Three-Phase Circuit
전력계통은 대부분 교류 방식 사용.
주된 이유는 장거리에 전송할 때 손실을 줄이기 위해서 매우 높은 전압을 사용해야하는데
전압을 올리고 내리는데 교류가 훨씬 쉽기 때문이다.
교류방식으로 일관된 운 을 할 수 있다.
전등, 전동력 등을 비롯해서 현재 부하의 대부분은 교류방식으로 되어 있기 때문에 발전
에서 배전까지 전 과정을 교류방식으로 통일해서 보다 합리적이고 경제적으로 운 할 수
있다.
• 다상 방식(Polyphase system)
인접해 있는 전원의 크기와 주파수가 같고 위상이 다른 경우.
대칭 n 상식 (Symmetric n phase system) : 위상이 2 πn[rad]씩 다른 경우
비대칭 n 상식 (Asymmetric n phase system)
• 각 상의 임피던스 (phase impedance)
평형 부하 (balanced load)
불평형 부하 (unbalanced load)
∙평형 n상 회로 (balanced n phase circuit)
대칭 n상 전원에 평형 n상 부하를 접속한 것.
∙불평형 n상 회로 (unbalanced n phase circuit)
[Notation]
∙ 전압
Vab : 마디 b에 대한 마디 a의 전압
마디 a: + , 마디 b: -
Vad = Vab+ Vbc+ Vcd
= Vab+ Vbd
= Vad
[Ex]
Vab = Van+ Vnb
= Van- Vbn
=100-120∠-120o=100 3 [V]
∙전류
I ab : 마디 a에서 마디 b로 직 경로(direct path)를 따라 흐르는 전류
그 이외에는 이중 첨자를 사용하지 않는다.
[Ex]
I ab : 전류의 경로가 명백하므로 이중첨자를
사용할 수 있다.
I bc : 전류의 경로가 명백하지 않으므로
이중첨자를 사용할 수 없다,
• 단상 3선 방식(Single-Phase Three-wire System)
∙3개의 단자 a, b 및 n (neutral node)이 있으며,
단자 전압 Van= Vnb= V1인 회로
Van과 Vnb
가 크기와 위상이 같기 때문에 단상
(single phase)라 한다.
∙ 가정에 공급되는 방식은 보통 단상 3선식으로
110 [VRMS]와 220 [VRMS]의 가전기기를 동시에
쓸 수 있게 되어있다.
[Ex] 2개의 동일한 부하를 연결한 단상 3선회로
Let Van= Vnb= V1
I aA=Van
Z1=
V1
Z1
I bB=-Vnb
Z1=-
V1
Z1
I aA=- IbB
I nN=-( IaA+ IbB )=0
∴ 중성선을 중심으로 대칭인 회로에서는 중성선에 흐르는 전류는 0이다.
• 중성선 nN을 중심으로 impedance가 대칭을 이루면 중성선에는 전류가 흐르지 않는다.
그러나 중성선을 중심으로 비대칭인 경우에는 중성선에 전류가 흐른다.
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
115
0
115
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
54 -50 -3
-50 170+j10 -100
-3 -100 104
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I 1
I 2
I 3
I 1 =11.24∠-19.83o
I 1 =9.39∠-24.47o [ARMS]
I 1 = 10.37∠ -21.80o
I aA = I1=11.24∠-19.83o
IbB =- I3=-10.37∠-21.80o
InN = I3- I1=10.37∠-21.80o-11.24∠-19.83
o
=( 9.63-j13.85 )-( 10.58-j 3.81 )
=-0.95-j 0.04=0.95∠-180o+2.41=0.95∠-177.6
o
[Ex]
회로가 대칭이 아니므로 중성선에 전류가 흐른다.
• 평형 3상 Y-Y 방식
• 3개의 전원이 진폭과 주파수가 같고 위상만 120o씩 상차를 갖는다.
• 평형 3상이 성립될 조건
| Van |= | Vbn |= | Vcn |
Van+ Vbn+ Vcn=0
정상순 (positive sequence) 역상순 (negative sequence)
Van =Vp∠0o
Vbn =Vp∠-120o
Vcn =Vp∠-240o=Vp∠120
o
Van =Vp∠0o
Vbn =Vp∠120o
Vcn =Vp∠240o=Vp∠-120
o
Van이 Vbn
보다 120o 앞선다. Van이 Vbn
보다 120o 뒤진다.
Vbn이 Vcn
보다 120o 앞선다. Vbn이 Vcn
보다 120o 뒤진다.
(note) 정상순을 사용하여 3상 회로를 해석한다.
(Note) 2 π3
[rad]의 벡터 오퍼레이터
a=ej
2 π3 = cos
2 π3
+j sin2 π3
=-12+j
32
∙ a2=ej
4 π3 = cos
4 π3
+j sin4 π3
=-12-j
32
∙ a2=a2
1=
a2
a3 =a-1
∙ 1+a+a2=0
∙ a3=1
∙ 1-a2 =
32+j
32
= 3 ( 32
+j12 )
= 3 ( cos π6+j sin
π6 )= 3 ∠
π6
∙ 1-a =
32-j
32
= 3 ( 32
-j12 )
= 3 ( cos π6-j sin
π6 )= 3 ∠-
π6
어느 벡터에 a를 곱한다는 것은 벡터의 크기는 변화가 없이 위상만 2 π3
[rad] 앞서게
하는 것이다.
Vbn =Vp∠-120 o=Vp∠-
2 π3
=a -1 Van=a 2 Van=a 2Vp
Vcn =Vp∠120 o=Vp∠2 π3
=a Van=aVp
∙ 상전류 (phase current)와 선전류 (line current)
Let 상전류 : I a , I b , I c
선전류 : I aA , I bB , I cC
I a = I aA
I b = IbB
I c = IcC
(Note) 평형 3상 Y 회로에서 상전류와 선전류는 동일하다.
