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一、单调性的判别法
x
y
o
)(xfy
x
y
o
)(xfy
a b
A
B
0)( xf 0)( xf
定理
.],[)(
0)(),()2(],[
)(0)(),(1.
),(],[)(
上单调减少在那末函数,内如果在上单调增加;在
,那末函数内如果在)(导内可上连续,在在设函数
baxfy
xfbaba
xfyxfba
babaxfy
a b
B
A
第四节 函数单调性的判定法
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证 ),,(, 21 baxx ,21 xx 且 应用拉氏定理 , 得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf
,012 xx
,0)(),( xfba 内,若在 ,0)( f则
).()( 12 xfxf .],[)( 上单调增加在 baxfy
,0)(),( xfba 内,若在 ,0)( f则
).()( 12 xfxf .],[)( 上单调减少在 baxfy
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例 1 讨论函数 y=x-sinx 的单调性。解:∵ y=1-cosx0 ,∴ y=x-sinx 在 (- , +) 上单调增加
2 4 6 8 10 12
2
4
6
8
10
12
几何上看:单调区间的分界点是使 f (x)=0 的点 .
注 : 区间内孤立点处导数为零或不存在 , 不影响函数在区间上的单调性 .
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例 2
解
.)( 3 2的单调区间确定函数 xxf
).,(: D
)0(,3
2)(
3 x
xxf
.,0 导数不存在时当 x
时,当 0 x
,0)( xf 上单调增加;在 ),0[ 时,当 x0
,0)( xf 上单调减少;在 ]0,(
单调区间为 ,]0,( ).,0[
3 2xy
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例 3
解
.)1
1(,0 的单调性函数时讨论 x
xyx
)(]1
1)
11[ln(
)1
1ln()1
1ln(xe
xxey x
xx
x
,0,0)
11ln(
x
xex 时其中
,0)1(
1)(,
1
1)
11ln()(
2
xxx
xxx又
0)(lim)(,)(,0
xxxxx
单调减少时
.)1
1(,0,0 单调增加时 x
xyyx
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单调区间求法
问题 : 如例 1 ,函数在定义区间上不是单调的,但在各个部分区间上单调.
定义 : 若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间 .
导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间的分界点.
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讨论函数的单调性可以按以下步骤进行:
1 )确定函数 f(x) 的定义域;
2 )求 f (x) ,找出 f (x)=0 和 f (x) 不存在的点,
以这些点为分界点,把定义域分成若干区间;
3 )在各个区间上判别 f (x) 的符号,以此确定 f(x) 的单调性。
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例 4
解.312
92)( 23
的单调区间确定函数
x
xxxf
).,(: D
12186)( 2 xxxf )2)(1(6 xx
得,解方程 0)( xf .2,1 21 xx
单调区间为 ,]1,( ,]2,1[ ).,2[
)1,( )2,1( ),2(
y
x
y↗ ↘ ↗
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例 5 证明当 x>0 时, .6
sin3x
xx
证:令6
sin)(3x
xxxF
21cos)(
2xxxF 0])
2(sin)
2[(2
22sin2 22
22
xxxx
∴ F(x) 在 (0,+∞) 内单调上升,又 F(0)=0 , F(x) 在 x=0 处连续,
利用单调性证明不等式
:,0)( 即 xF .6
sin,06
sin33 x
xxx
xx
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例 6
证
.)1ln(2/,0 2 成立试证时当 xxxxx
),1ln()( xxxf 设 .1
)(xx
xf
则
,0)(),0(,),0[)( xfxf 可导,且在上连续在
上单调增加;在 ),0[ ,0)0( f
时,当 0 x ,0)1ln( xx ).1ln( xx 即
),1ln(2/)( 2 xxxxg 设 。