Download - (5)SebaranFungsiPeubahAcak
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 1
STK 203TEORI STATISTIKA I
V. SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 2
Sebaran Fungsi Peubah AcakDalam banyak kasus untuk melakukan inferensi terhadap suatu parameter kita lebih banyak menggunakan fungsi dari peubah acak.
Sebagai ilustrasi, pada saat kita akan melakukan pengujian hipotesis terhadap nilai tengah µ dari peubah acak X yang menyebar normal, statistik yang digunakan adalah
Kenapa menggunakan statistik tsb ?
xsx
t 0=µ_
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 3
Sebaran Fungsi Peubah AcakUntuk menentukan sebaran fungsi peubah acak tersebut, kita akan membahas tiga metode utama yaitu :
(1) Metode Fungsi Sebaran(2) Metode Transformasi(3) Metode Fungsi Pembangkit Momen
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 4
(1) Metode Fungsi Sebaran
Perhatikan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi sebaran FY(y). Jika U = g(Y) dan FU(u) adalah fungsi sebaran peubah acak U, secara umum kita bisa mencari fU(u) yang merupakan turunan pertama dari FU(u).Sedangkan
FU(u) = PU(U ≤ u) = PU(g(Y) ≤ u)
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 5
(1)
Ilustrasi 5.1.Jika Y ~ Seragam (0, 1) dan U = g(Y) = - log(Y)
Kita tahu bahwa FY(y) = y untuk 0 < y < 1. Sehingga 0 < e-u < 1 dan FU(u) = 1 – FY(y) = 1 - e-u
Dengan demikian fU(u) kita peroleh dari turunan pertama FU(u), sbb.
karena 0 < y < 1 maka u = - log(y) > 0 sehingga diperoleh
u lainnya
Bisa diperlihatkan bahwa U ~ Eksponensial (1)
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 6
u lainnya
(1)
Ilustrasi 5.2.
Diketahui Y ~ Eksponensial (1). Tentukan fkp U = g(Y) = Y + θ, θ > 0.
Kita tahu bahwa FY(y) = 1- e-y
untuk y > 0. Sehingga u - θ > 0 dan FU(u) = 1 – FY(u - θ)
= 1 - e-(u - θ)
Dengan metode fungsi sebaran kita peroleh :
Dengan demikian kita bisa memperoleh fU(u) dengan menentukan turunan pertama dari FU(u) sbb.
Jadi
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 7
(2) Metode Transformasi
Perhatikan peubah acak kontinu Y dengan fungsi sebarannya FY(y) dan U = g(Y) adalah fungsi satu-ke-satu dari Y.
Ada beberapa sifat dari fungsi satu-ke-satu yang akan kita gunakan, yaitu :(1) g akan memetakan R ke R dengan sifat monoton naik atau
monoton turun(2) g akan memiliki fungsi kebalikan yang unik, g-1
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 8
(2)
Perhatikan jika g(y) adalah fungsi satu-ke-satu yang monoton naik, maka u = g(y) ⇔ g-1(u) = y, dan
Dengan menurunkan FU(u) akan diperoleh
aturan rantai
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 9
(2)
Sekarang perhatikan jika g monoton naik, demikian pula dengan g-1, sehingga .
Jika g monoton turun, demikian pula dengan g-1, sehinggaakan tetapi fY(g-1(u)) < 0 sehingga bernilai positif.
Untuk mengatasi kedua kasus tersebut, kita bisa menggunakan fungsi harga mutlak, sehingga fkp bagi U adalah
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 10
untuk (?)
(2)
Ilustrasi 5.3.Diketahui Y ~ Eksponensial (β). Tentukan fkp
Pertama-tama, kita harus meyakinkan bahwa g adalah fungsi satu-ke-satu pada daerah fungsi RY. Mudah untuk ditunjukkan bahwa g(y) adalah fungsi yang monoton naik dan bersifat satu-ke-satu pada RY = {y|0 < y < ∞}.Selanjutnya kita tentukan turunan dari g-1(u), sehingga diperoleh
dan
dan berdasarkan formulasi sebelumnya, maka diperoleh
Dengan demikian U ~ Wibull (2, β)
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 11
(2)
Ilustrasi 5.4.Diketahui fkp peubah acak Y sbb.