Van =Vp∠0o
Vbn =Vp∠-120o=a
2Van=a
2Vp
Vcn =Vp∠-240o=Vp∠120
o=a Van=a Vp
상전압 (phase voltage)
선간전압 (line-to-line voltage) 또는 선전압 (line voltage)
Vab = Van+ Vnb== Van- Vbn
= Van-a2
Van=( 1-a2) Van
= 3 Van ∠ 30o= 3 Vp∠ 30
o
Vbc = Vbn+ Vnc== Vbn- Vcn
= Vbn-a2
Vbn=( 1-a2) Vbn
= 3 Vbn ∠ 30o= 3 Vp∠-120
o+ 30
o
= 3 Vp∠-90o
Vca = Vcn+ Vna== Vcn- Van
= Vcn-a2
Vcn=( 1-a2) Vcn
= 3 Vcn ∠ 30o= 3 Vp∠-240
o+ 30
o
= 3 Vp∠-210o
Let 선간전압의 크기 VL= 3 Vp
Vab = 3 Vp∠ 30o=VL∠ 30o
Vbc = 3 Vp∠ -90o=VL∠ -90o
Vca = 3 Vp∠ -210o=VL∠ -210o
(Note) 선간전압은 상전압 보다 크기가 3 배가 되며, 위상이 30o 앞선다.
• 평형 3상 4선식 Y-Y 방식(Balanced three-phase four-wire Y-Y connected system)
전원과 부하 모두 Y-결선으로 되어 있으며, 전원 전압이 평형전압이고 부하도 평형인 시스템.
∙ 선전류
By KVL
I aA =Van
Zp=
Vp
Zp∠0
o=
Vp
Zp
I bB =Vbn
Zp=
Vp
Zp∠-120 o=a 2 I aA
I cC =Vcn
Zp=
Vp
Zp∠-240 o=a I aA
INn= IaA+ IbB+ IcC= ( 1+a2+a ) IaA=0
(Note) 전원과 부하가 평형인 3상 4선 Y-Y 결선에서 중성선에 전류가 흐르지 않는다.
중성선을 제거하여도 시스템에 아무런 향을 미치지 않는다.
(Note) 해석의 편의상 중성선이 존재한다고 가정하고 해석하는 것이 편리하다.
이 경우 3상 회로는 3개의 단상회로로 나누어 해석 할 수 있다.
하나의 등가 단상회로로부터 전압과 전류가 구해지면 다른 상에 대한 것은 120o의
상차만을 고려하면 된다.
[Ex]
Van =100∠0o [VRMS]
Vbn =100∠-120o [VRMS ]
Vcn =100∠-240o [VRMS ]
선저항 : RL=1 [Ω ]
상 부하 : ZP=3+j3 [Ω ]
∙ 한 상만 따로 분리시켜 해석 할 수 있다.
I aA =
Van
RL+ZP=
100∠0o
4+j3
=100∠0o
5∠36.9o =20∠-36.9o
I bB , IcC는 위상만 120o 씩 차이가 나므로
I bB =20∠-36.9
o-120
o=20∠-156.9
o [ARMS]
I cC =20∠-36.9o-240
o=20∠-276.9
o [ARMS ]
Vab
Vbc
Vca
a
bc
A
B
C
Ia
Ib
Ic
IaA
IbB
IcC
VAB
VBC
VCA
평형 3상 Delta 회로
∙상전압(phase voltage) : Vab , Vbc , Vca
∙선간전압 (line voltage) : VAB , VBC , VCA
∙상전류(phase current) : I a , I b , I c
∙선전류(line current) : I aA , I bB , I cC
Delta 결선의 경우 상전압과 선간전압이 같다.
Vab = VAB
Vbc = VBC
Vca = VCA
상전류와 선전류와의 관계
Let
I a =Ip∠0o
I b =Ip∠-120o=a
2I a=a
2I p
I c =Ip∠-240o=Ip∠120
o=a I a=a I p
선전류
I aA = Ia- Ic
I bB = Ib- Ia
I cC = Ic- Ib
따라서
I aA = Ia- Ic
=Ip∠0o-Ip∠-240
o
=Ip-aI p=( 1-a ) I p
=( 3∠-π6 ) I p= 3 I p∠-30
o
(note)
1-a =
32-j
32
= 3 ( 32
-j12 )
= 3 ( cos π6-j sin
π6 )= 3 ∠-
π6
I bB = Ib- Ia
=Ip∠-120 o-Ip∠0o
=a 2 I p-Ip=( a 2-1 ) I p=-( 1-a 2 ) I p
=-( 3∠π6 ) I p= 3 I p∠-180 o+30o
= 3 I p∠-150o
(note) -1=1 ∠ 180o
I cCB = Ic- Ib
=Ip∠-240 o-Ip∠-120 o
=a 2 I p-a I p=a ( a-1 ) I p
=(1 ∠2 π3 )( 3∠-
π6 ) I p= 3 I p∠120 o-30o
= 3 I p∠90o
선전류는 상전류보다 위상이 30o 뒤지고, 크기는 상전류보다 3배가 된다.
Let 선전류의 크기: IL
IL= 3 Ip
따라서
I aA =IL∠-30o
I bB =IL∠-150o
I cC =IL∠-270o=IL∠90
o
[Ex] - 평형 3상회로에서 선전류가 30[A]이며 각 상의 부하 ZΔ=3+j4이다.
∙ 상전류:
from IL= 3 Ip I p=13
IL=303
=10 3=17.3 [A]
∙ 부하의 상전압: Vp= |ZΔ| I p= 32+42×17.3= 86.5 [V]
∙ 부하의 선간전압: Vp=VL=86.5 [V]
평형 3상 전원 및 부하의 등가변환
Y
-회로와 Y-회로가 등가 관계가 성립되기 위해서는 각 선간접압, 즉 단자전압이 동일해야하며
선전류 역시 동일해야 한다.
-회로 선간전압 Y-회로 선간전압
VAB = Vab-Z I a
VBC = Vbc-Z I b
VCA = Vca-Z I c
VAB =( Van-ZY I aY )-( Vbn-ZY IbY )
VBC = ( Vbn-ZY IbY )-( Vcn-ZY I cY )
VCA = ( Vcn-ZY I cY )-( Van-ZY I aY )
위 -회로와 Y-회로가 등가관계를 이루기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.
Vab = Van- Vbn
Vbc = Vbn- Vcn
Vca = Vcn- Van
Z I a =ZY( I aY- IbY )
Z I b =ZY( I bY- IcY )
Z I c =ZY( I cY- IaY )
ꋮ 평형 3상 전원의 등가변환
Y-회로 상전압 Van , Vbn , Vcn과 -회로 상전압 Vab , Vbc , Vca
는 각각
평형 3상이다.
-회로 상전압 Vab , Vbc , Vca는 Y-회로 상전압 Van , Vbn , Vcn
보다
위상이 30o 앞서고 크기는 3배된다.
