidang dan lainnya, δPs, bertindak dalam bidang itu sendiri. Perhatikan bahwa pada gambar, bidang yang mengandung δP tegak lurus terhadap δA. Tegangan yang terkait dengan komponen ini adalah tegangan normal atau langsung didefinisikan sebagai
Dan tegangan geser didefinisikan sebagai
![Page 8: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/8.jpg)
Tegangan resultan dihitung dari komponen-komponennya dengan aturan normal penjumlahan vektor, yaitu
(Tegangan normal) (Tegangan geser)
![Page 9: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/9.jpg)
Notasi untuk Gaya dan Tegangan
Pada gambar, benda dipotong oleh suatu bidang yang sejajar dengan arah sumbu x. Resultan gaya δP yang bekerja pada titik O, dapat diselesaikan menjadi komponen normal dan dua komponen sejajar bidang seperti ditunjukkan pada gambar sehingga menghasilkan salah satu komponen tegangan normal dan dua komponen tegangan geser.
![Page 10: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/10.jpg)
Komponen tegangan normal ditentukan dengan mengacu pada bidang yang bekerja, tapi komponen tegangan memerlukan spesifikasi arah di samping bidang. Oleh karena itu, perlu mengalokasikan subscript yang ada, untuk subscript tunggal diberikan untuk tegangan normal yaitu untuk menunjukkan bidang yang bekerja dan dua subskript untuk tegangan geser, dimana subscript pertama menunjukkan bidang yang bekerja, subscript dua untuk arahnya. Oleh karena itu pada gambar, komponen tegangan geser yaitu τzx dan τzy bertindak di bidang z dengan arah x dan y, sedangkan komponen tegangan normal adalah σz.
![Page 11: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/11.jpg)
Kondisi tegangan pada titik O dapat digambarkan dengan menentukan komponen geser dan normal pada penampang dari suatu sisi elemen δx, δy, δz, dibentuk pada titik O oleh bidang pemotongan seperti yang ditunjukkan pada gambar.
![Page 12: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/12.jpg)
Sisi elemen sangat kecil sehingga tegangan dapat diasumsikan terdistribusi secara merata di seluruh permukaan penampang masing-masing. Pada masing-masing penampang yang berlawanan akan ada tegangan yang sama tetapi berlawanan arah.
![Page 13: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/13.jpg)
PERSAMAAN KESETIMBANGAN TEGANGAN
Persamaan keseimbangan harus dipenuhi di semua titik interior dalam benda yang mampu terdeformsi di bawah sistem gaya tiga dimensi.
![Page 14: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/14.jpg)
PLANE STRESS (TEGANGAN BIDANG)
Sebagian besar komponen struktur pesawat dibuat dari lembaran logam tipis sehingga tegangan dalam arah ketebalan lembaran biasanya diabaikan. Dengan asumsi, misalnya, bahwa sumbu z adalah arah ketebalan maka kasus tiga dimensi pada persamaan kesetimbangan berkurang menjadi kasus dua dimensi di mana σz, τxz dan τyz sama dengan nol. Kondisi ini dikenal sebagai plane stress (tegangan bidang). Persamaan kesetimbangan menjadi lebih sederhana :
![Page 15: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/15.jpg)
KONDISI BATAS
![Page 16: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/16.jpg)
Penjumlahan dari gaya dalam arah x :
dengan mengambil kondisi batas δx mendekati nol, menjadi
![Page 17: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/17.jpg)
Derivatif dy / ds dan dx / ds adalah arah cosinus l dan m dari sudut yang normal untuk AB yang dibentuk oleh sumbu x dan y. Oleh karena itu
Untuk kasus 3D, menjadi :
di mana l, m dan n menjadi cosinus arah sudut yang normal ke permukaan benda yang dibentuk oleh sumbu x, y dan z.
![Page 18: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/18.jpg)
PENENTUAN TEGANGAN PADA BIDANG MIRING
![Page 19: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/22.jpg)
STRAIN (REGANGAN)
Gaya eksternal dan internal yang dijelaskan dalam bagian sebelumnya menyebabkan perpindahan linear dan sudut dalam benda yang mampu untuk diubah bentuknya. Perpindahan ini umumnya didefinisikan dalam hal regangan. Regangan longitudinal atau langsung (normal) berhubungan dengan gaya langsung (normal) σ dan berhubungan dengan perubahan panjang, sedangkan regangan geser menentukan perubahan sudut yang dihasilkan oleh tegangan geser. Regangan ini ditunjuk, dengan akhiran yang tepat, dengan simbol ε untuk regangan normal dan γ untuk regangan geser.