Mudah untuk menunjukkan g(y) adalah fungsi yang monoton turun dan bersifat satu-ke-satu pada RY = {y|0 < y < 1}.Selanjutnya kita tentukan turunan dari g-1(u), sehingga diperoleh
Tentukan fkp dari U = g(Y) = 1 - Y y lainnya
dan
dan berdasarkan formulasi sebelumnya, maka diperoleh
untuk
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 12
(2)
Pertanyaan berikutnya adalah
BAGAIMANA KALAU g(Y) BUKAN FUNGSI SATU-KE-SATU ?
Dalam kondisi g yang bukan fungsi satu-ke-satu kita masih bisa menggunakan metode transformasi asalkan kita dapat mempartisi RY
sedemikian sehingga diperoleh partisi-partisi yang tidak beririsan dan g pada masing-masing partisi bersifat satu-ke-satu.
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 13
(2)
Teorema 5.1.:Perhatikan Y peubah acak kontinu dengan fkp fY(y) dan U = g(Y) adalah suatu fungsi yang tidak bersifat satu-ke-satu pada RY tetapi kontinu. Misalkan kita dapat mempartisi RY menjadi beberapa himpunan yang terhingga banyaknya, katakan A1, A2, …, Ak dengan (i) P(Yi ∈ Ai) > 0 untuk setiap i dan(ii) fY(y) bersifat kontinu pada setiap Ai
Jika fungsi g1(y), g2(y), …, gk(y) ada sedemikian sehingga gi(y) terdefinisi pada Ai untuk i = 1, 2, …, k serta gi(y) memenuhi sifat(i) g(y) = gi(y) untuk setiap y ∈ Ai
(ii) gi(y) bersifat monoton pada Ai
maka :
u lainnya
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 14
(2)
Ilustrasi 5.5.Diketahui Y ~ N(0, 1). Tentukan fkp peubah acak U = Y2
Pertama-tama, kita lihat bahwa U = Y2 bukan fungsi satu-ke-satu pada RY = {y |-∞ < y < ∞} tetapi bersifat satu-ke-satu pada A1 = (-∞, 0) dan A2 = [0, ∞). g(y) = y2 bersifat monoton turun pada A1 dan monoton naik pada A2 dan juga berlaku RY = A1 ∪ A2.
Kemudian bisa kita peroleh ringkasan berikutpartisi RY transformasi invers transformasi
dan pada A1 dan A2 berlaku
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 15
(2)
Ilustrasi 5.5.
perhatikan u = y2 > 0, sehingga RU = {u|u > 0}.Berdasarkan teorema 5.1. maka fkp bagi U adalah
u lainnya
; karena
Dengan demikian U ~ Gamma (1/2, 2) atau U ~ χ2(1)
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 16
(3) Metode Fungsi Pembangkit Momen
Teorema 5.2.Perhatikan X dan Y yang masing-masing memiliki fungsi pembangkit momen mX(t) dan mY(t). Jika mX(t) = mY(t) untuk semua nilai t maka X dan Y memiliki fkp/fmp yang sama. (sifat unik fungsi pembangkit momen).
Bagaimana menentukan fkp/fmp melalui fpm?Jika kita memiliki suatu fungsi U = g(Y) dan kemudian dapat ditentukan mU(t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak U, serta kita mengenali bentuknya (misal Poisson, Binomial, Normal,Gamma, dll). Kita dapat menggunakan sifat unik fungsi pembangkit momen untuk menentukan fkp/fmp dari peubah acak U.
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 17
(3)
Ilustrasi 5.6.
Jika Y ~ Gamma(α, β), perlihatkan bahwa U = g(Y) = 2Y/β ~ χ2(2α).
Kita tahu bahwa fpm Y adalah
sehingga
Jelas U ~ χ2(2α)
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 18
(3)
Teorema 5.3.Perhatikan Y1, Y2, …, Yn adalah contoh acak dimana Yi memiliki fpm mYi(t) untuk i = 1, 2, …, n. Jika U = Y1 + Y2 + … + Yn maka
Bisa diperlihatkan sbb.
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 19
(3)Ilustrasi 5.7.Jika Y1, Y2, …, Yn ~ Bernoulli (p). Tentukan fkp U = Y1 + Y2 + … + Yn.
mU(t) dapat dihitung sbb.
kali
mU(t) adalah fpm Binomial (n, p).Jadi U ~ Binomial (n, p)
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 20
(4) Transpormasi Peubah Acak GandaDalam pembahasan topik ini kita akan fokus pada transformasi ganda dua yaitu jika kita memiliki U1 = g1(Y1, Y2) dan U2 = g2(Y1, Y2).