(note) Y-회로 -회로
Vab = Van- Vbn=(1-a2) Van=( 3∠
π6 ) Van= 3VP∠30
o
Vbc = Vbn- Vcn=(1-a2) Vbn=( 3∠
π6 ) Vbn= 3VP∠-120
o+30
o= 3VP∠-90
o
Vca = Vcn- Van=(1-a2) Vcn=( 3∠
π6 ) Vcn= 3VP∠120
o+30
o= 3VP∠150
o
(note) -회로 Y-회로
Van =13
Vab∠-30o=
13VL∠-30
o
Vbn =13
Vbc∠-30o=
13VL∠-150
o
Vcn =13
Vca∠-30o=
13VL∠-270
o=
13VL∠90
o
ꋮ 평형 3상 부하의 등가변환
(a)
(b)
(c)
Z I a =ZY( IaY- IbY )
Z I b =ZY( IbY- IcY )
Z I c =ZY( I cY- IaY )
식 (a)와 식 (c)의 차로부터
Z ( I a- Ic )=ZY(2 I aY- IbY- IcY )
평형 3상 Y-회로에서
I aY+ IbY+ IcY=0
가 되므로 다음과 같은 관계가 성립된다.
Z ( I a- Ic )=3 ZY IaY
평형 3상 -회로에서
I a- Ic= IaA
가 되며 평형 3상 Y-회로에서는 상전류와 선전류가 동일 즉,
I aY= IaA
이므로 다음과 같다.
Z I aA=3 ZY IaA
따라서
Z=3 ZY 또는 ZY=
13
Z
3상 회로의 전력
∙3상 회로의 전력은 그 결선방식이나 평형 또는 불평형에 관계없이 각 상의 전력을 단상에서와
같이 구한 후에 이들의 합을 구하면 된다.
Let
상전압의 크기 : Va , Vb , Vc [Vrms]
상전류의 크기 : I a , I b , I c [Arms]
상전압과 상전류의 위상 차 : θ a , θb , θ c
(각 상의 부하 임피던스의 임피던스 각과 같다.)
• 유효전력(평균전력)
P3∅=VaIacosθa+VbIbcosθb+VcIccosθc [W]
• 무효전력
Q3∅=VaI asinθa+VbIbsinθb+VcIcsinθc [VAR]
ꋮ 평형 3상 회로의 경우
상전압의 크기 : Va=Vb=Vc=VP [Vrms]
상전류의 크기 : I a=Ib=Ic=IP [Arms]
상전압과 상전류의 위상 차 : θa=θb=θc=θP
P3∅=3 Vp Ip cosθP=3 P1∅ [W]
Q3∅=3 Vp Ip sinθP=3 Q1∅ [VAR]
(note) 평형 3상 회로에서의 전력은 각 상에서의 유효전력 또는 무효전력의 3배가된다.
ꋮ 평형 3상 회로의 전력을 선간전압과 선전류로 표시
∙ Y-결선
Vp =
13
VL [Vrms ]
Ip = IL [Arms ]
P3∅ =3 VpIp cos θP=3
13
VL IL cos θP= 3VL IL cos θP [W]
Q3∅ =3 VpIp sin θP=313
VL IL sin θP= 3VL IL sin θP [VAR]
∙ -결선
Vp =VL [Vrms ]
I p =13
IL [Arms ]
P3∅ =3 VpIp cos θP=3 VL
13
IL cos θP= 3VL IL cos θP [W]
Q3∅ =3 VpIp sin θP=3 VL13
IL sin θP= 3 VL IL sin θP [VAR]
따라서 결선에 상관없이
P3∅ =3 VpIp cos θP= 3VL IL cos θP [W]
Q3∅ =3 VpIp sin θP= 3VL IL sin θP [VAR]
이다. 단 위상차 θP는 상전압과 상전류의 위상 차이다.
ꋮ 평형 3상 회로의 순시전력
Let
∙ 상전압
va ( t ) = 2Vp cos ω t
vb ( t ) = 2Vp cos ( ω t-120o) [V]
vc ( t ) = 2Vp cos ( ω t+120o)
∙ 상전류
i a ( t ) = 2 Ip cos ( ω t-θp )
i b ( t ) = 2 Ip cos ( ω t-120o-θp ) [A]
i c ( t ) = 2 Ip cos ( ω t+120o-θp )
전체 순시전력
p3∅ ( t ) =pa ( t )+pb( t )+pc ( t )
=va ( t ) i a ( t )+vb( t ) i b( t )+vc ( t ) i c ( t )
=2 VpIp [ cos ω t cos (ω t-θp )+ cos ( ω t-120o) cos (ω t-120
o-θp )
+ cos ( ω t+120o) cos (ω t+120
o-θp ) ]
=VpIp [3 cos θp+ cos (2 ωt-θp)+ cos (2 ωt+120o-θp )+ cos (2 ωt-120
o-θp )]
평형을 이루고 있으므로 그 합은 0이 된다.
=3 Vp Ip cos θp
(note) 삼각함수 정리
cos A cos B=12
[ cos (A-B)+ cos (A+B) ]
따라서 평형 3상 회로의 전체 순시전력은 시간에 관계없이 일정하며, 이 값은 평형 3상 회로의
유효전력과 같다.
p3∅ ( t )= 3 Vp Ip cos θP=P3∅
순시전력의 총합이 일정하게 되면 3상 전동기의 경우 일정한 회전력(torque)를 받기 때문에 진동
이 매우 작고 기동이 용이하다. 이와 같은 현상은 다상 회로에도 그대로 적용된다.
ꋮ 복소전력
S3∅ =P3∅+jQ3∅
=3 Vp I p cos θP+j 3 Vp I p sinθP
=3 (Vp I p cos θP+j Vp I p sinθP )
= 3 S1∅
전체 복소전력은 각 상의 복소전력의 3배가 된다.
ꋮ 피상전력
AP3∅ = P23∅+Q2
3∅
= ( 3 Vp I p cos θP )2+( 3 Vp I p sinθP )
2
=3 VpI p= 3 VL IL
=3 AP1∅
따라서 피상전력은 각상의 피상전력에 3배를 한 것과 같다.
ꋮ 역률/무효율
P.F =
유효전력피상전력 =P3∅
AP3∅= cos θP
R.F =무효전력피상전력 =
Q3∅
AP3∅= sin θP
따라서 평형 3상 회로에서 역률과 무효율은 각 상의 역률과 무효율과 같다.