![Page 23: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/23.jpg)
Perhatikan tiga elemen garis yang saling tegak lurus OA, OB dan OC pada titik O dalam deformable body. Panjang awal adalah δx, δy dan δz. Jika, sekarang, benda mengalami gaya yang menghasilkan sistem yang kompleks dari tegangan langsung/normal dan geser pada O, maka elemen garis akan berubah ke posisi O’A’, O’ B’ dan O’C’.
![Page 24: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/24.jpg)
Koordinat O dalam kondisi awal benda adalah (x, y, z) sehingga A, B dan C adalah (x + δx, y, z), (x, y + δy, z) dan (x, y , z + δz). Komponen perpindahan O ke O’ sejajar dengan x, y dan z adalah sumbu yang u, v dan w. Dengan demikian, perpindahan dari A dalam arah sejajar dengan sumbu x adalah u + (∂u / ∂x) δx. Komponen yang lain akan ditemukan dengan cara yang sama dan ditunjukkan pada Gambar.
![Page 25: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/25.jpg)
Kita sekarang mendefinisikan regangan langsung dalam istilah yang lebih kuantitatif. Jika panjang elemen garis adalah L pada titik dalam benda mengalami perubahan panjang L, maka regangan longitudinal pada saat itu di dalam benda ke arah elemen garis adalah :
Perubahan panjang elemen OA (O’A’ - OA) sehingga regangan langsung/normal di O dalam arah x diperoleh dari persamaan
![Page 26: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/26.jpg)
Sekarang,
Atau,
![Page 27: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/27.jpg)
yang dapat ditulis ketika istilah orde kedua diabaikan
Menerapkan ekspansi binomial
![Page 28: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/28.jpg)
di mana derajat dan pangkat yang lebih tinggi dari ∂u / ∂x diabaikan. Menggantikan O’ A’ di Persamaan
didapat
![Page 29: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/29.jpg)
Sekarang dan sebagai adalah kecil , kemudian
Untuk relasi trigonometri untuk triangle :
![Page 30: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/31.jpg)
Subtitusi O’A’, O’C’ dan A’C’ ke dalam persamaan :
Menjadi:
Atau
![Page 32: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/32.jpg)
(Regangan normal) (Regangan geser)
Kedua persamaan di atas yang diperoleh pada asumsi bahwa perpindahan yang terlibat kecil.
![Page 33: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/33.jpg)
PERSAMAAN KOMPATIBILITAS
Dalam bagian sebelumnya telah dinyatakan enam komponen regangan pada suatu titik dalam benda yang mampu untuk dideformasi dalam hal tiga komponen perpindahan pada titik itu, u, v dan w.
![Page 34: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/34.jpg)
Selama enam regangan didefinisikan dalam tiga fungsi perpindahan maka ketiganya memiliki beberapa hubungan satu sama lain dan tidak dapat memiliki nilai yang berdiri sendiri. Hubungan ini ditemukan sebagai berikut.
atau, karena fungsi dari u dan v adalah kontinu
![Page 35: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/35.jpg)
Dengan :
Maka :
![Page 36: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/36.jpg)
Kemudian subtitusi dari 2 persamaan :
dan
![Page 37: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/37.jpg)
Didapat
![Page 38: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/38.jpg)
Enam persamaan kompatibilitas regangan :
![Page 39: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/39.jpg)
PLANE STRAIN (REGANGAN BIDANG)
![Page 40: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/40.jpg)
PENENTUAN REGANGAN PADA BIDANG MIRING
![Page 41: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/41.jpg)
HUBUNGAN TEGANGAN-REGANGAN
di mana E adalah konstanta yang dikenal sebagai modulus elastisitas atau modulus Young. Persamaan tersebut merupakan ekspresi hukum Hooke. Selanjutnya, εx disertai juga dengan regangan lateralnya, yaitu :
Dimana = Poisson’s ratio𝞾
![Page 42: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/42.jpg)
Untuk benda yang mengalami tegangan normal σx, σy dan σz, regangan normal adalah, dari persamaan :
dan jg dari prinsip superposisi, sehingga didapat :
![Page 43: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/43.jpg)
Persamaan terakhir dapat ditranspose untuk mendapatkan ekspresi untuk setiap tegangan dalam kaitannya dengan regangan. Prosedur yang diadopsi mungkin salah satu pendekatan matematika standar dan memberikan :
![Page 44: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/44.jpg)
![Page 45: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/45.jpg)
![Page 46: 5. Elastisitas Struktur(1).ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081502/577c7ccb1a28abe0549c0c0b/html5/thumbnails/46.jpg)