Perhatikan jika (Y1, Y2) adalah peubah acak ganda kontinu dengan fkp bersama fY1,Y2(y1, y2). Jika g : R2 R2 yang memetakan satu-ke-satu dari RY1Y2 ke RU1U2 dimana U1 = g1(Y1, Y2) dan U2 = g2(Y1, Y2) serta g1
-1
dan g2-1 dapat diturunkan secara parsial dan diperoleh
maka
(u1, u2) lainnya
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 21
(4)
Ilustrasi 5.8.Diketahui Y1 ~ Γ(α,1), Y2 ~ Γ(β, 1) dengan Y1 dan Y2 saling bebas. Jika didefinisikan :
Tentukan :(a) fU1U2(u1, u2), fkp bersama dari U1 dan U2
(b) fU1(u1), fkp marginal U1
(c) fU2(u2), fkp marginal U2
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 22
(4)
Ilustrasi 5.8.(a) fU1U2(u1, u2), fkp bersama dari U1 dan U2
karena Y1 dan Y2 saling bebas, maka fkp bersama (Y1, Y2) adalah
untuk (y1, y2) ∈ RY1,Y2 = {(y1, y2)|y1 > 0, y2 > 0). Dengan memperhatikan u1 = y1 + y2 dan u2 = y1/(y1+y2), maka RU1,U2 = {(u1, u2)|u1 >0, 0 < u2 < 1) dan
dan
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 23
(4)
Ilustrasi 5.8.(a) fU1U2(u1, u2), fkp bersama dari U1 dan U2
dengan demikian diperoleh
dan dapat ditulis
(u1, u2) lainnya
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 24
(4)
Ilustrasi 5.8.(b) fU1(u1), fkp marginal U1
kita akan integralkan fkp bersama (U1, U2) untuk setiap nilai u2
maka kita peroleh
u1 lainnya
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 25
(4)
Ilustrasi 5.8.(c) fU2(u2), fkp marginal U2
kita akan integralkan fkp bersama (U1, U2) untuk setiap nilai u1
maka kita peroleh
u2 lainnya
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 26
(5) Statistik TataanPerhatikan Y1, Y2, …, Yn adalah contoh acak dari Y ~ fY(y|θ) dengan fungsi sebaran FY(y).
Didefinisikan Y(1) ≤ Y(2) ≤ … ≤ Y(n) adalah statistik tataan (order statistics) dengan Y(1) adalah nilai terkecil, Y(2) nilai terkecil berikutnya, demikian seterusnya sehingga Y(n) adalah nilai terbesar.
Karena Yi saling benas, maka fkp bersamanya adalah Π∀i fY(yi|θ).Menurut aturan pencacahan, akan ada n! cara yang berbeda untuk menyusun Y1, Y2, …, Yn sehingga diperoleh Y(1) ≤ Y(2) ≤ … ≤ Y(n), dengan demikian fkp bersama dari statistik tataan adalah
fY(1),Y(2), … ,Y(n)(y1, y2, …, yn) = n! Π∀i fY(yi|θ)
= n! fY(y1|θ) fY(y2|θ) … fY(yn|θ)
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 27
(5)(a) fkp statistik minimum, Y(1)
dan dan dan
sehingga dapat diperoreh
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 28
(5)(b) fkp statistik maksimum, Y(n)
sehingga dapat diperoreh
dan dan dan
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 29
(5)(c) fkp statistik tataan ke-k, Y(k)
Untuk mencari fY(k)(y) coba didekati dengan model peluang multinomial. Suatu barisan {Y(i)} kita bagi dalam 3 kelas, yaitu
n - kY > y3
1Y = y2
k -1Y < y1
Banyak anggota kelas
Nilai YKelas
Karena Yi saling bebas, maka dengan pendekatan model multinomial kita peroleh
dengan menginterpretasikan FY(y) = P(Yi < y), fY(y) = P(Yi = y) dan 1- FY(y) = P(Yi > y), maka fkp bagi statistik tataan ke-k adalah
V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 30
(5)Ilustrasi 5.9.Diberikan Y1, Y2, …, Y10 contoh acak dari Y ~ Beta(2,1). Tentukan : (a). P(Y(1) < 0.25)
(b). P(Y(10) > 0.90)(c). P(Y(6) > 0.50)