[Remark]
ꋮ 전원의 경우
전원의 경우 -결선을 사용하지 않는다.
∙ 전압이 완벽하게 평형을 이루지 않을 경우 세 상의 전압 합이 0이 되지 않기 때문에
-결선을 환류하는 전류가 생겨 발전기를 가열하게 된다.
∙ Y-결선 발전기가 상전압이 더 낮기 때문에 절연이 더 용이해진다.
ꋮ 부하의 경우
Y-결선보다 -결선을 주로 사용한다.
∙-결선의 경우, 부하들이 선로에 직접 연결되어 있으므로 각 상의 부하를 추가하거나
제거하기가 용이하다.
(Y-결선의 경우는 중성점에는 연결할 수 없기 때문에 그렇게 안된다.)
∙상전류가 인 경우가 Y인 경우보다 작다.
∙상전압은 인 경우가 Y인 경우보다 크다.
-결선은 중성선이 없으므로 3선 방식이 된다.
[Ex] Y- 결선
Let
Van =Vp∠0o
Vbn =Vp∠-120o
Vcn =Vp∠120o
Z=| Z |∠θZ
∙ 부하의 상전압 ( 전원 측의 선간전압과 같다.)
VAB = Vab= 3 Vp∠30o
VBC = Vbc= 3 Vp∠-90o
VCA = Vca= 3 Vp∠150o
결선의 상전압이 Y-결선의 상전압 보다 크다.
∙ 부하의 상전류
IAB =VAB
Z=
3 Vp
| Z |∠30
o-θZ=Ip∠30
o-θZ
IBC =VBC
Z=
3 Vp
| Z |∠-90o-θZ=Ip∠-90o-θZ
ICA =VCA
Z=
3 Vp
| Z |∠150o-θZ=Ip∠150 o-θZ
여기서 I p=3 Vp
| Z |=
VL
| Z |
∙ 선전류
I aA = IAB- ICA= 3 Ip∠ -θZ=IL∠ -θZ
I bB = IBC- IAB= 3 Ip∠ -120o-θZ=IL∠ -120
o-θZ
I cC = ICA- IBC= 3 Ip∠ 120o-θZ=IL∠ 120
o-θZ
여기서 IL= 3 Ip
∙ 부하에서 소모하는 전력
P1∅=VL Ip cos θZ
여기서
I p=IL3
따라서
P1∅=VL IL
3cos θZ
부하 전체가 소모하는 전력
P3∅=3 P1∅=3VL IL
3cos θZ= 3 VL IL cos θZ
[Ex]
Let
선전압 : VL=300 [Vrms ]
-결선 부하 : P.F. = 0.8 lagging
-결선 부하가 소모하는 전력 : 1200[W]
∙부하의 상전류 I p
단상에서 300 [Vrms] 선전압에서 지상 p.f 0.8로 400[W] 전력 공급
From P1∅=VL Ip cos θZ
400= 300×I p×0.8
따라서
I p=1.667 [Arms ]
∙ 부하 임피던스 Z
From I p=VL
| Z |
| Z |=VL
Ip=
3001.667
=180
θZ= cos -1 ( p.f )= cos -1 0.8=36.9o
따라서
Z=| Z |∠ θZ=180 ∠ 36.9o [Ω]
∙ Y-결선으로 등가 변환된 부하 ZY
ZY=13Z=
180 ∠ 36.9o
3=60 ∠ 36.9o [Ω]
∙ 선전류 IL
I L= 3 I p= 3×1.667= 2.89 [Arms ]
[Ex] - 회로
Let Vab=180∠0o [Vrms ]
ZL=11 [Ω]
Z=21+j 72 [Ω]
- 회로 Y-Y 회로로 변환하여 구하면 쉽다.
ZY =
13Z=
13
( 21+j72 )=7+j24 [Ω]
Van =13
Vab∠-30o=
1803
∠-30o=60 3∠-30
o [Vrms ]
다음 회로와 같은 단상 회로로 취급하여 해석 할 수 있다.
여기서
ZT=ZL+13Z=ZL+ZY=11+(7+j24 )=18+j24 [Ω]
∙ 선전류 I aA
I aA =
Van
ZT=
60 3∠-30o
18+j24
=60 3∠-30o
30∠53.1o =2 3∠-83.1o [Arms ]
나머지 선전류 I bB , I cC는 I aA와 120o의 위상차를 가지므로 다음과 같다.
I bB = IaA∠-120o=2 3∠-83.1o-120o=2 3∠-203.1o [Arms ]
I cC = IaA ∠120o=2 3∠-83.1o+120o=2 3∠36.9o [Arms ]
∙ 부하에서 소비되는 전력
P1∅=R| I aA | 2= 18×( 2 3 )2= 216 [W]
P3∅=3P1∅=3×216= 648 [W]
[Ex] Y-Y 회로
Let
선전압 : VL=200 [Vrms ]
부하 : ZY=24+j7 [Ω]
∙ 상전압의 크기
Vp=13
VL=2003
∙ 선전류의 크기 (=상전류의 크기)
IL= Ip=Vp
|ZY|=
2003
242+7
2=
83
=4.6 [Arms ]
∙ 유효전력
P3∅=3 P1∅= 3 ( R I2p )= 3 ×24×( 83 )
2
=1536 [W]
∙ 무효전력
Q3∅=3 Q1∅= 3 ( X I2p )= 3 ×7×( 83 )
2
=448 [VAR]
∙ 피상전력
AP3∅= 3AP1∅= 3 ( Vp I p )= 3×83×2003
1600 [VA]
∙ 역률
P.F.=P3∅
AP3∅=
P1∅
AP1∅= cos θZ=
R|ZY|
=24
242+72=
2425
∙ 무효률
R.F.=Q3∅
AP3∅=
Q1∅
AP1∅= sin θZ=
X|ZY|
=7
242+7
2=
725
[Remark] Impedance 등가변환 (↔Y)
• -회로와 Y-회로를 등가 변환하기 위해서는 마디 a, b, c에서 본 임피던스가 같아야 한다.
마디 a-b : Za+Zb=Zab// ( Zbc+Zca )=Zab ( Zbc+Zca )
Zab+Zbc+Zca
(1)
마디 b-c : Zb+Zc=Zbc// ( Zab+Zca )=Zbc ( Zab+Zca )
Zab+Zbc+Zca
(2)
마디 c-a : Zc+Za=Zca// ( Zab+Zbc )=Zca ( Zab+Zbc )
Zab+Zbc+Zca
(3)
식 [(1)+(2)+(3)]/2를 구하면
Za+Zb+Zc=Zab Zbc+Zbc Zca+Zca Zab
Z ab+Zbc+Zca
(4)
→Y 변환
식 (4) - 식 (2) : Za=Zca Z ab
Z ab+Zbc+Zca
(5a)
식 (4) - 식 (3) : Zb=Zab Zbc
Z ab+Zbc+Zca
(5b)
식 (4) - 식 (1) : Zc=Zbc Zca
Z ab+Zbc+Zca
(5c)
(note) -결선을 Y-결선으로 변환하려면 -결선 임피던스의 접속점에 접속되어 있는
양 임피던스를 곱하여 임피던스의 총합으로 나누면 된다.
Y→ 변환
식 (5a)을 Zab에 대해정리 : Zab=Za (
Zab
Zca+
Zbc
Zca+1 ) (6a)
식 (5b)을 Zbc에 대해정리 : Zbc=Za (1+
Zbc
Zab+
Zca
Zab ) (6b)
식 (5c)을 Zca에 대해정리 : Zca=Zc (
Zab
Zbc+1+
Zca
Zbc ) (6c)
∙ 식 (5)에서 Za, Zb, Zc의 관계를 구하면
Za
Zb=
Zca
Zbc,
Zb
Zc=
Zab
Zca,
Zc
Za=
Zbc
Zab
(7)
식 (7)을 식 (6)에 대입하여 정리하면
Zab=Za Zb+Zb Zc+Zc Za
Zc
(8a)
Zbc=Za Zb+Zb Zc+Zc Za
Za
(8b)
Zca=Za Zb+Zb Zc+Zc Za
Zb
(8c)
(note) Y-결선을 -결선으로 변환하려면 2개씩 조합한 임피던스 곱의 합을
접속되어 있지 않은 임피던스로 나누어 얻는다.
3상 불평형 회로
∙3상 교류에서는 대칭 3상 평형회로가 되도록 설계되어 유지되고 있으나 실제는 전원이 대칭이
라도 부하가 불평형인 경우도 있고 또한 사고시에는 전원이나 부하 다같이 불평형인 경우가 발생
한다.
∙불평형 회로의 일반적 해법으로 대칭 좌표법을 사용.
∙간단한 불평형 회로에서는 키르히호프의 법칙을 사용하여 해석할 수 있다.
불평형 Y-Y 회로
중성점 접지식 Y-Y 회로 (3상 4선식 회로)
∙전원 Van , Vbn , Vcn은 대칭 또는 비대칭일 수 있으며 부하 Za, Zb, Zc
는 불평형
부하이다. 중성점 nN 사이에 임피던스 Zn이 있다.
∙ 중성점 n을 기준인 전위라 했을 때 중성점 N에서의 전위차를 VNn이라 하자.
I aA=( Van-VNn )
Za= ( Van-VNn ) Ya
I bB=( Vbn-VNn )
Zb= ( Vbn-VNn ) Yb
I cC=( Vcn-VNn )
Zc= ( Vcn-VNn ) Yc
I nN=-VNn
Zn=-Yn VNn
I aA+ IbB+ IcC+ InN=0
( Van- VNn )Ya+( Vbn- VNn )Yb+( Vcn- VNn )Yc-Yn VNn=0
따라서 중성점 전위 VNn은 다음과 같다.
VNn=Ya Van+Yb Vbn+Yc Vcn
Ya+Yb+Yc+Yn
(note) 위의 결과는 Millman의 정리를 사용하여 구할 수 있다.
VNn의 값이 구해지면 I aA , IbB , I cC , I nN의 값을 구할 수 있다.
중성점 비접지식 Y-Y 회로 (3상 3선식 회로)
∙3상 3선식 Y-Y회로는 3상 4선식 Y-Y회로에서 Zn=∞ (Yn=0 ), InN=0인 경우와
같으므로 이 조건을 3상 4선식 Y-Y 회로에 대입하여 구할 수 있다.
I aA=( Van-VNn )
Za= ( Van-VNn ) Ya
I bB=( Vbn-VNn )
Zb= ( Vbn-VNn ) Yb
I cC=( Vcn-VNn )
Zc= ( Vcn-VNn ) Yc
I aA+ IbB+ IcC=0
( Van- VNn )Ya+( Vbn- VNn )Yb+( Vcn- VNn )Yc=0
따라서 중성점 전위 VNn은 다음과 같다.
VNn=Ya Van+Yb Vbn+Yc Vcn
Ya+Yb+Yc
(note) 전원이 대칭인 경우: Van=Vp∠0o라고 하면 Vbn=a2Vp, Vcn=aVp의
관계를 사용하여 계산하면 된다.
[Ex] 대칭 3상 전원 Van , Vbn , Vcn에 불평형 3상 부하 Ca, Cb, Cc
의 정전용량을
접속하고 중성점 N을 접지했을 때 전원측 중성점 n에서의 대지전위 Vn을 구하라.
각주파수는 ω이다.
∙선전류의 합은
I aA+ IbB+ IcC=0
으로 되며,
I aA= jω Ca ( Van+ Vn )
I bB= jω Cb ( Vbn+ Vn )
I cC= jω Cc ( Vcn+ Vn ) 따라서
jω Ca ( Van+ Vn )+jω Cb ( Vbn+ Vn )+j ω Cc ( Vcn+ Vn )=0
Vn=Ca Van+Cb Vbn+Cc Vcn
C a+Cb+Cc
(a)
∙전원이 3상 대칭이므로
Van=Vp∠0o
라 하면
Vbn=a2Vp Vcn=aVp
가 된다. 위 식을 식 (a)에 대입하여 정리하면 중성점에서의 전위는 다음과 같다.
Vn=Ca ( Ca-Cb )+Cb ( Cb-Cc )+Cc ( Cc-Ca )
Ca+Cb+CcVp
불평형 -Y 회로
∙전원 임피던스가 극히 적을 때는 3상 단자 전압은 부하에 관계없이 거의 일정하게 된다. 이와
같이 부하에 관계없이 일정한 선간전압( 전압)을 갖는 전원에 불평형 Y-부하가 접속된 경우.
∙ 선간전압( 전압) 상호간에는
Vab+ Vbc=- Vca
의 관계가 있으므로
Vab+ Vbc+ Vca=0
가 된다.
∙ 그림에 키르히호프의 법칙을 적용하면
Vab =Za I aA-Zb I bB
Vbc =Zb I bB-Zb I cC
0 = IaA+ IbB+ IcC
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za Zb 0
0 Zb -Zc
1 1 1
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I aA
IbB
I cC
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Vab
Vbc
0
∙ 선전류
I aA =Zb( Vab+ Vbc )+Zc Vab
ZaZb+ZbZc+ZcZa=
Zc Vab-Zb Vca
I bB =Za Vbc-Zc Vab
I cC =-Zb ( Vbc+ Vab )-Za Vbc
ZaZb+ZbZc+ZcZa=
Zb Vca-Za Vbc
여기서
=ZaZb+ZbZc+ZcZa
∙ 부하의 상전압
VAN =Za I aA
VBN =Zb I bB
VCN =Zc I cC
불평형 부하
∙부하의 상전류
IAB =Vab
ZAB
IBC =Vbc
ZBC
ICA =Vca
ZCA
∙ 선전류와 상전류와의 관계
I aA = IAB- ICA
I bB = IBC- IAB
I cC = ICA- IBC
0 = IaA+ IbB+ IcC
I aA =Vab
ZAB-
Vbc
ZBC
IbB =Vbc
ZBC-
Vab
ZAB
I cC =Vca
ZCA-
Vbc
ZBC
역상분정상분상분
대칭좌표법
(System of Symmetrical coordinate)
•비대칭 n상 회로의 전압 또는 전류에 대해 n조의 대칭 전압 또는 대칭 전류로 분해하고,
이 분해된 전압 또는 전류에 대해서 계산하여 이것을 중첩하여 결과를 얻는 방법.
불평등 3상 회로에 응용
•대칭 좌표법에서는 불평형 전압 또는 전류를 평형인 3 성분으로 분해하여 취급한다.
∙ 상분(zero sequence component) : 각 상이 모두 동상이며 크기도 동일하다.
∙정상분(positive sequence component) : 상순이 a-b-c 인 대칭 3상
∙역상분(negative sequence component) : 상순이 a-c-b 인 대칭 3상
상분, 정상분, 역상분인 이 3 성분을 각 상마다 정상분을 기준으로 벡타적으로
합성하면 비대칭 전압 또는 전류가 되며, 이 3 성분을 총칭하여 대칭분이라고 한다.
Let
∙ 상분 : Va0 , Vb0 , Vc0
∙정상분 : Va1 , Vb1 , Vc1
∙역상분 : Va2 , Vb2 , Vc2
• 불평등 3상 전압을 Va , Vb , Vc를 대칭분으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Va = Va0+ Va1+ Va2
Vb = Vb0+ Vb1+ Vb2
Vc = Vc0+ Vc1+ Vc2
여기서
정상분 : Va1 , Vb1=a2 Va1 , Vc1=a Va1
역상분 : Va2 , Vb2=a Va2 , Vc1=a2 Va2
따라서
(1)
(2)
(3)
Va = Va0+ Va1+ Va2
Vb = Va0+a2Va1+a Va2
Vc = Va0+a Va1+a2Va2
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va
Vb
Vc
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a2
a
1 a a2
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va0
Va1
Va2
= [ A ]-1
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va0
Va1
Va2
(Note) since 1+a+a2=0
∙ Va0 = ? : 식(1) + 식(2) + 식(3)
Va0=13 ( Va+ Vb+ Vc )
∙ Va1 = ? : 식(1) + a(식(2)) + a2(식(3))
Va = Va0+ Va1+ Va2
a Vb =a Va0+a3Va1+a
2Va2=a Va0+ Va1+a
2Va2
a2Vc =a
2Va0+a
3Va1+a
4Va2=a
2Va0+ Va1+a Va2
Va1=13 ( Va+a Vb+a2 Vc )
∙ Va2 = ? : 식(1) + a2(식(2)) + a(식(3))
Va = Va0+ Va1+ Va2
a2 Vb =a 2 Va0+a 4 Va1+a 3 Va2=a 2 Va0+a Va1+ Va2
a Vc =a Va0+a 2 Va1+a 3 Va2=a Va0+a 2 Va1+ Va2
Va2=13 ( Va+a
2Vb+a Vc )
따라서 다음과 같은 관계가 성립한다.
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va0
Va1
Va2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2 a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va
Vb
Vc
=[ A ]
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va
Vb
Vc
여기서
[ A ]=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2
a
[ A ]-1
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a2
a
1 a a2
[ A ] [ A ]-1=1
ꋯ 일반적으로 a상을 기준으로 다루는 경우가 대부분이므로
Va0 , Va1 , Va2를 V0 , V1 , V2
로 표시하는 경우가 대부분이다.
(Note) 불평형율(unblanced factor)
불평형 3상 전압이나 전류에는 상분과 역상분이 포함되는 경우가 일반적이므로 불평형의 정도
를 나타내는 척도로 불평형율을 사용하며, 이 값은 역상분과 정상분의 크기 비 정의한다.
불평형율=역상분의 크기정상분의 크기 ×100 [ % ]
[Ex] 평형3상 전압
평형 3상의 경우
Vb=a2 Va , Vc=a Va
가 되므로
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
V0
V1
V2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a 2
1 a 2 a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va
Vb
Vc
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a 2
1 a 2 a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va
a 2 Va
a Va
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va+a 2 Va+a Va
Va+a 3 Va+a 3 Va
Va+a 4 Va+a 2 Va
여기서 a 3=1
Va+a
4Va+a
2Va = Va+a
2( 1+a
2) Va | 1+ a
2=-a
= Va-a3Va=0
가 되므로
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
V0
V1
V2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
0
3 Va
0
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
0
Va
0
평형 3상 전압의 상분 V0 및 역상분 V2
는 0이 되므로 정상분만 남게되며,
a상의 정상분은 Va이다.
대칭 3상회로는 대칭 좌표법에서는 정상분만의 특별한 경우라 할 수 있다.
[Remark] 불평형 3상 Y-Y 회로의 경우, 비접지식 회로에서 상분은 0이 되며, 중성점
접지식 회로(3상 4선식)에서는 상분이 나타난다.
(Proof) 3상 교류 I a , I b , I c가 흐르고 있을 때, a상의 대칭분을 I 0 , I 1 , I 2라 하면
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I 0
I 1
I 2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2
a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I a
I b
I c
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I a+ Ib+ Ic
I a+a I+a2I c
I a+a2I b+a Ic
(1) 비접지식
ꀎ
ꀚ
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ꀏ
ꀛ
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I 0
I 1
I 2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
0
I a+a I+a2I c
I a+a2I b+a Ic
I 0=0가 되어 상분은 나타나지 않고 정상분과 역상분만이 나타난다.
(2) 중성점 접지 회로
일반적으로 I a+ Ib+ Ic≠0가 되므로
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I 0
I 1
I 2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I a+ Ib+ Ic
I a+a Ib+a2I c
I a+a2Ib+a Ic
상분, 정상분, 역상분 모두 다 존재한다.
∙접지식일 경우 중성점 접지선에는 정상분과 역상분의 전류는 흐르지 않고 상분의 합인
3 I0 만 흐르게 된다. 이러한 경우는 3상 4선식의 중성선에도 해당된다.
I a = I 0+ I 1+ I 2
I b = I 0+a2I 1+a I 2
I c = I 0+a I 1+a2I 2
위 식을 합하게 되면
I a+ Ib+ Ic=3 I0
가 되어 중성선에는 3배의 상분 전류가 흐르게 된다.
불평형 전원의 Y-대칭분-대칭분 변환
Let
Y-회로 전원 : VYa , VY
b , VYc
Y-회로 대칭분 : VY0 , VY
1 , VY2
-회로 전원 : Va , V
b , Vc
-회로 대칭분 : V0 , V
1 , V2
∙ Y-회로의 대칭분
ꀎ
ꀚ
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ꀏ
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VY0
VY1
VY2
=13
ꀎ
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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
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1 1 1
1 a a2
1 a2 a
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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
VYa
VYb
VYc
∙ -회로의 전원
ꀊ
ꀖ
ꀈ
︳︳︳︳
︳︳︳︳
Va =VY
a -VYb
Vb =VY
b -VYc
Vc =VY
c -VYa
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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va
Vb
Vc
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
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1 -1 0
0 1 -1
-1 0 1
ꀎ
ꀚ
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ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
VYa
VYb
VYc
(note)
︳
︳
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
︳
︳
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 -1 0
0 1 -1
-1 0 1
=0
따라서 위 행렬에 대한 역행렬은 존재하지 않는다.
∙ -회로의 대칭분
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
V0
V1
V2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2 a
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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va
Vb
Vc
=13
ꀎ
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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2 a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 -1 0
0 1 -1
-1 0 1
ꀎ
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ꀏ
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VYa
VYb
VYc
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
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1 1 1
1 a a2
1 a2 a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 -1 0
0 1 -1
-1 0 1
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a2 a
1 a a2
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
VY0
VY1
VY2
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
0 0 0
0 1-a2 0
0 0 1-a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
VY0
VY1
VY2
따라서
ꀊ
ꀖ
ꀈ
︳︳︳︳︳︳︳
︳︳︳︳︳︳︳
V0 =0
V1 =( 1-a
2)V
Y1 = ( 3 e
jπ6 )VY
1
V2 =( 1-a )VY
2 =( 3 e- j
π6 )VY
2
불평형 Y-회로 전원의 대칭분을 -회로 전원의 대칭분으로 변환할 때,
∙ 상분 : V0 =0
∙ 정상분 : V1는 VY
1보다 3배 크며, 위상이
π6 앞선다.
∙ 역상분 : V2는 V
Y2보다 3배 크며, 위상이
π6 뒤진다.
중성점 접지식 불평형 Y-부하
∙중성점 N이 접지된 불평형 Y-부하에 있어서 각 단자 a, b, c의 대지전압을 각각
Va , Vb , Vc라하고 선전류를 I a , I b , I c라 하자. 부하 Za , Zb , Z c
에도 각각
대지전압 Va , Vb , Vc이 걸린다.
Va=Za I a , Vb=Zb I b , Vc=Zc I c
즉,
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va
Vb
Vc
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za 0 0
0 Zb 0
0 0 Zc
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I a
I b
I c
∙ Let
Va , Vb , Vc의 대칭분 : V0 , V1 , V2
I a , I b , I c의 대칭분 : I 0 , I 1 , I 2
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
V0
V1
V2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2 a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va
Vb
Vc
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2 a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za 0 0
0 Zb 0
0 0 Zc
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I a
Ib
I c
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2
a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za 0 0
0 Zb 0
0 0 Zc
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a2
a
1 a a2
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I 0
I 1
I 2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za+Zb+Zc Za+a2Zb+a Zc Za+a Zb+a
2Zc
Za+a Zb+a2Zc Z a+ Zb+Zc Za+a
2Zb+a Zc
Za+a2Zb+a Zc Za+a Zb+a
2Zc Za+Zb+Zc
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I 0
I 1
I 2
원소들이 Za+Zb+Zc, Za+a2Zb+a Zc
, Za+aZb+a2 Zc의 형태이므로
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Z0
Z1
Z2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2
a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za
Zb
Zc
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za+Zb+Zc
Za+aZb+a2Zc
Za+a2Zb+aZc
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
V0
V1
V2
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Z0 Z2 Z1
Z1 Z0 Z2
Z2 Z1 Z0
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I 0
I 1
I 2
불평형 임피던스 Za , Zb , Z c도 전압, 전류와 같이 대칭분인 Z0 , Z1 , Z 2
로
분해됨을 알 수 있다. (여기서 이 대칭분은 식을 간단히 표시한다는 것이지
물리적 의미는 존재하지 않는다. )
대칭분 V0 , V1 , V2이 구해지면, Va , Vb , Vc
를 구할 수 있다.
[Remark] 평형3상 부하인 경우
평형3상 부하인 경우 : Za=Zb=Zc
ꀎ
ꀚ
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ꀏ
ꀛ
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Z0
Z1
Z2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
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1 1 1
1 a a2
1 a2
a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za
Zb
Zc
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za+Zb+Zc
Za+aZb+a2Zc
Za+a2Zb+aZc
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
3 Za
Za ( 1+a+a2 )
Za ( 1+a2+a )
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
3 Za
0
0
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za
0
0
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
V0
V1
V2
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za 0 0
0 Za 0
0 0 Za
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I 0
I 1
I 2
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za I 0
Za I 1
Za I 2
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Z0 I 0
Z0 I 1
Z0 I 2
V0=Z0 I 0 , V 1=Z0 I 1 , V 2=Z0 I 2
[Remark] Admittance 표현
∙중성점 N이 접지된 불평형 Y-부하에 있어서 각 단자 a, b, c의 대지전압을 각각
Va , Vb , Vc라하고 선전류를 I a , I b , I c라 하자.
Ya=1Za
, Yb=1Zb
, Yc=1Zc
I a=Ya Va , I b=Yb Vb
, I c=Yc Vc
즉,
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I a
Ib
I c
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Ya 0 0
0 Yb 0
0 0 Yc
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va
Vb
Vc
∙ Let
Va , Vb , Vc의 대칭분 : V0 , V1 , V2
I a , I b , I c의 대칭분 : I 0 , I 1 , I 2
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I 0
I 1
I 2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2 a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I a
Ib
I c
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2 a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Ya 0 0
0 Yb 0
0 0 Yc
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va
Vb
Vc
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2
a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Ya 0 0
0 Yb 0
0 0 Yc
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a2
a
1 a a2
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
V0
V1
V2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Ya+Yb+Yc Ya+a2Yb+aYc Ya+aYb+a
2Yc
Ya+a Yb+a2Yc Ya+ Yb+Yc Ya+a
2Yb+a Yc
Ya+a2Yb+aYc Ya+aYb+a
2Yc Ya+Yb+Yc
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
V0
V1
V2
원소들이 Ya+Yb+Yc, Ya+a2Yb+a Yc
, Ya+aYb+a2 Yc의 형태이므로
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Y0
Y1
Y2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2
a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Ya
Yb
Yc
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Ya+Yb+Yc
Ya+aYb+a2Yc
Ya+a2Yb+aYc
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I 0
I 1
I 2
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Y0 Y2 Y1
Y1 Y0 Y2
Y2 Y1 Y0
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
V0
V1
V2
불평형 임피던스 Ya , Yb , Yc도 전압, 전류와 같이 대칭분인 Y0 , Y1 , Y2
로
분해됨을 알 수 있다. (여기서 이 대칭분은 식을 간단히 표시한다는 것이지
물리적 의미는 존재하지 않는다. )
대칭분 I 0 , I 1 , I 2이 구해지면, I a , I b , I c를 구할 수 있다.
중성점 비접지식 불평형 Y-부하
∙중성점 N이 비접지된 불평형 Y-부하에 있어서 각 단자 a, b, c의 대지전압을 각각
Va , Vb , Vc라하고 선전류를 I a , I b , I c라 하자.
부하 Za , Zb , Z c의 중성점은 비접지로 불평형 부하이므로 중성점 N은 임의의
전압 VN을 갖게된다 이때 부하 Za , Zb , Z c
에 걸리는 전압 Vpa , Vp
b , Vpc는
다음과 같다.
Vpa =Va-VN=Za I a
Vpb =Vb-VN=ZbI b
Vpc =Vc-VN=ZcI c
∙ 중성점 비접지식에서는 I a+Ib+Ic=0이다.
따라서 상분 I 0=0이다.
∙상전압 대칭분
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Vp0
Vp1
Vp2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2 a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Vpa
Vpb
Vpc
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2 a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va-VN
Vb-VN
Vc-VN
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va+Vb+Vc-3 VN
Va+a Vb+a2Vc-( 1+a+a2 )VN
Va+a2Vb+aVc-( 1+a2+a )VN
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va+Vb+Vc-3 VN
Va+a Vb+a2Vc
Va+a2Vb+aVc
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
V0-VN
V1
V2
(1)
(note) 대지전압의 대칭분
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
V0
V1
V2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2
a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va
Vb
Vc
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Va+Vb+Vc
Va+a Vb+a2Vc
Va+a2Vb+aVc
∙ 부하 임피던스 전압의 대칭분을 선전류 대칭분으로 나타내면 다음과 같다.
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Vp0
Vp1
Vp2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2
a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Vpa
Vpb
Vpc
여기서
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Vpa
Vpb
Vpc
=
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za 0 0
0 Zb 0
0 0 Zc
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I a
I b
I c
가 되므로
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Vp0
Vp1
Vp2
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2
a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za 0 0
0 Zb 0
0 0 Zc
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I a
I b
I c
=13
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a a2
1 a2 a
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Za 0 0
0 Zb 0
0 0 Zc
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 1
1 a2 a
1 a a2
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
I 0
I 1
I 2
위 식을 정리하여 Z0=Za+Zb+Zc, Z1=Za+a2Zb+a Zc
, Z2=Za+aZb+a2 Zc를
대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.
ꀎ
ꀚ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
ꀏ
ꀛ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
Vp0
Vp1
Vp2
=
ꀎ
ꀚ
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Z0 Z2 Z1
Z1 Z0 Z2
Z2 Z1 Z0
ꀎ
ꀚ
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ꀏ
ꀛ
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I 0
I 1
I 2
여기서 상분 I 0=0이므로
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ꀚ
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ꀏ
ꀛ
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Vp0
Vp1
Vp2
=
ꀎ
ꀚ
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ꀏ
ꀛ
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Z2 Z1
Z0 Z2
Z1 Z0
ꀎ
ꀚ
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ꀏ
ꀛ
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I 1
I 2
(2)
식 (1)과 식 (2)는 등가관계이므로
ꀎ
ꀚ
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ꀏ
ꀛ
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Z2 Z1
Z0 Z2
Z1 Z0
ꀎ
ꀚ
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ꀏ
ꀛ
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I 1
I 2 =
ꀎ
ꀚ
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ꀏ
ꀛ
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V0-VN
V1
V2
Z2I 1+Z1I 2 =V0-VN
Z0I 1+Z2I 2 =V1
Z1I 1+Z0I 2 =V2
위 식을 풀면
I 1 =Z0V1-Z2 V2
Z20-Z1 Z2
I 2 =Z0V2-Z1 V1
Z20-Z1Z2
VN =( Z
20-Z1 Z2 )V0+( Z
21-Z2 Z0 )V1+( Z
22-Z0 Z1 )V2
Z20-Z1 Z2
(3)
I 1 , I 2의 값이 구해지면 I 0=0이므로 식 (3)에 의해서 I a , I b , I c를 구할 수 있다.